جریان کوئت (Couette Flow) در مکانیک سیالات – از صفر تا صد

جریان کوئت

همانطور که اشاره شد، جریان کوئت به جریان سیال، بین دو صفحه موازی گفته می‌شود که در آن یکی از صفحات ساکن و صفحه دیگر با سرعت ثابت U در حال حرکت است. جزئیات این جریان را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

همانطور که در شکل بالا نشان داده شده، ذرات سیال در راستای x و موازی با دو صفحه بالا و پایین حرکت می‌کنند و این ذرات سرعتی در راستای y و z ندارند. بنابراین داریم:

با جایگذاری روابط ۱ و ۲ در رابطه ۳، در نهایت عبارت زیر را برای جریان کوئت داریم:

نکته دیگر در جریان بین دو صفحه موازی موسوم به جریان کوئت، این است که سرعت در راستای u) x)، هیچ تغییراتی در راستای z ندارد. همچنین در اینجا جریان به صورت پایا در نظر گرفته می‌شود. بنابراین با توجه به نکات ذکر شده و رابطه ۴، می‌توان نتیجه گرفت که سرعت در راستای x، تنها تابعی از متغیر y است و به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

برای بازنویسی معادلات ناویر-استوکس علاوه بر روابطی که در قسمت قبل اشاره شد، باید ترم‌های شتاب را نیز مورد ارزیابی قرار دهیم. در جریان کوئت، تنها ترم شتاب، شتاب گرانش در راستای y است. بنابراین داریم:

با جایگذاری روابط بالا در معادلات ناویر-استوکس در نهایت این معادلات به شکل زیر در می‌آیند.

همانطور که مشاهده می‌شود، معادلات ناویر-استوکس در جریان کوئت بسیار ساده‌تر از شکل رایج این معادلات هستند. با انتگرال‌گیری از معادله ناویر-استوکس نشان داده شده در راستای y و z، رابطه زیر برای فشار به دست می‌آید:

در ادامه از طرفین این معادله، به شکل زیر انتگرال می‌گیریم:

با انتگرال‌گیری دوباره از طرفین معادله بالا، رابطه زیر برای سرعت در راستای x، به دست می‌آید.

توجه کنید که در انتگرال‌گیری بالا، عبارت مشتق جزئی فشار در راستای x به عنوان یک ثابت در نظر گرفته شده و دلیل این امر این است که مطابق رابطه ۶، مشتق جزئی فشار در راستای x، تابعی از y نیست و می‌توان در انتگرال‌گیری فوق آن را ثابت فرض کرد.

نکته دیگر این است که در این رابطه دو ثابت $$C_{1}$$ و $$C_{2}$$ با استفاده از شرایط مرزی قابل محاسبه خواهند بود که در ادامه به بررسی آن‌ها می‌پردازیم.

برای محاسبه رابطه سرعت‌ سیال در جریان کوئت، مرکز محور مختصات را در صفحه‌ زیرین و فاصله بین دو صفحه را برابر با b فرض می‌کنیم. این مورد در شکل 1 نشان داده شده است.

دو شرط مرزی در جریان کوئت مطابق با روابط زیر، در نظر گرفته می‌شوند.