فرادرس
ماتریس متعامد — از صفر تا صد
در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد انتقال محورها و همچنین ماتریس دوران صحبت شد. جالب است بدانید که ماتریس دوران نوعی ماتریس متعامد محسوب می‌شود. از این رو در این مطلب قصد داریم تا این نوع از ماتریس‌ها را معرفی کرده و نمونه‌هایی از آن را ارائه دهیم.
ماتریس متعامد
در جبر خطی، به ماتریسی متعامد گفته می‌شود که درایه‌های آن به‌صورت حقیقی بوده و سطر‌ها و ستون‌های آن نیز به شکل بردار‌هایی عمود و یکه باشند. بنابراین می‌توان گفت اگر ماتریسی همچون $$ Q $$ متعامد باشد، می‌توان رابطه زیر را برای آن بیان کرد:
$$ \large Q ^ { \mathrm { T } } Q = Q Q ^ { \mathrm { T } } = I $$
توجه داشته باشید که در رابطه فوق $$ T $$ نشان‌دهنده ترانهاده ماتریس بوده و $$ I $$ نیز بیان‌کننده ماتریس همانی است. با توجه به رابطه فوق می‌توان گفت ترانهاده یک ماتریس متعامد، برابر با ماتریس معکوس همان ماتریس است. شکل ریاضیاتی این گزاره به‌صورت زیر است.
$$ \large { \displaystyle Q ^ { \mathrm { T } } = Q ^ { - 1 } } $$
یک ماتریس متعامد حتما دارای ماتریس معکوس نیز هست. همچنین دترمینان هر ماتریس معکوس یکی از اعداد $$ \pm 1 $$ است. ماتریس متعامد نوعی خاص از ماتریس یکانی محسوب می‌شود. ضرب کردن ماتریسی همچون $$ Q $$ در بردار‌هایی فرضی همچون $$ u $$ و $$ v $$، تغییری در حاصل‌ضرب نهایی ایجاد نخواهد کرد. بنابراین می‌توان رابطه زیر را بیان کرد:
$$ \large { \displaystyle { \mathbf { u } } \cdot {\mathbf { v } } = \left(Q{\mathbf { u } } \right ) \cdot \left ( Q { \mathbf { v } } \right ) \, } $$
در ادامه برخی از معروف‌ترین ماتریس‌های متعامد ارائه شده‌اند.
$$ \large { \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end {bmatrix} } $$
ماتریس همانی
$$ \large R ( 16.26 ^ { \circ } ) = { \begin {bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end {bmatrix} } = { \begin {bmatrix} 0.96 & - 0 . 2 8 \\ 0 . 2 8 & 0.96 \\ \end {bmatrix} } $$
ماتریس دوران
$$ \large { \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end {bmatrix} } $$
قرینه حول محور $$ x $$
$$ \large { \displaystyle { \begin {bmatrix} 0 & - 0 . 8 0 & - 0 . 6 0 \\ 0 . 8 0 & - 0 . 3 6 & \;\;\,0.48 \\ 0 .6 0 & \;\;\, 0.48 & - 0 . 64 \end{bmatrix} } } $$
دوران ۹۰ درجه سپس قرینه حول محور $$ ( 0 ,- \frac { 3 } { 5 } , \frac { 4 } { 5 } ) $$
ابعاد پایین‌تر
ساده‌ترین ماتریس متعامد ماتریسی با مرتبه $$ [ 1 × 1 ] $$ است و تنها مولفه آن مثبت یا منفی ۱ است ($$ \pm 1 $$). ماتریس‌های $$ [ 2 × 2 ] $$ نیز به صورت زیر هستند.
$$ \large { \begin {bmatrix} p & t \\ q & u \end {bmatrix}} $$
به‌منظور متعامد بودن ماتریس فوق، سه معادله زیر باید برقرار باشند. این سه معادله با ضرب کردن ماتریس در ترانهاده آن بدست میآیند.
$$ \large { \begin {aligned} 1 & = p ^ { 2 } + t ^ { 2 } \\ 1 & = q ^ { 2 } + u ^ { 2 } \\ 0 & = p q + t u \end {aligned} } $$
جالب است دو ماتریس انعکاس و دوران با توجه به روابط فوق بدست میآیند. برای نمونه با فرض $$ p = \cos θ $$ و $$ q = \sin θ $$، مقادیر $$ t = q $$ و $$ u = − p $$ بدست میآیند. البته حالت دوم نیز به‌صورت $$ t = − q $$ و $$ u = p $$ محاسبه می‌شود. حالت اول را می‌توان معادل با دوران به اندازه $$ \theta $$ در نظر گرفته و حالت دوم قرینه حول محوری مشخص است. این دو ماتریس برابرند با:
$$ { \begin {bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end {bmatrix}} { \text { (rotation), } } \qquad { \begin {bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos \theta \\ \end {bmatrix}} { \text { (reflection) } } $$
حالت خاصی از قرینه حول محوری خاص، زمانی است که شکل یا نقطه‌ای حول محور $$ 45^ \circ $$ دوران می‌کند. در حقیقت در این حالت نقاط حول محور $$ y = x $$ متقارن می‌شوند.
ابعاد بالاتر
فارغ از ابعاد، می‌توان ماتریس‌های متعامد را به دو دسته ماتریس‌های دوران و غیردوران در نظر گرفت. اما برای ماتریس‌های $$ 3 × ۳ $$ و بالاتر، ماتریس‌های غیردورانی پیچیده‌تر از ماتریس‌های انعکاس هستند. برای نمونه دو ماتریس زیر را در نظر بگیرید.
$$ \large { \begin {bmatrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end {bmatrix}} { \text { and } } { \begin {bmatrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 &0 \\ 0
& 0 & - 1 \end {bmatrix} } $$
ماتریس اول (سمت چپ) نشان‌دهنده قرینه نسبت به مبدا و ماتریس دوم نشان‌دهنده دوران به همراه انعکاس حول محور $$ z $$ است. همان‌طور که می‌بینید دوران در ابعاد بالاتر پیچیده‌تر به‌نظر می‌رسد. در حقیقت در این حالت نمی‌توان تنها با استفاده از یک زاویه نحوه دوران را مشخص کرد. معمولا یک دوران $$ 3 × 3 $$ را می‌توان با استفاده از یک محور و زاویه مشخص کرد؛ اما این روش تنها در حالت سه‌بعدی مورد استفاده قرار می‌گیرد. البته در مطالب آینده در مورد ماتریس‌های پایه همچون انتقال، انعکاس یا ترکیب آن‌ها صحبت خواهیم کرد.
در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های ریاضی
- مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
- ماتریس معکوس 3×3 — به زبان ساده
- دترمینان یک ماتریس — به زبان ساده
- ضرب ماتریس‌ها – به زبان ساده
^^
بسیار خوب و مفید بود.👍👌👍