سینوس و کسینوس جمع دو زاویه – به زبان ساده

۱۸۰۸۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲ دی ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۵ دقیقه
دانلود PDF مقاله
سینوس و کسینوس جمع دو زاویه – به زبان سادهسینوس و کسینوس جمع دو زاویه – به زبان ساده

از فرمول‌های پرکابرد در مثلثات، رابطه سینوس و کسینوس جمع دو زاویه است. معمولا این دو رابطه به‌صورت هندسی اثبات شده و دیگر روابط مثلثاتی نیز با استفاده از این دو رابطه بدست می‌آیند.

فهرست مطالب این نوشته
997696

سینوس و کسینوس جمع دو زاویه

در این مطلب قصد داریم تا رابطه‌ای را اثبات کنیم که با استفاده از آن می‌توان سینوس و کسینوسِ مجموع دو زاویه را بدست آورد. در ادامه رابطه مربوط به سینوس و کسینوس جمعِ دو زاویه ارائه شده‌اند.

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\large \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\large \cos ( \alpha + \beta) = \cos \alpha \, \cos \beta - \sin \alpha \, \sin \beta

به منظور اثبات روابط فوق، در ابتدا شکل زیر را در نظر بگیرید.

trigonometric

با توجه به مثلث AEFA E F، می‌توان سینوس و کسینوسِ β\beta را به‌صورت زیر بیان کرد:

cosβ=AE1;AE=cosβ\large \cos \beta = \dfrac { \overline { A E } } { 1 } ; \,\, \overline { A E } = \cos \beta
sinβ=EF1;EF=sinβ\large \sin \beta = \dfrac { \overline { E F } } { 1 } ; \,\, \overline { E F } = \sin \beta

با در نظر گرفتن مثلثِ EDFE D F نیز می‌توان سینوس زاویه α\alpha را مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

sinα=DEEF\large \sin \alpha = \dfrac { \overline { D E } } { \overline { E F } }
sinα=DEsinβ\large \sin \alpha = \dfrac { \overline { D E } } { \sin \beta }

در نتیجه طول DED E را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

DE=sinαsinβ\large \overline { D E } = \sin \alpha \, \sin \beta

هم‌چنین مقادیر کسینوس α\alpha نیز برابرند با:

cosα=DFEF\large \cos \alpha = \dfrac { \overline { D F } } { \overline { E F } }
cosα=DFsinβ\large \cos \alpha = \dfrac { \overline { D F } } { \sin \beta }

در نتیجه طول‌های DFD F و BCB C برابرند با:

DF=cosαsinβ\large \overline { D F } = \cos \alpha \, \sin \beta
BC=DE=sinαsinβ\large \overline { B C } = \overline { D E } = \sin \alpha \, \sin \beta

با توجه به مثلثِ ACEA C E نیز می‌توان سینوس α\alpha را به روشی متفاوت، همان‌طور که در ادامه آمده بازنویسی کرد:

sinα=CEAE\large \sin \alpha = \dfrac { \overline { C E } } { \overline { A E } }
sinα=CEcosβ\large \sin \alpha = \dfrac { \overline { C E } } { \cos \beta }

در نتیجه طولِ CEC E برابر است با:

CE=sinαcosβ\large \overline { C E } = \sin \alpha \, \cos \beta

با توجه به مثلثِ ACEA C E، کسینوس زاویه α\alpha نیز هم‌چون سینوس، به‌صورت زیر قابل بازنویسی است.

cosα=ACAE\large \cos \alpha = \dfrac { \overline { A C } } { \overline { A E } }
cosα=ACcosβ\large \cos \alpha = \dfrac { \overline { A C } } { \cos \beta }

نهایتا طول‌های ACA C و BDB D برابر با عبارات زیر بدست خواهند آمد.

AC=cosαcosβ\large \overline { A C } = \cos \alpha \, \cos \beta
BD=CE=sinαcosβ\large \overline { B D } = \overline { C E } = \sin \alpha \, \cos \beta

در شکل زیر طول‌ها بر حسب مقادیر مثلثاتی زوایا نشان داده شده‌اند.

سینوس و کسینوس جمع دو زاویه

در قدم آخر، مثلثِ ABFA B F را در نظر بگیرید. با توجه به این مثلث، سینوس زاویه α+β\alpha + \beta برابر می‌شود با:

sin(α+β)=BD+DF\large \sin ( \alpha + \beta ) = \overline { B D } + \overline { D F }

حال کافی است به‌جای طول‌های BDB D و DFD F، رابطه بدست آمده برای آن‌ها را جایگزین کنیم. در نتیجه نهایتا سینوس مجموعِ دو زاویه، برابر با عبارت زیر بدست خواهد آمد.

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\boxed {\large \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta }

با توجه به طول‌های محاسبه شده، مقدار کسینوس مجموع دو زاویه نیز برابر است با:

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\boxed { \large \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \, \cos \beta - \sin \alpha \, \sin \beta }

با بدست آمدن سینوس و کسینوس مجموع زوایا، تانژانت α+β\alpha + \beta نیز به‌صورت زیر بدست می‌آید.

tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)\large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \sin ( \alpha + \beta ) } { \cos ( \alpha + \beta ) }

tan(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ\large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta - \sin \alpha \, \sin \beta }

tan(α+β)=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβsinαsinβcosαcosβ\large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \dfrac { \sin \alpha \, \cos \beta }{ \cos \alpha \, \cos \beta } + \dfrac { \cos \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } } { \dfrac { \cos \alpha \, \cos \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } - \dfrac { \sin \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } }

tan(α+β)=sinαcosα+sinβcosβ1sinαcosαsinβcosβ\large \tan (\alpha + \beta) = \dfrac { \dfrac { \sin \alpha } { \cos \alpha} + \dfrac { \sin \beta } { \cos \beta } } { 1 - \dfrac { \sin \alpha } { \cos \alpha} \, \dfrac { \sin \beta } { \cos \beta } }

در نتیجه نهایتا مقدار تانژانت مجموع دو زاویه برابر می‌شود با:

tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ\large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \tan \alpha + \tan \beta } { 1 - \tan \alpha \, \tan \beta }

حال به‌منظور بدست آوردن رابطه مربوط به اختلاف دو زاویه، کافی است تا sin(α+β)\sin ( \alpha + \beta ) را به‌صورت زیر بیان کنیم:

sin[α+(β)]=sinαcos(β)+cosαsin(β)\large \sin [ \, \alpha + ( - \beta ) \, ] = \sin \alpha \, \cos ( - \beta ) + \cos \alpha \, \sin ( - \beta )

توجه داشته باشید که رابطه زیر نیز برای سینوس منفیِ یک زاویه برقرار است.

sin(β)=sin(β)\large \sin ( - \beta ) = - \sin ( \beta )

بنابراین با توجه به دو رابطه فوق، سینوس اختلاف دو زاویه مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ\large \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta - \cos \alpha \, \sin \beta

به همین ترتیب کسینوس نیز مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ\large \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \, \cos \beta + \sin \alpha \, \sin \beta

نهایتا تانژانتِ اختلافِ دو زاویه نیز برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

tan[α+(β)]=tanα+tan(β)1tanαtan(β)\large \tan [ \, \alpha + ( - \beta ) \, ] = \dfrac { \tan \alpha + \tan ( -\beta ) } { 1 - \tan \alpha \, \tan ( - \beta ) }

tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ\large \tan ( \alpha - \beta ) = \dfrac { \tan \alpha - \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \, \tan \beta }

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۹۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Mathalino
دانلود PDF مقاله
۷ دیدگاه برای «سینوس و کسینوس جمع دو زاویه – به زبان ساده»

عالی ، بی نظیر . یعنی هرچقدر ازت تشکر کنیم بازم کمه . فوق العاده

عالی

درود بر شما ، بررسی ها واضح و روشن بود . بسیار ممنونم

ممنون عالی بود

توضیحات عالی بود

عالی بود ، با تشکر فراوان از شما❤

فوق العاده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *