برق , علوم پایه , فیزیک , مهندسی 11449 بازدید

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس در مورد اصول فیزیک ۲ دانشگاهی بحث شد. همان‌گونه که بیان شد، در حالت کلی می‌توان این اصول را به دو بخش اصلی فیزیک الکتریسیته و مغناطیس تقسیم‌بندی کرد. در ابتدا در مجموعه مقالاتی اصول آن را تشریح کردیم. با یادگیری مفاهیمی هم‌چون میدان، پتانسیل و مدار الکتریکی وقت آن فرا رسیده که با مفهوم مغناطیس آشنا شوید.

مقدمه

همان‌طور که بیان شد، یک ذره باردار می‌تواند در فضای اطراف خود میدانی الکتریکی ($$\overrightarrow{E}$$) ایجاد کند. به همین صورت، آهنربایی کوچک نیز می‌تواند اطراف خود میدانی مغناطیسی ایجاد کند. میدان مغناطیسی نیز همانند نسخه الکتریکی خود یک بردار است که آن را با $$\overrightarrow{B}$$ نشان می‌دهند. مطابق با شکل زیر می‌توان با حرکت دادن قطب‌نما در نزدیکی یک آهنربا، جهت میدان مغناطیسی را معلوم کرد.

compass-magnet

هر آهنربا دارای دو قطب است که آن‌ها را شمال (N) و جنوب (S) می‌نامیم. میدان‌های مغناطیسی در قطب‌ها بیشترین مقدار خود را دارند. همواره خطوط میدان مغناطیسی از N خارج شده و به S وارد می‌شود. تجربه نیز نشان می‌دهد که دو قطب مشابه یکدیگر را دفع و مخالف همدیگر را جذب می‌کنند. در شکل زیر، این دو حالت نشان داده شده است.

magnetic-poles

برخلاف بار‌های الکتریکی که می‌توانند فقط مثبت یا منفی باشند، ذرات مغناطیسی همواره دارای یک قطب N و یک قطب S هستند. در حقیقت نمی‌توان با جدا کردن یک جسم مغناطیسی قطب‌های آن را از هم جدا کرد. در شکل زیر می‌بینید که قطب‌های یک آهنربا پس از دو بخش شدن ثابت مانده‌اند.

magnetic-poles

میدان مغناطیسی به چه شکل تعریف می‌شود؟ برای پاسخ به این سوال در ابتدا اجازه دهید تا تعریف میدان الکتریکی را مرور کنیم. در مبحث میدان الکتریکی $$\overrightarrow{E}$$، آن را به صورت نیروی ایجاد شده در واحد بار الکتریکی، به شکل زیر تعریف کردیم.

Electric-field

در حقیقت برای تعریف میدان نیاز به بار آزمون داشتیم؛ آیا برای تعریف میدان هم نیاز به دوقطبی مغناطیسی فرضی داریم؟

تعریف میدان مغناطیسی

به‌منظور تعریف میدان مغناطیسی در یک نقطه، مطابق با شکل زیر بار q را تصور کنید که با سرعت $$\overrightarrow{v}$$ در میدان مغناطیسی برابر با $$\overrightarrow {B}$$ در حال حرکت کرد.

charge-magnetic-field.JPG
شکل ۱

با توجه به آزمایش‌های صورت گرفته اتفاقات زیر دیده شده است.

  1. نیرویی مغناطیسی ($$\overrightarrow {F_B}$$) به ذره وارد می‌شود که اندازه آن متناسب با v و q است.
  2. اندازه و جهتِ $$\overrightarrow {F_B}$$ وابسته به دو کمیت $$\overrightarrow {v}$$ و $$\overrightarrow {B}$$ است [با افزایش هرکدام از این دو کمیت، نیروی وارد شده به ذره نیز افزایش می‌یابد].
  3. نیروی مغناطیسی $$\overrightarrow {F_B}$$ در حالتی که بردار‌های v و B در یک جهت هستند، برابر با صفر است. هم‌چنین مطابق با شکل ۱، بردار نیروی وارد شده به ذره، بر صفحه تشکیل شده از دو بردار v و B عمود است. هم‌چنین اندازه نیرو به زاویه بین بردار سرعت و میدان مغناطیسی وابسته است؛ در حقیقت با افزایش Sin θ اندازه این نیرو نیز افزایش می‌یابد.
  4. هنگامی که علامت بار q عوض می‌شود، جهت نیروی وارد شده به آن نیز عکس می‌شود.

اگر با مفاهیم ضرب داخلی و ضرب خارجی آشنا باشید، متوجه خواهید شد، مشاهدات بالا نشان می‌دهد که نیروی وارد شده به ذره را می‌توان با استفاده از رابطه زیر نشان داد.

Magnetic-field
رابطه ۱

با توجه به رابطه بالا اندازه نیروی وارد شده به بار مفروض برابر است با:

Magnetic-field

واحد میدان مغناطیسی در سیستم SI، تسلا (T) نامیده می‌شود. در حقیقت ۱ تسلا برابر است با:

Electric-field

البته در بعضی موارد از واحد دیگری تحت عنوان گاوس نیز برای نشان دادن میدان مغناطیسی استفاده می‌شود. در حقیقت 1T=104G در نظر گرفته می‌شود. با توجه به رابطه ۱، نیروی ناشی از میدان مغناطیسی همواره به میدان مغناطیسی و جهت حرکت بارهای الکتریکی عمود است. در حقیقت با استفاده از نیروی مغناطیسی نمی‌توان سرعت یک بار را در راستای حرکتش کم یا زیاد کند. هم‌چنین با توجه به رابطه زیر هیچگاه این نیرو کاری روی ذره باردار انجام نخواهد داد.

Magnetic-field

نیرو و گشتاور وارد به سیم حامل جریان

در بالا گفتیم که حرکت ذره در میدان مغناطیسی منجر به وارد شدن نیروی FB به آن می‌شود. حال سیمی را تصور کنید که حاوی جریان الکتریکی است. در حقیقت این جریان، مجموعه‌ای از ذرات هستند که در سیم در حال حرکت‌اند. از این رو اگر این سیم را در میدانی مغناطیسی قرار دهید، نیرویی به آن وارد خواهد شد.

برای بدست آوردن این نیرو مطابق با شکل زیر سیمی را تصور کنید که بین دو قطب مغناطیسی قرار گرفته است. همان‌طور که در شکل نیز مشخص شده، میدان B با استفاده از نقاطی نشان داده شده است. دلیل این نقاط این است که جهت میدان عمود به صفحه در نظر گرفته شده.

current-magnetic-force

مطابق با شکل بالا مشاهده می‌شود که اگر جهت جریان به سمت پایین باشد، سیم به سمت چپ منحرف می‌شود و اگر جهت جریان به سمت بالا باشد، سیم به سمت راست منحرف می‌شود. جهت بدست آوردن اندازه این نیرو مطابق با شکل زیر در ابتدا بخشی از سیم به طول l و سطح مقطع A را در نظر بگیرید.

wire-magnet

به یاد داشته باشید که جهت بردار‌های میدانی که به سمت داخل صفحه هستند با علامت × و جهت بردار‌های به سمت بیرون با نقطه نشان داده می‌شود.

فرض کنید که سرعت میانگین ذرات برابر با $$\overrightarrow{v_d}$$ است. باری برابر با $$Q_{tot}=q(nAl)$$ در مقطع سیمِ در نظر گرفته شده قرار دارد. در این رابطه، n تعداد بارها در واحد حجم را نشان می‌دهد؛ در نتیجه نیروی وارد شده به سیم در این حالت برابر است با:

Magnetic-field
رابطه ۲

در رابطه بالا I=nqvdA و $$\overrightarrow{l}$$ برداری به اندازه l است که هم‌جهت با مسیر حرکت جریان الکتریکی است. برای یک سیم، نیروی کلی وارد به آن را می‌توان با جمع‌ زدن نیروهای وارد به بخش‌های مختلفش بدست آورد. در ابتدا مطابق با شکل زیر دیفرانسیلِ طولِ سیم را برابر با بردار $$\overrightarrow{ds}$$ در نظر بگیرید.

Capture-magnetic-force

با توجه به رابطه ۲ می‌توان نیروی وارد به این دیفرانسیل را بصورت زیر نوشت:

Magnetic-field

بنابراین نیروی وارد شده به کل سیم برابر است با:

Magnetic-field

در رابطه بالا a و b بازه‌ای از سیم را نشان می‌دهند که می‌خواهیم نیروی مغناطیسی وارد به آن را محاسبه کنیم. برای مثال مطابقِ تصویر زیر فرض کنید که سیمی به شکل منحنی در میدانِ $$\overrightarrow{B}$$ قرار گرفته.

wire-magnetic-force

با استفاده از رابطه زیر می‌توان نیروی وارد به سیم مفروض را بدست آورد.

Magnetic-field

توجه داشته باشید که در رابطه بالا $$\overrightarrow{l}$$ برداری از نقطه a تا b است. حال فرض کنید که می‌خواهیم نیروی وارد به سیم بسته‌ِ شکلِ زیر را بدست آوریم.

wire-magnetic-force

نیروی وارد شده به سیم بالا برابر است با:

Magnetic-field

با توجه به این که انتگرال روی یک مسیر برداری بسته صفر است ($$\oint \overrightarrow {ds}=0$$)، در نتیجه حاصل انتگرال بالا نیز برابر با صفر خواهد بود. جهت درک بهتر مفهوم بالا به مثال زیر توجه کنید.

مثال ۱

مطابق با تصویر زیر سیمی به شکل نیم‌دایره را تصور کنید که در میدان $$\overrightarrow{B}$$ قرار گرفته است. جریان موجود در سیم برابر با I و جهت آن به صورت پادساعتگرد است.

wire-magnetic-force

با این فرضیات نیروی وارد به سیم مفروض را بدست آورید؟

برای بدست آوردن نیروی مذکور در ابتدا بایستی میدان مغناطیسی را بصورت برداری بیان کرد؛ بردار میدان مغناطیسی برابر است با:

Magnetic-field

فرض کنید نیروهای $$\overrightarrow{F_1}$$ و $$\overrightarrow{F_2}$$ به ترتیب نیروی وارد شده به سیم قرار گرفته رو محور x و نیروی وارد به نیم‌دایره هستند. با توجه به تعریف، نیروی وارد شده به سیم قرار گرفته روی محور x برابر است با:

Magnetic-field

توجه داشته باشید که بردار k جهت عمود به صفحه و رو به بیرون را نشان می‌دهد. به همین صورت بمنظور محاسبه نیروی $$\overrightarrow{F_2}$$ در ابتدا بایستی $$\overrightarrow{ds}$$ را به صورت برداری مطابق با رابطه زیر بیان می‌کنیم:

Magnetic-field

بنابراین دیفرانسیل $$\overrightarrow{F_2}$$ برابر است با:

Magnetic-field

با انتگرال‌گیری از رابطه بالا روی کل نیم‌ دایره داریم:

Magnetic-field

با جمع کردن نیروی $$\overrightarrow{F_۱}$$ و $$\overrightarrow{F_2}$$، نیروی خالص بدست آمده روی کل سیم به شکل زیر بدست می‌آید.

Magnetic-field

بنابراین همان‌گونه که محاسبه شد نیروی وارد شده به کل سیم برابر با صفر بدست آمد. بنابراین همان‌گونه که در بالا نیز بیان کردیم، نیروی وارد به یک سیم بسته که در میدان مغناطیسی قرار گرفته، صفر است.

گشتاور وارد به حلقه بسته قرار گرفته در میدان مغناطیسی

با وجود آن‌که نیروی خالص وارد شده به یک حلقه بسته حاوی جریان برابر با صفر است، اما با قرار دادن آن در یک میدان مغناطیسی، گشتاوری به حلقه وارد خواهد شد. برای تحلیل این موضوع در ابتدا مطابق با شکل زیر حلقه‌ بسته‌ای، حاوی جریان I را فرض کنید که در میدان مغناطیسی $$\overrightarrow{B}$$ قرار گرفته است.

magnetic-torque

با توجه به جهت میدان مغناطیسی و جهت جریان در هر بخش از سیم، نیروی کل وارد شده به آن برابر است با:

Magnetic-field

در رابطه بالا نیروی F۲ رو‌به بالا و نیروی F4 رو به پایین است.هم‌چنین توجه داشته باشید که دلیل صفر بودن نیروی وارد به بخش ۱ و ۳ این‌ است که در قسمت‌های مذکور، جریان الکتریکی و میدان مغناطیسی با یکدیگر هم‌جهت هستند. با توجه به این‌که دو نیروی غیر صفر در خلاف جهت هم هستند، بنابراین گشتاور خالصی را به سیم وارد خواهند کرد که منجر به دوران کل حلقه حول محور y خواهد شد. از این رو گشتاور حول مرکز حلقه برابر است با:

Magnetic-field
رابطه ۳

در رابطه بالا A=ab برابر با مساحت سطح درون حلقه است. هم‌چنین با توجه به مثبت بودن علامت گشتاور، جهت چرخش آن به‌صورت ساعتگرد و حول محور y خواهد بود. مرسوم است که برای نشان دادن مساحت، از بردار $$\overrightarrow A=A \widehat {n}$$ استفاده می‌شود که در آن $$\widehat{n}$$ نشان دهنده بردار عمود به صفحه است. در این مسئله $$\widehat{n}=+\widehat{k}$$ در نظر گرفته شده. با توجه به مفاهیم بیا‌ن شده رابطه ۳ را می‌توان به شکل برداری که در زیر آمده بیان کرد:

Magnetic-field

با توجه به رابطه بالا می‌توان فهمید در حالتی که میدان B عمود به صفحه باشد، بیشترین گشتاور ممکن به حلقه وارد خواهد شد. در حالتی عمومی‌تر فرض کنید که مطابق شکل زیر زاویه $$\widehat{n}$$ و بردار $$\overrightarrow{B}$$ برابر با $$\theta$$ است.

wire-magnetic-force

بردار‌های $$\overrightarrow{r_2}$$ و $$\overrightarrow{r_۴}$$ دقیقا عکس هم هستند. از این رو می‌توان گفت:

Magnetic-field

با توجه به نیرو‌های نشان داده شده در شکل بالا، گشتاور خالص وارد شده به سیم برابر است با:

Magnetic-field

از این رو اگر با N حلقه روبرو باشیم، اندازه گشتاور برابر است با:

Magnetic-field

مقدار $$\frac {N}{\overrightarrow{A}}$$ برابر «گشتاور دوقطبی مغناطیسی» (Magnetic Dipole Moment) نامیده می‌شود و آن را با $$\mu$$ نمایش می‌دهند. این کمیت برداری، برابر است با:

Magnetic-field

همان‌طور که در شکل زیر نشان داده شده، بردار‌های $$\overrightarrow \mu$$ و $$\overrightarrow {A}$$ در یک جهت هستند.

magnetic-force

جهت بردار $$\mu$$ را – مطابق با شکل بالا – می‌توان با استفاده از قانون دست راست تعیین کرد. در حقیقت بایستی انگشتان دست خود را در جهت جریان بچرخانید و در این حالت انگشت شست شما، جهت $$\overrightarrow \mu$$ را نشان می‌دهد. ماهیت رابطه بالا نشان می‌دهد که واحد $$\mu$$ برابر با A.m2 است. هم‌چنین گشتاور وارد به حلقه با استفاده از گشتاور دوقطبی مغناطیسی، مطابق با رابطه زیر قابل نمایش است.

Magnetic-field

کار انجام شده توسط گشتاور وارد به حلقه منجر به افزایش انرژی پتانسیل (U) می‌شود.در حالتی که این حلقه از زاویه θ۰ تا θ دوران می‌کند، تغییرات انرژی آن برابر با کار انجام شده توسط میدان مغناطیسی است که با استفاده از رابطه زیر قابل محاسبه است.

Magnetic-field

اگر انرژی پتانسیل در حالت اولیه برابر با صفر فرض شود (U0)، انرژی پتانسیل حلقه‌ای که در زاویه θ، در میدان B قرار گرفته با استفاده از رابطه زیر بیان می‌شود:

Magnetic-field

مثال ۲: میله در حال دوران روی ریل

مطابق شکل زیر میله‌ای به جرم m و شعاع R را تصور کنید که روی ریلی قرار گرفته و فاصله میان ریل برابر با b و طول آن‌ برابر با a است. میله جریان I را در خود داشته و می‌تواند آزادانه روی ریل حرکت کند. هم‌چنین $$\overrightarrow {B}$$ به‌صورت عمود به صفحه و به سمت داخل آن در نظر گرفته شده. اگر در ابتدا میله در حالت سکون باشد، سرعت نهایی آن وقتی به انتهای ریل می‌رسد، چقدر خواهد بود؟

road-rail

با توجه مفاهیم بیان شده در بالا، نیروی وارد به میله با استفاده از رابطه زیر بدست می‌آید.

Magnetic-field

کار انجام شده توسط نیروی مغناطیسی برابر است با:

Magnetic-field

با استفاده از رابطه کار-انرژی، کار انجام شده روی میله، منجر به افزایش انرژی جنبشی آن خواهد شد و یا به بیانی ریاضیاتی:

Magnetic-field

عبارت اول سمت راست معادله بالا انرژی جنبشی خطی و عبارت دوم نشان دهنده انرژی دورانی آن است. از مطلب لختی دورانی می‌دانیم که لختی دورانی میله‌ای به شعاع R حول محورش برابر با $$I= \frac {mR^2}{2}$$ و رابطه بین سرعت خطی و دورانی میله برابر با ω=v/R است. با توجه به این دو مقدار و جایگذاری آن در رابطه بالا داریم:

Magnetic-field

با حل معادله بالا، سرعت خطی میله در نقطه a برابر است با:

Magnetic-field

مثال ۳: میله معلقِ قرار گرفته در میدان مغناطیسی

میله‌ای به چگالی λ و طول l را در نظر بگیرید که توسط دو سیم به صورت معلق نگه داشته شده است. این دو سیم بخشی از یک مدار بسته را تشکیل می‌دهند که حامل جریان I است. در همین حال مطابق شکل زیر میدان B در ناحیه‌ای از فضا به سمت بیرونِ صفحه اعمال می‌شود. اگر نیروی کشش در دو سیم نگه‌دارنده صفر باشند، جهت و اندازه جریان الکتریکی چقدر است؟

wire-magnetic-force

بدیهی است که برای صفر بودن کشش دو سیم، نیروی ناشی از میدان مغناطیسی بایستی به سمت بالا و اندازه آن برابر با نیروی وزن باشد. نیروی $$\overrightarrow{F}_B$$ برابر است با:

Magnetic-field

با برابر قرار دادن نیروی بالا با نیروی گرانش داریم:

Magnetic-field

با مرتب سازی رابطه بالا بر حسب I، جریان الکتریکی برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

Magnetic-field

هم‌چنین برای این‌که نیروی مغناطیسی رو به بالا باشد، با استفاده از قانون دست راست، جهت جریان به سمت چپ بدست می‌آید. در حقیقت با قرار دادن انگشتان خود در جهت جریان و منحرف کردن آن‌ها در جهت میدان مغناطیسی، جهت انگشت شستمان جهت بالا را نشان می‌دهد که همان جهت نیروی وارد شده به میله است.

مغناطیس از مباحث جذاب فیزیک و برق به حساب می‌آید که پیش‌نیازی مهم برای دانشجویان فیزیک و مهندسی برق است. از این رو پیشنهاد می‌شود جهت تسلط بیشتر می‌توانید از این آموزش استفاده کنید. هم‌چنین در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی برق و فیزیک آموزش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شود:

^^

telegram
twitter

مجید عوض زاده

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 3 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *