مکانیک سیالات چیست؟ – مفاهیم پایه به زبان ساده + منابع یادگیری

۸۸ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۸ بهمن ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۴۱ دقیقه
دانلود PDF مقاله
مکانیک سیالات چیست؟ – مفاهیم پایه به زبان ساده + منابع یادگیریمکانیک سیالات چیست؟ – مفاهیم پایه به زبان ساده + منابع یادگیری

پرواز پرندگان در آسمان، گردش خون در بدن انسان، طراحی هواپیماها و کشتی‌ها و خطوط انتقال نفت و گاز، نمونه‌ مثال‌هایی از کاربرد «مکانیک سیالات» (Fluid Mechanics) در زندگی روزمره هستند. اگر دقت کنید، ویژگی مشترک تمام این مثال‌ها وجود یک سیال شامل مایع یا گاز است. در مکانیک سیالات به مطالعه و بررسی وضعیت حرکت سیالات می‌پردازیم. این مطالعه بسته اینکه سیال ساکن است یا در حال حرکت و یا با هدف بررسی اثر نیروهای وارد بر آن، به سه زیرشاخه به نام‌های استاتیک، سینماتیک و دینامیک سیالات تقسیم می‌شود. در این مطلب از مجله فرادرس با زبانی ساده به بیان مفاهیم اساسی در مکانیک سیالات خواهیم پرداخت.

فهرست مطالب این نوشته
997696

به همین منظور، پس از اینکه توضیح دادیم تاریخچه مکانیک سیالات چیست و شامل چه موضوعاتی می‌شود، ابتدا منابع یادگیری مکانیک سیالات را برای علاقه‌مندان به این حوزه معرفی می‌کنیم. پس از معرفی ویژگی‌ها و خواص سیالات مانند پیوستگی، چگالی و انواع ویسکوزیته دینامیکی و سینماتیکی، ابتدا به مباحث مهم در استاتیک سیالات می‌پردازیم. برای مثال، روش محاسبه فشار در سیالاتی با چگالی ثابت و متغیر را بررسی می‌کنیم و نشان می‌دهیم تغییرات فشار اتمسفر با ارتفاع چگونه است. سپس اصل پاسکال و سیستم‌های هیدرولیکی را معرفی می‌کنیم. مفهوم شناوری، اصل ارشمیدس و رابطه آن با چگالی آخرین مباحث استاتیک سیالات هستند که در این مطلب توضیح داده می‌شوند. در بخش دوم موضوعات دینامیک سیالات مانند سرعت سیال، انواع جریان آرام و آشفته، عدد رینولدز، دبی جریان و روش محاسبه معادله پیوستگی، قانون پوازی و مقاومت سیال و در نهایت معادله برنولی بررسی می‌شود.

مکانیک سیالات چیست؟

در مکانیک سیالات به بررسی و مطالعه رفتار و ويژگی‌های سیالات ساکن یا در حال حرکت می‌پردازیم. بخش دیگری از مکانیک سیالات به مطالعه نیروهایی که به سیالات وارد می‌شوند، اختصاص دارد. منظور ما از سیالات، حالت‌های مایع، گاز و پلاسما از ماده است. مکانیک سیالات به زیرشاخه‌های دیگری تقسیم‌ می‌شود که در جدول زیر ملاحظه می‌کنید:

مکانیک سیالات 
استاتیک سیالاتسینماتیک سیالاتدینامیک سیالات
مطالعه سیالات در حالت سکونمطالعه سیالات در حال حرکتمطالعه آثار نیروها روی حرکت سیالات

در مکانیک سیالات با توجه به اطلاعاتی که از ماده در اختیار داریم، آن را از دید ماکروسکوپی و بدون در نظر گرفتن ویژگی‌های میکروسکوپی آن، مدل‌سازی می‌کنیم. مدل‌سازی یک سیال به ما کمک می‌کند تا بتوانیم حرکت آن را بررسی و فرمول‌بندی کنیم. به این ترتیب، با معادلات ریاضیاتی مواجه می‌شویم که ممکن است بسیار پیچیده باشند و نیاز است که از روش‌های عددی و کامپیوترها برای حل چنین معادلاتی استفاده کنیم. به همین علت شاخه جدیدی به نام «دینامیک سیالات محاسباتی» (Computational Fluid Dynamics) یا به اختصار CFD توسعه پیدا کرد تا با استفاده از روش‌های عددی و محاسبات کامپیوتری به بررسی و تجزیه و تحلیل مسائل مکانیک سیالات بپردازد.

لوگویی شامل یک چرخ‌دنده و قطره آب - مکانیک سیالات

جدول زیر تاریخچه توسعه مکانیک سیالات و دانشمندانی که در این زمینه فعالیت کردند را نشان می‌دهد. همان‌طور که مشخص است، ارشمیدس اولین شخصی است که به‌صورت رسمی در زمینه مکانیک سیالات به نتایج مهمی دست پیدا کرد:

«ارشمیدس» (Archimedes)

۲۵۰ سال پیش از میلاد

شروع مطالعات در زمینه استاتیک سیالات و مفهوم شناوری

فرمول‌بندی اصل ارشمیدس

ساخت تونل‌های بزرگتر به منظور تامین آب بیشتر

«لئوناردو داوینچی» (Leonardo da Vinci)

۱۴۵۲ تا ۱۵۱۹

اولین پیشرفت‌ها در زمینه مکانیک سیالات

ساخت اولین قفل کانال اتاقکی در نزدیکی میلان

مطالعه پرواز پرندگان و منشا نیروها

«اوانجلیستا توریچلی» (Evangelista Torricelli)

۱۶۰۸ تا ۱۶۴۷

اختراع بارومتر
«آیزاک نیوتن» (Isaac Newton)

۱۶۴۲ تا ۱۷۲۷

مطالعه و بررسی ویسکوزیته
«بلز پاسکال» (Blaise Pascal)

۱۶۲۳ تا ۱۶۶۲

مطالعه هیدروستاتیک و فرمول‌بندی قانون پاسکال
«دانیل برنولی» (Daniel Bernoulli)

۱۷۰۰ تا ۱۷۸۲

فرمول‌بندی ریاضیاتی دینامیک سیالات

معرفی و انتشار هیدرودینامیک

«لئون‌هارد اویلر» (Leonhard Euler)

۱۷۰۷ تا ۱۷۸۳

فرمول‌بندی معادلات اویلر برای شتاب و حرکت

مطالعه حرکت سیالات تحت اثر نیروی خارجی

منابع یادگیری مکانیک سیالات چیست؟

پیش از اینکه مفاهیم مهم در مکانیک سیالات را توضیح دهیم، ابتدا به معرفی منابع یادگیری این شاخه از مهندسی مکانیک خواهیم پرداخت. در اولین بخش، با کتاب‌هایی که به‌عنوان منابع مکانیک سیالات تدریس می‌شوند، آشنا می‌شویم. سپس به معرفی چند فیلم آموزشی رایگان و کوتاه از مجموعه فرادرس خواهیم پرداخت که به شما در تسریع یادگیری مکانیک سیالات کمک خواهد کرد.

کتاب‌های مکانیک سیالات

برای یادگیری مکانیک سیالات منابع و کتاب‌های متنوعی در دسترس است. در این قسمت مهم‌ترین و معتبرترین منابع یادگیری مکانیک سیالات را معرفی می‌کنیم که عبارت‌اند از:

  1. کتاب «مبانی مکانیک سیالات»
  2. کتاب «مکانیک سیالات»
  3. کتاب «مقدمه‌ای بر مکانیک سیالات مهندسی»
  4. کتاب «مقدمه‌ای بر دینامیک سیالات»

کتاب مبانی مکانیک سیالات

کتاب مبانی مکانیک سیالات «بروس روی مانسون» (Bruce R. Munson) اغلب به‌عنوان اولین منبع مکانیک سیالات معرفی می‌شود. این کتاب که توسط انتشارات وایلی منتشر شده است، سرفصل‌هایی شامل استاتیک سیالات، دینامیک مقدماتی سیال و معادله برنولی و سینماتیک سیالات دارد. بنابراین سه بخش اصلی مکانیک سیالات را کاملا پوشش داده است. همچنین در این کتاب به موضوعات کاربردی مانند تحلیل ابعادی، شبیه‌سازی و مدل‌سازی سیالات و کاربرد این مباحث در توربوماشین‌ها پرداخته شده است.

تصویری از جاد کتاب مبانی مکانیک سیالات با رنگ تیره

کتاب مکانیک سیالات

یکی دیگر از بهترین منابع یادگیری مکانیک سیالات این کتاب است که توسط آقای «فرانک وایت» (Frank M. White) نوشته شده است. برخی سرفصل‌های این کتاب عبارت‌اند از توزیع فشار در یک سیال، روابط انتگرالی برای یک حجم کنترلی، روابط دیفرانسیلی برای جریان، جریان ویسکوز و جریان تراکم‌پذیر.

تصویر یک آبشار روی جلد یک کتاب مکانیک سیالات

کتاب مقدمه‌ای بر مکانیک سیالات مهندسی

اگر می‌خواهید مباحث این مطلب را با جزئیات کامل یاد بگیرید، پیشنهاد ما مراجعه به کتاب مقدمه‌ای بر مکانیک سیالات مهندسی نوشته «مارسل اسکودیر» (Marcel Escudier) است که توسط انتشارات دانشگاه آکسفورد منتشر شده است. این کتاب با رویکرد مهندسی به تشریح موضوعات و مفاهیم پایه‌ای در مکانیک سیالات مانند خواص سیالات، واحدهای اندازه‌گیری، تغییرات فشار در سیالات هیدروستاتیکی، توصیف سینماتیکی سیال در حال حرکت و تقریب‌های آن، معادله برنولی و کاربردهای آن در مهندسی، کاربردهای مهندسی معادلات تکانه خطی، جریان سیال تراکم‌پذیر و بررسی جریان سیال آرام و آشفته می‌پردازد.

تصویری از جلد کتابی در مورد مکانیک سیالات

کتاب مقدمه‌ای بر دینامیک سیالات

نویسنده این کتاب آقای «جرج کیث بچلر» (George Keith Batchelor) است و توسط انتشارات دانشگاه کمبریج منتشر شده است. همان‌طور که از نام این کتاب مشخص است، محتوای این کتاب روی بخش دینامیک از مکانیک سیالات تمرکز دارد. بنابراین اگر می‌خواهید در مورد مباحثی مانند سینماتیک سیالات، معادلات حاکم بر حرکت یک سیال، نظریه جریان چرخشی و کاربردهای آن، آثار تغییرات سرعت خارجی روی یک گرداب ایزوله شده و یا حالت‌های خاص در نظریه برنولی اطلاعات جامعی کسب کنید، پیشنهاد ما مطالعه این کتاب است.

تصویری از جلد یک کتاب در مورد سیالات به رنگ آبی

دوره‌های آنلاین آموزش مکانیک سیالات

لیست زیر چند فیلم‌ آموزشی رایگان از فرادرس با موضوع مکانیک سیالات را به شما معرفی می‌کند:

  1. فیلم آموزش رایگان سیال چیست؟ + ۵ نوع اصلی فرادرس
  2. فیلم آموزش رایگان انواع جریان سیالات + ۴ نوع رایج و کاربردی فرادرس
  3. فیلم آموزش رایگان شرایط مرزی در مکانیک سیالات فرادرس
  4. فیلم آموزش رایگان پراکندگی (Dispersion) در میکروسیالات فرادرس
  5. فیلم آموزش رایگان روابط مربوط به خواص سیال در مکانیک سیالات دوفازی فرادرس

ویژگی‌‌‌‌های سیالات چیست؟

اگر به خاطر داشته باشید، در جدول ابتدای مطلب اشاره کردیم که مطالعه مکانیک سیالات را می‌توان به سه بخش استاتیک، سینماتیک و دینامیک تقسیم‌بندی کرد. این نوع تقسیم‌بندی بسیار شبیه به تقسیم‌بندی فیزیک مکانیک یا علم مکانیک است. آن چیزی که باعث می‌شود معادلات نهایی در مکانیک سیالات با معادلات نهایی در علم مکانیک متفاوت باشد، حالت‌هایی از ماده است که در این دو شاخه مطالعه روی آن‌ها انجام می‌شود. در مکانیک سیالات با سیالات شامل مایعات، گازها و حالت نادری از ماده به نام پلاسما سروکار داریم. این در حالی است که در مکانیک عموما وضعیت حرکت حالت جامد از ماده بررسی و مطالعه می‌شود.

از دید میکروسکوپی، شاره یا سیال به حالت‌هایی از ماده گفته می‌شود که در آن‌ها پیوندهای ضعیف یا خیلی ضعیفی بین مولکول‌ها برقرار است. همچنین معنای لغوی سیال عبارت است از ماده‌ای که ذرات آن بتوانند به‌راحتی موقعیت یا مکان نسبی خود را تغییر دهند. یکی دیگر از تعاریف دقیق در مورد سیال به این صورت است: ماده‌ای که صرف‌نظر از بزرگی و ابعاد، تحت اثر «تنش‌های برشی» (Shear Stress) به‌طور پیوسته تغییر شکل دهد. تنش برشی آن مولفه‌ای از تنش  است که مماس بر سطح ماده اعمال شده است.

بنابراین طبق این تعاریف، می‌توانیم بگوییم حالت‌ مایع و گازی هر ماده‌ای سیال محسوب می‌شود. در سیالات با اینکه مولکول‌ها می‌توانند آزادانه حرکت کنند، اما بین آن‌ها یک نوع نیروی کششی به نام نیروی پیوستگی یا Cohesion وجود دارد. همچنین سیالات این قابلیت را دارند که جاری شوند (Flow). این ویژگی در نتیجه خاصیت پیوستگی در سیالات است. بنابراین در محاسبات و تحلیل‌های خود حتما باید این ویژگی را در نظر داشته باشیم. در بخش‌ بعد بیشتر راجع‌به پیوستگی توضیح می‌دهیم. همچنین سایر ویژگی‌های سیالات از جمله چگالی، ویسکوزیته نیز در قسمت‌های بعد توضیح داده می‌شوند.

مفهوم پیوستگی یا Cohesion در سیالات

ماهیت پیوستگی در یک سیال از مولکولی به مولکول قابل تغییر است، به این معنا که قدرت این نیرو در حالت گازی با حالت مایع متفاوت است. نیروی پیوستگی در گازها ضعیف است. در نتیجه مولکول‌های یک گاز می‌توانند از یک منبع باز خارج شده و به تمام فضای اطراف پراکنده شوند. اما در مایعات قدرت این نیرو به اندازه‌ای است که می‌تواند مولکول‌های مایع را در کنار هم نگه دارد.

همین نکته باعث می‌شود برخی از مایعات مانند روغن قابلیت فشرده‌سازی یا متراکم شدن داشته باشند و در نتیجه بتوانیم از آن‌ها به‌عنوان یک «سیال هیدرولیکی» در مکانیک سیالات استفاده کنیم. نیروی پیوستگی روی سطح به شکل‌گیری نیرویی می‌انجامد که به‌صورت عمود بر ناحیه‌ای است که مایع در آن قرار دارد. ترکیب این نیرو با مولکول‌های مجاور، سطح آزاد مایع یا Free Surface نامیده می‌شود.

مسئله پیوستگی در سیالات را می‌توان به کمک یکی از دو رویکرد زیر بررسی کرد:

  • دیدگاه اویلری
  • دیدگاه لاگرانژی

در رویکرد اویلری، یک حجم کنترلی تعریف می‌شود که نشان‌دهنده دامنه‌ سیال است. اما در رویکرد لاگرانژی، تمام پارامترهای حرکت و هر گونه تغییر شکل دامنه سیال در حین حرکت آن بررسی می‌شود. اغلب در بررسی و تحلیل مسائل مکانیک سیالات از رویکرد اویلری استفاده می‌شود، در حالی که دیدگاه لاگرانژی بیشتر در تجزیه و تحلیل مسائل مکانیک جامدات و یا بررسی وضعیت حرکتی سیستم ذرات کاربرد دارد.

تفاوت جامدات و سیالات چیست؟

برای درک بهتر مکانیک سیالات بهتر است با خواص و ویژگی‌های سیالات و تفاوت آن‌ با حالت جامد از ماده آشنا شویم که موضوع این بخش است. می‌دانیم مواد مختلف در طبیعت با توجه به دما و فشاری که در آن قرار دارند، می‌توانند در یکی از سه حالت جامد، مایع یا گاز قرار داشته باشند.

برای مثال، باید بدانیم حالتی از ماده که در آن اتم‌ها یا مولکول‌ها در فواصل بسیار نزدیکی نسبت به هم قرار دارند و در نتیجه، نیروهای بین آن‌ها نیز نیروهای نسبتا قوی است، حالت جامد از ماده است. جامدات سخت و محکم هستند و حجم و شکل مشخصی دارند. در واقع شکل جامدات به ماهیت نیروهای بین‌مولکولی آن‌ها بستگی دارد و این نیروها هستند که موجب می‌شوند ذرات سازنده یک جامد به‌صورت یک شبکه‌ منظم در کنار هم قرار بگیرند.

تصویر سیاه سفیدی از سه بخش با ذرات متفاوت
نحوه قرارگیری ذرات تشکیل‌دهنده ماده در حالت‌های مختلف (برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگتر، روی آن کلیک کنید)

همان‌طور که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید، می‌توانیم اتصال ذرات به هم در جامد را به اتصال ذرات با فنر تشبیه کنیم. جامدات تراکم‌ناپذیر هستند، به این معنا که برای اینکه بتوانیم شکل آن‌ها را تغییر دهیم، به نیروی بسیار بزرگی نیاز داریم. پس با توجه به اینکه در یک شبکه جامد نیروهای قوی مانع از این می‌شوند که ذرات سازنده جامد آزادی عمل برای حرکت داشته باشند، اغلب شکل جامدات تغییر نمی‌کند. یکی دیگر از نکات مهم در مورد جامدات این است که این حالت از ماده در مقابل نیروهای برشی مقاوم است. نیروی برشی نیرویی است که به‌صورت مماسی به یک سطح اعمال می‌شود.

گفتیم سیالات شامل مایعات و گازها هستند. اگر بخواهیم در مورد تفاوت این دو نوع سیال اطلاعات دقیق‌تری به‌دست آوریم، باید به اندازه تراکم‌پذیری و فواصل بین‌مولکولی در این دو حالت از ماده توجه کنیم. در سیالات یا شاره‌ها که شامل تمام حالت‌های دیگر ماده می‌شوند، مولکول‌ها یا ذرات سازنده ماده محدود به حرکت یا نوسان در مکان خود نیستند. یک سیال در مقابل نیروی برشی مقاومت زیادی ندارد. با اینکه در مایعات هم مانند جامدات ذرات از طریق پیوندهای بین‌مولکولی به هم نیرو وارد می‌کنند، اما تعداد و قدرت این پیوندها در مایعات نسبت به جامدات بسیار کمتر است. ذرات سازنده یک مایع می‌توانند نسبت به هم حرکت کنند.

تصویری از ذرات قرمز، یک لیوان آب، یک بادکنک آبی و یک قرص فلزی
انواع حالت‌های ماده (برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگتر، روی آن کلیک کنید)

فاصله بین ذرات در مایعات به جامدات نزدیکتر است و به همین دلیل است که مایعات دارای حجم معینی هستند. اما شکل مایعات در مقایسه با جامدات معین نیست و به شکل ظرفی که در آن ریخته می‌شوند، درمی‌آیند. در مقایسه با مایعات، گازها گروه دیگری از سیالات هستند که نه شکل مشخصی دارند و نه حجم معینی. به علت وجود نیروهای بین‌مولکولی خیلی ضعیف در گازها، ذرات این حالت از ماده کاملا آزادانه در تمام نقاط منبع یا ظرفی که در آن قرار دارند، پخش شده و در صورتی که ظرف در باز باشد، این ذرات می‌توانند از آن خارج شوند.

با توجه به توضیحات بالا، مایعات به‌راحتی تغییر شکل می‌دهند و چون نیروهای فنرگونه جامدات بین ذرات این حالت از ماده وجود ندارد، پس از حذف نیروی خارجی، این ذرات به جایگاه اولیه خود بازنمی‌گردند. به همین علت است که ذرات تشکیل‌دهنده مایع آزادانه روی یکدیگر می‌لغزند و همسایه‌های هر ذره دائما در حال تغییر است. در نتیجه این تغییرات است که یک مایع می‌تواند به‌عنوان یک سیال جاری شود، در حالی که مولکول‌های آن توسط نیروهای جاذبه متقابل کنار هم نگه داشته شده‌اند. در مورد گازها نیز، نیروهای بین‌مولکولی بسیار ضعیف و فواصل زیاد مولکول‌ها از هم موجب می‌شود ذرات تشکیل ‌دهنده در این نوع سیال نیز بتوانند جاری شوند.

گفتیم حالت چهارم ماده یعنی پلاسما نیز نوعی سیال در نظر گرفته می‌شود. پلاسما در دماهای خیلی بالا ایجاد می‌شود. در این دماها ممکن است مولکول‌ها به اتم‌ها و اتم‌ها به الکترون‌هایی با بار منفی و پروتون‌هایی با بار مثبت تجزیه شوند. در نتیجه پلاسما شکل می‌گیرد. به علت ایجاد نیروهای الکتریکی بسیار قوی بین ذرات تشکیل‌دهنده پلاسما در مقایسه با نیروهای بین‌مولکولی در سیالات دیگر یعنی مایعات و گازها، خواص پلاسما بسیار متفاوت است و به همین دلیل در این مطلب راجع‌به این نوع سیال صحبت نمی‌شود.

چگالی سیال

یکی از مفاهیم فیزیکی مهمی که می‌تواند به ما در درک خواص و ویژگی‌های سیالات کمک کند، چگالی یا دانسیته یک شاره است. چگالی به معنای جرم واحد حجم و خاصیتی از ماده است که واحد استاندارد یا SI آن با توجه به فرمول زیر برابر است با کیلوگرم بر متر مکعب:

ρ=mV\rho = \frac{m}{V}

kgm3\frac{kg}{m^3}

برای مثال، چگالی آب و هوا به‌عنوان دو نوع سیال متفاوت به‌ترتیب برابر است با 1000 kgm31000 \ \frac{kg}{m^3} و 1.23 kgm31.23 \ \frac{kg}{m^3}. همین‌جا می‌توانیم به این نتیجه برسیم که چگالی مایعات از گازها بیشتر است. پس اگر بخواهیم مایعات و گازها را به‌عنوان دو نوع سیال با هم مقایسه کنیم، اولین مقایسه به چگالی آن‌ها برمی‌گردد.

چگالی یک ماده لزوما در تمام حجم آن ثابت نیست. اگر چگالی ماده‌ای در تمام حجم آن ثابت باشد، می‌توانیم آن ماده را یک ماده همگن یا Homogeneous در نظر بگیریم. برای مثال، یک میله آهنی جامد نمونه‌ای از یک ماده همگن است. اگر این میله را به چند قطعه کوچکتر تقسیم کنیم، چگالی هر کدام از این قطعات با چگالی متوسط میله آهنی اولیه برابر است. در مقابل، اگر چگالی ماده‌ای متغیر باشد، آن ماده را ناهمگن یا Heterogeneous می‌نامیم. یک قطعه پنیر، مثالی از یک ماده ناهمگن است، چرا که این ماده از پنیر جامد و حفره‌های پر شده با هوا تشکیل شده است. برای مواد ناهمگن کمیتی به‌صورت چگالی موضعی یا Local Density تعریف می‌شود که نشان‌دهنده چگالی در یک نقطه مشخص از ماده است. پس چگالی موضعی به مکان یا مختصات نقطه‌ای که مدنظر ما است بستگی دارد. این وابستگی به شکل زیر نشان داده می‌شود:

ρ=ρ(x,y,z)\rho = \rho (x, y,z)

تصویری از یک لیوان آب و چند قطعه مکعبی داخل آن
تغییرات چگالی در یک سیال ناهمگن

برای اینکه بتوانیم چگالی موضعی را برای یک نقطه مشخصص در یک سیال ناهمگن پیدا کنیم، کافی است از مفهوم حدگیری استفاده کنیم. به این صورت که یک حجم بسیار کوچک اطراف نقطه موردنظر خود تعریف می‌کنیم و از فرمول چگالی در حالی که این حجم کوچک به سمت صفر میل می‌کند، حد می‌گیریم:

ρ=limV0mV\rho = \lim_{\triangle V \rightarrow 0} \frac{\triangle m}{\triangle V}

بررسی چگالی در گازها کمی متفاوت است. با افزایش یا کاهش دما، چگالی گازها به‌صورت قابل توجهی تغییر می‌کند. به همین دلیل است که قابلیت انبساط و متراکم شدن در گازها بالاست. این در حالی است که چگالی مایعات با تغییرات دما تغییری نمی‌کند.

وزن مخصوص سیال

در بخش قبل با واحد استاندارد چگالی آشنا شدیم. به جز این واحد، واحدهای مختلفی را می‌توان برای توصیف چگالی در نظر گرفت. در نتیجه لازم است هنگام مقایسه چگالی دو ماده، واحدهای بکار رفته را نیز در نظر بگیریم. برای اینکه مقایسه چگالی راحت‌تر انجام شود، مرسوم است از یک کمیت بدون واحد به نام «وزن مخصوص» (Specific Gravity) استفاده شود.

وزن مخصوص هر ماده معادل است با نسبت چگالی آن ماده به چگالی آب در دمای 4 C4 \ C و فشار 1 atm1 \ atm. چگالی آب در این شرایط دمایی و فشار برابر است با 1000 kgm31000 \ \frac{kg}{m^3}. اهمیت تعریف کمیتی به نام وزن مخصوص در مبحث شناوری بیشتر مشخص می‌شود که در بخش‌های بعد به آن خواهیم پرداخت.

ویسکوزیته یا گرانروی سیال

یکی دیگر از ویژگی‌هایی که نشان‌دهنده تمایز بین سیالات است، «ویسکوزیته یا گران‌روی» (Viscosity) آن‌ها است. پیش از اینکه ویسکوزیته را تعریف کنیم، پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزش جریان لزج یا ویسکوز فرادرس را که در همین زمینه تهیه شده است، مشاهده کنید:

ویسکوزیته عبارت است از میزان مقاومت سیال در مقابل جاری شدن بر اثر نیروهای پیوستگی بین‌مولکولی‌ که در ساختارش وجود دارد. به عبارت دیگر، ویسکوزیته نوعی نیروی اصطکاک داخلی در مقابل حرکت سیال است که سیال برای غلبه بر آن، انرژی مصرف می‌کند. یکی از ساده‌ترین راه‌ها برای حدس زدن مقدار ویسکوزیته در یک سیال این است که به میزان جاری شدن آن هنگام ریخته شدن در یک ظرف توجه کنیم.

در یکی از تعاریف سیال به این نکته اشاره کردیم که یک سیال همواره تحت اثر تنش‌های برشی تغییر شکل داده یا «دفورمه» (Deform) می‌شود. اگر پاسخ سیالات مختلف تحت اثر تنش‌‌های برشی یکسان را بررسی کنیم، متوجه می‌شویم که رفتار سیالات با هم متفاوت است. این تفاوت به ویسکوزیته سیال مربوط است. در مقایسه با سیالاتی با ویسکوزیتی پایین مانند آب، سیالات با ویسکوزیته بالا مانند عسل یا شربت‌های غلیظ با سرعت آهسته‌تری دفورمه شده و در نتیجه جاری شدن آن‌ها با سرعت بسیار کمتری است. عموما ویسکوزیته را در دو حالت بررسی می‌کنیم، ویسکوزیته دینامیکی و سینماتیکی که موضوع بخش‌های بعد از مطلب مکانیک سیالات هستند.

ویسکوزیته دینامیکی

ویسکوزیته دینامیکی که ویسکوزیته مطلق هم نامیده می‌شود، مقاومت سیال در مقابل جاری شدن را اندازه‌ می‌گیرد. این نوع ویسکوزیته در مکانیک سیالات برابر است با نیروی مماسی وارد بر واحد سطح که می‌تواند موجب حرکت یک لایه روی لایه دیگر شود. به شکل زیر توجه کنید.

تصویری از چند خط موازی هم به‌صورت پیکان

با جابجایی لایه متحرک بالایی نسبت به لایه ساکن پایین، گردایانی از سرعت بین این دو لایه ایجاد می‌شود که می‌توانیم ویسکوزیته را به‌عنوان ضریب متناسب با این گرادیان در نظر بگیریم. در این تصویر که توصیف‌ کننده دینامیک سیالات است، لایه متحرک با مساحت AA به نیرویی به اندازه FF نیاز دارد تا بتواند به مقاومت داخلی سیال غلبه کند. بنابراین فرمول این نیرو به شکل زیر خواهد شد:

F=ηAVYF = \eta A \frac{V}{Y}

  • FF نیرو بر حسب نیوتن (NN)
  • AA مساحت لایه متحرک بر حسب متر مربع (m2m^2)
  • VV سرعت سیال بر حسب متر بر ثانیه (ms\frac{m}{s})
  • YY فاصله بین دو لایه بر حسب متر (mm)
  • η\eta ویسکوزیته دینامیکی بر حسب نیوتن ثانیه بر متر مربع (N.sm2\frac{N.s}{m^2})

در رابطه بالا عبارت VY\frac{V}{Y} نشان‌دهنده گرادیان سرعت است که به نرخ برش هم شناخته می‌شود. با توجه به اینکه می‌دانیم نیرو بر واحد سطح معادل است با تنش برشی یا τ\tau، پس می‌توانیم فرمول بالا را به‌صورت زیر بازنویسی کنیم:

τ=ηVY\tau = \eta \frac{V}{Y}

در موقعیت‌هایی که تغییرات سرعت با فاصله یا گرادیان سرعت خطی نیست، فرمول بالا با توجه به معادلات حرکت نیوتن به شکل زیر خواهد شد:

τ=ηδVδY\tau = \eta \frac{\delta V}{\delta Y}

همان‌طور که اشاره شد، واحد استاندارد ویسکوزیته دینامیکی برابر است با N.sm2\frac{N.s}{m^2}. معادل‌های این واحد در سیستم SI عبارت‌اند از:

N.sm2=kgm.s=Pa.s\frac{N.s}{m^2} = \frac{kg}{m.s}= Pa.s

اگر ویسکوزیته سیالی طبق این فرمول محاسبه شود، به آن سیال یک سیال نیوتنی گفته می‌شود. سیالات نیوتنی پرکاربرد و آشنا عبارت‌اند از هوا، آب، روغن و الکل.

ویسکوزیته سینماتیک

ویسکوزیته سینماتیک نوعی از ویسکوزیته است که به چگالی سیال بستگی دارد. این ارتباط با فرمول زیر توصیف می‌شود که در آن ν\nu ویسکوزیته سینماتیکی، ρ\rho چگالی سیال و η\eta ویسکوزیته دینامیکی است:

ν=ηρ\nu = \frac{\eta}{\rho}

بنابراین برای محاسبه ویسکوزیته سینماتیکی، دانستن ویسکوزیته دینامیکی لازم است. واحد استاندارد ویسکوزیته سینماتیکی m2s\frac{m^2}{s} است.

فشار در سیالات

فشار خون بالا یا پایین و سیستم هوای فشار بالا یا پایین، دو مورد از پرکاربردترین مثال‌هایی هستند که اهمیت یادگیری مفهوم فشار در شاره‌ها یا سیالات را بیان می‌کنند. کمیت فشار به این صورت تعریف می‌شود: نیروی عمودی وارد بر واحد سطحی که نیرو به آن وارد شده است. بر این اساس، فرمول محاسبه فشار به‌صورت زیر خواهد شد:

P=FAP = \frac{F}{A}

  • PP فشار بر حسب پاسکال (PaPa)
  • FF نیروی عمودی بر حسب نیوتن (NN)
  • AA مساحت سطح بر حسب متر مربع (m2m^2)

برای اینکه بتوانیم فشار یک نقطه مشخص از یک سیال را تعریف کنیم، لازم است نیروی اعمال شده به یک المان سطحی بی‌نهایت کوچک از سیال را که شامل این نقطه است، پیدا کنیم. این توضیح در قالب فرمول به شکل زیر نمایش داده می‌شود:

P=dFdAP = \frac{dF}{dA}

واحد استاندارد فشار طبق فرمول بالا نیوتن بر متر مربع است که پاسکال نامیده می‌شود. فرمول بالا برای توصیف فشار در تمام حالت‌های ماده بکار می‌رود. اما اگر بخواهیم در مورد فشار در سیالات مطالعه دقیق‌تری داشته باشیم، بهتر است از این فرمول به شیوه زیر استفاده کنیم. اولین نکته مهم در مورد سیالات و فرمول بالا این است که سیالات در مقابل مولفه‌ای از نیرو که موازی با سطح اعمال می‌شود، مقاومتی ندارند. مولکول‌های یک سیال همواره به گونه‌ای جاری می‌شوند که این نیروی افقی به راحتی اعمال می‌شود. اما نیرویی که به‌صورت عمودی به سطح یک سیال وارد شود، می‌تواند موجب انبساط یا انقباض آن شود. برای مثال، وقتی که شما سعی می‌کنید سیالی را منقبض کنید، نیروی عکس‌العملی را در سطح سیال حس می‌کنید که با نیروی وارد شده از سمت شما به سیال مخالفت می‌کند.

تصویری از یک منبع حاوی آب
فشار در یک سیال ساکن با چگالی ثابت

حالا فرض کنید یک سیال ساکن و همگن در حالت مایع و به شکل بالا داریم. همگن بودن این مایع به معنای ثابت بودن چگالی آن در تمام حجم بالا است. فشاری که به کف ظرف بالا وارد می‌شود برابر است با مجموع فشار اتمسفر وارد بر سطح مایع و فشار ناشی از وزن ستون مایع بالای این سطح. مقدار فشار اتمسفر یا فشار هوا یا فشار جو مشخص است و آن را با P0P _0 نشان می‌دهیم. اما برای به‌دست آوردن فشار ناشی از ستون مایعی که بالای کف ظرف قرار دارد چه باید کرد؟

این فشار همان فشار سیال است و می‌توانیم با فرمول بالا آن را محاسبه کنیم. طبق این فرمول ابتدا باید نیروی عمودی وارد بر سطح را مشخص کنیم که در اینجا معادل است با وزن این ستون از مایع. نیروی وزن یا WW همواره برابر است با حاصل‌ضرب جرم سیال در شتاب ناشی از جاذبه زمین یا gg. با ثابت در نظر گرفتن مقدار gg، خواهیم داشت:

P=WA=mgAP = \frac{W}{A} = \frac{mg}{A}

طبق تعریف چگالی، می‌توانیم جرم را در عبارت بالا بر حسب چگالی بازنویسی کنیم. همچنین با در نظر گرفتن حجم ظرف به‌صورت V=AhV=Ah، به عبارت زیر می‌رسیم:

P=WA=mgA=ρVgA=ρAhgA=ρghP = \frac{W}{A} = \frac{mg}{A} =\frac{\rho Vg}{A} =\frac{\rho Ahg}{A} =\rho gh

دقت کنید این کف ظرف است که تمام وزن سیال را تحمل می‌کند نه دیواره‌های آن. پس فشار سیال بالا به شکل زیر به‌دست آمد:

P=ρghP =\rho gh

حالا می‌توانیم فشار کل وارد بر ته ظرف را حساب کنیم‌:

P=P0+ρghP =P_0 + \rho gh

این فرمول برای محاسبه فشار در عمق مشخصی از یک سیال با چگالی ثابت مناسب است. در بخش بعد فرمول تغییرات فشار در یک سیال استاتیکی را در حالت کلی بررسی می‌کنیم.

فشار در یک سیال استاتیکی با چگالی متغیر

در این بخش می‌خواهیم فشار در یک سیال استاتیکی را که در یک میدان گرانشی یکنواخت قرار گرفته است، با دقت بیشتری بررسی کنیم. ابتدا باید ببینیم تعریف سیال استاتیکی در مکانیک سیالات چیست. سیال استاتیکی سیالی است که ساکن است و حرکتی ندارد، به این مفهوم که در هر نقطه از چنین سیالی، فشار روی تمام سطوح باید برابر باشد. در غیر این صورت، سیال در آن نقطه خاص به نیروی معادل وارد شده واکنش می‌دهد و در نتیجه شتاب می‌گیرد.

طبق محاسباتی که در بخش قبل انجام شد، فشار در سیالاتی که نزدیک سطح زمین قرار دارند، به علت وزن سیال همواره با عمق سیال نسبت به یک سطح مشخص تغییر می‌کند. در این محاسبات فرض کردیم که چگالی سیال ثابت است. با چنین فرضی، می‌توانیم بگوییم چگالی میانگین سیال معیار مناسبی برای چگالی سیال خواهد بود. چنین تقریبی برای مایعاتی مانند آب کار می‌کند. ویژگی چنین سیالاتی این است که برای فشرده‌سازی یا متراکم کردن آن‌ها به نیروی خیلی بزرگی نیاز داریم.

برای مثال، آب داخل یک استخر را در نظر بگیرید. چگالی آن تقریبا ثابت است، چون آب کف استخر بر اثر وزن آب بالای آن به میزان خیلی خیلی کمی ممکن است متراکم شود. پس تغییر حجم احتمالی خیلی ضعیف است و می‌توانیم چگالی این آب را تقریبا ثابت در نظر بگیریم. اما اگر به ارتفاعات بالاتر برویم، وضعیت فشار در سیالی مانند هوا کاملا متفاوت خواهد بود. چگالی هوا با کمی فاصله گرفتن از سطح زمین تغییرات قابل‌توجهی خواهد داشت.

بنابراین برای اینکه فرمول تغییرات فشار با عمق یا ارتفاع را به‌درستی و با دقت بیشتری استخراج کنیم، لازم است با فرض ثابت نبودن چگالی سیال محاسبات خود را شروع کنیم. سیالی را که در داخل ظرفی به شکل زیر و بالاتر از سطح زمین قرار دارد، در نظر بگیرید. انتظار داریم نقاطی از مایع که در سطوح عمیق‌تر داخل این ظرف قرار دارند، نسبت به نقاطی که نزدیک سطح مایع هستند، فشار بیشتری دریافت کنند. علت این مسئله این است که سیال بالای این نقاط وزن بیشتری دارد. بنابراین فشار محاسبه شده در یک عمق مشخص با فرض ثابت نبودن چگالی با فشار سیالی با چگالی ثابت متفاوت است و در این بخش این مسئله را نشان می‌دهیم.

ظرف استوانه‌ای شکل حاوی آب و چند پیکان قرمز نشان‌دهنده نیروهای وارد بر آن

به این منظور جرم کوچکی از سیال را به‌صورت m\triangle m در نظر می‌گیریم که به شکل یک قرص دایره‌ای است و فرض می‌کنیم این المان جرم در عمق hh نسبت به سطح آزاد سیال قرار دارد. مساحت سطح مقطع این جرم AA و ارتفاع آن h\triangle h است. با استفاده از دستگاه مختصات دکارتی و در نظر گرفتن جهت مثبت محور قائم به سمت بالا، مولفه قائم نیروهای وارد بر این المان جرم به شکل زیر می‌شوند:

P(y+y)AP(y)Agm=0  (y<0)P(y+ \triangle y)A - P(y)A - g\triangle m = 0 \ \ (\triangle y < 0)

در رابطه بالا از فرمول اصلی فشار به‌صورت F=PAF =PA استفاده شده است. همچنین برای محاسبه جمع برداری نیروها از قانون دوم نیوتن استفاده کرده‌ایم، به این صورت که مجموع تمام نیروهای وارد بر المان جرم را با در نظر گرفتن جهت این نیروها نوشته‌ایم و چون در نهایت شتابی نداریم و سیال استاتیک است، پس سمت دیگر این تساوی برابر با صفر شده است. نیروهایی که به این بخش از سیال وارد می‌شوند معادل هستند با نیروی حاصل از فشار p(y)p (y) ناشی از سیال بالای المان جرم و نیروی متناظر با فشار p(y+y)p (y + \triangle y) ناشی از سیال زیر این المان. نیروی وزن خود این المان جرم نیز در نمودار سطح آزاد تصویر بالا مشخص است. با توجه به اینکه این المان جرم که در عمق بین yy و y+yy + \triangle y قرار دارد، هیچ شتابی ندارد، پس می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که نیروهای وارد بر آن در تعادل هستند.

دقت کنید اگر در این محاسبات المان جرم ما شتاب خیلی کوچک و مخالف صفری داشته باشد، سمت راست تساوی دیگر برابر با صفر نیست و طبق قانون دوم نیوتن برابر می‌شود با حاصل‌ضرب جرم این المان در مولفه قائم شتاب سیال. حالا جرم این بخش را طبق تعریف چگالی به شکل زیر می‌نویسیم:

m=ρAy=ρAy  (y<0)\triangle m = |\rho A \triangle y| =- \rho A \triangle y \ \ (\triangle y < 0)

دقت کنید هدف ما از در نظر گرفتن المان جرم این بود که با توجه به ثابت نبودن چگالی در کل سیال، بتوانیم چگالی را برای این جزء کوچک از جرم سیال ثابت در نظر بگیریم. به همین علت چگالی در رابطه بالا عدد ثابتی در نظر گرفته شده است. با قرار دادن این عبارت به جای جرم المان در رابطه اولیه و سپس تقسیم دو طرف بر AyA \triangle y خواهیم داشت:

P(y+y)AP(y)A+gρAy=0P(y+ \triangle y)A - P(y)A + g \rho A \triangle y = 0

P(y+y)P(y)y=gρ\frac{P(y+ \triangle y) - P(y)}{\triangle y} = - g \rho

حالا کافی است از دو طرف رابطه بالا با توجه به اینکه y0\triangle y \rightarrow 0، حدگیری انجام دهیم:

limy0P(y+y)P(y)y=limy0(gρ)\lim_{ \triangle y \rightarrow 0} \frac{P(y+ \triangle y) - P(y)}{\triangle y} = \lim_{ \triangle y \rightarrow 0}( - g \rho)

سمت چپ تساوی بالا معادل است با dPdy\frac{dP}{d y}. سمت راست نیز مقدار ثابتی است که به y\triangle y بستگی ندارد. پس خواهیم داشت:

dPdy=gρ\frac{dP}{d y} = - g \rho

این فرمول تغییرات فشار با عمق یا ارتفاع را در یک سیال استاتیکی که چگالی آن ثابت نیست، محاسبه می‌کند و نشان می‌دهد که تغییرات فشار در یک سیال استاتیکی با چگالی آن متناسب است. راه‌حل این معادله به این بستگی دارد که چگالی سیال ثابت است یا با عمق آن تغییر می‌کند. در صورتی که چگالی با عمق تغییر کند، رابطه بالا به شکل زیر است:

dPdy=gρ(y)\frac{dP}{d y} = - g \rho(y)

اگر تغییرات عمق مورد بررسی در مسئله چندان زیاد نباشد، می‌توانیم چگالی را ثابت فرض کنیم. اما اگر تغییرات عمق آن‌قدر زیاد باشد که چگالی هم با آن تغییرات قابل‌توجهی داشته باشد (مانند مثال فشار هوا)، در این صورت نمی‌توانیم چگالی را ثابت در نظر بگیریم.

فشار در یک سیال استاتیکی با چگالی ثابت

در بخش قبل با معادله کلی تغییرات فشار در یک سیال استاتیکی آشنا شدیم. می‌خواهیم ببینم با ثابت در نظر گرفتن چگالی، این فرمول به چه نتیجه‌ای منجر می‌شود و آیا به معادله‌ای که در ابتدای بخش «فشار در سیالات» معرفی کردیم، می‌رسیم یا خیر. فرض کنید نقطه‌ای از سیال بخش قبل در عمق hh را در نظر گرفته‌ایم. با ثابت فرض کردن چگالی و نوشتن معادله تغییرات فشار، می‌توانیم با انتگرال‌گیری فشار را به‌دست آوریم:

تصویری از یک لیوان آب

dPdy=gρ(y)\frac{dP}{d y} = - g \rho(y)

dP=gρdy\Rightarrow dP = - g \rho d y

P0PdP=0hgρdy\Rightarrow \int_{P_0}^{P} dP = - \int_{0}^{-h} g \rho d y

در نوشتن حدود انتگرال در رابطه بالا باید دقت کنید. فشار در عمق y=0y = 0 معادل است با فشار اتمسفر که به سطح سیال اعمال می‌شود. همچنین با در نظر گرفتن مبدا روی سطح، فشار در عمق h-h از سطح سیال برابر است با PP که می‌خواهیم آن را پیدا کنیم. با ضرب کردن منفی بیرون انتگرال و منفی در حد انتگرال در سمت راست رابطه بالا، خواهیم داشت:

P0PdP=0hgρdy\Rightarrow \int_{P_0}^{P} dP = \int_{0}^{h} g \rho d y

چگالی و شتاب جاذبه زمین ثابت هستند، پس از انتگرال خارج می‌شوند:

PP0=gρ0hdy\Rightarrow P - P_0 = g \rho \int_{0}^{h} d y

PP0=gρh\Rightarrow P - P_0 = g \rho h

این رابطه دقیقا معادل است با فرمولی که برای فشار یک سیال در ابتدای این بخش معرفی کردیم. بنابراین فشار در عمق hh از یک سیال برابر است با مجموع فشار اتمسفر و gρhg \rho h، در صورتی که چگالی سیال در طول این عمق از سیال ثابت باشد.

مایع قرمز رنگی در چند ستون با شکل‌های مختلف

نکته مهم دیگر این است که فشار در یک سیال با چگالی ثابت، فقط و فقط به عمق آن از سطح بستگی دارد، نه به شکل ظرفی که در آن قرار دارد. برای مثال، اگر سیال قرمز رنگ در شکل بالا بتواند آزادانه بین بخش‌های مختلف ظرف جابجا شود، در هر بخش تا ارتفاع یکسانی بالا می‌رود. در نتیجه با اینکه شکل ستون‌ها با هم فرق دارد، اما فشاری که به کف هر کدام از ستون‌های بالا وارد می‌شود یکسان است. البته ممکن است در ابتدا که مایع را داخل چنین ظرفی می‌ریزید، ارتفاع مایع در ستون‌ها با هم برابر نباشد. اما تغییرات ارتفاع در اثر جریان مایع تا زمانی ادامه پیدا می‌کند که ارتفاع تمام چهار ستون‌ با هم یکی شود. پس از این لحظه، سیال هم جریان نخواهد داشت و به حالت سکون می‌رسد. اگر تمایل دارید مبحث فشار استاتیکی را همراه با حل مثال و تمرین بهتر بیاموزید، مطالعه مطلب «فشار استاتیک چیست؟ – توضیح به زبان ساده» از مجله فرادرس می‌تواند برای شما مفید باشد.

تغییرات فشار اتمسفر با ارتفاع

یکی دیگر از مباحث مهم در فشار و مکانیک سیالات تغییرات فشار اتمسفر با ارتفاع است که در این بخش به آن می‌پردازیم. فرض کنید دمای هوا ثابت است و قانون گازهای ایده‌آل در ترمودینامیک، اتمسفر یا جو را با تقریب خوبی توصیف می‌کند. در این شرایط می‌توانیم تغییرات فشار هوا با ارتفاع را پیدا کنیم. اگر P(y)P(y) فشار اتمسفر، TT دما بر حسب کلوین (KK) و ρ\rho چگالی در ارتفاع yy باشند، در این صورت طبق فرمول قانون گاز ایده‌آل این پارامترها به شکل زیر با هم در ارتباط هستند:

P=ρkBTm(atm)P = \rho \frac{k_B T}{m} (atm)

در رابطه بالا mm جرم یک مولکول هوا است و PP در حقیقت فشار مطلق محسوب می‌شود. همچنین kBk_B ثابت بولتزمن است با مقدار 1.38×1023 JK1.38 \times 10^{-23 } \ \frac{J}{K}. احتمالا فرمول قانون گازها را به شکل PV=nRTPV = nRT به یاد دارید که در آن nn معادل است با تعداد مول‌های گاز ایده‌آل و RR ثابت گازها است. در اینجا همان فرمول نوشته شده است، اما بر حسب چگالی به‌جای حجم. به همین دلیل ثوابت تغییر کرده‌اند.

بنابراین اگر فشار با عمق تغییر کند، چگالی هم با عمق تغییر خواهد کرد. چگالی را از رابطه بالا به‌دست می‌آوریم و در معادله تغییرات فشار با عمق برای یک سیال جایگزین می‌کنیم:

ρ=mPkBT\rho = \frac{m P}{k_B T}

dPdy=gρ(y)dPdy=gmPkBT\frac{dP}{d y} = - g \rho(y) \Rightarrow \frac{dP}{d y} = - g\frac{m P}{k_B T}

حالا تمام ثوابت را در داخل پرانتز قرار می‌دهیم و آن را \alpha می‌نامیم:

dPdy=αP\Rightarrow \frac{dP}{d y} = - \alpha P

در ادامه کافی است معادله بالا را حل کنیم. با قرار دادن مقادیر فشار در یک سمت تساوی و انتگرال‌گیری از طرفین خواهیم داشت:

dPP=αy\Rightarrow \frac{dP}{P} = - \alpha y

P0P(y)dPP=0yαy\Rightarrow \int_{P_0}^{P(y)} \frac{dP}{P} = - \int_{0}^{y} \alpha y

lnPlnP0=αy\Rightarrow \ln P - \ln P_0 = - \alpha y

ln(PP0)=αyP(y)=P0eαy\Rightarrow \ln (\frac{P}{P_0})= - \alpha y \Rightarrow P(y) = P_0 e^{ - \alpha y}

پس تغییرات فشار اتمسفر با ارتفاع یا عمق به‌صورت نمایی است و از معادله P(y)=P0eαyP(y) = P_0 e^{ - \alpha y} به‌دست می‌آید. برای مثال زمانی که ارتفاع برابر است با 1α\frac{1}{\alpha}، فشار به اندازه 1e\frac{1}{e} افت می‌کند. این نکته می‌تواند در تفسیر فیزیکی ثابت α\alpha به ما کمک کند، به این صورت که 1α\frac{1}{\alpha} مقیاس طولی است که مشخص می‌کند چطور فشار با ارتفاع تغییر می‌کند. به همین دلیل آن را ارتفاع مقیاس فشار می‌نامیم.

اگر جرم مولکول هوا را با جرم مولکول نیتروژن برابر در نظر بگیریم، در دمای 27C27 C یا 300K300 K، ثابت α\alpha به‌صورت تقریبی برابر می‌شود با:

α=mgkBT=4.8×1026 kg×9.8 ms21.38×1023 Jk×300 K=18800 m\alpha = - \frac{m g}{k_B T} = - \frac{4.8\times10^{-26 } \ kg \times 9.8 \ \frac{m}{s^2}}{1.38\times10^{-23} \ \frac{J}{k}\times 300 \ K} = \frac{1}{8800 \ m}

پس به ازای هر 8800 m8800 \ m، فشار هوا حدودا 1e\frac{1}{e} یا یک‌سوم مقدار افت می‌کند. این رابطه تنها یک تخمین تقریبی از موقعیت واقعی را به ما ارائه می‌دهد، چون در این محاسبات دما و شتاب جاذبه زمین را در فواصل خیلی دور از سطح زمین ثابت فرض کردیم، در حالی که در واقعیت هیچ‌کدام از این دو فرض برقرار نیست.

جهت فشار در یک سیال چیست؟

از جمله مباحث مهم مربوط به مفهوم فشار در مکانیک سیالات، بررسی راستا و جهت فشار در یک سیال است. با توجه به اینکه فشار یک کمیت نرده‌ای یا عددی است، بنابراین فشار سیالات هم یک کمیت نرده‌ای است و در نتیجه جهت ندارد. اما می‌دانیم در فرمول اصلی فشار نیرو را داریم و نیرو جهت دارد. نکته مهم این است که ما در بررسی فشار سیالات همیشه آن مولفه‌ای از نیرو را در نظر می‌گیریم که عمود بر سطح است. همان‌طور که اشاره شد، سیالات نمی‌توانند نیروهای برشی را تحمل کنند. همچنین سیالات نمی‌توانند نیروی برشی اعمال کنند. در نتیجه برای یک سیال محبوس در یک ظرف یا محفظه، نیروهای وارد به سطوح داخلی ظرف یا محفظه عمود بر این سطوح هستند. همچنین فشاری که از سمت یک سیال به هر نوع جسم شناور داخل آن وارد می‌شود، همواره بر سطوح مختلف این جسم عمود است.

تصویری از یک تایر ماشین و شخصی که در حال شنا کردن است.
برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگتر، روی آن کلیک کنید.

تصویر بالا فشار دو نوع سیال را نشان می‌دهد. در (a) فشار هوا به دیواره‌های داخلی یک تایر و در (b) فشار ناشی از آب به بدن یک شناگر توسط چندین پیکان مشخص شده است. دقت کنید رسم این پیکان‌ها به معنای جهت‌دار بودن شتاب نیست. برای مثال، در مورد فشار هوا به دیواره‌های داخلی تایر، این پیکان‌ها نشان‌دهنده جهت و اندازه مولفه‌ عمودی نیروهایی است که فشار هوای داخل تایر را ایجاد می‌کنند. در تصویر سمت راست، اگر فرض کنیم شناگر داخل آب نیست، در این صورت فضای اشغال شده توسط شناگر با آب جایگزین می‌شود. در این تصویر نیز جهت و اندازه نیروهایی که به نقاط مختلف بدن شناگر وارد می‌شود، در شکل مشخص است. این نیروها فشار آب به بدن شناگر را ایجاد می‌کنند.

نکته مهمی که در اینجا باید به آن توجه کنیم این است که فشار در نقاط عمیق‌تر (زیر بدن شناگر) نسبت به فشار در نقاط بالای بدن او بیشتر است، چون این نقاط در عمق بیشتری نسبت به سطح آب قرار دارند. این مسئله توسط پیکان‌های بزرگتر در مقایسه با پیکان‌های کوچکتر وارد بر بالای بدن نمایش داده شده است. حاصل این نابرابری، نیروی برآیندی است که نیروی شناوری نامیده می‌شود. این نیرو با یک پیکان مشکی و به سمت بالا در شکل مشخص شده است. بنابراین اگر بخواهیم مجموع نیروهای وارد بر بدن شناگر را پیدا کنیم، باید جمع برداری وزن شناگر و نیروی شناوری وارد بر آن را محاسبه کنیم. در بخش‌های بعد مبحث نیروی شناوری را بیشتر توضیح می‌دهیم.

اصل پاسکال و هیدرولیک (استاتیک سیالات)

در سال ۱۶۵۳، فیلسوف و دانشمند فرانسوی به نام «بلز پاسکال» مقاله‌ای را منتشر کرد که در آن به توضیح اصول حاکم بر سیالات استاتیک پرداخته بود. هر سیالی که در حرکت نباشد یا جاری نشود، یک سیال استاتیک محسوب می‌شود و می‌گوییم این سیال در تعادل استاتیکی قرار دارد. اگر سیال استاتیک ما آب باشد، در این صورت می‌گوییم این سیال در تعادل هیدروستاتیکی است. برآیند یا مجموع تمام نیروهای وارد بر نقاط مختلف یک سیال استاتیکی همواره برابر است با صفر، در غیر این صورت این سیال شروع به حرکت می‌کند.

پاسکال در مطالعه سیالات استاتیکی مشاهده کرد که هر گونه تغییر در فشار وارد بر یک سیال محبوس، به تمام نقاط آن سیال و دیواره‌های ظرف بدون هیچ‌گونه کاهشی منتقل می‌شود. این پدیده اصل پاسکال یا قانون پاسکال نام دارد. طبق اصل پاسکال، فشار کل در یک سیال برابر است با مجموع فشار ناشی از منابع مختلف. برای مثال، دیدیم که فشار در یک نقطه با عمق مشخص از یک سیال با سطح آزاد همواره برابر است با فشار ستون مایع بالای آن نقطه و فشار اتمسفر وارد بر سطح سیال.

می‌دانیم در یک سیال محبوس در یک ظرف یا محفظه، تمام اتم‌های سیال آزاد هستند تا حرکت کنند. بنابراین اگر فشار تغییر کند، این اتم‌ها تغییر فشار را به تمام نقاط سیال و دیواره‌های داخلی ظرف منتقل می‌کنند. نکته خیلی مهم در مورد اصل پاسکال این است که فشار در تمام نقاط یک سیال یکسان نیست، چون همان‌طور که بارها توضیح دادیم، فشار در یک سیال استاتیکی به عمق بستگی دارد. این اصل فقط در مورد نحوه انتقال تغییرات فشار به نقاط مختلف یک سیال صحبت می‌کند.

تصویری از دو ستون استوانه‌ای حاوی آب

فرض کنید مطابق شکل (a) از تصویر بالا، مقداری آب داخل یک ظرف استوانه‌ای در بسته با ارتفاع hh و سطح مقطع AA دارید. در این تصویر مقدار فشار در سطح بالای آب با فشار در کف متفاوت است. حال اگر یک پیستون قابل حرکت به جرم mm داخل این ظرف داشته باشیم، با قرار دادن یک وزنه با جرم MM روی این پیستون، فشار جدیدی مطابق شکل (b) تولید می‌شود که برابر است با:

Ptop=MgA\triangle P_{top} = \frac{Mg}{A}

در واقع اگر اختلاف فشار وارد بر سطح بالایی آب در دو شکل (a) و (b) را محاسبه کنیم، عبارت بالا به‌دست می‌آید. افزایش فشار وارد بر آب، به علت قرار دادن وزنه جدید روی پیستون است. این افزایش فشار طبق اصل پاسکال به تمام نقاط آب و به اندازه یکسان منتقل می‌شود، یعنی اختلاف فشار در سطح بالای آب برای هر دو تصویر با اختلاف فشار در کف آب برای هر دو تصویر برابر است. بنابراین داریم:

Ptop=Pbottom=MgA\triangle P_{top} = \triangle P_{bottom} = \frac{Mg}{A}

پس فشار در کف ظرف همواره برابر است با مجموع سه فشار،‌ فشار اتمسفر وارد بر سطح آب، فشار ناشی از وزن ستون آب و فشار ناشی از نیروی وزن هر جرمی که روی آب قرار گرفته است. اما تغییرات در فشار کف ظرف برابر است با MgA\frac{Mg}{A}.

سیستم‌های هیدرولیکی

عملکرد سیستم‌های هیدرولیکی بر مبنای اصل پاسکال در مکانیک سیالات توسعه یافت. از سیستم‌های هیدرولیکی در ساخت ترمز خودروها، جک‌‌های هیدورلیکی به منظور بالا بردن اجسام مختلف و بسیاری از سیستم‌های مکانیکی دیگر استفاده می‌شود. در شکل زیر نمونه یک سیستم هیدرولیکی را مشاهده می‌کنید که شامل دو محفظه استوانه‌ای پر شده با آب است که توسط دو پیستون محبوس شده‌اند. همچنین این دو محفظه توسط یک لوله افقی به نام خط هیدورلیکی یا Hydraulic Line به هم متصل شده‌اند.

تصویری از اتصال دو محفظه آب
یک سیستم هیدورلیکی

اگر نیروی F1F _1 به سمت پایین به پیستون سمت چپ وارد شود، فشار حاصل از این نیرو طبق اصل پاسکال بدون کاهش به تمام نقاط سیال داخل این سیستم منتقل می‌شود. نتیجه این انتقال فشار جدید، نیرویی به‌صورت F2F _2 است که به سمت بالا و به پیستون سمت راست وارد می‌شود. این نیرو از نیروی F1F _1 بزرگتر است، چون سطح مقطع پیستون سمت راستی از سطح مقطع پیستون سمت چپ بیشتر است. فشار ناشی از نیروی F1F _1 که به سطح A1A _1 اعمال می‌شود برابر است با:

P1=F1A1P_1 = \frac{F_1}{A_1}

طبق اصل پاسکال این فشار بدون کاهش به تمام نقاط سیستم هیدورلیکی منتقل می‌شود، از جمله به زیر پیستون سمت راستی. اگر فشار وارد بر این پستون را با P2P_2 نشان دهیم، طبق اصل پاسکال داریم:

P1=P2P_1 = P _2

F1A1=F2A2\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}

این فرمول نشان‌دهنده نسبت نیرو و مساحت در یک سیستم هیدرولیکی است، با این فرض که دو پیستون در ارتفاع یکسانی قرار دارند و اصطکاک نیز در این سیستم قابل‌ صرف‌نظر کردن است. سیستم‌های هیدرولیکی با چنین سازوکاری قادر هستند نیروی موردنظر را کاهش یا افزایش دهند. برای اینکه نیرویی توسط یک سیستم هیدرولیکی افزایش یابد، کافی است سیستم را طوری تنظیم کنیم که فشار ناشی از آن به یک سطح بزرگتر وارد شود. برای مثال، اگر یک نیروی 100 N100 \ N به پیستون سمت چپ در شکل زیر وارد شود، با دانستن این نکته که سطح مقطع پیستون سمت راست 55 برابر سطح مقطع این پیستون است، نیرویی که به پیستون سمت راست وارد می‌شود برابر است با:

5×100 N=500 N5 \times100 \ N = 500 \ N

تصویری از یک جک هیدورلیکی که یک ماشین را بلند کرده است
برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگتر، روی آن کلیک کنید.

این یعنی تنها با اعمال نیروی 100 N100 \ N می‌توانیم نیروی 500 N500 \ N تولید کنیم. چنین سیستم‌هایی جک هیدورلیکی نامیده می‌شوند و از آن‌ها برای بلند کردن اجسام سنگین مانند اتومبیل‌ها یا کامیون‌ها هنگام تعمیر استفاده می‌شود. جک‌های هیدورلیکی از یک سیال تراکم‌ناپذیر تشکیل شده‌اند که در یک لوله U شکل همراه با دو پیستون در دو طرف آن قرار می‌گیرد. معمولا یک سمت این لوله U شکل نسبت به سمت دیگر قطر کمتری دارد تا بتوان نیروی بزرگتری تولید کرد.

اصل ارشمیدس و شناوری (استاتیک سیالات)

در این بخش به یکی دیگر از مهم‌ترین مباحث در مکانیک سیالات یعنی مفهوم «شناوری» (Buoyancy) می‌پردازیم. ابتدا توضیح می‌دهیم که نیروی شناوری چیست و پس از تعریف «اصل ارشمیدس» (Archimedes’ Principle)، ارتباط آن را با مفهوم چگالی نشان می‌دهیم. این بخش جزء مباحث استاتیک سیالات محسوب می‌شود.

هر زمان که جسم یا اجسامی داخل یک سیال قرار می‌گیرند، به علت وجود نیروی شناوی، می‌گوییم این جسم یا اجسام در داخل سیال شناور شده‌اند. اگر بخواهیم بدانیم منشا این نیرو چیست و چرا برخی از اجسام در داخل یک سیال غوطه‌ور می‌شوند، در حالی که برخی نه، باید ببینیم فرمول نیروی شناوری چیست و به چه عواملی بستگی دارد.

نیروی شناوری یا بالابری چیست؟

گفتیم مقدار فشار در سیالات با افزایش عمق یا ارتفاع زیاد می‌شود. پس نیروی شناوری به سمت بالا در نقاط پایین‌تر جسمی که داخل یک سیال شناور است، مقدار بیشتری دارد. همچنین مقادیر این نیرو در نقاطی از جسم که بالاتر واقع شده‌اند، کمتر است. این مسئله موجب می‌شود مجموع یا برآیند نیروهای شناوری وارد شده به تمام نقاط یک جسم طبق شکلی که در بخش «جهت فشار در یک سیال چیست؟» مشاهده کردید، مخالف صفر شود. پس به هر جسمی که در یک سیال قرار دارد، همواره نیروی شناوری یا Buoyant Force به سمت بالا وارد می‌شود.

دو جسم کروی نارنجی و صورتی در آب شناور هستند.
رقابت نیروی شناوری و نیروی وزن در مورد اجسامی که در یک سیال قرار دارند. برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگتر، روی آن کلیک کنید.

علاوه بر‌ این نیرو، نیروی وزن جسم نیز همواره به آن وارد می‌شود. پس مجموع یا برآیند این دو نیرو (نیروی شناوری و وزن جسم)، تعیین کننده وضعیت شناور ماندن یا غرق شدن جسم در سیال است:

  • اگر نیروی شناوری وارد بر جسم از وزن آن بیشتر باشد، جسم به سمت سطح سیال رفته و شناور می‌ماند.
  • اگر نیروی شناوری وارد بر جسم از وزن آن کمتر باشد، جسم به سمت کف سیال رفته و غرق می‌شود.
  • اگر نیروی شناوری وارد بر جسم با وزن آن برابر باشد، جسم در همان ارتفاعی که هست معلق در سیال می‌ماند.

تصویر زیر نیز توضیحات بالا را تایید می‌کند. طبق فرمول P=gρhP = g \rho h و به علت وزن سیال، فشار با عمق تغییر می‌کند. در نتیجه فشاری که به سطح بالایی جسم داخل سیال وارد می‌شود (P1P_1) با فشاری که به سطح پایینی آن وارد می‌شود (P2P_2)، متفاوت است. این تغییر فشار باعث می‌شود نیروی شناوری یا FBF_B به سمت بالا داشته باشیم.

جسم استوانه‌ای شکلی که در داخل یک محفظه محتوی آب غوطه‌ور است.

اصل ارشمیدس چیست؟

طبق اصل ارشمیدس، نیروی شناوری وارد بر یک جسم برابر است با وزن سیالی که با حذف جسم جایگزین آن خواهد شد:

FB=WflF_B = W_{fl}

برابری نیروی شناوری با وزن سیال جایگزین جسم، توسط دانشمند و ریاضیدان یونانی، ارشمیدس کشف شد. ارشمیدس این اصل را سال‌ها پیش از اینکه مفهوم نیرو شناخته شود، پایه‌گذاری کرد. در تصویر سمت چپ از شکل زیر، با توجه به بزرگتر بودن نیروی شناوری نسبت به وزن، شخص شناور می‌ماند. اگر فرض کنیم شخص در آب نیست، در این صورت وزن آب یا WflW_{fl} جایگزین وزن شخص می‌شود و در این حالت، نیروی شناوری با نیروی وزن آب برابر است.

شخصی در حال شنا داخل آب است.
برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگتر، روی آن کلیک کنید.

رابطه چگالی و اصل ارشمیدس

اگر یک توده خاک رس را روی سطح آب قرار دهید، غرق می‌شود. اما اگر همین توده خاک را به شکل یک قایق درآورده و روی سطح آب قرار دهید، شناور می‌ماند. تفاوت این دو موقعیت در شکل توده خاک است. علت این تفاوت این است که وقتی خاک را به شکل قایق درمی‌آوریم، با مقدار آب بیشتری جایگزین می‌شود. در نتیجه نیروی شناوری از وزن توده خاک بیشتر شده و قایق شناور می‌ماند.  چنین توضیحی در مورد کشتی‌های فولادی نیز صادق است.

چگالی میانگین یک جسم مهم‌ترین پارامتری است که تعیین می‌کند آیا این جسم در یک سیال شناور می‌ماند یا خیر. اگر این چگالی متوسط از چگالی سیالی که آن را احاطه کرده است کمتر باشد، جسم شناور می‌ماند. علت این است که سیالی که چگالی بیشتری دارد، با در نظر گرفتن حجم یکسان، جرم و در نتیجه وزن بیشتری هم دارد. بنابراین نیروی شناوری که با وزن سیال جایگزین برابر است، از وزن جسم بیشتر خواهد شد.

پس در مورد رابطه چگالی و اصل ارشمیدس می‌توانیم به نتیجه‌گیری زیر برسیم:

  • اجسام با چگالی بیشتر از سیال، در آن غرق می‌شوند.
  • اجسام با چگالی کمتر از سیال، در آن شناور می‌مانند.

برای مثال کشتی زیر را در نظر بگیرید که در دو حالت وضعیت آن را بررسی کرده‌ایم. در تصویر سمت چپ، کشتی بدون بار است و همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، به علت جرم و در نتیجه چگالی کمتر، آب کمتری را جابجا کرده است. در این حالت بخش کمتری از کشتی در آب شناور است. اما در تصویر سمت راست، کشتی دارای بار است. پس جرم و در نتیجه چگالی آن افزایش یافته است. در این حالت باز هم همچنان کشتی در آب شناور است، اما اگر دقت کنید در مقایسه با کشتی بدون بار، در این حالت بخش بیشتری از کشتی در آب قرار گرفته است.

تصویری از دو کشتی در آب
برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگتر، روی آن کلیک کنید.

برای اینکه دقیق‌تر بدانیم چه مقدار از جسم در سیال شناور می‌ماند، می‌توانیم با استفاده از اثر چگالی روی نیروی شناوری، یک رابطه ریاضی مناسب استخراج کنیم. کسر غوطه‌وری برابر است با نسبت حجم سیال جابجا شده (حجم غوطه‌وری یا شناوری) به حجم جسم:

VflVobj\frac{V_{fl}}{V_{obj}}

حالا با توجه به تعریف چگالی، کسر بالا را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:

VflVobj=mflρflmobjρobj\frac{V_{fl}}{V_{obj}}= \frac{ \frac{m_{fl}}{\rho _{fl}}}{ \frac{m_{obj}}{\rho_{obj}}}

در رابطه بالا ρfl\rho _{fl} میانگین چگالی سیال و ρobj\rho _{obj} متوسط چگالی جسم است. با در نظر گرفتن این فرض که جسم در سیال شناور می‌ماند، پس باید جرم جسم و جرم سیال جابجا شده با هم برابر باشند. پس خواهیم داشت:

ρobjρfl\frac{ \rho_{obj}}{ \rho_{fl}}

بنابراین اجسام یا موادی با چگالی کمتر  همواره در سیالات چگال‌تر شناور می‌مانند، برای مثال، روغن در آب، بالنی پر شده از هوای داغ در هوا و کوه یخ در آب‌نمک.

سرعت سیال و انواع جریان (دینامیک سیالات)

تا اینجا مباحث مهم استاتیکی در مکانیک سیالات را یاد گرفتیم. در این بخش وارد بخش دینامیک سیالات می‌شویم و به بررسی و مطالعه سیالات در حال حرکت می‌پردازیم. با توجه به اینکه حرکت سیالات در واقعیت بسیار پیچیده است، مطالعه خود را به سیالات ایده‌آل محدود می‌کنیم. سیال ایده‌آل سیالی است که ویسکوزیته آن ناچیز است. از بخش‌های قبل به خاطر داریم که ویسکوزیته به نوعی اصطکاک داخلی سیال در مقابل جاری شدن است.

تصویری از یک نقشه هواشناسی با مناطق آبی و زرد و تعداد زیادی پیکان کوچک
نمایش جهت باد با بردارهای سرعت در نقشه‌های هواشناسی

یکی از مهم‌ترین کمیت‌های فیزیکی برای توصیف یک سیال دینامیکی، بردار سرعت است. برای مثال زمانی که می‌خواهیم حرکت باد یا همان حرکت سیالی به نام هوا در اتمسفر را نشان دهیم، از بردارهای سرعت استفاده می‌کنیم تا اندازه و جهت باد را در هر نقطه روی نقشه هواشناسی نشان دهیم.  روش دیگر نمایش حرکت سیال در مکانیک سیالات، استفاده از استریم‌لاین (Streamline) است. یک استریم‌لاین، مسیر جریان حجم کوچکی از یک سیال در حال حرکت را نمایش می‌دهد. با توجه به نوع حرکت و سرعت سیال، دو نوع جریان برای یک سیال تعریف می‌شود:

  1. «جریان آرام یا لایه‌ای» (Laminar Flow یا Steady Flow)
  2. «جریان توربولانس یا آشفته» (Turbulent Flow)

برای مثال، شکل زیر استریم‌لاینی از این دو نمونه جریان را نشان می‌دهد که در یک لوله جریان دارند. تصویر سمت چپ نمونه‌ای از یک جریان آرام است. در این نوع جریان، از استریم‌لاین‌های یکنواخت و موازی هم برای نمایش جریان سیال استفاده می‌شود. به همین دلیل این نوع جریان را لایه‌هایی از سیال در نظر می‌گیرند که موازی با هم و در مسیر منظمی در حال حرکت هستند. البته باید دقت کنید سرعت سیال در مرکز لوله نسبت به نزدیکی دیواره‌های آن همواره بیشتر است و علت آن به ویسکوزیته سیال و اصطکاک بین دیواره‌های لوله و سیال بازمی‌گردد.

تصویری از مقطع دو لوله حاوی سایل آبی و چند بردار

در شکل بعدی که دارای استریم‌لاین‌های نامنظم و متغیر با زمان است، نمونه یک جریان آشفته را داریم. در جریان توربولانس مسیر نقاط مختلف شاره متفاوت است، در نتیجه قسمت‌های مختلف سیال ممکن است با هم برخورد داشته باشند یا با هم ترکیب شده و نواحی دایره‌ای شکلی شبیه به گرداب بسازند. این جریان زمانی ایجاد می‌شود که سرعت سیال به حد بحرانی خود برسد.

عدد رینولدز چیست؟

محاسبه عدد رینولدز یا Reynolds Number یا NRN_R در مکانیک سیالات به منظور مشخص کردن آرام یا آشفته بودن یک جریان بکار می‌رود. این عدد در حقیقت مقیاسی برای اندازه‌گیری میزان آشفتگی یا توربولانس در یک جریان است. برای یک سیال جاری در لوله‌ای با قطر یکنواخت، عدد رینولدز توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:

NR=2ρvrηN_R = \frac{2 \rho vr}{\eta }

در این فرمول ρ\rho چگالی سیال، vv سرعت آن، η\eta ویسکوزیته سیال و rr شعاع لوله است. بنابراین عدد رینولدز بدون واحد است. تعیین نوع جریان بر اساس عدد رینولدز به‌صورت زیر انجام می‌شود:

  • اگر NR>3000N_R > 3000 باشد، سیال آشفته است.
  • اگر NR<2000N_R < 2000 باشد، سیال آرام است.
  • برای مقادیر بین این دو محدوده، سیال ناپایدار است و وضعیت متغیری بین این دو حالت دارد.

نرخ جریان یا دبی جریان و معادله پیوستگی (دینامیک سیالات)

نرخ جریان یا دبی جریان که با نماد QQ نشان داده می‌شود، معادل است با حجمی از سیال که از نقطه مشخصی از یک سطح مقطع داده شده در واحد زمان عبور می‌کند. معادل ریاضیاتی این تعریف در مکانیک سیالات به شکل زیر است:

Q=dVdtQ = \frac{dV}{dt}

  • VV: حجم سیال بر حسب متر مکعب یا m3m^3
  • tt: زمان بر حسب ثانیه یا ss

بنابراین واحد نرخ جریان در سیستم SI برابر است با m3s\frac{m^3}{s}، اما واحد مرسوم آن در کاربرد لیتر بر دقیقه است. اگر طبق شکل زیر حجم لوله استوانه‌ای شکل را به‌صورت AxAx در نظر بگیریم، نرخ جریان می‌شود:

Q=dVdt=d(Ax)dt=Adxdt=AvQ = \frac{dV}{dt} = \frac{d(Ax)}{dt} = A \frac{dx}{dt} =Av

تصویری از مقطع یک لوله صورتی رنگ

بنابراین سرعت سیال و نرخ جریان توسط فرمول Q=AvQ=Av با هم در ارتباط هستند. برای اینکه تمایز بین این دو کمیت را بهتر مشخص کنیم، به مثال‌‌های زیر توجه کنید. نرخ جریان یک رودخانه را در نظر بگیرید. هر چه سرعت آب بیشتر شود، نرخ جریان هم افزایش می‌یابد. اما نرخ جریان به اندازه و شکل رودخانه هم بستگی دارد. در مثالی دیگر، شکل زیر یک سیال تراکم‌ناپذیر را نشان می‌دهد که در لوله‌ای با شعاع متغیر جریان دارد. شعاع بخش جلویی لوله نسبت به بخش ابتدایی آن کمتر شده است. چون فرض کرده‌ایم که سیال تراکم‌ناپذیر است، پس همان مقدار سیال که از ابتدای لوله عبور می‌کند، باید از انتهای آن نیز عبور کند تا مطمئن شویم که پیوستگی در سیال برقرار است:

لوله صورتی رنگی با شعاع متفاوت در ابتدا و انتهای لوله

سیالی که در این لوله جریان دارد یک سیال پیوسته است، چون هیچ منبع یا مخزنی برای اضافه کردن یا کم کردن سیال در این لوله وجود ندارد. در نتیجه جرمی از سیال که به این مقطع از لوله وارد می‌شود با جرمی از سیال که از این مقطع از لوله خارج می‌شود، برابر است. در این مثال، چون شعاع لوله کم می‌شود، باید سرعت سیال در انتهای لوله زیاد شود تا پیوستگی برقرار باشد. معادل ریاضیاتی این شرایط، مساوی بودن نرخ جریان در دو نقطه از سیال است که در شعاع‌های مختلفی از لوله قرار دارند:

Q1=Q2Q_1 = Q_2

A1v1=A2v2A_1v_1 = A_2v_2

فرمول بالا معادله پیوستگی یا Equation of Continuity نامیده می‌شود که برای هر سیال تراکم‌ناپذیری با چگالی ثابت برقرار است. نتیجه معادله پیوستگی این است که وقتی آب لوله از یک شلنگ خارج می‌شود، سرعت آن زیاد است. در حالی که اگر آب همین لوله وارد یک منبع شود و از آن خارج شود، سرعت آن بالا نیست. بنابراین سرعت سیال با کاهش سطح مقطع لوله‌ای که در آن جریان دارد، زیاد می‌شود و برعکس. از آنجا که اغلب مایعات تراکم‌ناپذیر هستند، پس معادله پیوستگی برای تمام مایعات برقرار است. در مقابل گفتیم گازها سیالاتی هستند که متراکم می‌شوند. پس در کاربرد معادله پیوستگی برای گازها باید دقت کنیم.

ارتباط معادله پیوستگی و بقای جرم

اگر در شکل بخش قبل جرم نواحی پررنگ در ابتدا و انتهای لوله را در نظر بگیریم و از فرمول چگالی استفاده کنیم، خواهیم داشت:

m=ρV=ρAxm = \rho V= \rho Ax

حالا کمیتی به نام «نرخ جریان جرمی» به شکل زیر تعریف می‌کنیم که باید مانند نرخ جریان در دو نقطه فرضی ما مقدار یکسانی داشته باشد:

dmdt=d(ρAx)dt=ρAdxdt=ρAv\frac{dm}{dt}= \frac{d(\rho Ax)}{dt}=\rho A\frac{dx}{dt} =\rho Av

(dmdt)1=(dmdt)2(\frac{dm}{dt})_1=(\frac{dm}{dt})_2

ρ1A1v1=ρ2A2v2\rho_1 A_1v_1 = \rho_2 A_2v_2

اگر در این رابطه چگالی سیال تغییر نکند، خواهیم داشت:

A1v1=A2v2A_1v_1 = A_2v_2

پس با در نظر گرفتن بقای جرم نیز می‌توانیم به معادله پیوستگی برسیم.

قانون پوازی و مقاومت سیال

پس از اینکه آموختیم مفاهیمی مانند ویسکوزیته، جریان آرام و نرخ جریان در مکانیک سیالات به چه معناست، در این بخش می‌خواهیم قانون پوازی (Poiseuille’s Law)‌ را توضیح دهیم. می‌دانیم منشا جریان، اختلاف فشار است و نرخ جریان در جهت فشار بیشتر به فشار کمتر است. هر چه اختلاف فشار بین دو نقطه بیشتر شود، نرخ جریان هم بیشتر می‌شود. این توصیف در قالب فرمول به شکل زیر بیان می‌شود:

Q=P2P1RQ =\frac{P_2- P_1}{R}

که در آن RR مقاومت سیال در مقابل جاری شدن است. مقدار RR به ویسکوزیته سیال بستگی دارد، به این صورت که هر چه ویسکوزیته سیال بیشتر باشد، RR هم بیشتر است. برای مثال، هر گونه آشفتگی یا توربولانس RR را زیاد می‌کند، در حالی که افزایش قطر لوله باعث کاهش RR می‌شود. اگر ویسکوزیته صفر شود، سیال بدون اصطکاک است. در شکل زیر مقایسه‌ای انجام شده است بین یک سیال بدون ویسکوزیته و سیالی که دارای ویسکوزیته است:

تصویری از دو جریان زرد عمودی و پیکان‌های آبی رنگ

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در مورد سیال دارای ویسکوزیته یا تصویر (b)، مقاومت سیال در مقابل جاری شدن بیشتر است. پس سرعت سیال در نقاط مرکزی لوله نسبت به دیواره‌‌های آن افزایش می‌یابد. اما در مورد سیال بدون ویسکوزیته یا η=0\eta = 0، مقاومت ناچیز است. در نتیجه سرعت سیال در تمام نقاط لوله تقریبا یکسان است.

اگر بخواهیم رابطه بین ویسکوزیته و مقاومت سیال در مقابل جاری شدن را دقیق‌تر بررسی کنیم، باید به قانون پوازی مراجعه کنیم. این قانون رابطه بین η\eta و RR را در مورد یک جریان آرام محبوس در یک لوله افقی با شعاع یکنواخت rr و طول ll به شکل زیر توصیف می‌کند:

R=8ηlπr4R =\frac{8 \eta l}{\pi r^4}

ترکیب قانون پوازی و فرمول نرخ جریان به رابطه زیر منجر می‌شود:

Q=πr4(P2P1)8ηlQ =\frac{\pi r^4(P_2- P_1)}{8 \eta l}

یادگیری مکانیک سیالات با فرادرس

در این مطلب از مجله فرادرس سعی کردیم مفاهیم پایه در مکانیک سیالات را به زبانی ساده آموزش دهیم. پیشنهاد می‌کنیم در راستای تکمیل یادگیری خود و تسلط کامل به این مباحث، حتما فیلم‌های آموزشی فرادرس که در ادامه معرفی می‌شوند را مشاهده کنید:

تصویری از مجموعه آموزش مکانیک سیالات فرادرس
برای دسترسی به مجموعه فیلم آموزش مکانیک سیالات – از دروس دانشگاهی تا کاربردی در فرادرس، روی تصویر کلیک کنید.
  1. فیلم آموزش مکانیک سیالات ۱ فرادرس
  2. فیلم آموزش مکانیک سیالات ۲ فرادرس
  3. فیلم آموزش مکانیک سیالات ۱ – مرور و حل تمرین فرادرس
  4. فیلم آموزش مکانیک سیالات – مرور و حل تست کنکور ارشد فرادرس
  5. فیلم آموزش مکانیک سیالات – مرور و حل سوالات آزمون های استخدامی فرادرس
  6. فیلم آموزش مقدماتی مکانیک سیالات ۲ فرادرس
  7. فیلم آموزش هیدرولیک صنعتی فرادرس

معادله برنولی (دینامیک سیالات)

در بخش قبل یاد گرفتیم اگر سیالی از بخش باریکتر از یک لوله عبور کند، سرعت یا انرژی جنبشی آن زیاد می‌شود. اما همزمان با این افزایش انرژی جنبشی، فشار سیال در این بخش از لوله افت می‌کند. این افزایش انرژی در نتیجه کار برآیندی است که روی سیال انجام شده و موجب هل دادن آن به این بخش از لوله می‌شود. نیرویی که موجب انجام این کار می‌شود، از اختلاف فشار بین دو بخش با شعاع متفاوت در لوله ناشی شده است.

تصویری از عبور یک ماشین و کامیون از کنار هم در یک بزرگراه

مثال آشنای این توضیحات را در شکل بالا مشاهده می‌کنید. زمانی که یک اتومبیل و کامیون در یک بزرگراه از کنار هم عبور می‌کنند، هوای بین این دو وارد یک کانال کوچکتر می‌شود. در نتیجه سرعت سیال یا هوا در این ناحیه افزایش می‌یابد و همزمان، فشار هوا در این ناحیه افت می‌کند. در نتیجه فشار نواحی بیرونی یا P0P_0 که بیشتر از فشار در این ناحیه است، باعث می‌شود اتومبیل و کامیون به سمت هم نیرو وارد کنند. در این مثال برقرار ماندن اصل بقای انرژی واضح است.

بنابراین کاربرد بقای انرژی در مورد جریان آرامی از یک سیال بدون اصطکاک، منجر به شکل‌گیری رابطه‌ای بین فشار و سرعت سیال می‌شود که آن را معادله برنولی می‌نامیم. فرض کنید سیال تراکم‌ناپذیری داریم که از لوله‌ای به شکل زیر در حال عبور است. به قطر و ارتفاع بخش‌‌های مختلف این لوله دقت کنید. دو منطقه 11 و 22 در این لوله انتخاب می‌کنیم که هر کدام دارای مشخصات معینی هستند. طبق توضیحات بخش قبل، با فرض یکسان بودن چگالی و تراکم‌ناپذیر بودن سیال، حجم‌های 11 و 22 با هم برابر‌اند.

تصویری از یک لوله با شعاع متغیر

با در نظر گرفتن پایستگی انرژی، می‌خواهیم معادله برنولی را استخراج کنیم. ابتدا کار انجام شده روی سیال را محاسبه می‌کنیم:

dW=F1dx1F2dx2dW=F_1dx_1 - F_2 dx_2

dW=F1dx1F2dx2=P1A1dx1P2A2dx2dW=F_1dx_1 - F_2 dx_2 = P_1A_1dx_1 - P_2A_2dx_2

dW=P1dVP2dV=(P1P2)dVdW=P_1dV - P_2dV=(P_1-P_2)dV

از طرفی تغییرات در انرژی جنبشی سیال با توجه به ثابت بودن جرم، برابر است با:

dK=12m2v2212m1v12=12ρdV(v22v12)dK=\frac{1}{2} m_2v_2^2 -\frac{1}{2} m_1v_1^2= \frac{1}{2} \rho dV (v_2^2-v_1^2)

همچنین تغییرات انرژی پتانسیل نیز به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

dU=m2gy2m1gy1=ρdVg(y2y1)dU= m_2gy_2 - m_1gy_1= \rho dV g(y_2-y_1)

پس با توجه به رابطه مجموع انرژی جنشی و پتانسیل یا انرژی مکانیکی با کار انجام شده، خواهیم داشت:

dW=dK+dUdW= dK + d U

(P1P2)dV=12ρdV(v22v12)+ρdVg(y2y1)(P_1-P_2)dV=\frac{1}{2} \rho dV (v_2^2-v_1^2) + \rho dV g(y_2-y_1)

P1P2=12ρ(v22v12)+ρg(y2y1)P_1-P_2=\frac{1}{2} \rho (v_2^2-v_1^2) + \rho g(y_2-y_1)

مرتب کردن رابطه بالا، معادله برنولی برای دو نقطه را به‌دست می‌دهد:

P1+12ρv12+ρgy1=P2+12ρv22+ρgy2P_1+ \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gy_1=P_2+ \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gy_2

معادله برنولی نشان می‌دهد که انرژی مکانیکی هر بخش از سیال در نتیجه کار انجام شده روی آن توسط مابقی سیال و در نتیجه تغییرات فشار سیال، تغییر می‌کند. شکل کلی‌تر معادله برنولی برای یک سیال تراکم‌ناپذیر و بدون اصطکاک به شکل زیر است که طبق آن، مجموع چگالی‌ انرژی جنبشی و چگالی انرژی پتانسیل برای این سیال نه تنها در گذر زمان، بلکه در راستای یک استریم‌لاین نیز ثابت می‌ماند:

P+12ρv2+ρgyP+ \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gy = ثابت

بنابراین معادله برنولی بیان دیگری از اصل پایستگی انرژی است. معادله برنولی در مورد سیالات استاتیکی ما را به فرمول فشار در بخش‌های قبل می‌رساند، کافی است سر‌عت‌ها و ارتفاع مرجع را در عبارت بالا صفر در نظر بگیریم.

اصل برنولی چیست؟

اگر فرض کنیم ارتفاع سیال در حال جریان در بخش قبل تغییر نمی‌کند، یعنی y2=y1y_2=y_1، در این صورت معادله برنولی به شکل زیر درمی‌آید:

P1+12ρv12=P2+12ρv22P_1+ \frac{1}{2} \rho v_1^2 =P_2+ \frac{1}{2} \rho v_2^2

این معادله که اصل برنولی در مکانیک سیالات نامیده می‌شود، حالت خاصی از معادله برنولی است و موقعیتی را توصیف می‌کند که در آن سیال در یک ارتفاع ثابت و بدون تغییر جریان دارد. طبق اصل برنولی و فرمول آن، به‌راحتی می‌توانیم بار دیگر روی این نکته تاکید کنیم که اگر v2v_2 از v1v_1 بیشتر باشد، برای برقرار ماندن معادله باید P2P_2 از P1P_1 کمتر باشد.

بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Phys.libretextsChem.libretextsFlexbooks
دانلود PDF مقاله
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *