از فرمول‌های پرکابرد در مثلثات، رابطه سینوس و کسینوس جمع دو زاویه است. معمولا این دو رابطه به‌صورت هندسی اثبات شده و دیگر روابط مثلثاتی نیز با استفاده از این دو رابطه بدست می‌آیند.

سینوس و کسینوس جمع دو زاویه

در این مطلب قصد داریم تا رابطه‌ای را اثبات کنیم که با استفاده از آن می‌توان سینوس و کسینوسِ مجموع دو زاویه را بدست آورد. در ادامه رابطه مربوط به سینوس و کسینوس جمعِ دو زاویه ارائه شده‌اند.

$$ \large \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta $$
$$ \large \cos ( \alpha + \beta) = \cos \alpha \, \cos \beta – \sin \alpha \, \sin \beta $$

به منظور اثبات روابط فوق، در ابتدا شکل زیر را در نظر بگیرید.

trigonometric

با توجه به مثلث $$ A E F $$، می‌توان سینوس و کسینوسِ $$ \beta $$ را به‌صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \cos \beta = \dfrac { \overline { A E } } { 1 } ; \,\, \overline { A E } = \cos \beta $$
$$ \large \sin \beta = \dfrac { \overline { E F } } { 1 } ; \,\, \overline { E F } = \sin \beta $$

با در نظر گرفتن مثلثِ $$ E D F $$ نیز می‌توان سینوس زاویه $$ \alpha $$ را مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

$$ \large \sin \alpha = \dfrac { \overline { D E } } { \overline { E F } } $$
$$ \large \sin \alpha = \dfrac { \overline { D E } } { \sin \beta } $$

در نتیجه طول $$ D E $$ را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \overline { D E } = \sin \alpha \, \sin \beta $$

هم‌چنین مقادیر کسینوس $$ \alpha $$ نیز برابرند با:

$$ \large \cos \alpha = \dfrac { \overline { D F } } { \overline {  E F } } $$
$$ \large \cos \alpha = \dfrac { \overline { D F } } { \sin \beta } $$

در نتیجه طول‌های $$ D F $$ و $$ B C $$ برابرند با:

$$ \large \overline { D F } = \cos \alpha \, \sin \beta $$
$$ \large \overline { B C } = \overline { D E } = \sin \alpha \, \sin \beta $$

با توجه به مثلثِ $$ A C E $$ نیز می‌توان سینوس $$ \alpha $$ را به روشی متفاوت، همان‌طور که در ادامه آمده بازنویسی کرد:

$$ \large \sin \alpha = \dfrac { \overline { C E } } { \overline { A E } } $$
$$ \large \sin \alpha = \dfrac { \overline { C E } } { \cos \beta } $$

در نتیجه طولِ $$ C E $$ برابر است با:

$$ \large \overline { C E } = \sin \alpha \, \cos \beta $$

با توجه به مثلثِ $$ A C E $$، کسینوس زاویه $$\alpha$$ نیز هم‌چون سینوس، به‌صورت زیر قابل بازنویسی است.

$$ \large \cos \alpha = \dfrac { \overline { A C } } { \overline { A E } } $$
$$ \large \cos \alpha = \dfrac { \overline { A C } } { \cos \beta } $$

نهایتا طول‌های $$ A C $$ و $$ B D $$ برابر با عبارات زیر بدست خواهند آمد.

$$ \large \overline { A C } = \cos \alpha \, \cos \beta $$
$$ \large \overline { B D } = \overline { C E } = \sin \alpha \, \cos \beta $$

در شکل زیر طول‌ها بر حسب مقادیر مثلثاتی زوایا نشان داده شده‌اند.

سینوس و کسینوس جمع دو زاویه

در قدم آخر، مثلثِ $$ A B F $$ را در نظر بگیرید. با توجه به این مثلث، سینوس زاویه $$ \alpha + \beta $$ برابر می‌شود با:

$$ \large \sin ( \alpha + \beta ) = \overline { B D } + \overline { D F } $$

حال کافی است به‌جای طول‌های $$ B D $$ و $$ D F $$، رابطه بدست آمده برای آن‌ها را جایگزین کنیم. در نتیجه نهایتا سینوس مجموعِ دو زاویه، برابر با عبارت زیر بدست خواهد آمد.

$$ \boxed {\large \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta } $$

با توجه به طول‌های محاسبه شده، مقدار کسینوس مجموع دو زاویه نیز برابر است با:

$$\boxed { \large \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \, \cos \beta – \sin \alpha \, \sin \beta } $$

با بدست آمدن سینوس و کسینوس مجموع زوایا، تانژانت $$ \alpha + \beta $$ نیز به‌صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \sin ( \alpha + \beta ) } { \cos ( \alpha + \beta ) } $$

$$ \large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta – \sin \alpha \, \sin \beta } $$

$$ \large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \dfrac { \sin \alpha \, \cos \beta }{ \cos \alpha \, \cos \beta } + \dfrac { \cos \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } } { \dfrac { \cos \alpha \, \cos \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } – \dfrac { \sin \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } } $$

$$ \large \tan (\alpha + \beta) = \dfrac { \dfrac { \sin \alpha } { \cos \alpha} + \dfrac { \sin \beta } { \cos \beta } } { 1 – \dfrac { \sin \alpha } { \cos \alpha} \, \dfrac { \sin \beta } { \cos \beta } } $$

در نتیجه نهایتا مقدار تانژانت مجموع دو زاویه برابر می‌شود با:

$$ \large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \tan \alpha + \tan \beta } { 1 – \tan \alpha \, \tan \beta } $$

حال به‌منظور بدست آوردن رابطه مربوط به اختلاف دو زاویه، کافی است تا $$ \sin ( \alpha + \beta ) $$ را به‌صورت زیر بیان کنیم:

$$ \large \sin [ \, \alpha + ( – \beta ) \, ] = \sin \alpha \, \cos ( – \beta ) + \cos \alpha \, \sin ( – \beta ) $$

توجه داشته باشید که رابطه زیر نیز برای سینوس منفیِ یک زاویه برقرار است.

$$ \large \sin ( – \beta ) = – \sin ( \beta ) $$

بنابراین با توجه به دو رابطه فوق، سینوس اختلاف دو زاویه مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \large \sin ( \alpha – \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta – \cos \alpha \, \sin \beta $$

به همین ترتیب کسینوس نیز مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \large \cos ( \alpha – \beta ) = \cos \alpha \, \cos \beta + \sin \alpha \, \sin \beta $$

نهایتا تانژانتِ اختلافِ دو زاویه نیز برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \tan [ \, \alpha + ( – \beta ) \, ] = \dfrac { \tan \alpha + \tan ( -\beta ) } { 1 – \tan \alpha \, \tan ( – \beta ) } $$

$$ \large \tan ( \alpha – \beta ) = \dfrac { \tan \alpha – \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \, \tan \beta } $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۵۸ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

4 نظر در “سینوس و کسینوس جمع دو زاویه — به زبان ساده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *