طول قوس منحنی (کاربرد انتگرال) – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

این مطلب به صورت دقیق به بررسی روابط مختلف مربوط به طول قوس منحنی می‌پردازد و با استفاده از چند مثال، شیوه استفاده از این روابط را مورد ارزیابی قرار می‌دهد.

طول قوس منحنی

همانطور که اشاره شد، در این بخش، ما به دنبال یافتن راهی برای محاسبه طول قوس منحنی یا طول منحنی یک تابع در یک بازه مشخص هستیم. در واقع این مطلب به دنبال یافتن طول تابع پیوسته $${ { y } = { f } \left ( { x } \right ) }$$ در بازه $${ \left [ { a , b } \right ] }$$ است. نکته دیگر این است که برای محاسبه طول قوس منحنی، باید فرض کنیم که مشتق تابع نیز در محدوده $${ \left [ { a , b } \right ] }$$ به صورت یک تابع پیوسته قرار دارد.

توجه کنید که در این قسمت در ابتدا ما باید طول قوس منحنی را تخمین بزنیم. این کار را با تقسیم کردن آن به $${ n }$$ زیر بازه مساوی انجام می‌دهیم. این موضوع در شکل زیر به تصویر کشیده شده است.

در این فرایند، عرض بازه‌های $${ \Delta x }$$ با یکدیگر برابر هستند. در واقع این منحنی به کمک نقاط $${ P _ i }$$ به $${ n }$$ زیر بازه تقسیم شده است. در ادامه و همانطور که در شکل بالا نشان داده شده، شکل منحنی را به کمک یک سری خط‌های یکنواخت تخمین می‌زنیم. این خط‌های یکنواخت به کمک وصل شدن نقاط $${ P _ i }$$ به یکدیگر به وجود آمده است. توجه کنید که شکل بالا با استفاده از ۹ نقطه رسم شده است و مقدار پارامتر $${ n }$$ در روابط آن برابر با $${ n = 9 }$$ در نظر گرفته می‌شود.

در ادامه، برای محاسبه طول کلی منحنی در بازه نشان داده شده، طول هرکدام از پاره‌خط‌ها یعنی $${ \left | { { { P } _ { { i } - 1 } } \, \, { P _ { i } } } \right | }$$ را مورد ارزیابی قرار می‌دهیم. بنابراین طول کلی منحنی داده شده به شکل زیر بیان می‌شود.

$${ \large L \approx \sum\limits_{a}^b { \left | { { { P } _ { i - 1 } } \, \, { P_i } } \right | } }$$

$${ \large L = \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { \left | { { P _ { i - 1 } } \, \, { P _ i } } \right | } }$$

$${ \left | { { P _ { i - 1 } } \, \, { P _ i } } \right | = \sqrt { { { \left ( { { x _ i } - { x _ { i - 1 } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { { y _ i } - { y _ { i - 1 } } } \right ) } ^ 2 } } = \sqrt { \Delta { x ^ 2 } + \Delta y _ i ^ 2 } }$$

$${ \large \begin {align*} f \left ( { { x _ i } } \right ) - f \left ( { { x _ { i - 1 } } } \right ) & = f ^ \prime \left ( { x _ i ^ *} \right ) \left ( { { x _ i } - { x _ { i - 1 } } } \right ) \\ \end{align*} }$$

$${ \large \begin {align*} \Delta { y _ i } = f ^ \prime \left ( { x _ i ^ * } \right ) \Delta x \end {align*} }$$

بنابراین رابطه طول خط $${ \left | { { { P } _ { { i } - 1 } } \, \, { P _ { i } } } \right | }$$ را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد.

$${ \large \begin {align*} \left | { { P _ { i - 1 } } \, \, { P _ i } } \right | & = \sqrt { { { \left ( { { x _ i } - { x _ { i - 1 } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { { y _ i } - { y _ { i - 1 } } } \right ) } ^ 2 } } \\ & = \sqrt { \Delta { x ^ 2 } + { { \left [ { f ^ \prime \left ( { x _ i ^ * } \right ) } \right ] } ^ 2 } \Delta { x ^ 2 } } \\ & = \sqrt { 1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( { x _ i ^ * } \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, \, \, \Delta x \end {align*} }$$

بنابراین طول دقیق قوس منحنی نشان داده شده را می‌توان به کمک رابطه زیر به دست آورد.

$${ \large \begin {align*} L & = \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { \left | { { P _ { i - 1 } } \, \, { P _ i } } \right | } \\ & = \mathop { \lim } \limits _ { n \to \infty } \sum \limits _ { i = 1 } ^ n { \sqrt { 1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( { x _ i ^ * } \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, \, \, \Delta x } \end {align*} }$$

در ادامه به کمک تعریف انتگرال، طول قوس منحنی را می‌توان با استفاده از رابطه انتگرالی زیر محاسبه کرد.

$${ \large L = \int _ { { \, a } } ^ { { \, b } } { { \sqrt { 1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, d x } } }$$

البته شیوه نمایش رابطه فوق به شکل زیر، در کتب مختلف رایج‌تر است.

$${ \large L = \int _ { { \, a } } ^ { { \, b } } { { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } }{ { d x } } } \right ) } ^ 2 } } \, d x } } }$$

به صورت مشابه می‌توان بیان کرد که اگر رابطه ما به شکل $${ x = h \left ( y \right ) }$$ و در بازه $${ \left [ { c , d } \right ] }$$ موجود باشد، رابطه زیر را برای محاسبه طول قوس منحنی می‌توان بیان کرد.

$${ \large L = \int _ { { \, c } } ^ { { \, d } } { { \sqrt { 1 + { { \left [ { h ^ \prime \left ( y \right ) } \right ] } ^ 2 } } \, d y } } = \int _ { { \, c } } ^ { { \, d } } { { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d x } } { { d y } } } \right ) } ^ 2 } } \, d y } } }$$

همانطور که در دو رابطه بالا مشاهده می‌شود، عبارت زیر انتگرال در رابطه اول، مشتق y نسبت به x را بیان می‌کند و همچنین عبارت زیر انتگرال در رابطه دوم بیان کننده مشتق x نسبت به y است. بنابراین در این قسمت یک فرمول کلی برای محاسبه طول قوس منحنی ارائه خواهیم کرد. این فرمول به شکل زیر نشان داده می‌شود.

$${ \large L = \int { { d s } } }$$

$$ { \large \begin {array} { * { 2 0 } { l } } \begin {align*} d s & = \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } \, d x \, \hspace { 0.25 in } { \mbox { if } } y = f \left ( x \right ) , \, \, a \le x \le b \\ d s & = \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d x } } { { d y } } } \right ) } ^ 2 } } \, d y \, \hspace { 0.25 in } { \mbox { if } } x = h \left ( y \right ) , \, \, c \le y \le d \end {align*} \end {array} } $$