حل مسائل مغناطیس ساکن — به زبان ساده

۳۶۷ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۴ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۸ دقیقه
حل مسائل مغناطیس ساکن — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس درباره میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی و همچنین پتانسیل الکتریکی و مغناطیسی صحبت کردیم. در این آموزش قصد داریم به حل مسائل مغناطیس ساکن بپردازیم. مغناطیس ساکن به این معنی است که جریان گذرنده از مدار مغناطیسی، ثابت است و نسبت به زمان تغییر نمی‌کند.

997696

قانون بیو-ساوار

در آموزش قبلی مجله فرادرس درباره پتانسیل مغناطیسی صحبت کردیم. رابطه پتانسیل مغناطیسی به صورت زیر، بیان شد:

A=μ04πVJRdv(Wb/m)A=\frac{\mu_0}{4 \pi}\int_{V'}\frac{J}{R}dv' \, \, \, \, \, \, \, (Wb/m)
معادله (۱)

در بسیاری از کاربردها به تعیین میدان مغناطیسی در یک مدار حامل جریان علاقه‌مندیم. برای یک سیم نازک با سطح مقطع SS، دیفرانسیل حجمی dvdv' با SdlSdl' برابر است و همه شار جریان از طول سیم عبور می‌کند. پس داریم:

Jdv=JSdl =IdlJ dv' = JS d l'  = I dl'
معادله (۲)

بنابراین می‌توان معادله (۱) را به صورت زیر بازنویسی کرد:

A=μ0I4πCdlR(Wb/m)A= \frac{\mu_0 I}{4 \pi}\oint_{C'}\frac{dl'}{R} \, \, \, \, \, \, (Wb/m)
معادله (۳)

طبق معادله (۳)، بردار پتانسیل مغناطیسی (AA) همواره با جریان گذرنده از رسانای سیمی (II) هم‌جهت است. می‌توان چگالی شار مغناطیسی را به صورت زیر نوشت:

B=×Aamp;=×[μ0I4πCdlR]amp;=μ04πC×(dlR)\begin{aligned} B = \nabla \times A &=\nabla \times \left[ \frac{\mu_0 I}{4 \pi}\oint_{C'}\frac{dl'}{R} \right]\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C'}\nabla \times \left( \frac{dl'}{R} \right) \end{aligned}
معادله (۴)

ذکر این نکته ضروری است که در معادله (۴)، اپراتور کرل بدون پریم به مشتق‌گیری نسبت به مختصات فضایی «نقطه میدان» (Field Point) اشاره دارد و انتگرال در ناحیه مختصات «نقطه منبع» (Source Point) پریم‌دار گرفته می‌شود. عبارت داخل انتگرال در معادله (۴)، قابل ساده‌سازی است. رابطه زیر را در نظر بگیرید:

×(fG)=f×G+(f)×G\nabla \times (fG) = f \nabla \times G+ (\nabla f)\times G
معادله (۵)

در این معادله، ff یک متغیر اسکالر و GG یک بردار است. حال تغییر متغیرهای زیر را در نظر بگیرید:

f=1R,G=dlf= \frac{1}{R} \, \, \, , \, \, \, G= dl'

بنابراین معادله (۴) به صورت زیر بازنویسی می‌شود:

B=μ0I4πC[1R×dl+(1R)×dl]B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi}\oint_{C'}\left[ \frac{1}{R}\nabla \times dl' + \left( \nabla \frac{1}{R} \right)\times dl' \right]
معادله (۶)

از آنجا که مختصات پریم‌دار و فاقد پریم مستقل از یکدیگر هستند، عبارت ×dl\nabla \times dl' صفر می‌شود. بنابراین عبارت اول در سمت راست معادله (۶) از بین می‌رود. فاصله RR از یک المان منبع یا dldl' در (x,y,zx' ,y' , z') تا نقطه میدان در (x,y,zx,y,z) محاسبه می‌شود. پس خواهیم داشت:

1R=[(xx)2+(yy)2+(zz)2]1/2(1R)amp;=axx(1R)+ayy(1R)+azz(1R)amp;=ax(xx)+ay(yy)+az(zz)[(xx)2+(yy)2+(zz)2]3/2amp;=R^R3=aR1R2\frac{1}{R} = \left[ (x-x')^2+(y-y')^2 + (z-z')^2 \right]^{-1/2}\\ \begin{aligned} \nabla \left( \frac{1}{R} \right) &=a_x \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{1}{R} \right)+ a_y \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{R} \right) + a_z \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{1}{R} \right)\\ & =- \frac{a_x(x-x')+a_y(y-y')+a_z(z-z')}{\left[ (x-x')^2+(y-y')^2 + (z-z')^2 \right]^{3/2}}\\ &=-\frac{\hat R}{R^3}=-a_R\frac{1}{R^2} \end{aligned}
معادله (۷)

در معادله (۷)، aRa_R بردار واحد است و جهت آن از نقطه منبع به سمت نقطه میدان است. با جایگزینی معادله (۷) در معادله (۶) خواهیم داشت:

B=μ0I4πCdl×aRR2(T)B= \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \oint_{C'}\frac{dl' \times a_R}{R^2} \, \, \, \, \, (T)
معادله (8)

معادله (۸) به «قانون بیو-ساوار» (Biot-Savart law) مشهور است. بر اساس این رابطه می‌توان چگالی شار مغناطیسی BB را بر حسب جریان II در مسیر بسته CC' پیدا کرد. در برخی موارد راحت‌تر است که معادله (۸) در دو مرحله محاسبه شود. یعنی:

B=CdBB= \oint_{C'} dB
معادله (9)

و:

dB=μ0I4π(dl×aRR2)(T)dB= \frac{\mu_0I}{4 \pi}\left( \frac{dl' \times a_R}{R^2} \right) \, \, \, (T)
معادله (10)

که چگالی شار مغناطیسی بر حسب المان جریان IdlIdl' است. فرم معمول دیگر از معادله (۱۰) به صورت زیر است:

dB=μ0I4π(dl×R^R3)(T)dB = \frac{\mu_0 I}{4 \pi}\left( \frac{dl' \times \hat R}{R^3} \right) \, \, \, \, (T)

«قانون مداری آمپر» (Ampere's Circutal Law) به صورت زیر است:

CBdl=μ0I\oint_{C'}B \cdot dl = \mu_0I
معادله (۱۱)

مقایسه روابط (10) و (۱۱) نشان می‌دهد که در حالت کلی، اعمال قانون بیو-ساوار پیچیده‌تر از اعمال قانون مداری آمپر است. در حالتی که می‌خواهیم چگالی شار مغناطیسی (BB) را بر حسب جریان مدار (II) تعیین کنیم و هیچ مسیر بسته‌ای با مقدار ثابت BB وجود ندارد،‌ قانون مداری آمپر عملا غیر قابل استفاده خواهد بود. به همین دلیل از قانون بیو-ساوار برای حل این نوع مسائل استفاده می‌شود.

حل مسائل مغناطیس ساکن

در ادامه با بیان چند مثال، به حل مسائل مغناطیس ساکن خواهیم پرداخت.

مثال ۱

جریان II روی یک خط مستقیم به طول 2L2L جاری است. چگالی شار مغناطیسی BB را برای نقطه‌ای در فاصله rr و روی صفحه عمود بر محور سیم بیابید. آ) پتانسیل مغناطیسی برداری را بیابید. ب) با اعمال قانون بیو-ساوار چگالی شار مغناطیسی را بیابید.

حل: همانطور که می‌دانیم، جریان فقط در مدارهای بسته امکان عبور دارد. بنابراین سیم راست مسئله، باید بخشی از یک حلقه حامل جریان با قسمت‌های مختلف باشد. از آنجا که مشخصات بقیه مدار را نمی‌دانیم، نمی‌توان از قانون مداری آمپر استفاده کرد. شکل زیر،‌ سیم مستقیم حامل جریان را نشان می‌دهد:

سیم مستقیم حامل جریانفرض می‌شود که سیم حامل جریان در جهت محور zz است. المان طول روی این سیم عبارت است از:

dl=azdzdl' = a_z dz'

فرض می‌شود که مختصات استوانه‌ای نقطه میدان PP برابر با (r,0,0)(r,0,0) است.

الف) ابتدا پتانسیل مغناطیسی AA محاسبه می‌شود. با جایگزینی R=z2+r2R=\sqrt{z'^2 + r^2} در معادله (۳) داریم:

Aamp;=azμ0I4πLLdzz2+r2amp;=azμ0I4π[ln(z+z2+r2)]LLamp;=azμ0I4πlnL2+r2+LL2+r2L\begin{aligned} A &= a_z \frac{\mu_0 I}{4 \pi }\int_{-L}^{L}\frac{dz'}{\sqrt{z'^2+r^2}}\\ &=a_z \frac{\mu_0 I}{4 \pi}[\ln (z' + \sqrt{z'^2 + r^2 })]\Biggr|_{-L}^{L}\\ &=a_z \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \ln \frac{\sqrt{L^2+r^2}+L}{\sqrt{L^2+r^2}-L} \end{aligned}
معادله (۱۲)

بنابراین:

B=×A=×(azAz)=ar1rAzϕaϕAzrB= \nabla \times A = \nabla \times (a_z A_z) = a_r \frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \phi}-a_\phi \frac{\partial A_z}{\partial r}

با توجه به تقارن استوانه‌ای حول سیم، تغییرات پتانسیل مغناطیسی نسبت به زاویه ϕ\phi برابر صفر است. یعنی:

Az/ϕ=0\partial A_z /\partial \phi =0

پس برای چگالی شار مغناطیسی داریم:

Bamp;=aϕr[μ0I4πlnL2+r2+LL2+r2L]amp;=aϕμ0IL2πrL2+r2\begin{aligned} B&=-a_\phi\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{\mu_0 I}{4\pi} \ln \frac{\sqrt{L^2+r^2}+L}{\sqrt{L^2+r^2}-L} \right]\\ &=a_\phi\frac{\mu_0IL}{2\pi r\sqrt{L^2+r^2}} \end{aligned}
معادله (۱۳)

هنگامی که rLr \ll L است، معادله (۱۳) به رابطه زیر تبدیل می‌شود:

Bϕ=aϕμ0I2πrB_\phi = a_\phi \frac{\mu_0 I}{2 \pi r }
معادله (۱۴)

معادله (14)، عبارت چگالی شار مغناطیسی برای یک سیم مستقیم حامل جریان II و با فاصله rr از آن است.

ب) حال قانون بیو-ساوار را اعمال می‌کنیم. از شکل مشاهده می‌شود که بردار فاصله (RR) از المان منبع dzdz' تا نقطه میدان PP‌ برابر است با:

R=arrazzR= a_r r - a_z z'

dl×R=azdz×(arrazz)=aϕrdzdl^\prime \times R = a_z dz' \times (a_r r - a_z z')= a_\phi r dz'

با جایگزینی این روابط در معادله (10) داریم:

B=dBamp;=aϕμ0I4πLLrdz(z2+r2)3/2amp;=aϕμ0IL2πrL2+r2\begin{aligned} B = \int dB &=a_\phi \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_{-L}^{L}\frac{rdz'}{(z'^2 + r^2)^{3/2}}\\ &=a_\phi \frac{\mu_0 I L}{2 \pi r \sqrt{L^2 + r^2}} \end{aligned}

که معادل رابطه (۱۳) است.

مثال ۲

چگالی شار مغناطیسی را در مرکز یک حلقه مربعی با ضلع ww و جریان ll بیابید.

حل: فرض کنید که حلقه مطابق شکل زیر در صفحه xyxy باشد.

یک حلقه مربعی حامل جریانچگالی شار مغناطیسی در مرکز حلقه مربعی چهار برابر یک سیم به طول ww‌ خواهد بود. بنابراین با برابر قرار دادن L=r=w/2L=r=w/2 در معادله (۱۳) خواهیم داشت:

B=azμ0I2πw×4=az22μ0IπwB= a_z \frac{\mu_0 I }{\sqrt{2} \pi w}\times 4 = a_z \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi w}
معادله (15)

در معادله (۱۵)، جهت چگالی شار مغناطیسی بر اساس قانون دست راست به دست می‌آید.

مثال ۳

شکل زیر، یک حلقه دایروی حامل جریان II و با شعاع bb را نشان می‌دهد. چگالی شار مغناطیسی را روی محور این حلقه بیابید.

حلقه دایروی حامل جریانحل: با اعمال قانون بیو-ساوار به حلقه دایروی خواهیم داشت:

dlamp;=aϕbdϕ,R^amp;=azzarb,Ramp;=(z2+b2)1/2\begin{aligned} dl' &= a_\phi b d \phi',\\ \hat R&=a_z z -a_r b , \\ R&= (z^2 + b^2 )^ {1/2} \end{aligned}

لازم است یادآوری کنیم که R^\hat R یک بردار از المان منبع dldl' به سمت نقطه میدان PP است. بنابراین داریم:

dl×R^amp;=aϕbdϕ×(azzarb)amp;=arbzdϕ+azb2dϕ\begin {aligned}d l' \times \hat R &= a_\phi b d \phi' \times (a_z z - a_r b)\\ &= a_r bz d \phi' + a_z b^2 d \phi' \end{aligned}

به دلیل وجود تقارن استوانه‌ای، می‌توان مشاهده کرد که مولفه ara_r در این ضرب خارجی حذف می‌شود. بنابراین تنها مولفه aza_z در نظر گرفته می‌شود. از همین رو می‌توان نوشت:

B=μ0I4π02πazb2dϕ(z2+b2)3/2B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_0^{2 \pi}a_z \frac{b^2 d \phi'}{(z^2 + b^2 )^{3/2}}

یا:

B=azμ0Ib22(z2+b2)3/2(T)B=a_z \frac{\mu_0 I b^2}{2(z^2+b^2)^{3/2}} \, \, \,\, \,\, (T)
معادله (16)

دوقطبی مغناطیسی

در این قسمت، «دوقطبی مغناطیسی» (Magnetic Dipole) را بررسی می‌کنیم. ابتدا چگالی شار مغناطیسی را برای یک حلقه بسیار کوچک با شعاع bb و حامل جریان II‌ می‌یابیم. این حلقه همان دوقطبی مغناطیسی است.

واضح است که می‌خواهیم چگالی شار مغناطیسی BB را در فاصله RR از مرکز حلقه بیابیم. در این حالت فرض می‌کنیم که RbR \gg b است. به همین دلیل برای حل مسئله از تقریب‌های ساده‌ساز استفاده می‌شود.

ابتدا مرکز حلقه را به عنوان مبدأ مختصات کروی در نظر می‌گیریم. شکل زیر، این دوقطبی را نشان می‌دهد:

یک حلقه استوانه‌ای کوچک حامل جریانمختصات منبع را با پریم نمایش می‌دهیم. ابتدا پتانسیل مغناطیسی AA محاسبه می‌شود. سپس بر اساس رابطه B=×AB = \nabla \times A چگالی شار مغناطیسی BB را می‌یابیم.

A=μ0I4πCdlR1A = \frac{\mu_0 I}{4 \pi }\oint_{C'} \frac{dl'}{R_1}
معادله (۱۷)

به دلیل تقارن، میدان مغناطیسی مستقل از زاویه ϕ\phi' نقطه میدان است. برای راحتی، نقطه P(R,θ,π/2)P(R , \theta , \pi/2) را در صفحه yzyz در نظر می‌گیریم.

نکته مهم دیگر آن است که aϕa_{\phi'}‌ در dldl' با aϕa_\phi‌ در نقطه PP‌ یکسان نیست. در حقیقت، aϕa_\phi در نقطه PP با ax-a_x برابر است. همچنین:

dl=(axsinϕ+aycosϕ)bdϕdl' = (-a_x \sin \phi' + a_y \cos \phi')b d \phi'
معادله (18)

برای هر IdlIdl'، یک المان دیفرانسیلی جریان در نقطه مقابل روی محور yy وجود دارد. بنابراین المان‌های دیفرانسیلی در جهت aya_y اثر یکدیگر را خنثی می‌کنند. بنابراین معادله (۱۷) را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

A=axμ0I4π02πbsinϕR1A= -a_x \frac{\mu_0 I}{4 \pi } \int_0^{2 \pi}\frac{b\sin \phi'}{R_1}

یا:

A=aϕμ0Ib2ππ/2π/2sinϕR1dϕ.A=a_\phi \frac{\mu_0 Ib}{2 \pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\sin\phi'}{R_1}d\phi'.

با اعمال قانون کسینوس‌ها به مثلث OPPOPP' داریم:

R12=R2+b22bRcosψ,R_1^2 = R^2 + b^2 - 2 bR \cos \psi,

که در آن RcosψRcos\psi، تصویر RR روی شعاع OPOP' است که با تصویر OPOP^{\prime\prime} روی OPOP' برابر است. پس:

R12=R2+b22bRsinθsinϕR_1^2 = R^2 + b^2 - 2 bR \sin \theta sin \phi'

پس می‌توان نوشت:

1R1=1R(1+b2R22bRsinθsinϕ)1/2\frac{1}{R_1} = \frac{1}{R}(1+\frac{b^2}{R^2}-\frac{2b}{R}\sin \theta \sin \phi' )^{-1/2}

از آنجا که R2b2R^2 \gg b^2‌ است، می‌توان از عبارت b2/R2b^2/R^2 در برابر ۱ صرفنظر کرد. پس داریم:

1R1amp;1R(12bRsinθsinϕ)1/2amp;1R(1+bRsinθsinϕ).\begin{aligned} \frac{1}{R_1} &\cong \frac{1}{R}(1-\frac{2b}{R}\sin \theta \sin \phi')^{-1/2} \\ &\cong \frac{1}{R}(1+\frac{b}{R}\sin \theta \sin \phi'). \end{aligned}
معادله (19)

با جایگزینی معادله (۱۹) در معادله (۱۸) داریم:

A=aϕμ0Ib2πRπ/2π/2(1+bRsinθsinϕ)sinϕdϕA=a_\phi \frac{\mu_0Ib}{2 \pi R}\int_{-\pi /2}^{\pi/2}(1+\frac{b}{R}\sin \theta\sin \phi')\sin \phi' d\phi'

پس از انتگرال‌گیری داریم:

A=aϕμ0Ib24R2sinθ.A=a_\phi \frac{\mu_0 I b^2}{4 R^2 }\sin \theta.
معادله (20)

چگالی شار مغناطیسی برابر B=×AB= \nabla \times A است. پس می‌توان نوشت:

B=μ0Ib24R3(aR2cosθ+aθsinθ),B= \frac{\mu_0 I b^2}{4R^3}(a_R 2\cos \theta+a_\theta \sin \theta),
معادله (۲۱)

شدت میدان الکتریکی در «راه دور» (Far Field) برای یک دوقطبی الکتریکی به صورت زیر داده می‌شود:

E=p4πε0R3(aR2cosθ+aθsinθ).E= \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}(a_R2 \cos \theta+a_\theta\sin \theta).
معادله (۲۲)

همانطور که مشاهده می‌شود، معادله‌های (۲۱) و (۲۲) شباهت بسیاری به هم دارند. بنابراین در نقاط راه دور، خطوط شار مغناطیسی یک دوقطبی مغناطیسی (در صفحه xyxy‌)، همان شکل خطوط میدان الکتریکی دوقطبی الکتریکی (در جهت zz) را خواهد داشت. در نزدیکی دوقطبی، خطوط شار برای دوقطبی مغناطیسی پیوسته هستند و تشکیل حلقه می‌دهند. در حالی که خطوط میدان در دوقطبی الکتریکی روی بارهای الکتریکی بسته می‌شوند و جهت آنها همواره از بار مثبت به بار منفی خواهد بود. شکل زیر، این مسئله را نشان می‌دهد:

خطوط میدان و خطوط شارحال اگر پتانسیل مغناطیسی برداری را در معادله (۲۰) بازنویسی کنیم، خواهیم داشت:

A=aϕμ0(Iπb2)4πR2sinθA= a_\phi \frac{\mu_0 (I\pi b^2)}{4 \pi R^2}\sin \theta

یا:

A=μ0m^×a^R4πR2(Wb/m),A= \frac{\mu_0 \hat m \times \hat a_R}{4 \pi R^2} \, \,\, \, \, \, (Wb/m),
معادله (۲۳)

که در آن:

m^=a^zIπb2=a^zIS=a^zm(A.m2)\hat m = \hat a_z I \pi b^2 = \hat a_z IS = \hat a_z m \, \, \, (A.m^2)
معادله (24)

بردار mm، «ممان دوقطبی مغناطیسی» (Magnetic Dipole Moment) نام دارد. اندازه این بردار، حاصلضرب جریان در مساحت حلقه دایروی جریان است.

پتانسیل الکتریکی اسکالر برای یک دوقطبی الکتریکی به صورت زیر است:

V=p.aR4πε0R2(V)V= \frac{p.a_R}{4\pi \varepsilon_0 R^2}\, \,\, \, \, \, (V)
معادله (۲۵)

همانطور که مشاهده می‌شود، معادله (۲۳) مشابه معادله (۲۵) است. به این حلقه کوچک حامل جریان دوقطبی مغناطیسی می‌گوییم. به این ترتیب می‌توان معادله (۲۱) را به صورت زیر بازنویسی کرد:

B=μ0m4πR3(aR2cosθ+aθsinθ)(T).B= \frac{\mu_0 m}{4 \pi R^3}(a_R2 \cos \theta + a_\theta \sin \theta) \, \, \, \, \,\, (T).
معادله (۲۶)

اگر در این معادله، mm با pp و μ0\mu_0 با 1/ε01/\varepsilon_0 جایگزین شود، به معادله (۲۲) خواهیم رسید. بنابراین در یک دوقطبی مغناطیسی در صفحه xyxy، خطوط شار مغناطیسی فرم مشابه خطوط میدان الکتریکی در یک دوقطبی الکتریکی در محور zz را خواهد داشت.

می‌توان نشان داد که اگر حلقه حامل جریان به مربع حامل جریان تبدیل شود، معادلات (۲۳) و (۲۶) همچنان معتبر خواهد بود. به شرطی که ممان مغناطیسی معادله (۲۴) با توجه به شرایط مسئله تغییر کند و اندازه آن برابر حاصلضرب جریان در مساحت حلقه مربعی جریان باشد.

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Field and Wave Electromagnetics
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *