ریاضی , علوم پایه 2691 بازدید

از فرمول‌های پرکابرد در مثلثات، رابطه سینوس و کسینوس جمع دو زاویه است. معمولا این دو رابطه به‌صورت هندسی اثبات شده و دیگر روابط مثلثاتی نیز با استفاده از این دو رابطه بدست می‌آیند.

دانلود ویدیو

سینوس و کسینوس جمع دو زاویه

در این مطلب قصد داریم تا رابطه‌ای را اثبات کنیم که با استفاده از آن می‌توان سینوس و کسینوسِ مجموع دو زاویه را بدست آورد. در ادامه رابطه مربوط به سینوس و کسینوس جمعِ دو زاویه ارائه شده‌اند.

$$ \large \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta $$
$$ \large \cos ( \alpha + \beta) = \cos \alpha \, \cos \beta – \sin \alpha \, \sin \beta $$

به منظور اثبات روابط فوق، در ابتدا شکل زیر را در نظر بگیرید.

trigonometric

با توجه به مثلث $$ A E F $$، می‌توان سینوس و کسینوسِ $$ \beta $$ را به‌صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \cos \beta = \dfrac { \overline { A E } } { 1 } ; \,\, \overline { A E } = \cos \beta $$
$$ \large \sin \beta = \dfrac { \overline { E F } } { 1 } ; \,\, \overline { E F } = \sin \beta $$

با در نظر گرفتن مثلثِ $$ E D F $$ نیز می‌توان سینوس زاویه $$ \alpha $$ را مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

$$ \large \sin \alpha = \dfrac { \overline { D E } } { \overline { E F } } $$
$$ \large \sin \alpha = \dfrac { \overline { D E } } { \sin \beta } $$

در نتیجه طول $$ D E $$ را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \overline { D E } = \sin \alpha \, \sin \beta $$

هم‌چنین مقادیر کسینوس $$ \alpha $$ نیز برابرند با:

$$ \large \cos \alpha = \dfrac { \overline { D F } } { \overline {  E F } } $$
$$ \large \cos \alpha = \dfrac { \overline { D F } } { \sin \beta } $$

در نتیجه طول‌های $$ D F $$ و $$ B C $$ برابرند با:

$$ \large \overline { D F } = \cos \alpha \, \sin \beta $$
$$ \large \overline { B C } = \overline { D E } = \sin \alpha \, \sin \beta $$

با توجه به مثلثِ $$ A C E $$ نیز می‌توان سینوس $$ \alpha $$ را به روشی متفاوت، همان‌طور که در ادامه آمده بازنویسی کرد:

$$ \large \sin \alpha = \dfrac { \overline { C E } } { \overline { A E } } $$
$$ \large \sin \alpha = \dfrac { \overline { C E } } { \cos \beta } $$

در نتیجه طولِ $$ C E $$ برابر است با:

$$ \large \overline { C E } = \sin \alpha \, \cos \beta $$

با توجه به مثلثِ $$ A C E $$، کسینوس زاویه $$\alpha$$ نیز هم‌چون سینوس، به‌صورت زیر قابل بازنویسی است.

$$ \large \cos \alpha = \dfrac { \overline { A C } } { \overline { A E } } $$
$$ \large \cos \alpha = \dfrac { \overline { A C } } { \cos \beta } $$

نهایتا طول‌های $$ A C $$ و $$ B D $$ برابر با عبارات زیر بدست خواهند آمد.

$$ \large \overline { A C } = \cos \alpha \, \cos \beta $$
$$ \large \overline { B D } = \overline { C E } = \sin \alpha \, \cos \beta $$

در شکل زیر طول‌ها بر حسب مقادیر مثلثاتی زوایا نشان داده شده‌اند.

سینوس و کسینوس جمع دو زاویه

در قدم آخر، مثلثِ $$ A B F $$ را در نظر بگیرید. با توجه به این مثلث، سینوس زاویه $$ \alpha + \beta $$ برابر می‌شود با:

$$ \large \sin ( \alpha + \beta ) = \overline { B D } + \overline { D F } $$

حال کافی است به‌جای طول‌های $$ B D $$ و $$ D F $$، رابطه بدست آمده برای آن‌ها را جایگزین کنیم. در نتیجه نهایتا سینوس مجموعِ دو زاویه، برابر با عبارت زیر بدست خواهد آمد.

$$ \boxed {\large \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta } $$

با توجه به طول‌های محاسبه شده، مقدار کسینوس مجموع دو زاویه نیز برابر است با:

$$\boxed { \large \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \, \cos \beta – \sin \alpha \, \sin \beta } $$

با بدست آمدن سینوس و کسینوس مجموع زوایا، تانژانت $$ \alpha + \beta $$ نیز به‌صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \sin ( \alpha + \beta ) } { \cos ( \alpha + \beta ) } $$

$$ \large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta – \sin \alpha \, \sin \beta } $$

$$ \large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \dfrac { \sin \alpha \, \cos \beta }{ \cos \alpha \, \cos \beta } + \dfrac { \cos \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } } { \dfrac { \cos \alpha \, \cos \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } – \dfrac { \sin \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } } $$

$$ \large \tan (\alpha + \beta) = \dfrac { \dfrac { \sin \alpha } { \cos \alpha} + \dfrac { \sin \beta } { \cos \beta } } { 1 – \dfrac { \sin \alpha } { \cos \alpha} \, \dfrac { \sin \beta } { \cos \beta } } $$

در نتیجه نهایتا مقدار تانژانت مجموع دو زاویه برابر می‌شود با:

$$ \large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \tan \alpha + \tan \beta } { 1 – \tan \alpha \, \tan \beta } $$

حال به‌منظور بدست آوردن رابطه مربوط به اختلاف دو زاویه، کافی است تا $$ \sin ( \alpha + \beta ) $$ را به‌صورت زیر بیان کنیم:

$$ \large \sin [ \, \alpha + ( – \beta ) \, ] = \sin \alpha \, \cos ( – \beta ) + \cos \alpha \, \sin ( – \beta ) $$

توجه داشته باشید که رابطه زیر نیز برای سینوس منفیِ یک زاویه برقرار است.

$$ \large \sin ( – \beta ) = – \sin ( \beta ) $$

بنابراین با توجه به دو رابطه فوق، سینوس اختلاف دو زاویه مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \large \sin ( \alpha – \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta – \cos \alpha \, \sin \beta $$

به همین ترتیب کسینوس نیز مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \large \cos ( \alpha – \beta ) = \cos \alpha \, \cos \beta + \sin \alpha \, \sin \beta $$

نهایتا تانژانتِ اختلافِ دو زاویه نیز برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \tan [ \, \alpha + ( – \beta ) \, ] = \dfrac { \tan \alpha + \tan ( -\beta ) } { 1 – \tan \alpha \, \tan ( – \beta ) } $$

$$ \large \tan ( \alpha – \beta ) = \dfrac { \tan \alpha – \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \, \tan \beta } $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

telegram
twitter

مجید عوض زاده

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “سینوس و کسینوس جمع دو زاویه — به زبان ساده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *