گاهی در محاسبات لازم است توابعی از ماتریس‌ها را محاسبه کنیم. اما انجام این کار به صورت مستقیم، دشوار و مستلزم محاسبات فراوانی است. در این موارد، قضیه «کیلی همیلتون» (Cayley-Hamilton Theorem) محاسبات را ساده‌تر خواهد کرد. به بیان ساده، قضیه کیلی همیلتون بیان می‌کند که هر ماتریس مربعی در معادله مشخصه خود صدق می‌کند. از این ویژگی می‌توان استفاده‌های فراوانی کرد. در این آموزش، قضیه کیلی-همیلتون را بیان کرده و چند مثال مربوط به آن را بررسی می‌کنیم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

قضیه کیلی همیلتون

اگر چندجمله‌ای $$ p ( \lambda) $$، چندجمله‌ای مشخصه ماتریس $$ A $$ با ابعاد $$ n \times n $$ باشد، آن‌گاه ماتریس $$ p ( A ) $$ یک ماتریس صفر $$ n \times n $$ خواهد بود. به عبارت دیگر، ماتریس $$A$$ در معادله مشخصه‌اش صدق می‌کند.

اثبات قضیه کیلی همیلتون

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس $$ n \times n $$ باشد. همچنین فرض کنید $$ A_{i,j} $$ دترمینان ماتریسی باشد که از حذف سطر $$i$$اُم و ستون $$j$$اُم $$A$$ به دست آمده است. ماتریس الحاقی $$A_{\mbox{adj}}=[(-1)^{i+j}A_{j,i}] $$ در رابطه زیر صدق می‌کند:

$$ \large A A _ { \mbox {adj} } = A _ { \mbox {adj} } A = \mbox {det} ( A ) I , $$

که در آن، $$\mbox{det}(A) $$ دترمینان ماتریس $$A$$ و $$I$$ ماتریس همانی است.

رابطه زیر نیز برقرار است:

$$ \large ( A – \lambda I ) ( A – \lambda I ) _ { \mbox{adj} } = ( A – \lambda I ) _ { \mbox {adj} } ( A – \lambda I ) =
\mbox {det} ( A – \lambda I ) I $$

ماتریس $$(A-\lambda I)_{\mbox{adj}} $$ از عامل $$ A-\lambda I $$ تشکیل شده و همان‌طور که می‌دانیم، هر یک از درایه‌های ماتریس $$A-\lambda I $$، یک چندجمله‌ای از $$\lambda$$ با درجاتی از $$0$$ تا $$n-1$$ است. می‌توان نوشت:

$$ \large ( A – \lambda I ) _ { \mbox {adj} } = Q _ { 0 } + \lambda Q _ { 1 } + \cdots + \lambda ^ { n – 1 } Q _ { n – 1 } , $$

که در آن، $$ Q_{j} $$ ماتریس‌های $$n \times n $$ هستند. بنابراین، داریم:

$$ \large ( Q _ { 0 } + Q _ { 1 } \lambda + \cdots + Q _ { n – 1 } \lambda ^ { n – 1 } ) ( A – \lambda I ) = p ( \lambda ) I , $$

که در آن، $$ p(\lambda)=\mbox{det}(\lambda I -A) $$ چندجمله‌ای مشخصه $$A $$ است:

$$ \large p ( \lambda ) =  \alpha _ 0 + \alpha _ 1 \lambda + \cdots + \alpha _ { n – 1 } \lambda ^ { n – 1 } + \lambda ^ n $$

با برابر قرار دادن ضرایب $$ \lambda$$ و ضرب معادلات در $$I$$، $$ A$$، $$\cdots$$ و $$A^n$$ داریم:

$$ \large \begin{matrix}
– A Q _ 0 = \alpha _ 0 I & \rightarrow I \times \rightarrow & – AQ_0=\alpha _0 I \\
Q _0  -AQ _ 1 = \alpha _ 1 I & \rightarrow A \times \rightarrow & A Q _ 0 – A ^ 2 Q _ 1 = \alpha _ 1 A \\
Q _1  -AQ _ 2 = \alpha _ 2 I & \rightarrow A ^ 2 \times \rightarrow & A^ 2 Q _ 1 – A ^ 3 Q _ 2 = \alpha _ 2 A \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
Q _ { n -2 }  – A Q _ {n -1 } = \alpha _ {n-1 } I & \rightarrow A ^ {n-1} \times \rightarrow & A ^ { n -1 } Q _ { n-2} – A ^ n Q _ {n-1} = \alpha _ { n-1} A ^ {n-1} \\
Q _ { n -1 } = I & \rightarrow A ^ {n} \times \rightarrow & A ^ { n } Q _ { n-1} = A ^ {n}
\end {matrix} $$

حال معادلات سمت راست را با یکدیگر جمع می‌کنیم و در نهایت، داریم:

$$ \large O = \alpha _ 0 I + \alpha _ 1 A + \cdots + \alpha _ { n -1 } A ^ { n-1} + A ^n $$

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال را از کاربرد قضیه کیلی-همیلتون بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

ماتریس $$ A $$ را به صورت زیر در نظر بگیرید:

$$ \large A = \begin {bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 3
\end {bmatrix} $$

چندجمله‌ای مشخصه $$ p ( t) $$ ماتریس $$A$$ به صورت زیر به دست می‌آید:‌

$$ \large \begin {align*}
p ( t ) & = \det ( A – t I ) = \begin {bmatrix}
1 – t & 1 \\
1 & 3 – t
\end {bmatrix}
\\
& = t ^ 2 – 4 t + 2 .
\end {align*} $$

طبق قضیه کیلی-همیلتون، ماتریس $$ p ( A ) = A ^ 2 – 4 A + 2 I $$ یک ماتریس صفر $$ 2 \times 2 $$ است:

$$ \large \begin {align*}
p ( A ) & = A ^ 2 – 4 A + 2 I = \begin {bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 3
\end {bmatrix} \begin {bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 3
\end {bmatrix} – 4 \begin {bmatrix}
1 & 1 \\
1& 3
\end {bmatrix} + 2 \begin {bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end {bmatrix} \\[6pt] & = \begin {bmatrix}
2 & 4 \\
4 & 10
\end {bmatrix}
+ \begin {bmatrix}
– 4 & – 4 \\
– 4 & – 1 2
\end {bmatrix}
+\begin {bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

مثال ۲

ماتریس زیر را در نظر بگیرید.

$$ \large T = \begin {bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end {bmatrix} $$

عبارت $$ -T^3+4T^2+5T-2I $$ را محاسبه و ساده کنید ($$I$$ ماتریس همانی $$ 3 \times 3 $$ است).

حل: از قضیه کیلی-همیلتون استفاده می‌کنیم. برای به دست آوردن چندجمله‌ای مشخصه $$T$$، از خاصیت بالامثلثی آن استفاده می‌کنیم. ماتریس $$ T – t I $$ نیز یک ماتریس بالامثلثی است. همان‌طور که می‌دانیم، دترمینان یک ماتریس بالامثلثی برابر با حاصل‌ضرب درایه‌های قطری آن است. بنابراین، چندجمله‌ای مشخصه $$ p_T(t) $$ ماتریس $$T$$ برابر است با:

$$ \large p _ T ( t ) = \det ( T – t I ) = ( 1 – t ) ( 1 – t ) ( 2 – t ) = – t ^ 3 + 4 t ^ 2 – 5 t + 2 . $$

با توجه به قضیه کیلی-همیلتون، داریم:

$$ \large p _ T ( T ) = – T ^ 3 + 4 T ^ 2 -5 T + 2 I = O . $$

که در آن، $$ O$$ ماتریس صفر $$ 3 \times 3 $$ است.

حاصل عبارت فوق، برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
– T ^ 3 + 4 T ^ 2 + 5 T – 2 I & = ( – T ^ 3 + 4 T ^ 2 – 5 T + 2 I ) + ( 1 0 T – 4 I ) \\
& = p _ T ( T ) + 1 0 T – 4 I = 1 0 T – 4 I \\[6pt] & = \begin {bmatrix}
10 & 0 & 20 \\
0 &10 &10 \\
0 & 0 & 20
\end {bmatrix}

\begin {bmatrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end {bmatrix} \\[6pt] & = \begin {bmatrix}
6 & 0 & 20 \\
0 & 6 &10 \\
0 & 0 & 16
\end {bmatrix} .
\end {align*} $$

بنابراین، پاسخ این مثال برابر است با:

$$ \large – T ^ 3 + 4 T ^ 2 + 5 T – 2 I = \begin {bmatrix}
6 & 0 & 20 \\
0 & 6 & 10 \\
0 & 0 & 16
\end {bmatrix} . $$

مثال ۳

با استفاده از قضیه کیلی-همیلتون معمکوس ماتریس زیر را محاسبه کنید.

$$ \large A = \begin {bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
9 & 2 & 0 \\
5 & 0 & 3
\end {bmatrix} $$

حل: برای استفاده از قضیه کیلی-همیلتون، ابتدا چندجمله‌ای مشخصه $$ p ( t) $$ ماتریس $$A$$ را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
p ( t ) & = \det ( A – t I ) =
\begin {vmatrix}
1 – t & 1 & 2 \\
9 & 2 – t & 0 \\
5 & 0 & 3 – t
\end {vmatrix} \\[6pt] & = ( – 1 ) ^ { 3 + 1 } 5 \begin {vmatrix}
1 & 2 \\
2 – t & 0
\end {vmatrix} + ( – 1 ) ^ { 3 + 2 } \cdot 0 \begin {vmatrix}
1 – t & 2\\
9 & 0
\end {vmatrix} + ( – 1 ) ^ { 3 + 3 } ( 3 – t ) \begin {vmatrix}
1- t & 1 \\
9 & 2 – t
\end {vmatrix} \\[6pt] & = 5 ( 2 t – 4 ) + 0 + ( 3 – t ) \left( \, ( 1 – t ) ( 2 – t ) – 9 \, \right) \\
& = – t ^ 3 + 6 t ^ 2 + 8 t – 4 1 .
\end {align*} $$

طبق قضیه کیلی-همیلتون، رابطه $$ p(A)=O $$ برقرار است. یعنی:

$$ \large \begin {align*}
O = p ( A ) = – A ^ 3 + 6 A ^ 2 + 8 A -4 1 I .
\end {align*} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large 4 1 I = – A ^ 3 + 6 A ^ 2 + 8 A = A ( – A ^ 2 + 6 A + 8 I ) , $$

یا به طور معادل:

$$ \large I = A \left( \, \frac { 1 } { 4 1 } ( -A ^ 2 + 6 A + 8 I ) \, \right) . $$

بنابراین، معکوس ماتریس را می‌توان با استفاده از فرمول زیر به دست آورد:

$$ \large A ^ { – 1 } = \frac { 1 } { 4 1 } ( – A^ 2 + 6 A + 8 I ) . $$

ماتریس $$ A ^ 2 $$ برابر است با:

$$ \large A ^ 2 = \begin {bmatrix}
20 & 3 & 8 \\
27 & 13 & 18 \\
20 & 5 & 19
\end {bmatrix} $$

و

$$ \large \begin {align*}
– A ^ 2 + 6 A + 8 I & = – \begin {bmatrix}
20 & 3 & 8 \\
27 & 13 & 18 \\
20 & 5 & 19
\end {bmatrix} + 6 \begin {bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
9 & 2 & 0 \\
5 & 0 & 3
\end {bmatrix} + 8 \begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix} \\[6pt] & = \begin {bmatrix}
-6 & 3 & 4 \\
27 & 7 & -18 \\
10 & -5 & 7
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

در نتیجه، معکوس ماتریس $$ A$$ برابر است با:

$$ \large A ^ { – 1 } = \frac { 1 } { 4 1 } \begin {bmatrix}
-6 & 3 & 4 \\
27 & 7 & -18 \\
10 & -5 & 7
\end {bmatrix} . $$

مثال 4

ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large A = \begin {bmatrix}
1 & – 1 \\
2 & 3
\end {bmatrix} . $$

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس زیر را محاسبه کنید.

$$ \large B = A ^ 4 – 3 A ^ 3 + 3 A ^ 2 – 2 A + 8 I . $$

$$I$$ ماتریس همانی است.

حل: ابتدا چندجمله‌ای مشخصه $$ p_A(t) $$ ماتریس $$ A $$ را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
p _ A ( t ) & = \det ( A – t I ) = \begin {vmatrix}
1 – t & – 1 \\
2 & 3 – t
\end {vmatrix} \\
& = ( 1 – t ) ( 3 – t ) – ( – 1 ) ( 2 ) = t ^ 2 – 4 t + 5 .
\end {align*} $$

با حل $$ t^2-4t+5=0 $$، می‌بینیم که مقادیر ویژه ماتریس $$A$$، برابر با $$ 2\pm i $$ هستند، اما استفاده مستقیم از آن‌ها برای یافتن مقادیر ویژه ماتریس $$B$$ ایده جالبی نیست.

برای سادگی محاسبه، از قضیه کیلی-همیلتون استفاده می‌کنیم:

$$ \large p _ t ( A ) = A ^ 2 – 4 A + 5 I = O , $$

که در آن، $$I$$ یک ماتریس همانی $$ 2 \times 2 $$ و $$O$$ یک ماتریس صفر $$2 \times 2 $$ است.

بنابراین، داریم:

$$ \large B = A ^ 4 – 3 A ^ 3 + 3 A ^ 2 – 2 A + 8 I = ( A ^2 – 4 A + 5 I ) ( A ^ 2 + A + 2 I ) + A – 2 I , $$

و در نتیجه:

$$ \large B = A – 2 I = \begin {bmatrix}
– 1 & – 1 \\
2 & 1
\end {bmatrix} . $$

از آنجایی که مقادیر ویژه ماتریس $$A$$ برابر با $$ 2\pm i $$ هستند، مقادیر ویژه ماتریس $$ B=A-2I $$ برابر هستند با:

$$ \large ( 2 \pm i ) – 2 = \pm i . $$

در ادامه، بردار ویژه‌ها را به دست می‌آوریم. ابتدا بردار ویژه متناظر با مقدار ویژه $$ i $$ را محاسبه می‌کنیم. بنابراین، داریم:

$$ \large \begin {align*}
A – i I & = \begin {bmatrix}
– 1 – i & – 1 \\
2 & 1 – i
\end {bmatrix}
\xrightarrow { ( – 1 + i ) R _ 1 }
\begin {bmatrix}
2 & 1 – i \\
2 & 1 – i
\end {bmatrix} \\
&
\xrightarrow { R _ 2 – R _ 1 }
\begin {bmatrix}
2 & 1 – i \\
0 & 0
\end {bmatrix}
\xrightarrow { \frac { 1 } { 2} R _ 1 }
\begin {bmatrix}
1 & ( 1 – i ) / 2 \\
0 & 0
\end {bmatrix} .
\end {align*} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large x _ 1 = – \frac { 1 – i } { 2 } $$

و بردارهای ویژه متناظر با مقدار ویژه $$i$$ به صورت زیر هستند:

$$ \large \mathbf { x } = x _ 2 \begin {bmatrix}
– \frac { 1 – i } { 2 } \\
1
\end {bmatrix} , $$

 که در آن، $$ x _ 2 $$ هر عدد مختلط غیرصفری می‌تواند باشد.

اگر از $$ -1+i $$ در رابطه اخیر فاکتور بگیریم، بردار ویژه‌های متناظر با مقدار ویژه $$i$$ به صورت زیر خواهند بود:

$$ \large a\begin{bmatrix}
1 \\
-1-i
\end{bmatrix} $$

که در آن، $$a$$ هر عدد مختلط غیرصفری می‌تواند باشد.

از آنجایی که $$B$$ یک ماتریس حقیقی است و مقادیر ویژه $$ i$$ و $$-i$$ آن مزدوج مختلط یکدیگر هستند، بردار ویژه‌های متناظر با مقدار ویژه $$-i$$ نیز به صورت زیر هستند:

$$ \large b \begin {bmatrix}
1 \\
– 1 + i
\end {bmatrix} , $$

که در آن، $$b$$ هر عدد مختلط غیرصفری است.

مثال ۵

فرض کنید $$A$$ و $$B$$ دو ماتریس مختلط $$2 \times 2 $$ باشند که در رابطه $$ A=AB-BA $$ صدق می‌کنند. ثابت کنید تساوی $$ A ^ 2 = O $$ برقرار است، که در آن، $$O$$ یک ماتریس صفر $$2 \times 2 $$ است.

حل: برای اثبات رابطه مورد نظر، ابتدا اثر ماتریس $$A$$ را محاسبه، سپس از قضیه کیلی-همیلتون استفاده می‌کنیم.

اثر ماتریس $$A$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*}
\text {tr} ( A ) & = \text {tr} ( A B – B A)\\
&=\text {tr}(AB)-\text {tr}(BA)\\
&=\text {tr}(AB)-\text {tr}(AB)=0.
\end{align*} $$

بنابراین، $$\text{tr} (A) = 0 $$ است و طبق قضیه کیلی-همیلتون، داریم:

$$ \large \begin {align*}
O & = A ^ 2 – \text{tr} ( A ) A + \det ( A ) I \\
& = A ^ 2 + \det ( A ) I ,
\end{align*} $$

که در آن، $$I$$ یک ماتریس همانی $$ 2 \times 2 $$‌ است.

از رابطه اخیر، داریم:

$$ \large A ^ 2 = – \det ( A ) I . \; \; \; \; \; \; \; \; {(*)} $$

در ادامه، ماتریس $$ A ^ 2 $$ را به دو صورت به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
A ^ 2 = A ( A B – B A ) = A ^ 2 B – A B A
\end {align*} $$

و

$$ \large \begin {align*}
A ^ 2 = ( A B – B A ) A = A B A – B A ^ 2 .
\end{align*} $$

با جمع دو معادله اخیر با یکدیگر، عبارت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*}
2 A ^ 2 & = A ^ 2 B – B A ^ 2 \\
& \stackrel { ( * ) } { = } ( – \det ( A ) I ) B – B ( – \det ( A ) I ) \\
& = – \det ( A ) B + \det ( A ) B = O .
\end {align*} $$

در نتیجه، می‌بینیم که رابطه $$ A^2=O $$ برقرار است و اثبات کامل می‌شود.

قضیه کیلی-همیلتون برای یک ماتریس $$ 2 \times 2 $$

فرض کنید $$ A=\begin{bmatrix}
a & b\\
c& d
\end{bmatrix} $$ یک ماتریس $$ 2 \times 2 $$ باشد.

چندجمله‌ای مشخصه برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
p ( x ) & = \det ( A – x I ) \\
& = \begin {vmatrix}
a – x & b \\
c & d – x
\end {vmatrix}\\
& = ( a – x ) ( d – x ) – b c \\
& = x ^ 2 – ( a + d ) x + a d – b c \\
& = x ^ 2 -\text {tr}  ( A ) x + \det ( A ) ,
\end {align*} $$

که $$ \text{tr} ( A ) = a + d $$ و $$ \det(A)=ad-bc $$ هستند.

قضیه کیلی-همیلتون بیان می‌کند که ماتریس $$A$$ در معادله مشخصه $$ p ( x ) = 0 $$ صدق می‌کند. بنابراین، داریم:

$$ \large A ^ 2 – \text {tr} ( A ) A + \det ( A ) I = O . $$

مثال ۶

در کدام یک از موارد زیر ماتریس $$A$$ معکوس‌ پذیر است؟ در صورت معکوس پذیر بودن، حاصل $$ A ^ { -1} $$ را به عنوان ترکیبی خطی از توان‌های مثبت $$A$$ به دست آورید. اگر $$A$$ معکوس پذیر نیست، دلیل آن را توضیح دهید.

(الف) $$A$$ یک ماتریس $$3 \times 3 $$ با مقادیر ویژه $$ \lambda=i , \lambda=-i $$ و $$ \lambda=0 $$ است.

(ب) $$A$$ یک ماتریس $$3 \times 3 $$ با مقادیر ویژه $$ \lambda=i , \lambda=-i $$ و $$ \lambda=-1 $$ است.

حل: از این موضوع استفاده می‌کنیم که ضرب همه مقادیر ویژه ماتریس $$A$$ برابر با دترمینان $$A$$ است.

(الف) دترمینان ماتریس $$A$$ برابر با ضرب مقادیر ویژه‌ها است. در این حالت: $$ \det(A) = i\cdot (-i)\cdot 0 = 0 $$. از آنجایی که دترمینان برابر با صفر است، ماتریس $$ A$$ تکین یا منفرد است و در نتیجه، وارون‌ پذیر نیست.

(ب) در این حالت، داریم: $$ \det(A) = i\cdot (-i)\cdot (-1)=-1 $$. از آنجایی که دترمینان غیرصفر است، ماتریس $$A$$ نامنفرد و در نتیجه، وارون‌پذیر است.

برای پیدا کردن عبارت $$ A ^ { -1} $$، از قضیه کیلی-همیلتون استفاده می‌کنیم. ابتدا چندجمله‌ای مشخصه ماتریس $$A$$ را به دست می‌آوریم:

$$ \large p ( \lambda ) = ( \lambda – i ) ( \lambda + i ) ( \lambda + 1 ) = \lambda ^ 3 + \lambda ^ 2 + \lambda + 1 . $$

طبق قضیه کیلی-همیلتون، ماتریس $$A$$ باید در معادله زیر صدق کند:‌

$$ \large A ^ 3 + A ^ 2 + A + I = O $$

که در آن، $$ O $$ یک ماتریس صفر است. با بازنویسی معادله بالا، داریم:

$$ \large I = – A – A ^ 2 – A ^ 3 = A ( – I – A – A ^ 2 ) . $$

اگر $$ A ^ { – 1} $$ را در سمت چپ رابطه بالا ضرب کنیم، به آنچه که دنبالش بودیم، می‌رسیم:

$$ \large A ^ { – 1 } = – I – A – A ^ 2 . $$

مثال ۷

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس $$ 2 \times 2 $$ با مقادیر ویژه $$-1$$ و $$3$$ باشد. برای هر عدد صحیح مثبت $$n$$، مقادیر $$ a _ n $$ و $$ b _ n $$ را به گونه‌ای پیدا کنید که رابطه $$ A^{n+1}=a_nA+b_nI $$ برقرار باشد ($$I$$ یک ماتریس همانی $$ 2 \times 2 $$ است).

حل: از آنجایی که $$ -1 $$ و $$3$$ مقادیر ویژه ماتریس $$ A $$ هستند، چندجمله‌ای مشخصه $$A$$ به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large ( t + 1 ) ( t – 3 ) = t^ 2 – 2 t – 3 . $$

طبق قضیه کیلی-همیلتون، داریم:

$$ \large A ^ 2 – 2 A – 3 I = O , $$

که در آن، $$O$$ یک ماتریس صفر $$ 2 \times 2 $$ است.

بنابراین، داریم:

$$ \large A ^ 2 = 2 A+ 3 I , \;\;\;\;\;\;\; (*) $$

و در نتیجه، $$ a_1=2, b_1=3 $$.

با ضرب (*) در $$A$$، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
A ^ 3 & = A A ^ 2 = 2 A^ 2 + 3 A \\
& = 2 ( 2 A + 3 I ) + 3 A \\
& = 7 A + 6 I .
\end {align*} $$

بنابراین، $$ a_2=7, b_2=6 $$.

در حالت کلی:

$$ \large \begin {align*}
A ^ { n + 2 } & = A A ^ { n + 1 } \\
& = A ( a _ n A + b _ n I ) \\
& = a _ nA ^ 2 +b _ n A \\
& = a _ n ( 2 A + 3 I ) + b _ n A \\
& = ( 2 a _ n + b _ n ) A + ( 3 a _ n ) I .
\end {align*} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large \begin {align*}
a _ { n + 1 } & =2 a _ n + b_ n \\
b _ { n + 1 } & = 3 a _ n .
\end {align*} $$

دو معادله بالا، به رابطه بازگشتی زیر می‌انجامند:

$$ \large a _ { n + 2 } = 2 a _ { n + 1 } + 3a _ { n } $$

که مقادیر اولیه آن، $$ a _1 = 2 $$ و $$a _ 2 = 7 $$ هستند.

جمله عمومی $$ a _ n$$ از دنباله $$ (a_n)_{n=1}^{\infty} $$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large a _ n = \frac { 1 } { 4 } \big ( ( – 1 ) ^ n + 3 ^ { n+ 1 } \big ) . $$

همچنین، داریم:

$$ \large b _ n = 3 a _ { n – 1 } = \frac { 3 } { 4 } \big ( ( – 1 ) ^ { n – 1 } + 3 ^ { n } \big ) . $$

این فرمول، برای $$ n =1 $$ نیز صحیح است.

در نهایت، $$ A ^ n $$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*}
A ^ n = \frac { 1 } { 4 } \big ( ( – 1 ) ^ n + 3 ^ { n + 1 } \big ) A + \frac { 3 } { 4 } \big ( ( – 1 ) ^ { n – 1 } + 3 ^ { n } \big ) I
\end {align*} $$

مثال 8

با استفاده از قضیه کیلی-همیلتون، معکوس ماتریس زیر را محاسبه کنید:

$$ \large A = \begin {bmatrix}
7 & 2 & – 2 \\
– 6 & – 1 & 2 \\
6 & 2 & – 1
\end {bmatrix} $$

حل: برای استفاده از قضیه کیلی-همیلتون، ابتدا چندجمله‌ای مشخصه $$ p ( t) $$ ماتریس $$ A $$ را محاسبه می‌کنیم. با در نظر گرفتن $$I$$ به عنوان یک ماتریس همانی $$ 3 \times 3 $$، داریم:

$$ \large \begin {align*}
p ( t ) & = \det ( A – t I ) =
\begin {vmatrix}
7-t & 2 & -2 \\
-6 &-1-t &2 \\
6 & 2 & -1-t
\end {vmatrix} \\[6pt] & = ( 7 – t ) \begin {vmatrix}
– 1 – t & 2 \\
2 & – 1 – t
\end {vmatrix}
– 2 \begin {vmatrix}
– 6 & 2 \\
6 & – 1 – t
\end {vmatrix} + ( – 2 ) \begin {vmatrix}
– 6 & – 1 – t \\
6 & 2
\end {vmatrix} \\[6pt] & \\
& = – t ^ 3 + 5 t ^ 2 – 7 t + 3 .
\end {align*} $$

بنابراین، چندجمله‌ای مشخصه برابر است با:‌

$$ \large p ( t ) = – t ^ 3 + 5 t ^ 2 – 7 t + 3 $$

طبق قضیه کیلی-همیلتون، داریم:

$$ \large O = p ( A ) = – A ^ 3 + 5 A ^ 2 – 7 A + 3 I , $$

که در آن، $$O$$ یک ماتریس صفر $$ 3 \times 3 $$ است.

با کمی جابه‌جایی عبارات معادله مشخصه، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*}
& A ^ 3 – 5 A ^ 2 + 7 A = 3 I \\[6pt] & \Leftrightarrow A ( A ^ 2 – 5 A + 7 I ) = 3 I \\[6pt] & \Leftrightarrow A \left ( \frac { 1 } { 3 } ( A ^ 2 – 5 A + 7 I ) \right ) = I .
\end {align*} $$

و

$$ \large \left ( \frac { 1 } { 3 } ( A ^ 2 – 5 A + 7 I ) \right ) A = I . $$

با توجه به معادله اخیر، در می‌یابیم که معکوس ماتریس $$A$$ برابر است با:

$$ \large \frac { 1 } { 3 } ( A ^ 2 – 5 A + 7 I ) $$

بنابراین:

$$ \large \begin {align*}
A ^ { – 1 } & = \frac { 1 } { 3 } ( A ^ 2 – 5 A + 7 I ) \\[6pt] & = \frac { 1 } { 3 } \left ( \, \begin {bmatrix}
25 & 8 & -8 \\
-24 &-7 &8 \\
24 & 8 & -7
\end {bmatrix} – 5 \begin {bmatrix}
7 & 2 & -2 \\
-6 &-1 &2 \\
6 & 2 & -1
\end {bmatrix} + 7 \begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix} \, \right ) \\[6pt] & = \frac { 1 } { 3 } \begin {bmatrix}
-3 & -2 & 2 \\
6 &5 &-2 \\
-6 & -2 & 5
\end {bmatrix}.
\end{align*} $$

در نهایت، معکوس ماتریس $$A$$ برابر خواهد بود با:

$$ \large A ^ { – 1 } = \frac { 1 } { 3 } \begin {bmatrix}
– 3 & -2 & 2 \\
6 & 5 &-2 \\
-6 & – 2 & 5
\end {bmatrix}. $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش قضیه کیلی همیلتون — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزشی قضیه کیلی‌همیلتون

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی قضیه کیلی‌همیلتون برای ماتریس 2*2

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی محاسبه معکوس ماتریس با قضیه کیلی‌همیلتون

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از قضیه کیلی‌همیلتون

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 10 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

3 نظر در “قضیه کیلی همیلتون — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *