فرادرسقانون کسینوس ها – به زبان ساده
پیشتر در مطلبی به بررسی و نحوه استفاده از قانون سینوسها پرداختیم. در این قسمت قصد داریم تا قانون کسینوسها را معرفی کنیم. از این قانون نیز میتوان جهت محاسبه زوایا و طول اضلاع در یک مثلث استفاده کرد.
فرمول قانون کسینوسها
جهت معرفی این قانون، مثلثی را مطابق با شکل زیر با طول اضلاع و زوایای نشان داده شده در نظر بگیرید.
این قانون رابطه بین دو طول از مثلث (a,b) و زاویه میانشان (C) را بهصورت زیر بیان میکند:
همانطور که از رابطه بالا نیز معلوم است، با داشتن دو ضلع و زاویه بینشان، میتوان ضلع مقابل زاویه مذکور را بدست آورد. جهت درک نحوه استفاده از این قانون، به مثال زیر توجه فرمایید.
مثال ۱
با توجه به مثلث زیر طول ضلع c را بدست آورید.
همانگونه که در شکل فوق نیز مشاهده میکنید، مثلث ارائه شده قائم الزاویه نیست؛ از این رو نمیتوان رابطه فیثاغورس را برای آن نوشت. در نتیجه بایستی از راه جدیدی برای بدست آوردن طولِ c استفاده کنیم. همانطور که در شکل مشخص شده، طول دو ضلع و زاویه بین آنها در این مثلث معلوم است؛ در نتیجه بهنظر میرسد میتوان از قانون کسینوسها استفاده کرد.
مطابق با قانون کسینوسها داریم:
با قرار دادن اندازههای نشان داده شده در رابطه فوق، میتوان گفت:
در نتیجه:
نهایتا با گرفتن جذر از دو طرف عبارت بالا، اندازه c برابر با مقدار زیر بدست میآید.
نحوه بهخاطر سپردن قانون کسینوسها
احتمالا با رابطه فیثاغورس آشنایی دارید.
همانطور که میدانید رابطه فیثاغورس برای مثلثی با وتر c و ضلعهای a و b، برابر است با:
قانون کسینوسها نیز بسیار مشابه با رابطه بالا است. در حقیقت در این قانون تنها یک عبارت اضافه شده که در فرمول زیر با رنگ بنفش مشخص شده.
از این رو، برای به خاطر سپردن رابطه قانون کسینوسها:
- abc را معادل با a2+b2=c2 فرض کنید.
- abc دوم را نیز برابر با (2ab cos(C در نظر بگیرید.
- با استفاده از دو بیان ارائه شده در بالا، قانون کسینوسها را برابر با رابطه a2+b2-2ab cos C=c2 به خاطر آورید.
زمان استفاده از این قانون
قانون کسینوسها در موارد زیر کاربرد دارد:
- بدست آوردن ضلع یک مثلث، زمانی که اندازه دو ضلع دیگر و زاویه بین آنها معلوم باشد.
- بدست آوردن زوایای یک مثلث، زمانی که اندازه هر سه ضلع معلوم باشد.
مثال ۲
زاویه C را در مثلث زیر بدست آورید.
در ابتدا بایستی نگاه کنید و ببینید که زاویه C مقابل کدام ضلع قرار گرفته است. با توجه به شکل فوق زاویه C، مقابلِ ضلعی با اندازه ۸ است. بنابراین ضلع مذکور برابر با c و دو ضلع دیگر a و b هستند [مهم نیست کدامیک از دو ضلعِ باقیمانده را a و کدامیک را b تصور کنید]. با جایگذاری مقادیر a,b,c در رابطه مربوط به قانون کسینوسها، داریم:
با استفاده از عبارت بالا مقدار cos C بدست میآید. در حقیقت اگر بخواهیم اندازه زاویه C را بدست آوریم، بایستی از مفهوم تابع معکوس مثلثاتی استفاده کنیم. در نتیجه در ادامه، ابتدا cos C و سپس با اعمال تابع معکوس روی آن، اندازه زاویه C را بدست میآوریم. در نتیجه بهترتیب زیر عمل میکنیم:
شکلهای دیگر قانون کسینوسها
جهت بیان قانون کسینوسها میتوان از فرمولهای دیگری نیز استفاده کرد. بسته به نیاز ما در یک مسئله هرکدام از این روشها میتوانند مفید باشند.
فرمول بدست آوردن زاویه
در مثال ۲ بیان کردیم که چگونه میتوان با استفاده از معلوم بودن اندازه اضلاع، اندازه یک زاویه را یافت. در زیر سه رابطه ارائه شده که میتوان با استفادهی مستقیم از آنها اندازه زوایای یک مثلث را یافت. جهت ارائه این فرمولها مثلثی را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید.
در این مثلث، اندازه اضلاع a,b,c معلوم بوده و هدف ما محاسبه زوایای A,B,C است. جهت بدست آوردن زوایای مذکور میتوانید از فرمولهای زیر استفاده کنید.
مثال ۳
زاویه C نشان داده شده در شکل زیر را با استفاده از قانون کسینوسها بدست آورید.
همانطور که در شکل بالا نشان داده شده، اندازه اضلاع مثلث معلوم است. در اولین گام بایستی اضلاع a,b,c را نامگذاری کنیم. از این رو اندازههای این مثلث را بهشکل زیر نامگذاری میکنیم.
با استفاده از قانون کسینوسها (فرمول بدست آوردن زاویه)، کسینوسِ زاویهی C و نهایتا اندازه خود زاویه بهشکل زیر بدست میآیند.
فرمول بدست آوردن ضلع
جهت بدست آوردن اندازه اضلاع یک مثلث نیز میتوان از فرمول بیان شده در ابتدای این مطلب استفاده کرد. این فرمول را میتوان به سه شکل زیر بیان کرد:
راحتتر این است که رابطه شماره ۳ را حفظ کنید و متناسب با آن اضلاع را a,b,c نامگذاری کنید.
مثال ۴
اندازه ضلع z را در مثلث زیر بیابید.
در شکل مشاهده میکنید که نامگذاری اضلاع متفاوت است؛ اما این مسئله مهم نیست! در حقیقت در قانون کسینوسها به جای c از z استفاده میشود. بنابراین جهت بدست آوردن z بهترتیب زیر عمل کنید.
توجه داشته باشید که کسینوس زاویه ۱۳۱ درجه منفی است؛ این امر در روابط بالا نیز در نظر گرفته شده است.
در صورت علاقهمندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه و هندسه آموزشهای زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
- مجموعه آموزشهای ریاضیات
- مجموعه آموزشهای دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی
- آموزش محاسبات سریع ریاضی
- مجموعه آموزشهای ریاضی و فیزیک
- بردار و اسکالر — به زبان ساده
- آموزش جامع هندسه دبیرستان
^^
سلام و سپاس
بهتر است در قسمت “نحوه بهخاطر سپردن قانون کسینوسها”، در جمله “از این رو به خاطر سپردن رابطه قانون کسینوسها”، “برای” اضاف شود.
سلام. متن اصلاح شد.
از همراهی و بازخوردتان بسیار سپاسگزاریم.
سلام
در قانون کسینوس ها یه رابطه دیگر هم هست که در بدست اوردن برآیند بردار استفاده میشود، و قبل از جمله2ab (cos x به جای منفی، مثبت هست.
فرقشون در چیه؟ استفاده از هرکدام از این رابطه ها جواب های متفاوتی بدست میاد
سلام.
قانون کسینوسها به نوعی اندازه تفاضل دو بردار را نشان میدهد. علامت 2abcosx در تفاضل دو بردار منفی و در جمع آنها مثبت است.
از همراهی شما با مجله فرادرس خوشحالیم.
چقدر این آموزکهای تصویریتون خوبه. دمتون گرم و خسته نباشید 🙂
سلام و ممنون از سایت خوب شما
یک مثلث متساوی الساقین داریم که طول دو ساق آن 5 سانتیمتر است (این دو ساق شعاعی در کمتر از یک چهارم یک دایره هستند) چطور میشه زاویه یا ضلع سوم را بدون داشتن اندازه های دیگر بدست آورد.
دستتون درد نکنه.مطلب بسیار ساده توضیح داده شده و بسیار مفید.بابت سایتتون ممنون
تنها مشکل من اینه که نمیفهمم چطور عدد کسینوس تبدیل به درجه شد چون ماشین حساب ی عدد کاملا متفاوت نشون میده اگه میشه راهنمایی کنید
از بازخورد شما ممنون و خرسند هستیم.
عددی که در ماشین حساب مشاهده میفرمایید، بر حسب رادیان است. البته در تنظیمات ماشین حساب مهندسی میتوان رادیان یا درجه بودن عدد خروجی را انتخاب کرد. با این حال عددی که در سوال مطرح فرمودید را در ۱۸۰ ضرب کرده، سپس به ۳.۱۴ تقسیم کنید. با انجام این کار عدد ارائه شده در مطلب بدست خواهد آمد.