ریاضی، علوم پایه 50010 بازدید

مساحت مثلث قائم الزاویه برابر قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو است. البته امکان استفاده از روش‌های دیگر نظیر روش هرون و سینوس برای محاسبه مساحت این نوع مثلث وجود دارد. با این وجود، معمولا از قضیه فیثاغورس برای تعیین اندازه‌های مختلف مثلث قائم الزاویه می‌شود. در این مقاله، نحوه محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه را به همراه حل چندین مثال متنوع آموزش می‌دهیم. به علاوه، حالت‌های خاص مثلث قائم الزاویه را نیز مرور می‌کنیم.

فهرست مطالب این نوشته

مثلث چیست ؟

مثلث، یکی از اشکال هندسی پایه است. این شکل، از سه ضلع و سه راس تشکیل می‌شود. تصویر زیر، نمونه‌ای از یک مثلث مختلف الاضلاع را نمایش می‌دهد. در این نوع مثلث، اندازه تمام ضلع‌ها و تمام زاویه‌ها متفاوت هستند.

مثلث مختلف الاضلاع با طول ضلع و زوایای متفاوت

انواع مثلث چه هستند ؟

مثلث‌ها، بر اساس اندازه ضلع و زاویه به موارد زیر تقسیم می‌شوند:

  • انواع مثلث بر اساس اندازه ضلع
    • مختلف الاضلاع
    • متساوی الساقین
    • متساوی الاضلاع
  • انواع مثلث بر اساس اندازه زاویه
    • حاده
    • قائم الزاویه
    • منفرجه
انواع مثلث
انواع مثلث (مثلث بنفش، قائم الزاویه است.)

مساحت چیست ؟

مساحت، سطح بین ضلع‌های اشکال هندسی است. ناحیه هاشور خورده در تصویر زیر، مساحت مثلث را نمایش می‌دهد.

قاعده و ارتفاع نظیر مثلث مختلف الاضلاع
خط‌چین‌ها، ارتفاع‌های مثلث و ضلع‌های هم‌رنگ آن‌ها، قاعده نظیر مثلث هستند.

مساحت مثلث چگونه بدست می آید ؟

مساحت مثلث، معمولا از رابطه قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو به دست می‌آید. بر اساس این رابطه، اگر اندازه ارتفاع و قاعده هر نوع مثلثی مشخص باشد، امکان محاسبه مساحت آن مثلث فراهم می‌شود.

فرمول های مساحت مثلث چه هستند ؟

فرمول مساحت تمام مثلث ها بر اساس قاعده و ارتفاع، عبارت است از:

۲ ÷ (ارتفاع $$\times$$ قاعده) = مساحت مثلث

$$
A = \frac {b \times h} {2}
$$

  • A: مساحت مثلث
  • b: قاعده
  • h: ارتفاع

در صورت مشخص بودن اندازه هر سه ضلع، فرمول مساحت مثلث با سه ضلع (فرمول هرون) نوشته می‌شود:

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

  • A: مساحت
  • s: نصف محیط مثلث
  • a: اندازه ضلع اول
  • b: اندازه ضلع دوم
  • c: اندازه ضلع سوم

فرمول‌های مساحت مثلث با سینوس نیز عبارت هستند از:

$$
Area=\frac{1}{2} b c \sin A
$$

  • Area: مساحت
  • b: اندازه یکی از ضلع‌ها
  • c: اندازه ضلع دیگر
  • A: زاویه بین دو ضلع با اندازه معلوم

مثال 1: محاسبه مساحت مساحت مثلثی با یک زاویه 90 درجه

یک مثلث با زوایه‌های 40، 50 و 90 درجه را در نظر بگیرید. اگر اندازه قاعده و ارتفاع این مثلث برابر 5 و 6 باشد، مساحت آن چقدر خواهد بود؟

در این مثال، تمام اندازه‌های مورد نیاز برای محاسبه مساحت مثلث به سه روش اصلی داده شده‌اند. با این وجود، به دلیل مشخص بودن قاعده و ارتفاع، از این اندازه‌ها استفاده می‌کنیم. فرمول مساحت مثلث بر اساس قاعده و ارتفاع عبارت است از:

۲ ÷ (ارتفاع $$\times$$ قاعده) = مساحت مثلث

$$
A = \frac {b \times h} {2}
$$

  • A: مساحت مثلث
  • b: قاعده برابر 5
  • h: ارتفاع برابر 6

اندازه‌های معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$
A = \frac {5 \times 6} {2}
$$

$$
A = \frac {30} {2}
$$

$$
A = 15
$$

مساحت مثلث برابر 15 است.

مثلث قائم الزاویه چیست ؟

مثلث قائم الزاویه، از انواع مثلث با یک زاویه راست (قائم یا 90 درجه) است. در واقع، وجود یک زاویه 90 درجه در هر مثلثی، آن را تبدیل به یک مثلث قائم الزاویه می‌کند.

اجزای مثلث قائم الزاویه چه هستند ؟

مثلث قائم الزاویه نیز مانند تمام مثلث‌ها، از سه ضلع (قاعده)، سه ارتفاع، سه راس، سه زاویه داخلی و سه زاویه خارجی تشکیل می‌شود. البته در این مثلث، به دو ضلع تشکیل دهنده زاویه 90 درجه، «ساق» و به ضلع مقابل زاویه 90 درجه، «وتر» می‌گویند. اندازه وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه، به منظور تعیین مساحت مورد استفاده قرار می‌گیرند.

مثلث قائم الزاویه و اجزای آن
مثلث قائم الزاویه و اجزای آن

در مثلث قائم الزاویه، ساق‌ها، ارتفاع و قاعده نظیر یکدیگر هستند. به عبارت دیگر، اگر اندازه دو ساق این مثلث مشخص باشد، مساحت آن با استفاده از فرمول قاعده (یکی از ساق‌ها) ضربدر ارتفاع (ساق دیگر) تقسیم بر دو به دست می‌آید.

مساحت مثلث قائم الزاویه چگونه بدست می آید؟

مساحت مثلث قائم الزاویه، با استفاده از تمام فرمول‌های مساحت مثلث (قاعده و ارتفاع، هرون و سینوس) قابل محاسبه است. البته به دلیل وجود زاویه قائمه و امکان استفاده از قضیه فیثاغورس، می‌توان فرمول‌های بیشتری را برای محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه نوشت. پس از حل یک مثال، به سراغ معرفی قضیه فیثاغورس و فرمول‌های مخصوص مساحت مثلث قائم الزاویه می‌رویم.

مثال 2: محاسبه مساحت مثلث با دو ضلع

تصویر زیر، یک مثلث با دو ضلع معلوم به اندازه‌های 4 و 5 را نمایش می‌دهد. اگر زاویه بین این دو ضلع برابر 90 درجه باشد، مساحت مثلث چقدر خواهد بود؟

مثلثی با ضلع‌های 4 و 5
مثلثی با ضلع‌های 4 و 5

از آنجایی که زاویه بین دو ضلع مثلث برابر 90 درجه است، مثلث، از نوع قائم الزاویه خواهد بود. بنابراین، ضلع‌های تشکیل دهنده زاویه 90 درجه، ساق‌های مثلث هستند. ساق‌های مثلث قائم الزاویه، قاعده و ارتفاع نظیر یکدیگر محسوب می‌شوند. در نتیجه، مساحت مثلث از رابطه زیر به دست می‌آید:

۲ ÷ (ارتفاع $$\times$$ قاعده) = مساحت مثلث

رابطه بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

۲ ÷ (ساق دوم $$\times$$ ساق اول) = مساحت مثلث

$$
A = \frac {b \times h } { 2 }
$$

  • A: مساحت مثلث
  • b: قاعده برابر اندازه یکی از ساق‌ها (4)
  • h: ارتفاع برابر اندازه ساق دیگر (5)

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$
A = \frac {4 \times 5 } { 2 }
$$

$$
A = \frac {20 } { 2 }
$$

$$
A = 10
$$

مساحت مثلث برابر 10 است.

قضیه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه چیست ؟

قضیه فیثاغورس، یک تساوی بین دو عبارت جبری است که رابطه بین اندازه وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه را نمایش می‌دهد. این قضیه، در بسیاری از محاسبات هندسی مرتبط با مثلث‌های قائم الزاویه مورد استفاده قرار می‌گیرد. برای یادگیری قضیه فیثاغورس، تصویر زیر را در نظر بگیرید.

قضیه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه
قضیه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه

بر اساس عبارت‌های تصویر بالا، رابطه بین وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه، برابر است با:

$$
c^ { 2 } = a^ { 2 } + b^ {2}
$$

  • c: وتر مثلث قائم الزاویه
  • a: یکی از ساق‌های مثلث
  • b: ساق دیگر مثلث

این قضیه، محاسبه اندازه‌های مثلث قائم الزاویه و نوشتن فرمول‌های اختصاصی برای آن را ساده‌تر می‌کند.

مثال 3: محاسبه مساحت مثلث به کمک قضیه فیثاغورس

مساحت مثلث قائم الزاویه با اندازه وتر 5 و اندازه ساق 3 را تعیین کنید.

از آنجایی که اندازه وتر و یکی از ساق‌های مثلث قائم الزاویه را داریم، اندازه ساق دیگر با استفاده از رابطه فیثاغورس قابل محاسبه است:

$$
c^ { 2 } = a^ { 2 } + b^ {2}
$$

  • c: وتر برابر 5
  • a: یکی از ساق‌ها برابر 3
  • b: ساق دیگر مثلث

$$
5^ { 2 } = 3^ { 2 } + b^ {2}
$$

$$
25 = 9 + b^ {2}
$$

$$
16 = b^ {2}
$$

$$
\sqrt {16} = b
$$

$$
4 = b
$$

با مشخص شدن اندازه ساق دیگر، می‌توانیم از فرمول مساحت بر اساس قاعده و ارتفاع استفاده کنیم:

$$
A = \frac {b \times h } { 2 }
$$

$$
A = \frac {3 \times 4 } { 2 }
$$

$$
A = \frac {12 } { 2 }
$$

$$
A = 6
$$

در نتیجه، مساحت مثلث برابر 6 است. البته، یک فرمول خاص برای مساحت مثلث‌های قائم الزاویه وجود دارد که امکان محاسبه مساحت با استفاده از اندازه وتر و یکی از ساق‌ها را به طور مستقیم فراهم می‌کند. در بخش بعدی (مثال 5)، به معرفی این فرمول خواهیم پرداخت.

فرمول های مساحت مثلث قائم الزاویه چه هستند ؟

علاوه بر فرمول‌های کلی، فرمول‌های دیگری برای محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه با ساق و وتر وجود دارند. در ادامه به معرفی این فرمول‌ها و حل یک مثال برای هر کدام می‌پردازیم.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه با ساق

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه با ساق‌های معلوم به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A = \frac {a \times b } { 2 }
$$

فیلم‌های آموزشی مرتبط
  • A: مساحت مثلث
  • a: اندازه یکی از ساق‌ها
  • b: اندازه ساق دیگر

مثال 4: محاسبه مساحت مثلث با ساق ها

مساحت مثلث نمایش داده شده در تصویر زیر را به دست بیاورید.

مثلثی با ساق 7 و 3
مثلثی با ساق 7 و 3

مطابق با تصویر بالا، مثلث از نوع قائم الزاویه با اندازه ساق‌های 7 و 3 است. بنابراین، برای محاسبه مساحت، فرمول زیر را می‌نویسیم:

$$
A = \frac {a \times b } { 2 }
$$

  • A: مساحت مثلث
  • a: اندازه یکی از ساق‌ها برابر 7
  • b: اندازه ساق دیگر برابر 3

$$
A = \frac {7 \times 3 } { 2 }
$$

$$
A = \frac {21} { 2 }
$$

$$
A = 10.5
$$

در نتیجه، مساحت مثلث برابر 10/5 است.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه با وتر

به دلیل وجود رابطه بین اندازه وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه (قضیه فیثاغورس)، می‌توان فرمول مساحت این مثلث را بر حسب وتر و یکی از ساق‌ها نوشت:

$$
A = \frac { a \sqrt { c^{ 2 } – a^{ 2 }} } {2}
$$

  • A: مساحت
  • a: اندازه یکی از ساق‌ها
  • c: اندازه وتر

مثال 5: محاسبه مساحت مثلث با وتر و ساق

مساحت مثلث قائم الزاویه در مثال 2 را بدون استفاده از قضیه فیثاغورس حساب کنید.

در مثال 2 مقاله، مساحت یک مثلث قائم الزاویه با اندازه وتر 5 و اندازه ساق 3 را به کمک قضیه فیثاغورس به دست آوردیم. در اینجا، مساحت را به طور مستقیم و توسط فرمول وتر و ساق تعیین می‌کنیم:

$$
A = \frac { a \sqrt { c^{ 2 } – a^{ 2 }} } {2}
$$

  • A: مساحت
  • a: اندازه یکی از ساق‌ها برابر 3
  • c: اندازه وتر برابر 5

$$
A = \frac { 3 \sqrt { 5^{ 2 } – 3^{ 2 }} } {2}
$$

$$
A = \frac { 3 \sqrt { 25 – 9} } {2}
$$

$$
A = \frac { 3 \sqrt { 16} } {2}
$$

$$
A = \frac { 3 \times {4} } {2}
$$

$$
A = \frac {12 } {2}
$$

$$
A = 6
$$

در نتیجه، مساحت مثلث قائم الزاویه برابر 6 است.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین

مثلث متساوی الساقین، مثلثی با دو ضلع برابر است. به ضلع‌های برابر این نوع مثلث، «ساق» و به ضلع سوم، «قاعده» می‌گویند. اگر زاویه بین مثلث متساوی الساقین برابر 90 درجه باشد، یک شکل خاص با عنوان «مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه» به وجود می‌آید.

مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه
مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه

در صورت مشخص بودن اندازه ساق مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه، مساحت آن با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
A=\frac{ a^ {2} }{2}
$$

  • A: مساحت
  • a: اندازه ساق

فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه بر اساس وتر نیز عبارت است از:

$$
A=\frac{ c^ {2} }{4}
$$

  • A: مساحت
  • c: اندازه وتر

مثال 6: محاسبه مساحت مثلث با یک ضلع

مساحت مثلث قائم الزاویه زیر را محاسبه کنید.

مثلث قائم الزاویه با وتر 8 و ساق a
مثلث قائم الزاویه با وتر 8 و ساق a

در مثلث قائم الزاویه بالا، اندازه دو ساق برابر هستند. از این‌رو، برای محاسبه مساحت، اندازه وتر کافی خواهد بود. به این منظور، فرمول مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه با وتر را می‌نویسیم:

$$
A=\frac{ c^ {2} }{4}
$$

  • A: مساحت
  • c: اندازه وتر برابر 8

$$
A=\frac{ 8^ {2} }{4}
$$

$$
A=\frac{ 64 }{4}
$$

$$
A=16
$$

حل مثال مساحت مثلث قائم الزاویه

در این بخش، چند مثال متنوع در رابطه با مساحت مثلث قائم الزاویه را با در نظر گرفتن حالت‌های مختلف حل می‌کنیم.

مثال 7: محاسبه مساحت مربع روی ضلع مثلث قائم الزاویه

در یک صفحه شطرنجی، سه مثلث قائم الزاویه و بر روی بر روی هر ضلع این مثلث‌ها، یک مربع رسم کرده‌ایم. با توجه به تعداد خانه‌های صفحه شطرنجی، مساحت هر مثلث و مربع‌های روی ضلع‌ها را پیدا کنید.

مثلث و مربع بر روی صفحه شطرنجی
رسم مربع بر روی ضلع‌های مثلث

مساحت مثلث الف و مربع های روی ضلع های آن

برای مثلث قائم الزاویه الف، اندازه هر دو ساق را با شمردن تعداد خانه‌های صفحه شطرنجی به دست می‌آوریم. به این ترتیب، اندازه ساق b برابر 1 و اندازه ساق c برابر 5 خواهد بود. محاسبه مساحت مثلث الف با استفاده فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
A_t = \frac {b \times c } { 2 }
$$

  • At: مساحت مثلث
  • b: اندازه یکی از ساق‌ها برابر 1
  • c: اندازه ساق دیگر برابر 5

$$
A_t = \frac {1 \times 5 } { 2 }
$$

$$
A_t = \frac {5} { 2 }
$$

$$
A_t = 2.5
$$

مساحت مثلث الف برابر 2/5 است. برای تعیین مساحت مربع روی وتر، باید اندازه وتر را به دست بیاوریم. مساحت مربع، با ضرب یک ضلع در خودش محاسبه می‌شود. بنابراین، برای مساحت مربع روی ساق b، داریم:

$$
A_{s_{b}} = b \times b
$$

$$
A_{s_{b}} = 1\times 1
$$

$$
A_{s_{b}} = 1
$$

مساحت مربع روی ساق c نیز برابر است با:

$$
A_{s_{c}} = c \times c
$$

$$
A_{s_{c}} = 5\times 5
$$

$$
A_{s_{c}} = 25
$$

به منظور محاسبه مربع روی وتر مثلث الف، باید اندازه وتر را داشته باشیم. این اندازه از رابطه فیثاغورس به دست می‌آید. مطابق قضیه فیثاغورس، داریم:

$$
a^ { 2 } = b^ { 2 } + c^ {2}
$$

  • a: وتر مثلث
  • b: اندازه یکی از ساق‌های مثلث برابر 1
  • c: اندازه ساق دیگر مثلث برابر 5

$$
a^ { 2 } = 1^ { 2 } + 5^ {2}
$$

$$
a^ { 2 } = 1 + 25
$$

$$
a^ { 2 } = 26
$$

$$
a = \sqrt {26}
$$

اندازه وتر مثلث یا یکی از ضلع‌های مربع برابر $$ \sqrt {26} $$ است. در نتیجه، مساحت مربع روی آن برابر است با:

$$
A_{s_{a}} = a \times a
$$

$$
A_{s_{a}} = \sqrt {26} \times \sqrt {26}
$$

$$
A_{s_{a}} = 26
$$

برای مثلث‌های دیگر نیز به همین صورت عمل می‌کنیم.

مساحت مثلث ب و مربع های روی ضلع های آن

به دلیل برابر بودن ساق‌های مثلث ب، این مثلث از نوع متساوی الساقین قائم الزاویه است. بر اساس خانه‌های صفحه شطرنجی، اندازه هر ساق این مثلث، برابر 2 است. فرمول مساحت آن بر اساس وتر به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A_t = \frac {b \times c } { 2 }
$$

  • At: مساحت مثلث
  • b: اندازه یکی از ساق‌ها برابر 2
  • c: اندازه ساق دیگر برابر 2

$$
A_t = \frac {2 \times 2 } { 2 }
$$

$$
A_t = \frac {4} { 2 }
$$

$$
A_t = 2
$$

مساحت مثلث ب برابر 2 است. پیش از محاسبه مساحت مربع‌ها، اندازه وتر را توسط رابطه فیثاغورس محاسبه می‌کنیم:

$$
a^ { 2 } = b^ { 2 } + c^ {2}
$$

  • a: وتر مثلث
  • b: اندازه یکی از ساق‌های مثلث برابر 2
  • c: اندازه ساق دیگر مثلث برابر 2

$$
a^ { 2 } = 2^ { 2 } + 2^ {2}
$$

$$
a^ { 2 } = 4 + 4
$$

$$
a^ { 2 } = 8
$$

$$
a = \sqrt {8}
$$

مانند مثال قبل، اندازه هر یک از مربع‌های روی ضلع‌های مثلث برابر ضرب هر ضلع در خودش خواهد بود. در نتیجه، مساحت مربع روی وتر برابر 8، مساحت مربع روی ساق b برابر 4 و مساحت مربع ساق c نیز برابر 4 است.

مساحت مثلث ج و مربع های روی ضلع های آن

در مثلث قائم الزاویه ج، اندازه ساق b برابر 2 و اندازه ساق c برابر 5 است. مساحت مثلث، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
A_t = \frac {b \times c } { 2 }
$$

  • At: مساحت مثلث
  • b: اندازه یکی از ساق‌ها برابر 2
  • c: اندازه ساق دیگر برابر 5

$$
A_t = \frac {2 \times 5 } { 2 }
$$

$$
A_t = \frac {10} { 2 }
$$

$$
A_t = 5
$$

اندازه وتر از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
a^ { 2 } = b^ { 2 } + c^ {2}
$$

  • a: وتر مثلث
  • b: اندازه یکی از ساق‌های مثلث برابر 2
  • c: اندازه ساق دیگر مثلث برابر 5

$$
a^ { 2 } = 2^ { 2 } + 5^ {2}
$$

$$
a^ { 2 } = 4 + 25
$$

$$
a^ { 2 } = 27
$$

$$
a = \sqrt {27}
$$

در نتیجه، مساحت مربع‌های روی وتر، ساق b و ساق c به ترتیب برابر 27، 4 و 25 است. جدول زیر، خلاصه نتایج به دست آمده را به ترتیب برای مثلث‌های الف، ب و ج نمایش می‌دهد.

مساحت مربع ساخته شده بر روی ضلع a (وتر) مساحت مربع ساخته شده بر روی ضلع b مساحت مربع ساخته شده بر روی ضلع c
26 1 25
8 4 4
27 4 25

مثال 8: محاسبه ارتفاع مثلث قائم الزاویه

اندازه هر دو ساق یک مثلث قائم الزاویه برابر 10 سانتی‌متر است. ارتفاع نظیر وتر را حساب کنید. (رادیکال 2 را برابر 1/4 در نظر بگیرید.)

به منظور محاسبه ارتفاع نظیر وتر، باید مساحت مثلث و اندازه وتر را به دست بیاوریم. اندازه وتر، با استفاده از قضیه فیثاغورس تعیین می‌شود:

$$
c^ { 2 } = a^ { 2 } + b^ {2}
$$

  • c: وتر مثلث
  • a: اندازه یکی از ساق‌ها برابر 10
  • b: اندازه ساق دیگر برابر 10

اندازه‌های معلوم را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$
c^ { 2 } = 100 + 100
$$

$$
c^ { 2 } = 200
$$

$$
c = \sqrt {200}
$$

$$
c = \sqrt {2 \times 100}
$$

$$
c = 10\sqrt {2}
$$

اکنون، مساحت مثلث را به دست می‌آوریم:

$$
A = \frac {b \times c } { 2 }
$$

  • A: مساحت مثلث
  • b: اندازه یکی از ساق‌ها برابر 10
  • c: اندازه ساق دیگر برابر 10

$$
A = \frac {10 \times 10 } { 2 }
$$

$$
A = \frac {100 } { 2 }
$$

$$
A = 50
$$

در مرحله بعد، فرمول مساحت بر اساس قاعده (وتر) و ارتفاع (نظیر وتر) را می‌نویسیم:

$$
A = \frac {b \times h } { 2 }
$$

  • A: مساحت مثلث برابر 50
  • b: قاعده یا وتر برابر $$10\sqrt {2}$$
  • h: ارتفاع نظیر وتر

$$
50 = \frac {10\sqrt {2} \times h } { 2 }
$$

$$
100 = 10\sqrt {2} \times h
$$

$$
\frac {100} {10\sqrt {2} } = h
$$

$$
\frac {10} {\sqrt {2} } = h
$$

$$
5\sqrt {2} = h
$$

$$
5\times 1.4 = h
$$

$$
7 = h
$$

در نتیجه، ارتفاع نظیر وتر مثلث قائم الزاویه برابر 7 است.

مثال 9: محاسبه مساحت قسمت رنگی مثلث قائم الزاویه

از راس قائم یک مثلث قائم الزاویه، پاره خطی را بر وتر رسم کرده‌ایم. این پاره خط، مثلث قائم الزاویه را به یک مثلث متساوی الاضلاع و یک مثلث متساوی الساقین تبدیل می‌کند. با توجه به اندازه‌های معلوم، مساحت بخش رنگی (مثلث متساوی الساقین) را به دست بیاورید. (رادیکال 3 را برابر 1/75 در نظر بگیرید.)

مثلث قائم الزاویه تقسیم شده به مثلث متساوی الاضلاع و متساوی الساقین
مثلث قائم الزاویه تقسیم شده به مثلث متساوی الاضلاع و متساوی الساقین

مساحت بخش رنگی مثلث قائم الزاویه بالا، از اختلاف مساحت کل مثلث با مساحت مثلث متساوی الاضلاع به دست می‌آید:

مساحت مثلث متساوی الاضلاع – مساحت مثلث قائم الزاویه = مساحت بخش رنگی

از آنجایی که اندازه دو ساق مثلث قائم الزاویه داده شده است، مساحت آن مطابق با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

۲ ÷ (ساق دوم $$\times$$ ساق اول) = مساحت مثلث قائم الزاویه

۲ ÷ (4 $$\times$$ 7) = مساحت مثلث

۲ ÷ (28) = مساحت مثلث

14 = مساحت مثلث

یکی از ساق‌های مثلث قائم الزاویه، ضلع مثلث متساوی الاضلاع است. به منظور محاسبه مساحت مثلث متساوی الاضلاع، نیازی به داشتن هر دو اندازه ارتفاع و قاعده نیست. برای این مثلث، معلوم بودن اندازه یک ضلع نیز کافی است:

$$
A = \frac { \sqrt {3} } {4} a^2
$$

  • A: مساحت مثلث متساوی الاضلاع
  • a: اندازه ضلع مثلث متساوی الاضلاع

$$
A = \frac { \sqrt {3} } {4} \times 4^2
$$

$$
A = \frac { \sqrt {3} } {4} \times 16
$$

$$
A = 4 \sqrt {3}
$$

$$
A = 4 \times 1.75
$$

$$
A = 7
$$

در نتیجه، مساحت قسمت رنگی برابر است با:

7 – 14 = مساحت بخش رنگی

7 = مساحت بخش رنگی

مثال 10: محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه با سینوس

مساحت مثلث زیر را حساب کنید.

محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه با دو ضلع و زاویه بین
مثلث قائم الزاویه با دو ضلع و زاویه بین معلوم

در مثلث بالا، اندازه وتر، یکی از ساق‌ها و زاویه بین این دو معلوم است. مطابق با فرمول مساحت مثلث با سینوس، داریم:

$$
Area=\frac{1}{2} a \cdot b \cdot sin C
$$

  • Area: مساحت
  • a: اندازه ضلع معلوم برابر 10
  • b: اندازه دیگر ضلع معلوم برابر 12
  • C: زاویه راس بین دو ضلع معلوم برابر 30 درجه

مقادیر معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$
Area=\frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times sin 30^{\circ}
$$

سینوس 30 درجه برابر 0/5 است:

$$
Area=\frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \frac{1}{2}
$$

$$
Area=5 \times 12 \times \frac{1}{2}
$$

$$
Area=5 \times 6
$$

$$
Area=30
$$

مساحت مثلث برابر 30 است. توجه داشته باشید که امکان حل این مثال، با استفاده از فرمول مخصوص مساحت مثلث قائم الزاویه بر اساس وتر و ساق نیز وجود داشت.

سوالات متداول در رابطه با مثلث قائم الزاویه و مساحت آن

در این بخش، به برخی از سوالات پرکاربرد در رابطه مثلث‌های قائم الزاویه و نحوه محاسبه مساحت آن‌ها پاسخ می‌دهیم.

تعریف مثلث قائم الزاویه چیست ؟

مثلث قائم الزاویه، مثلثی با یک زاویه 90 درجه (راست یا قائمه) است.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه چیست ؟

رابطه کلی برای محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه، «ارتفاع ضربدر قاعده تقسیم بر دو» است.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه با ساق چیست ؟

در صورت مشخص بودن اندازه هر دو ساق، مساحت مثلث قائم الزاویه از ضرب ساق‌ها تقسیم بر 2 به دست می‌آید.

مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه چگونه بدست می آید ؟

مساحت مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه برابر مجذور ساق بر عدد 2 یا تقسیم مجذور وتر بر عدد 4 است.

مطلبی که در بالا مطالعه کردید بخشی از مجموعه مطالب «محاسبه محیط و مساحت مثلث — انواع مثلث و تمامی فرمول ها» است. در ادامه، می‌توانید فهرست این مطالب را ببینید:

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای 66 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر آموزش‌های مهندسی عمران، معدن و ژئوتکنیک مجله فرادرس را می‌نویسد.

2 نظر در “مساحت مثلث قائم الزاویه — حل تمرین و مثال های متنوع

  • بسیار عالی
    از اینکه آموزش تون رایگان ه تشکر میکنم .
    از اینکه احساس مسئولیت کردید و در این شرایط حواستون این طور هست .
    من برای فرزندم بسته آموزشی تهیه کردم ولی کار شما تحسین برانگیزه که شرایط آموزشی رو برای همه و بخصوص قشر کمتر برخوردار فراهم کردید .

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *