ریاضی , علوم پایه 299 بازدید

پیش‌تر در مطلبی به بررسی و نحوه استفاده از قانون سینوس‌ها پرداختیم. در این قسمت قصد داریم تا قانون کسینوس‌ها را معرفی کنیم. از این قانون نیز می‌توان جهت محاسبه زوایا و طول اضلاع در یک مثلث استفاده کرد.

فرمول قانون کسینوس‌ها

جهت معرفی این قانون، مثلثی را مطابق با شکل زیر با طول اضلاع و زوایای نشان داده شده در نظر بگیرید.

law-of-cosines

این قانون رابطه بین دو طول از مثلث (a,b) و زاویه میانشان (C) را به‌صورت زیر بیان می‌کند:

law-of-cosines

همان‌طور که از رابطه بالا نیز معلوم است، با داشتن دو ضلع و زاویه بینشان، می‌توان ضلع مقابل زاویه مذکور را بدست آورد. جهت درک نحوه استفاده از این قانون، به مثال زیر توجه فرمایید.

مثال 1

با توجه به مثلث زیر طول ضلع c را بدست آورید.

law-of-cosines

همان‌گونه که در شکل فوق نیز مشاهده می‌کنید، مثلث ارائه شده قائم الزاویه نیست؛ از این رو نمی‌توان رابطه فیثاغورس را برای آن نوشت. در نتیجه بایستی از راه جدیدی برای بدست آوردن طولِ c استفاده کنیم. همان‌طور که در شکل مشخص شده، طول دو ضلع و زاویه بین آن‌ها در این مثلث معلوم است؛ در نتیجه به‌نظر می‌رسد می‌توان از قانون کسینوس‌ها استفاده کرد.

مطابق با قانون کسینوس‌ها داریم:

law-of-cosines

با قرار دادن اندازه‌های نشان داده شده در رابطه فوق، می‌توان گفت:

law-of-cosines

در نتیجه:

law-of-cosines

نهایتا با گرفتن جذر از دو طرف عبارت بالا، اندازه c برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

law-of-cosines

نحوه به‌خاطر سپردن قانون کسینوس‌ها

احتمالا با رابطه فیثاغورس آشنایی دارید. همان‌طور که می‌دانید رابطه فیثاغورس برای مثلثی با وتر c و ضلع‌های a و b، برابر است با:

law-of-cosines

قانون کسینوس‌ها نیز بسیار مشابه با رابطه بالا است. در حقیقت در این قانون تنها یک عبارت اضافه شده که در فرمول زیر با رنگ بنفش مشخص شده.

law-of-cosines

از این رو به‌ خاطر سپردن رابطه قانون کسینوس‌ها:

  1. abc را معادل با a2+b2=c2 فرض کنید.
  2. abc دوم را نیز برابر با (2ab cos(C در نظر بگیرید.
  3. با استفاده از دو بیان ارائه شده در بالا، قانون کسینوس‌ها را برابر با رابطه a2+b2-2ab cos C=c2 به خاطر آورید.

زمان استفاده از این قانون

قانون کسینوس‌ها در موارد زیر کاربرد دارد:

  • بدست آوردن ضلع یک مثلث، زمانی که اندازه دو ضلع دیگر و زاویه بین آن‌ها معلوم باشد.
  • بدست آوردن زوایای یک مثلث، زمانی که اندازه هر سه‌ ضلع معلوم باشد.

مثال 2

زاویه C را در مثلث زیر بدست آورید.

law-of-cosines

در ابتدا بایستی نگاه کنید و ببینید که زاویه C مقابل کدام ضلع قرار گرفته است. با توجه به شکل فوق زاویه C، مقابلِ ضلعی با اندازه ۸ است. بنابراین ضلع مذکور برابر با c و دو ضلع دیگر a و b هستند [مهم نیست کدام‌یک از دو ضلعِ باقیمانده را a و کدام‌یک را b تصور کنید]. با جایگذاری مقادیر a,b,c در رابطه مربوط به قانون کسینوس‌ها، داریم:

law-of-cosines

با استفاده از عبارت بالا مقدار cos C بدست می‌آید. در حقیقت اگر بخواهیم اندازه زاویه C را بدست آوریم، بایستی از مفهوم تابع معکوس مثلثاتی استفاده کنیم. در نتیجه در ادامه، ابتدا cos C و سپس با اعمال تابع معکوس روی آن، اندازه زاویه C را بدست می‌آوریم. در نتیجه به‌ترتیب زیر عمل می‌کنیم:

law-of-cosines

شکل‌های دیگر قانون کسینوس‌ها

جهت بیان قانون کسینوس‌ها می‌توان از فرمول‌های دیگری نیز استفاده کرد. بسته به نیاز ما در یک مسئله هرکدام از این روش‌ها می‌توانند مفید باشند.

فرمول بدست آوردن زاویه

در مثال 2 بیان کردیم که چگونه می‌توان با استفاده از معلوم بودن اندازه اضلاع، اندازه یک زاویه را یافت. در زیر سه رابطه ارائه شده که می‌توان با استفاده‌ی مستقیم از آن‌ها اندازه زوایای یک مثلث را یافت. جهت ارائه این فرمول‌ها مثلثی را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید.

law-of-cosines

در این مثلث، اندازه اضلاع a,b,c معلوم بوده و هدف ما محاسبه زوایای A,B,C است. جهت بدست آوردن زوایای مذکور می‌توانید از فرمول‌های زیر استفاده کنید.

law-of-cosines

مثال 3

زاویه C نشان داده شده در شکل زیر را با استفاده از قانون کسینوس‌ها بدست آورید.

law-of-cosines

همان‌طور که در شکل بالا نشان داده شده، اندازه اضلاع مثلث معلوم است. در اولین گام بایستی اضلاع a,b,c را نام‌گذاری کنیم. از این رو اندازه‌های این مثلث را به‌شکل زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

law-of-cosines

با استفاده از قانون کسینو‌س‌ها (فرمول بدست آوردن زاویه)، کسینوسِ زاویه‌ی C و نهایتا اندازه خود زاویه به‌شکل زیر بدست می‌آیند.

law-of-cosines

فرمول بدست آوردن ضلع

جهت بدست آوردن اندازه اضلاع یک مثلث نیز می‌توان از فرمول بیان شده در ابتدای این مطلب استفاده کرد. این فرمول را می‌توان به سه شکل زیر بیان کرد:

law-of-cosines

راحت‌تر این است که رابطه شماره 3 را حفظ کنید و متناسب با آن اضلاع را a,b,c نام‌گذاری کنید.

مثال 4

اندازه ضلع z را در مثلث زیر بیابید.

law-of-cosines

در شکل مشاهده می‌کنید که نام‌گذاری اضلاع متفاوت است؛ اما این مسئله مهم نیست! در حقیقت در قانون کسینوس‌ها به‌ جای c از z استفاده می‌شود. بنابراین جهت بدست آوردن z به‌ترتیب زیر عمل کنید.

قانون کسینوس‌ ها

توجه داشته باشید که کسینوس زاویه 131 درجه منفی است؛ این امر در روابط بالا نیز در نظر گرفته شده است.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه و هندسه آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 3 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *