حل مسائل مغناطیس ساکن – به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس درباره میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی و همچنین پتانسیل الکتریکی و مغناطیسی صحبت کردیم. در این آموزش قصد داریم به حل مسائل مغناطیس ساکن بپردازیم. مغناطیس ساکن به این معنی است که جریان گذرنده از مدار مغناطیسی، ثابت است و نسبت به زمان تغییر نمی‌کند.

قانون بیو-ساوار

در آموزش قبلی مجله فرادرس درباره پتانسیل مغناطیسی صحبت کردیم. رابطه پتانسیل مغناطیسی به صورت زیر، بیان شد:

$$A=\frac{\mu_0}{4 \pi}\int_{V'}\frac{J}{R}dv' \, \, \, \, \, \, \, (Wb/m)$$
معادله (۱)

در بسیاری از کاربردها به تعیین میدان مغناطیسی در یک مدار حامل جریان علاقه‌مندیم. برای یک سیم نازک با سطح مقطع $$S$$، دیفرانسیل حجمی $$dv'$$ با $$Sdl'$$ برابر است و همه شار جریان از طول سیم عبور می‌کند. پس داریم:

$$J dv' = JS d l' = I dl'$$
معادله (۲)

بنابراین می‌توان معادله (۱) را به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$A= \frac{\mu_0 I}{4 \pi}\oint_{C'}\frac{dl'}{R} \, \, \, \, \, \, (Wb/m)$$
معادله (۳)

طبق معادله (۳)، بردار پتانسیل مغناطیسی ($$A$$) همواره با جریان گذرنده از رسانای سیمی ($$I$$) هم‌جهت است. می‌توان چگالی شار مغناطیسی را به صورت زیر نوشت:

$$\begin{aligned} B = \nabla \times A &=\nabla \times \left[ \frac{\mu_0 I}{4 \pi}\oint_{C'}\frac{dl'}{R} \right]\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C'}\nabla \times \left( \frac{dl'}{R} \right) \end{aligned}$$
معادله (۴)

ذکر این نکته ضروری است که در معادله (۴)، اپراتور کرل بدون پریم به مشتق‌گیری نسبت به مختصات فضایی «نقطه میدان» (Field Point) اشاره دارد و انتگرال در ناحیه مختصات «نقطه منبع» (Source Point) پریم‌دار گرفته می‌شود. عبارت داخل انتگرال در معادله (۴)، قابل ساده‌سازی است. رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\nabla \times (fG) = f \nabla \times G+ (\nabla f)\times G$$
معادله (۵)

در این معادله، $$f$$ یک متغیر اسکالر و $$G$$ یک بردار است. حال تغییر متغیرهای زیر را در نظر بگیرید:

$$f= \frac{1}{R} \, \, \, , \, \, \, G= dl'$$

بنابراین معادله (۴) به صورت زیر بازنویسی می‌شود:

$$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi}\oint_{C'}\left[ \frac{1}{R}\nabla \times dl' + \left( \nabla \frac{1}{R} \right)\times dl' \right]$$
معادله (۶)

از آنجا که مختصات پریم‌دار و فاقد پریم مستقل از یکدیگر هستند، عبارت $$\nabla \times dl'$$ صفر می‌شود. بنابراین عبارت اول در سمت راست معادله (۶) از بین می‌رود. فاصله $$R$$ از یک المان منبع یا $$dl'$$ در ($$x' ,y' , z'$$) تا نقطه میدان در ($$x,y,z$$) محاسبه می‌شود. پس خواهیم داشت:

$$\frac{1}{R} = \left[ (x-x')^2+(y-y')^2 + (z-z')^2 \right]^{-1/2}\\ \begin{aligned} \nabla \left( \frac{1}{R} \right) &=a_x \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{1}{R} \right)+ a_y \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{1}{R} \right) + a_z \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{1}{R} \right)\\ & =- \frac{a_x(x-x')+a_y(y-y')+a_z(z-z')}{\left[ (x-x')^2+(y-y')^2 + (z-z')^2 \right]^{3/2}}\\ &=-\frac{\hat R}{R^3}=-a_R\frac{1}{R^2} \end{aligned}$$
معادله (۷)

در معادله (۷)، $$a_R$$ بردار واحد است و جهت آن از نقطه منبع به سمت نقطه میدان است. با جایگزینی معادله (۷) در معادله (۶) خواهیم داشت:

$$B= \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \oint_{C'}\frac{dl' \times a_R}{R^2} \, \, \, \, \, (T)$$
معادله (8)

معادله (۸) به «قانون بیو-ساوار» (Biot-Savart law) مشهور است. بر اساس این رابطه می‌توان چگالی شار مغناطیسی $$B$$ را بر حسب جریان $$I$$ در مسیر بسته $$C'$$ پیدا کرد. در برخی موارد راحت‌تر است که معادله (۸) در دو مرحله محاسبه شود. یعنی:

$$B= \oint_{C'} dB$$
معادله (9)

و:

$$dB= \frac{\mu_0I}{4 \pi}\left( \frac{dl' \times a_R}{R^2} \right) \, \, \, (T)$$
معادله (10)

که چگالی شار مغناطیسی بر حسب المان جریان $$Idl'$$ است. فرم معمول دیگر از معادله (۱۰) به صورت زیر است:

$$dB = \frac{\mu_0 I}{4 \pi}\left( \frac{dl' \times \hat R}{R^3} \right) \, \, \, \, (T)$$

«قانون مداری آمپر» (Ampere's Circutal Law) به صورت زیر است:

$$\oint_{C'}B \cdot dl = \mu_0I$$
معادله (۱۱)

مقایسه روابط (10) و (۱۱) نشان می‌دهد که در حالت کلی، اعمال قانون بیو-ساوار پیچیده‌تر از اعمال قانون مداری آمپر است. در حالتی که می‌خواهیم چگالی شار مغناطیسی ($$B$$) را بر حسب جریان مدار ($$I$$) تعیین کنیم و هیچ مسیر بسته‌ای با مقدار ثابت $$B$$ وجود ندارد،‌ قانون مداری آمپر عملا غیر قابل استفاده خواهد بود. به همین دلیل از قانون بیو-ساوار برای حل این نوع مسائل استفاده می‌شود.

حل مسائل مغناطیس ساکن

در ادامه با بیان چند مثال، به حل مسائل مغناطیس ساکن خواهیم پرداخت.

مثال ۱

جریان $$I$$ روی یک خط مستقیم به طول $$2L$$ جاری است. چگالی شار مغناطیسی $$B$$ را برای نقطه‌ای در فاصله $$r$$ و روی صفحه عمود بر محور سیم بیابید. آ) پتانسیل مغناطیسی برداری را بیابید. ب) با اعمال قانون بیو-ساوار چگالی شار مغناطیسی را بیابید.

حل: همانطور که می‌دانیم، جریان فقط در مدارهای بسته امکان عبور دارد. بنابراین سیم راست مسئله، باید بخشی از یک حلقه حامل جریان با قسمت‌های مختلف باشد. از آنجا که مشخصات بقیه مدار را نمی‌دانیم، نمی‌توان از قانون مداری آمپر استفاده کرد. شکل زیر،‌ سیم مستقیم حامل جریان را نشان می‌دهد:

فرض می‌شود که سیم حامل جریان در جهت محور $$z$$ است. المان طول روی این سیم عبارت است از:

$$dl' = a_z dz'$$

فرض می‌شود که مختصات استوانه‌ای نقطه میدان $$P$$ برابر با $$(r,0,0)$$ است.

الف) ابتدا پتانسیل مغناطیسی $$A$$ محاسبه می‌شود. با جایگزینی $$R=\sqrt{z'^2 + r^2}$$ در معادله (۳) داریم:

$$\begin{aligned} A &= a_z \frac{\mu_0 I}{4 \pi }\int_{-L}^{L}\frac{dz'}{\sqrt{z'^2+r^2}}\\ &=a_z \frac{\mu_0 I}{4 \pi}[\ln (z' + \sqrt{z'^2 + r^2 })]\Biggr|_{-L}^{L}\\ &=a_z \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \ln \frac{\sqrt{L^2+r^2}+L}{\sqrt{L^2+r^2}-L} \end{aligned}$$
معادله (۱۲)

بنابراین:

$$B= \nabla \times A = \nabla \times (a_z A_z) = a_r \frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \phi}-a_\phi \frac{\partial A_z}{\partial r}$$

با توجه به تقارن استوانه‌ای حول سیم، تغییرات پتانسیل مغناطیسی نسبت به زاویه $$\phi$$ برابر صفر است. یعنی:

$$\partial A_z /\partial \phi =0$$

پس برای چگالی شار مغناطیسی داریم:

$$\begin{aligned} B&=-a_\phi\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{\mu_0 I}{4\pi} \ln \frac{\sqrt{L^2+r^2}+L}{\sqrt{L^2+r^2}-L} \right]\\ &=a_\phi\frac{\mu_0IL}{2\pi r\sqrt{L^2+r^2}} \end{aligned}$$
معادله (۱۳)

هنگامی که $$r \ll L$$ است، معادله (۱۳) به رابطه زیر تبدیل می‌شود:

$$B_\phi = a_\phi \frac{\mu_0 I}{2 \pi r }$$
معادله (۱۴)

معادله (14)، عبارت چگالی شار مغناطیسی برای یک سیم مستقیم حامل جریان $$I$$ و با فاصله $$r$$ از آن است.

ب) حال قانون بیو-ساوار را اعمال می‌کنیم. از شکل مشاهده می‌شود که بردار فاصله ($$R$$) از المان منبع $$dz'$$ تا نقطه میدان $$P$$‌ برابر است با:

$$R= a_r r - a_z z'$$

$$dl^\prime \times R = a_z dz' \times (a_r r - a_z z')= a_\phi r dz'$$

با جایگزینی این روابط در معادله (10) داریم:

$$\begin{aligned} B = \int dB &=a_\phi \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_{-L}^{L}\frac{rdz'}{(z'^2 + r^2)^{3/2}}\\ &=a_\phi \frac{\mu_0 I L}{2 \pi r \sqrt{L^2 + r^2}} \end{aligned}$$

که معادل رابطه (۱۳) است.

مثال ۲

چگالی شار مغناطیسی را در مرکز یک حلقه مربعی با ضلع $$w$$ و جریان $$l$$ بیابید.

حل: فرض کنید که حلقه مطابق شکل زیر در صفحه $$xy$$ باشد.

چگالی شار مغناطیسی در مرکز حلقه مربعی چهار برابر یک سیم به طول $$w$$‌ خواهد بود. بنابراین با برابر قرار دادن $$L=r=w/2$$ در معادله (۱۳) خواهیم داشت:

$$B= a_z \frac{\mu_0 I }{\sqrt{2} \pi w}\times 4 = a_z \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi w}$$
معادله (15)

در معادله (۱۵)، جهت چگالی شار مغناطیسی بر اساس قانون دست راست به دست می‌آید.

مثال ۳

شکل زیر، یک حلقه دایروی حامل جریان $$I$$ و با شعاع $$b$$ را نشان می‌دهد. چگالی شار مغناطیسی را روی محور این حلقه بیابید.

حل: با اعمال قانون بیو-ساوار به حلقه دایروی خواهیم داشت:

$$\begin{aligned} dl' &= a_\phi b d \phi',\\ \hat R&=a_z z -a_r b , \\ R&= (z^2 + b^2 )^ {1/2} \end{aligned}$$

لازم است یادآوری کنیم که $$\hat R$$ یک بردار از المان منبع $$dl'$$ به سمت نقطه میدان $$P$$ است. بنابراین داریم:

$$\begin {aligned}d l' \times \hat R &= a_\phi b d \phi' \times (a_z z - a_r b)\\ &= a_r bz d \phi' + a_z b^2 d \phi' \end{aligned}$$

به دلیل وجود تقارن استوانه‌ای، می‌توان مشاهده کرد که مولفه $$a_r$$ در این ضرب خارجی حذف می‌شود. بنابراین تنها مولفه $$a_z$$ در نظر گرفته می‌شود. از همین رو می‌توان نوشت:

$$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_0^{2 \pi}a_z \frac{b^2 d \phi'}{(z^2 + b^2 )^{3/2}}$$

یا:

$$B=a_z \frac{\mu_0 I b^2}{2(z^2+b^2)^{3/2}} \, \, \,\, \,\, (T)$$
معادله (16)

دوقطبی مغناطیسی

در این قسمت، «دوقطبی مغناطیسی» (Magnetic Dipole) را بررسی می‌کنیم. ابتدا چگالی شار مغناطیسی را برای یک حلقه بسیار کوچک با شعاع $$b$$ و حامل جریان $$I$$‌ می‌یابیم. این حلقه همان دوقطبی مغناطیسی است.

واضح است که می‌خواهیم چگالی شار مغناطیسی $$B$$ را در فاصله $$R$$ از مرکز حلقه بیابیم. در این حالت فرض می‌کنیم که $$R \gg b$$ است. به همین دلیل برای حل مسئله از تقریب‌های ساده‌ساز استفاده می‌شود.

ابتدا مرکز حلقه را به عنوان مبدأ مختصات کروی در نظر می‌گیریم. شکل زیر، این دوقطبی را نشان می‌دهد:

مختصات منبع را با پریم نمایش می‌دهیم. ابتدا پتانسیل مغناطیسی $$A$$ محاسبه می‌شود. سپس بر اساس رابطه $$B = \nabla \times A$$ چگالی شار مغناطیسی $$B$$ را می‌یابیم.

$$A = \frac{\mu_0 I}{4 \pi }\oint_{C'} \frac{dl'}{R_1}$$
معادله (۱۷)

به دلیل تقارن، میدان مغناطیسی مستقل از زاویه $$\phi'$$ نقطه میدان است. برای راحتی، نقطه $$P(R , \theta , \pi/2)$$ را در صفحه $$yz$$ در نظر می‌گیریم.

نکته مهم دیگر آن است که $$a_{\phi'}$$‌ در $$dl'$$ با $$a_\phi$$‌ در نقطه $$P$$‌ یکسان نیست. در حقیقت، $$a_\phi$$ در نقطه $$P$$ با $$-a_x$$ برابر است. همچنین:

$$dl' = (-a_x \sin \phi' + a_y \cos \phi')b d \phi'$$
معادله (18)

برای هر $$Idl'$$، یک المان دیفرانسیلی جریان در نقطه مقابل روی محور $$y$$ وجود دارد. بنابراین المان‌های دیفرانسیلی در جهت $$a_y$$ اثر یکدیگر را خنثی می‌کنند. بنابراین معادله (۱۷) را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$A= -a_x \frac{\mu_0 I}{4 \pi } \int_0^{2 \pi}\frac{b\sin \phi'}{R_1}$$

یا:

$$A=a_\phi \frac{\mu_0 Ib}{2 \pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\sin\phi'}{R_1}d\phi'.$$

با اعمال قانون کسینوس‌ها به مثلث $$OPP'$$ داریم:

$$R_1^2 = R^2 + b^2 - 2 bR \cos \psi,$$

که در آن $$Rcos\psi$$، تصویر $$R$$ روی شعاع $$OP'$$ است که با تصویر $$OP^{\prime\prime}$$ روی $$OP'$$ برابر است. پس:

$$R_1^2 = R^2 + b^2 - 2 bR \sin \theta sin \phi'$$

پس می‌توان نوشت:

$$\frac{1}{R_1} = \frac{1}{R}(1+\frac{b^2}{R^2}-\frac{2b}{R}\sin \theta \sin \phi' )^{-1/2}$$

از آنجا که $$R^2 \gg b^2$$‌ است، می‌توان از عبارت $$b^2/R^2$$ در برابر ۱ صرفنظر کرد. پس داریم:

$$\begin{aligned} \frac{1}{R_1} &\cong \frac{1}{R}(1-\frac{2b}{R}\sin \theta \sin \phi')^{-1/2} \\ &\cong \frac{1}{R}(1+\frac{b}{R}\sin \theta \sin \phi'). \end{aligned}$$
معادله (19)

با جایگزینی معادله (۱۹) در معادله (۱۸) داریم:

$$A=a_\phi \frac{\mu_0Ib}{2 \pi R}\int_{-\pi /2}^{\pi/2}(1+\frac{b}{R}\sin \theta\sin \phi')\sin \phi' d\phi'$$

پس از انتگرال‌گیری داریم:

$$A=a_\phi \frac{\mu_0 I b^2}{4 R^2 }\sin \theta.$$
معادله (20)

چگالی شار مغناطیسی برابر $$B= \nabla \times A$$ است. پس می‌توان نوشت:

$$B= \frac{\mu_0 I b^2}{4R^3}(a_R 2\cos \theta+a_\theta \sin \theta),$$
معادله (۲۱)

شدت میدان الکتریکی در «راه دور» (Far Field) برای یک دوقطبی الکتریکی به صورت زیر داده می‌شود:

$$E= \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}(a_R2 \cos \theta+a_\theta\sin \theta).$$
معادله (۲۲)

همانطور که مشاهده می‌شود، معادله‌های (۲۱) و (۲۲) شباهت بسیاری به هم دارند. بنابراین در نقاط راه دور، خطوط شار مغناطیسی یک دوقطبی مغناطیسی (در صفحه $$xy$$‌)، همان شکل خطوط میدان الکتریکی دوقطبی الکتریکی (در جهت $$z$$) را خواهد داشت. در نزدیکی دوقطبی، خطوط شار برای دوقطبی مغناطیسی پیوسته هستند و تشکیل حلقه می‌دهند. در حالی که خطوط میدان در دوقطبی الکتریکی روی بارهای الکتریکی بسته می‌شوند و جهت آنها همواره از بار مثبت به بار منفی خواهد بود. شکل زیر، این مسئله را نشان می‌دهد:

حال اگر پتانسیل مغناطیسی برداری را در معادله (۲۰) بازنویسی کنیم، خواهیم داشت:

$$A= a_\phi \frac{\mu_0 (I\pi b^2)}{4 \pi R^2}\sin \theta$$

یا:

$$A= \frac{\mu_0 \hat m \times \hat a_R}{4 \pi R^2} \, \,\, \, \, \, (Wb/m),$$
معادله (۲۳)

که در آن:

$$\hat m = \hat a_z I \pi b^2 = \hat a_z IS = \hat a_z m \, \, \, (A.m^2)$$
معادله (24)

بردار $$m$$، «ممان دوقطبی مغناطیسی» (Magnetic Dipole Moment) نام دارد. اندازه این بردار، حاصلضرب جریان در مساحت حلقه دایروی جریان است.

پتانسیل الکتریکی اسکالر برای یک دوقطبی الکتریکی به صورت زیر است:

$$V= \frac{p.a_R}{4\pi \varepsilon_0 R^2}\, \,\, \, \, \, (V)$$
معادله (۲۵)

همانطور که مشاهده می‌شود، معادله (۲۳) مشابه معادله (۲۵) است. به این حلقه کوچک حامل جریان دوقطبی مغناطیسی می‌گوییم. به این ترتیب می‌توان معادله (۲۱) را به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$B= \frac{\mu_0 m}{4 \pi R^3}(a_R2 \cos \theta + a_\theta \sin \theta) \, \, \, \, \,\, (T).$$
معادله (۲۶)

اگر در این معادله، $$m$$ با $$p$$ و $$\mu_0$$ با $$1/\varepsilon_0$$ جایگزین شود، به معادله (۲۲) خواهیم رسید. بنابراین در یک دوقطبی مغناطیسی در صفحه $$xy$$، خطوط شار مغناطیسی فرم مشابه خطوط میدان الکتریکی در یک دوقطبی الکتریکی در محور $$z$$ را خواهد داشت.

می‌توان نشان داد که اگر حلقه حامل جریان به مربع حامل جریان تبدیل شود، معادلات (۲۳) و (۲۶) همچنان معتبر خواهد بود. به شرطی که ممان مغناطیسی معادله (۲۴) با توجه به شرایط مسئله تغییر کند و اندازه آن برابر حاصلضرب جریان در مساحت حلقه مربعی جریان باشد.

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• امواج الکترومغناطیسی — از صفر تا صد
• میدان مغناطیسی جریان — از صفر تا صد

^^