مشتق کسری توان دار – به زبان ساده + مثال و تمرین

۷۴۳۳ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۵ مرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴۱ دقیقه
دانلود PDF مقاله
مشتق کسری توان دار – به زبان ساده + مثال و تمرینمشتق کسری توان دار – به زبان ساده + مثال و تمرین

مشتق کسری توان دار، یکی از حالت‌های مشتق‌گیری از تقسیم توابع است. برای به دست آوردن مشتق کسری توان دار، از انواع فرمول‌های مشتق استفاده می‌شود. البته فرمول مشتق تقسیم دو تابع، یک فرمول ثابت در مشتق گیری از توابع کسری توان دار به حساب می‌آید. به عنوان مثال، تابع f(x)=۱x۲f ( x ) = \frac { ۱ } { x ^ ۲ } را در نظر بگیرید. برای مشتق‌گیری از این تابع، از فرمول‌های مشتق تقسیم دو تابع و مشتق تابع توانی یا مشتق زنجیره‌ای استفاده می‌شود. در این مقاله از مجله فرادرس، به آموزش نحوه محاسبه مشتق کسری توان دار به همراه حل چندین مثال و تمرین متنوع (چندجمله‌ای، رادیکالی، نمایی، مثلثاتی، جزئی و ضمنی) می‌پردازیم.

997696

مشتق توابع کسری چگونه بدست می آید؟

تابع زیر را در نظر بگیرید:

f(x)=u(x)v(x)f ^ { \prime } ( x ) = \frac { u ( x ) }{ v ( x ) }

f(x)f ( x )، یک تابع کسری است که از تقسیم دو تابع دیگر به دست می‌آید. فرمول مشتق کسری برای این تابع به صورت زیر نوشته می‌شود:

f(x)=ddx[u(x)v(x)]=u(x)v(x)v(x)u(x)v۲(x)f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }

u(x)u ( x ) و v(x)v ( x )، از انواع توابع ریاضی با شرایط زیر هستند:

  1. مشتق u(x)u ( x ) و v(x)v ( x ) در نقطه مورد نظر وجود داشته باشد (u(x)u ( x ) و v(x)v ( x ) در نقطه مورد نظر، مشتق‌پذیر باشند).
  2. v(x)v ( x ) و مشتق آن برابر با صفر نباشد.

مثال ۱: مشتق تقسیم دو تابع

مشتق ۳x+۹۲x\frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } را به دست بیاورید.

عبارت ۳x+۹۲x\frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x }، از تقسیم دو تابع خطی (با توان ۱) تشکیل شده است. برای تعیین مشتق این تابع کسری می‌توانیم از قاعده تقسیم در مشتق‌گیری استفاده کنیم. این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddx[u(x)v(x)]=u(x)v(x)v(x)u(x)v۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }

به منظور استفاده از رابطه بالا، صورت ۳x+۹۲x\frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } را برابر با u(x)u ( x ) و مخرج آن را برابر با v(x)v ( x ) در نظر گرفته و از آن‌ها به طور جداگانه مشتق می‌گیریم:

u(x)=۳x+۹u ( x ) = ۳ x + ۹

v(x)=۲xv ( x ) = ۲ - x

u(x)=۳u ^ { \prime } ( x ) = ۳

v(x)=۱v ^ { \prime } ( x ) = - ۱

تصویر تزئینی مشتق کسری توان دار

اکنون، پارامترهای بالا را درون فرمول مشتق تقسیم دو تابع قرار می‌دهیم:

ddx(۳x+۹۲x)=۳(۲x)(۱)(۳x+۹)(۲x)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } \right ) = \frac { ۳ ( ۲ - x ) – ( - ۱ ) ( ۳ x + ۹ ) }{ ( ۲ - x ) ^ ۲ }

ddx(۳x+۹۲x)=(۶۳x)(۳x۹)(۲x)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } \right ) = \frac { ( ۶ - ۳ x ) – ( - ۳ x - ۹ ) }{ ( ۲ - x ) ^ ۲ }

ddx(۳x+۹۲x)=۶۳x+۳x+۹(۲x)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } \right ) = \frac { ۶ - ۳ x + ۳ x + ۹ }{ ( ۲ - x ) ^ ۲ }

ddx(۳x+۹۲x)=۱۵(۲x)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } \right ) = \frac { ۱۵ }{ ( ۲ - x ) ^ ۲ }

به این ترتیب، مشتق تقسیم دو تابع خطی را به دست آوردیم.

مشتق کسری توان دار چگونه بدست می آید؟

در بخش قبلی، فرمول مشتق توابع کسری را با یک مثال ساده توضیح دادیم. در این بخش، به آموزش نحوه تعیین مشتق کسری توان دار به همراه حل چند مثال متنوع می‌پردازیم.

مثال ۲: مشتق کسری دو تابع چند جمله ای توان دار

توابع زیر را در نظر بگیرید:

f(x)=x۴۶xf ( x ) = x ^ ۴ - ۶ x

g(x)=۲x۲+۷x۲g ( x ) = ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲

مشتق f(x)g(x)\frac { f ( x ) } { g ( x ) } را به دست بیاورید.

این مثال، مشتق کسری توان دار زیر را از ما می‌خواهد:

ddx[f(x)g(x)]=ddx(x۴۶x۲x۲+۷x۲)\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ]= \frac { d } { d x } \left ( \frac { x ^ ۴ - ۶ x } { ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ } \right )

به مظور تعیین مشتق خواسته شده، ابتدا فرمول مشتق‌گیری از توابع کسری را می‌نویسیم:

ddx[u(x)v(x)]=u(x)v(x)v(x)u(x)v۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }

برای سادگی فرآیند حل، این فرمول را با f(x)f ( x ) و g(x)g ( x ) بازنویسی می‌کنیم:

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)g(x)f(x)g۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ] = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ^ ۲( x ) }

در این رابطه، علاوه بر f(x)f ( x ) و g(x)g ( x )، به مشتق آن‌ها نیز نیاز داریم. مشتق این توابع چندجمله‌ای عبارت است از:

f(x)=ddx(x۴۶x)=۴x۳۶f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } ( x ^ ۴ - ۶ x ) = ۴ x^ ۳ - ۶

g(x)=ddx(۲x۲+۷x۲)=۴x+۷g ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } ( ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ ) = ۴ x + ۷

به این ترتیب، داریم:

ddx[f(x)g(x)]=(۴x۳۶)(۲x۲+۷x۲)(۴x+۷)(x۴۶x)(۲x۲+۷x۲)۲\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ] = \frac { ( ۴ x^ ۳ - ۶ ) ( ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ ) – ( ۴ x + ۷ ) ( x ^ ۴ - ۶ x ) }{ ( ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ ) ^ ۲ }

ddx[f(x)g(x)]=۴x۵+۲۱x۴۸x۳+۱۲x۲+۱۲(۲x۲+۷x۲)۲\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ] = \frac { ۴ x ^ ۵ + ۲۱ x ^ ۴ - ۸ x ^ ۳ + ۱۲ x ^ ۲ + ۱۲ }{ ( ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ ) ^ ۲ }

مثال ۳: مشتق کسری توابع توان دار

مشتق کسری توان دار تابع F(x)=x۲sin۲(x)F ( x ) = \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } چه می‌شود؟

برای مشتق‌گیری از تابع F(x)F ( x )، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

ddx[u(x)v(x)]=u(x)v(x)v(x)u(x)v۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }

با توجه به فرمول، داریم:

u(x)=x۲u ( x ) = x ^ ۲

v(x)=sin۲(x)v ( x ) = \sin ^ ۲ ( x )

u(x)=۲xu ^ { \prime } ( x ) = ۲ x

v(x)=۲sin(x)cos(x)v ^ { \prime } ( x ) = ۲ \sin ( x ) \cos ( x )

ddx[x۲sin۲(x)]=۲xsin۲(x)۲sin(x)cos(x)(x۲)[sin۲(x)]۲\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac {۲ x \sin ^ ۲ ( x ) – ۲ \sin ( x ) \cos ( x ) ( x ^ ۲ ) }{ \left [ \sin ^ ۲ ( x ) \right ] ^ ۲ }

ddx[x۲sin۲(x)]=۲xsin۲(x)۲x۲sin(x)cos(x)sin۴(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac {۲ x \sin ^ ۲ ( x ) – ۲ x ^ ۲ \sin ( x ) \cos ( x ) }{ \sin ^ ۴ ( x ) }

ddx[x۲sin۲(x)]=sin(x)[۲xsin(x)۲x۲cos(x)]sin۴(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac { \sin ( x ) \left [ ۲ x \sin ( x ) – ۲ x ^ ۲ \cos ( x ) \right ] }{ \sin ^ ۴ ( x ) }

ddx[x۲sin۲(x)]=۲xsin(x)۲x۲cos(x)sin۳(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac { ۲ x \sin ( x ) – ۲ x ^ ۲ \cos ( x ) }{ \sin ^ ۳ ( x ) }

ddx[x۲sin۲(x)]=۲xsin(x)sin۳(x)۲x۲cos(x)sin۳(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac { ۲ x \sin ( x ) }{ \sin ^ ۳ ( x ) } - \frac { ۲ x ^ ۲ \cos ( x ) }{ \sin ^ ۳ ( x ) }

ddx[x۲sin۲(x)]=۲xsin۲(x)۲x۲sin۲(x)cos(x)sin(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac { ۲ x }{ \sin ^ ۲ ( x ) } - \frac { ۲ x ^ ۲ }{ \sin ^ ۲ ( x ) }\frac { \cos ( x ) }{ \sin ( x ) }

ddx[x۲sin۲(x)]=۲xcsc۲(x)۲x۲csc۲(x)cot(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = ۲ x \csc ^ ۲ ( x ) - ۲ x ^ ۲ \csc ^ ۲ ( x ) \cot ( x )

مثال ۴: مشتق کسری توان دار

مشتق کسری توان دار ddx(۱x)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ را به دست بیاورید.

تابع زیر را در نظر بگیرید:

F(x)=un(x)F ( x ) = u ^ n ( x )

مشتق تابع بالا با استفاده از رابطه زیر (قاعده زنجیره‌ای) تعیین می‌شود:

F(x)=nu(x)un۱(x)F ^ { \prime } ( x ) = n u ^ { \prime } ( x ) u ^ { n - ۱ } ( x )

با کمک این رابطه، برای به دست آوردن ddx(۱x)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲، ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:

۱x=u(x)\frac { ۱ } { x } = u ( x )

به این ترتیب:

(۱x)۲=u۲(x)\left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = u ^ ۲ ( x )

از دو طرف معادله بالا مشتق می‌گیریم:

ddx(۱x)۲=ddxu۲(x)\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = \frac { d } { d x } u ^ ۲ ( x )

بر اساس قاعده زنجیره‌ای، داریم:

ddx(۱x)۲=۲ddxu(x)u(۲۱)(x)\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \frac { d } { d x } u ( x ) u ^ {( ۲ - ۱ ) } ( x )

ddx(۱x)۲=۲ddx(۱x)(۱x)(۲۱)\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ {( ۲ - ۱ ) }

ddx(۱x)۲=۲ddx(۱x)(۱x)\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) \left ( \frac{ ۱ } { x } \right )

رابطه به دست آمده را تا به اینجا به خاطر بسپارید. بر اساس فرمول مشتق کسری، مشتق یک به روی ایکس برابر است با:

ddx(۱x)=ddx۱×xddxx×۱x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) = \frac { \frac { d }{ d x } ۱ \times x - \frac { d }{ d x } x \times ۱}{ x ^ ۲ }

ddx(۱x)=۰×x۱×۱x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) = \frac { ۰ \times x - ۱ \times ۱}{ x ^ ۲ }

ddx(۱x)=۰۱x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) = \frac { ۰ - ۱ }{ x ^ ۲ }

ddx(۱x)=۱x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) = - \frac { ۱ }{ x ^ ۲ }

در نتیجه:

ddx(۱x)۲=۲(۱x۲)(۱x)\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \left (- \frac { ۱ }{ x ^ ۲ } \right ) \left ( \frac{ ۱ } { x } \right )

ddx(۱x)۲=۲x۳\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = - \frac { ۲ }{ x ^ ۳ }

مشتق کسری رادیکالی

فرمول‌های مشتق توابع رادیکالی به صورت زیر نوشته می‌شود:

f(x)=xf ( x ) = \sqrt { x }

f(x)=۱۲xf ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x } }

F(x)=u(x)F ( x ) = \sqrt { u ( x ) }

F(x)=u(x)۲u(x)F ^ { \prime } ( x ) = \frac { u ^ { \prime } ( x ) }{ ۲ \sqrt { u ( x ) } }

مثال ۵: مشتق رایکالی

مشتق x۲+۴x\sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } را تعیین کنید.

مشتق مورد سوال به صورت زیر تعیین می‌شود:

ddx(x۲+۴x)=ddx(x۲+۴x)۲x۲+۴x\frac { d } { d x } \left ( \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } \right ) = \frac { \frac { d } { d x } \left ( x ^ ۲ + ۴ x \right ) }{ ۲ \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } }

ddx(x۲+۴x)=۲x+۴۲x۲+۴x\frac { d } { d x } \left ( \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } \right ) = \frac { ۲ x + ۴ }{ ۲ \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } }

ddx(x۲+۴x)=۲(x+۲)۲x۲+۴x\frac { d } { d x } \left ( \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } \right ) = \frac { ۲ ( x + ۲ ) }{ ۲ \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } }

ddx(x۲+۴x)=x+۲x۲+۴x\frac { d } { d x } \left ( \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } \right ) = \frac { x + ۲ }{ \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } }

مثال ۶: مشتق کسری زیر رادیکال

مشتق تابع F(x)=excos(x)F ( x ) = \sqrt { \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } } را تعیین کنید.

به منظور تعیین مشتق F(x)F ( x )، عبارت زیر رادیگال را برابر با تابعی مانند u(x)u ( x ) در نظر می‌گیریم:

u(x)=excos(x)u ( x ) = \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) }

می‌دانیم که مشتق F(x)=u(x)F ( x ) = \sqrt { u ( x ) } از رابطه زیر به دست می‌آید:

F(x)=u(x)۲u(x)F ^ { \prime } ( x ) = \frac { u ^ { \prime } ( x ) }{ ۲ \sqrt { u ( x ) } }

بنابراین، برای استفاده از رابطه بالا، باید مشتق u(x)u ( x ) را به دست بیاوریم. این مشتق برابر است با:

u(x)=ddx[excos(x)]u ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left [ \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } \right ]

بر اساس رابطه مشتق کسری، داریم:

ddx[excos(x)]=[ddxex]cos(x)[ddxcos(x)]excos۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } \right ] = \frac { \left [ \frac { d } { d x } e ^ x \right ] \cos ( x ) - \left [ \frac { d } { d x }\cos ( x ) \right ] e ^ x }{ \cos ^ ۲ ( x )}

ddx[excos(x)]=excos(x)[sin(x)]excos۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } \right ] = \frac { e ^ x \cos ( x ) - \left [ - \sin ( x ) \right ] e ^ x }{ \cos ^ ۲ ( x )}

ddx[excos(x)]=excos(x)+exsin(x)cos۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } \right ] = \frac { e ^ x \cos ( x ) + e ^ x \sin ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x )}

u(x)u ( x ) و u(x)u ^ { \prime } ( x ) را درون فرمول FF ^ { \prime } قرار می‌دهیم:

F(x)=u(x)۲u(x)F ^ { \prime } ( x ) = \frac { u ^ { \prime } ( x ) }{ ۲ \sqrt { u ( x ) } }

F(x)=excos(x)+exsin(x)cos۲(x)۲excos(x)F ^ { \prime } ( x ) = \frac { \frac { e ^ x \cos ( x ) + e ^ x \sin ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x )} }{ ۲ \sqrt { \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } } }

پس از ساده‌سازی عبارت‌های صورت و مخرج، به جواب زیر می‌رسیم:

ddx[excos(x)]=ex+extan(x)۲excos(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } \right ] = \frac { e ^ x + e ^ x \tan ( x ) }{ ۲ \sqrt { e ^ x \cos ( x ) } }

مثال ۷: مشتق با توان کسری

حاصل ddx(x۳۲)\frac { d } { d x } \left ( x ^ { \frac { ۳ } { ۲ } } \right ) را به دست بیاورید.

مشتق مورد سوال، با استفاده از قانون توان تعیین می‌شود. بر اساس این قانون، اگر f(x)=xnf ( x ) = x ^ n باشد، f(x)f ^ { \prime } ( x ) برابر خواهد بود با:

f(x)=nxn۱f ^ { \prime } ( x ) = n x ^ { n - ۱ }

برای این مثال، داریم:

f(x)=x۳۲f ( x ) = x ^ { \frac { ۳ } { ۲ } }

n=۳۲n = \frac { ۳ } { ۲ }

در نتیجه:

f(x)=۳۲x۳۲۱f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۳ } { ۲ } x ^ { \frac { ۳ } { ۲ } - ۱ }

f(x)=۳۲x۱۲f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۳ } { ۲ } x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }

توجه داشته باشید که x۱۲x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }، همان x\sqrt { x } است.

مشتق کسری جزئی

مشتق‌گیری توابع دارای دو یا چند متغیر مستقل، با استفاده از مفهوم مشتق جزئی انجام می‌گیرد. به عنوان مثال، تابع زیر در نظر بگیرد:

f(x,  y)=xyx+yf ( x , \; y ) = \frac { x - y } { x + y }

f(x,  y)f ( x , \; y )، تابعی از دو متغیر مستقل xx و yy است. برای مشتق‌گیری از این تابع، ابتدا مشتق جزئی آن را بر حسب xx به دست می‌آوریم:

ddx(xyx+y)\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right )

در این حالت، yy یک پارامتر ثابت در نظر گرفته می‌شود. مشتق بالا را به کمک فرمول مشتق کسری حل می‌کنیم. بر اساس این فرمول، داریم:

ddx(xyx+y)=(x+y)ddx(xy)(xy)ddx(x+y)(x+y)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ( x + y ) \frac { d }{ d x } ( x - y ) - ( x - y ) \frac { d }{ d x } ( x + y ) }{ ( x + y ) ^ ۲ }

ddx(xy)=ddxxddxy=۱۰=۱\frac { d }{ d x } ( x - y ) = \frac { d }{ d x } x - \frac { d }{ d x } y = ۱ - ۰ = ۱

ddx(x+y)=ddxx+ddxy=۱+۰=۱\frac { d }{ d x } ( x + y ) = \frac { d }{ d x } x + \frac { d }{ d x } y = ۱ + ۰ = ۱

ddx(xyx+y)=(x+y)×۱(xy)×۱(x+y)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ( x + y ) \times ۱- ( x - y ) \times ۱ }{ ( x + y ) ^ ۲ }

ddx(xyx+y)=(x+y)(xy)(x+y)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ( x + y ) - ( x - y ) }{ ( x + y ) ^ ۲ }

ddx(xyx+y)=x+yx+y(x+y)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { x + y - x + y }{ ( x + y ) ^ ۲ }

ddx(xyx+y)=۲y(x+y)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ۲ y }{ ( x + y ) ^ ۲ }

تصویر تزئینی مشتق تقسیم
تصویر تزئینی

در مرحله بعد، f(x,  y)f ( x , \; y ) بر حسب yy مشتق می‌گیریم. در این حالت، xx، به عنوان پارامتر ثابت در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب، داریم:

ddy(xyx+y)=(x+y)ddy(xy)(xy)ddy(x+y)(x+y)۲\frac { d } { d y } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ( x + y ) \frac { d }{ d y } ( x - y ) - ( x - y ) \frac { d }{ d y } ( x + y ) }{ ( x + y ) ^ ۲ }

ddy(xy)=ddyxddyy=۰۱=۱\frac { d }{ d y } ( x - y ) = \frac { d }{ d y } x - \frac { d }{ d y } y = ۰ - ۱ = - ۱

ddy(x+y)=ddyx+ddyy=۰+۱=۱\frac { d }{ d y } ( x + y ) = \frac { d }{ d y } x + \frac { d }{ d y } y = ۰ + ۱ = ۱

ddy(xyx+y)=(x+y)×(۱)(xy)×۱(x+y)۲\frac { d } { d y } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ( x + y ) \times ( - ۱ ) - ( x - y ) \times ۱ }{ ( x + y ) ^ ۲ }

ddy(xyx+y)=xyx+y(x+y)۲\frac { d } { d y } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { - x - y - x + y }{ ( x + y ) ^ ۲ }

ddy(xyx+y)=۲x(x+y)۲\frac { d } { d y } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { - ۲ x }{ ( x + y ) ^ ۲ }

در نتیجه، مشتق جزئی f(x,  y)f ( x , \; y ) به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddxf(x,  y)=۲y(x+y)۲\frac { d } { d x } f ( x , \; y ) = \frac { ۲ y }{ ( x + y ) ^ ۲ }

ddyf(x,  y)=۲x(x+y)۲\frac { d } { d y } f ( x , \; y ) = - \frac { ۲ x }{ ( x + y ) ^ ۲ }

مثال ۸: مشتق جزئی تابع کسری توان دار

مشتق f(x,  y)=xyx۲+y۲f ( x , \; y ) =\frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } را بر حسب xx به دست بیاورید.

مشتق جزئی f(x,  y)f ( x , \; y ) بر حسب متغیر xx با استفاده از فرمول مشتق کسری و طی مراحل زیر تعیین می‌شود:

ddxf(x,  y)=ddx(xyx۲+y۲)\frac { d } { d x } f ( x , \; y ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } \right )

ddx(xyx۲+y۲)=(x۲+y۲)ddx(xy)(xy)ddx(x۲+y۲)(x۲+y۲)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) \frac { d } { d x } ( x y ) - ( x y ) \frac { d } { d x } \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲\right ) }{ \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) ^ ۲ }

ddx(xy)=y\frac { d } { d x } ( x y ) = y

ddx(x۲+y۲)=ddx(x۲)+ddx(y۲)=۲x+۰=۲x\frac { d } { d x } \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲\right ) = \frac { d } { d x } ( x ^۲ ) + \frac { d } { d x } ( y ^ ۲ ) = ۲ x + ۰ = ۲ x

ddx(xyx۲+y۲)=(x۲+y۲)(y)(xy)(۲x)(x۲+y۲)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) ( y ) - ( x y ) \left ( ۲ x \right ) }{ \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) ^ ۲ }

ddx(xyx۲+y۲)=x۲y+y۳۲x۲y(x۲+y۲)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } \right ) = \frac { x ^ ۲ y + y ^ ۳ - ۲ x ^ ۲ y }{ \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) ^ ۲ }

ddx(xyx۲+y۲)=y۳x۲y(x۲+y۲)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } \right ) = \frac { y ^ ۳ - x ^ ۲ y }{ \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) ^ ۲ }

مشتق کسری توان دار مراتب بالاتر

جواب مشتق یک تابع، با عنوان مشتق مرتبه اول نیز شناخته می‌شود. در صورت مشتق‌گیری از این جواب، مشتق مرتبه دوم به دست می‌آید. با ادامه دادن فرآیند مشتق‌گیری، مشتق مرتبه سوم، مرتبه چهارم و غیره تعیین می‌شود. بنابراین، منظور از مشتق مراتب بالاتر یک تابع، تکرار مشتق‌گیری از خروجی مشتق مرتبه اول به بالا است.

روش به دست آوردن مشتق کسری مراتب بالاتر، دشوار نبوده و تنها چالش آن، احتمال طولانی و پیچیده‌تر شدن فرآیند مشتق‌گیری است. در مثال ۹، نحوه تعیین این نوع مشتق را توضیح می‌دهیم.

مثال ۹: مشتق مرتبه سوم تابع کسری توان دار

مشتق مرتبه سوم (۱x)۲\left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ را تعیین کنید.

برای به دست آوردن مشتق مرتبه سوم یک تابع، ابتدا مشتق مرتبه اول آن را به دست می‌آوریم. مشتق مرتبه اول تابع مورد سوال در اینجا عبارت است از:

ddx(۱x)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲

بر اساس قاعده مشتق زنجیره‌ای، داریم:

f(x)=unf ( x ) = u ^ n

f(x)=nuun۱f ^ { \prime } ( x ) = n u ^ { \prime } u ^ { n - ۱ }

بنابراین:

ddx(۱x)۲=۲ddx(۱x)(۱x)۲۱\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ { ۲ - ۱ }

ddx(۱x)۲=۲ddx(۱x)(۱x)\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) \left ( \frac { ۱ } { x } \right )

بر اساس فرمول مشتق کسری، داریم:

ddx(۱x)=x×ddx۱۱×ddxxx۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { x \times \frac { d } { d x } ۱ - ۱ \times \frac { d } { d x }x }{ x ^ ۲ }

ddx(۱x)=x×۰۱×۱x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { x \times ۰ - ۱ \times ۱ }{ x ^ ۲ }

ddx(۱x)=۰۱x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { ۰ - ۱ }{ x ^ ۲ }

ddx(۱x)=۱x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = - \frac { ۱ }{ x ^ ۲ }

به این ترتیب:

ddx(۱x)۲=۲×(۱x۲)×۱x\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \times \left ( - \frac { ۱ }{ x ^ ۲ } \right ) \times \frac { ۱ } { x }

ddx(۱x)۲=۲x۳\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = - \frac { ۲ }{ x ^ ۳ }

تصویر تزئینی مشتق کسری توان دار

پس از تعیین مشتق مرتبه اول، به سراغ مشتق مرتبه دوم می‌رویم. به این منظور، از حاصل مشتق مرتبه اول (یعنی ۲x۳- \frac { ۲ }{ x ^ ۳ }) مشتق می‌گیرم:

ddx(ddx(۱x)۲)=ddx(۲x۳)=ddx(۲x۳)\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ \right ) = \frac { d } { d x } \left ( - \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) = - \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right )

حاصل ddx(۲x۳)\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right )، با استفاده از فرمول مشتق کسری به دست می‌آید. بر اساس این فرمول، داریم:

ddx(۲x۳)=x۳×ddx۲۲×ddxx۳(x۳)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) = \frac { x ^ ۳ \times \frac { d } { d x } ۲ - ۲ \times \frac { d } { d x } x ^ ۳ }{ \left ( x ^ ۳ \right ) ^ ۲ }

ddx(۲x۳)=x۳×۰۲×۳x۲x۶\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) = \frac { x ^ ۳ \times ۰ - ۲ \times ۳ x ^ ۲ }{ x ^ ۶ }

ddx(۲x۳)=۰۶x۲x۶\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) = \frac { ۰ - ۶ x ^ ۲ }{ x ^ ۶ }

ddx(۲x۳)=۶x۴\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) = - \frac { ۶ }{ x ^ ۴ }

در نتیجه:

ddx(ddx(۱x)۲)=(۶x۴)\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ \right ) = - \left ( - \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right )

ddx(ddx(۱x)۲)=۶x۴\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ \right ) = \frac { ۶ }{ x ^ ۴ }

با به دست آوردن مشتق مرتبه دوم، تنها یک مشتق دیگر تا رسیدن به مشتق مرتبه سوم فاصله داریم. برای تعیین مشتق مرتبه سوم، کافی است که از عبارت بالا به صورت زیر مشتق بگیرم:

ddx(ddx(ddx(۱x)۲))=ddx(۶x۴)\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ \right ) \right ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right )

ddx(۶x۴)\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right ) نیز مانند مشتق دو مرتبه پایین‌تر، با استفاده از فرمول مشتق کسری حاصل می‌شود. بنابراین، داریم:

ddx(۶x۴)=x۴×ddx۶۶×ddxx۴(x۴)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right ) = \frac { x ^ ۴ \times \frac { d } { d x } ۶ - ۶ \times \frac { d } { d x } x ^ ۴ }{ \left ( x ^ ۴ \right ) ^ ۲}

ddx(۶x۴)=x۴×۰۶×۴x۳x۸\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right ) = \frac { x ^ ۴ \times ۰ - ۶ \times ۴ x ^ ۳ }{ x ^ ۸ }

ddx(۶x۴)=۰۲۴x۳x۸\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right ) = \frac { ۰ - ۲۴ x ^ ۳ }{ x ^ ۸ }

ddx(۶x۴)=۲۴x۵\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right ) = - \frac { ۲۴ }{ x ^ ۵ }

در نتیجه:

ddx(ddx(ddx(۱x)۲))=۲۴x۵\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ \right ) \right ) = - \frac { ۲۴ }{ x ^ ۵ }

حل تمرین مشتق کسری توان دار

به منظور آشایی بیشتر و بهتر با نحوه به دست آوردن مشتق کسری توان دار، در ادامه چند تمرین را حل می‌کنیم.

تمرین ۱: مشتق یک به روی ایکس دو

مشتق تابع کسری g(x)=۱x۲g ( x ) = \frac { ۱ } { x ^ ۲ } را تعیین کنید.

مشتق تابع g(x)g ( x )، با استفاده از فرمول مشتق تقسیم دو تابع به دست می‌آید. این فرمول عبارت است از:

ddx[u(x)v(x)]=u(x)v(x)v(x)u(x)v۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }

به این ترتیب، داریم:

u(x)=۱u ( x ) = ۱

v(x)=x۲v ( x ) = x ^ ۲

u(x)=۰u ^ { \prime } ( x ) = ۰

v(x)=۲xv ^ { \prime } ( x ) = ۲ x

در نتیجه:

ddx(۱x۲)=۰×x۲۲x×۱(x۲)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x ^ ۲ } \right ) = \frac { ۰ \times x ^ ۲- ۲ x \times ۱ } { \left ( x ^ ۲ \right ) ^ ۲ }

ddx(۱x۲)=۲xx۴\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x ^ ۲ } \right ) = - \frac { ۲ x } { x ^ ۴ }

ddx(۱x۲)=۲x۳\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x ^ ۲ } \right ) = - \frac { ۲ } { x ^ ۳ }

تمرین ۲: مشتق یک به روی رادیکال ایکس

مشتق ۱ به روی رادیکال x چه می‌شود؟

۱x\frac { ۱ } { \sqrt { x } }، یک تابع کسری است. روش‌های مختلفی برای به دست آوردن مشتق این تابع وجود دارد. برای تمرین، در روش اول از فرمول مشتق تقسیم دو تابع استفاده می‌کنیم. بر اساس این فرمول، داریم:

ddx[u(x)v(x)]=u(x)v(x)v(x)u(x)v۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }

ddx[۱x]=ddx۱×xddxx×۱(x)۲\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ] = \frac { \frac { d } { d x } ۱ \times \sqrt { x } – \frac { d } { d x } \sqrt { x } \times ۱ }{ \left ( \sqrt { x } \right ) ^ ۲ }

ddx۱=۰\frac { d } { d x } ۱ = ۰

ddxx=۱۲x\frac { d } { d x } \sqrt { x } = \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x } }

ddx[۱x]=۰×x۱۲x×۱x\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ] = \frac { ۰ \times \sqrt { x } – \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x } } \times ۱ }{ x }

ddx[۱x]=۰۱۲xx\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ] = \frac {۰ – \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x } } }{ x }

ddx[۱x]=۱۲xx\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ] = - \frac { ۱ } { ۲ x \sqrt { x } }

ddx[۱x]=۱۲x۳\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ] = - \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x ^ ۳ } }

تصویر تزئینی مشتق تقسیم

روش دوم برای به دست آوردن مشتق ۱x\frac { ۱ } { \sqrt { x } }، استفاده از قانون توان در مشتق‌گیری است. برای استفاده از این قانون، ابتدا عبارت زیر رادیکال را به صورت یک عبارت توانی بازنویسی می‌کنیم:

۱x=۱x۱۲=x۱۲\frac { ۱ } { \sqrt { x } } = \frac { ۱ } { x ^ { \frac { ۱ }{ ۲ } } } = x ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } }

به این ترتیب:

ddx(۱x)=ddxx۱۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = \frac { d } { d x } x ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } }

با توجه به قانون توان در مشتق‌گیری، داریم:

ddx(۱x)=۱۲x۱۲۱\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = - \frac { ۱ }{ ۲ } x ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } - ۱ }

ddx(۱x)=۱۲x۳۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = - \frac { ۱ }{ ۲ } x ^ { - \frac { ۳ }{ ۲ } }

ddx(۱x)=۱۲×۱x۳۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = - \frac { ۱ }{ ۲ } \times \frac { ۱ } { x ^ { \frac { ۳ }{ ۲ } } }

ddx(۱x)=۱۲x۳۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = - \frac { ۱ }{ ۲ x ^ { \frac { ۳ }{ ۲ } }}

x۳۲x ^ { \frac { ۳ }{ ۲ } }، همان x۳\sqrt { x ^ ۳ } است. در نتیجه:

ddx(۱x)=۱۲x۳\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = - \frac { ۱ }{ ۲ \sqrt { x ^ ۳ }}

تمرین ۳: مشتق تابع نمایی با توان کسری

مشتق e۱tan(x)e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } } را به دست بیاوردید.

فرمول کلی مشتق تابع نمایی عبارت است از:

ddxef(x)=f(x)ef(x)\frac { d } { dx } e ^ { f ( x ) } = f ' ( x ) e ^ { f ( x ) }

بر اساس صورت سوال، می‌توانیم ۱tan(x)\frac { ۱ } { \tan ( x ) } را برابر با f(x)f ( x ) در نظر بگیریم:

f(x)=۱tan(x)f ( x ) = \frac { ۱ } { \tan ( x ) }

به این ترتیب:

ddxe۱tan(x)=ddx[۱tan(x)]e۱tan(x)\frac { d } { dx } e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } } = \frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } }

ddx[۱tan(x)]\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] با استفاده از فرمول مشتق کسری به دست می‌آید. بر اساس این فرمول، داریم:

ddx[۱tan(x)]=tan(x)×ddx۱۱×ddxtan(x)tan۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = \frac { \tan ( x ) \times \frac { d } { d x } ۱ - ۱ \times \frac { d } { d x } \tan ( x ) }{ \tan ^ ۲ ( x )}

مشتق‌های موجود در این رابطه برابر هستند با:

ddx۱=۰\frac { d } { d x } ۱ = ۰

ddxtan(x)=sec۲(x)\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ ۲ ( x )

جواب این مشتق‌ها را در رابطه ddx[۱tan(x)]\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] قرار می‌‌دهیم:

ddx[۱tan(x)]=tan(x)×۰۱×sec۲(x)tan۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = \frac { \tan ( x ) \times ۰ - ۱ \times \sec ^ ۲ ( x ) }{ \tan ^ ۲ ( x )}

ddx[۱tan(x)]=۰sec۲(x)tan۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = \frac { ۰ - \sec ^ ۲ ( x ) }{ \tan ^ ۲ ( x )}

ddx[۱tan(x)]=sec۲(x)tan۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = - \frac { \sec ^ ۲ ( x ) }{ \tan ^ ۲ ( x )}

با توجه به رابطه بین نسبت‌های مثلثاتی، داریم:

ddx[۱tan(x)]=۱cos۲(x)sin۲(x)cos۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = - \frac { \frac { ۱ }{ \cos ^ ۲ ( x ) } }{ \frac { \sin ^ ۲ ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x ) } }

ddx[۱tan(x)]=۱sin۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = - \frac { ۱ }{ \sin ^ ۲ ( x ) }

ddx[۱tan(x)]=csc۲(x)\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = -\csc ^ ۲ ( x )

با جایگذاری این جواب در رابطه ddxe۱tan(x)\frac { d } { dx } e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } }، به نتیجه زیر می‌رسیم:

ddxe۱tan(x)=csc۲(x)e۱tan(x)\frac { d } { dx } e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } } = - \csc ^ ۲ ( x ) e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } }

توجه داشته باشید که ۱tan(x)\frac { ۱ } { \tan ( x ) }، همان cot(x)\cot ( x ) است. در این تمرین، به منظور مرور روابط مشتق‌گیری کسری، از مشتق cot(x)\cot ( x ) استفاده نکردیم اما طی فرآیند حل به آن رسیدیم.

تمرین ۴: مشتق جزئی تابع کسری

مشتق تابع کسری زیر را تعیین کنید:

f(x,  y,  z)=xy۲x۲+۲z۳f ( x , \; y , \; z) = \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ }

تابع f، به سه متغیر y ،x و z وابسته است. برای مشتق‌گیری از این تابع، باید از قاعده مشتق جزئی استفاده کنیم. به این منظور، ابتدا مشتق f(x,  y,  z)f ( x , \; y , \; z) بر حسب xx را به دست می‌آوریم:

xf(x,  y,  z)=x(xy۲x۲+۲z۳)\frac { \partial }{ \partial x} f ( x , \; y , \; z) = \frac { \partial }{ \partial x} \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right )

بر اساس فرمول مشتق تقسیم دو تابع، داریم:

x(xy۲x۲+۲z۳)=(x۲+۲z۳)x(xy۲)(xy۲)x(x۲+۲z۳)(x۲+۲z۳)۲\frac { \partial }{ \partial x} \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) \frac { \partial }{ \partial x } \left ( x y ^ ۲\right ) - \left ( x y ^ ۲ \right ) \frac { \partial } { \partial x } \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right )}{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }