سینماتیک سیالات — مقدمه‌ای بر مکانیک

۳۶۹۳ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۵ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۴ دقیقه
سینماتیک سیالات — مقدمه‌ای بر مکانیک

سینماتیک سیالات حرکت سیال را بدون در نظر گرفتن نیروهای وارد شده به آن مورد بررسی قرار می‌دهد. در این مطلب قصد داریم تا در مورد مفاهیمی هم‌چون مشتق مادی، توصیف لاگرانژی حرکت سیال و بیان اویلری این حرکت صحبت کنیم.

997696

توصیف لاگرانژی و اویلری از حرکت سیال

در حالت کلی، مبحث سینماتیک به تحلیل و بررسی حرکت هر نوع ماده‌ای می‌‌پردازد.

در مکانیک سیالات این مبحث مختص سیالات است. از نظر بنیادی دو دیدگاه متفاوت به منظور توصیف حرکت وجود دارد. ابتدایی‌ترین روش، بیانی است که در دبیرستان با آن آشنا شده‌اید. این بیان می‌گوید که به منظور توصیف حرکت هر ذره‌ای، مسیر آن را دنبال کنید.

kinematic

ممکن است تجربه بازی بیلیارد یا فوتبال را داشته باشید؛ در تمامی این موارد، حرکت توپ‌ها با استفاده از قوانین نیوتن قابل توصیف هستند. با به‌کارگیری این قوانین می‌توان جهت و مسیر دقیق حرکت اجسام را توصیف کرد. سینماتیک چنین ذراتی با استفاده از بردارهای مکان ... و xB و xA و بردارهای سرعت ... , VA ,Vقابل توصیف هستند. «روش لاگرانژی» (Lagrangian Description) یعنی این‌که با دنبال کردن هر ذره از سیستم، تمامی مجموعه را تحلیل کنیم. این بیان، مفهومی است که در ترمودینامیک نیز با آن آشنا هستید. نوع نگاه انتخاب شده در تحلیل جریان توربولانس بسیار کمک کننده است.

همان‌طور که احتمالا می‌دانید توصیف حرکت ذرات سیال بسیار مشکل‌تر از تحلیل برخورد توپ‌های بیلیارد خواهد بود. دلیل اول شناسایی کردن دقیق ذرات سیال و دلیل دوم پیوسته بودن محیط آن است.

از دیدگاه میکروسکوپی یک سیال متشکل از میلیون‌ها مولکول است که همانند توپ‌های بیلیارد مرتباً با یکدیگر برخورد دارند. پس احتمالا می‌توان با مدل‌سازی تمامی این مولکول‌ها نیز، حرکت سیال را پیش‌بینی کرد. این استدلال روی کاغذ درست است اما دقت کنید که با سریع‌ترین کامپیوتر‌هایی که بشر تاکنون ساخته، نمی‌توان این مدل‌سازی را انجام داد. بنابراین بهتر است کمی خلاق‌تر باشیم و با استفاده از روشی جایگزین این مدل‌سازی را انجام دهیم.

Lagrangian
در بیان لاگرانژی حرکت هر ذره به صورت جدا در نظر گرفته ‌می‌شود.

مرسوم‌ترین توصیف به منظور مدل‌سازی سیال، «بیان اویلری» (Eulerian Description) است. در این روش حجم محدودی تحت عنوان «محدوده سیال» (Flow Domain) یا «حجم کنترل» (Control Volume) که سیال در آن جریان دارد، مورد مطالعه قرار می‌گیرد. همچنین به‌جای دنبال کردن ذرات سیال، متغیرهایی میدانی تعریف می‌شوند و این متغیرها در محدوده سیال مورد بررسی قرار می‌گیرند.

control-volume
در بیان اویلری وضعیت ذرات در یک حجم کنترل مورد بررسی قرار می‌گیرد.

این میدان‌ها می‌توانند به صورت برداری یا اسکالر باشند. میدان سرعت که در معادله زیر بیان شده، به صورت برداری است.

velocity-vector

به همین صورت می‌توان میدان شتاب، جرم و یا هر متغیر دیگری را تعریف کرد. تمامی این میدان‌ها با هم می‌توانند سیال را توصیف کنند. به عنوان مثال میدان سرعتی برای یک سیال تراکم ناپذیر، دوبعدی و پایا به صورت زیر تعریف شده. در ادامه برای درک بهتر موضوع و به صورت زیر نقاطی که در آن سرعت سیال صفر است، تعیین می‌شوند.

velocity field

این میدان سرعت در واقع بیانی اویلری از وضعیت سیال است. نقطه سکون (Stagnation Point)، مکانی است که در آن تمامی مولفه‌های سرعت صفر باشند. بنا‌براین می‌توان گفت:

ُُStagnation Point

درنتیجه نقاط x و y بدست آمده، نقاطی هستند که در آن سرعت سیال صفر است. اگر بخواهیم با توجه به این معادله سرعت سیال را در نقطه مشخصی بیابیم، می‌توانیم با جایگذاری مختصات نقطه در معادله، سرعت سیال را در آن مکان به دست آوریم.

میدان شتاب

acceleration

همان‌طور که در مفاهیم ترمودینامیک نیز بیان شده، (با توجه به قوانین اول و دوم ترمودینامیک) می‌توان مجموعه‌ای از  خاصیت‌ها را برای یک سیستم بسته تعریف کرد. همین استدلال نیز در بیان مفاهیم لاگرانژی و اویلری میدان‌های سرعت در سیال وجود دارد. در این‌جا به جای سیستم بسته، از ذره‌ای از سیال به عنوان سیستم استفاده می‌کنیم.

به عنوان مثال می‌توان مکان هر ذره را با استفاده از برداری مادی ((xparticle(t), yparticle(t),  zparticle(t) توصیف کرد. اما دقت کنید که به تعدادی اعمال ریاضی به منظور توصیف معادله حرکت در قالب بیان اویلری نیازمند هستیم. برای نمونه قانون دوم نیوتن را در نظر بگیرید که برای ذره‌ای از یک سیال اعمال شده است.

Second-law-of-newtonدر این معادله F نیروی خالص وارد شده به ذره سیال، m جرم این ذره و a شتاب آن است. با استفاده از تعریف می‌دانیم که شتاب این ذره، مشتق مادی سرعت آن نسبت به زمان است. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت:

Derivation

هم‌چنین می‌توان گفت که در زمان t، سرعت ذره سیال همان سرعتی است که توسط میدان سرعت در نقطه (x,y,z) بیان شده. به منظور مشتق‌گیری از میدان سرعت می‌توان از قانون مشتق‌گیری زنجیره‌ای به صورت زیر استفاده کرد. از آنجایی که متغیر V وابسته به چهار متغیر مستقل (x,y,z,t) است بنابراین می‌توان نوشت:

Chain-law

در این رابطه، ∂ اوپراتور مشتق جزئی و d اوپراتور مشتق کامل است. دقت کنید که مکان مادی هر ذره در بیان لاگرانژی برابر است با (r(xparticle, yparticle, zparticle که در بیان اویلری معادل با بردار مکان (x\overrightarrow{x},y\overrightarrow{y},z\overrightarrow{z}) است. بنابراین معادله بالا به عبارت زیر تبدیل خواهد شد.

Particle-acceleration

توجه داشته باشید که عبارت بالا را می‌توان به صورت زیر، در قالب متغیرهای میدانی نوشت.

در این رابطه ∇، اوپراتور گرادیان است که به صورت زیر تعریف می‌شود.

Gradient

در مختصات کارتزینی نیز مولفه‌های شتاب به صورت زیر بیان می‎‌شوند.

acceleration-component

خطوط جریان

یک خط جریان منحنی است که همواره مماس بر بردار سرعت قرار دارد. با استفاده از تحلیل خطوط جریان می‌توان جهت حرکت ذره‌های سیال را شناسایی نمود. بر مبنای ریاضیات می‌توان به منظور توصیف خطوط جریان به عباراتی دست یافت.

در ابتدا بردار جابجایی dr\overrightarrow{r}=dx\overrightarrow{x}i+dy\overrightarrow{y}j+dz\overrightarrow{z}k را در نظر بگیرید. از آن‌جایی که این خط جریان مماس بر بردار سرعت است و با فرض این که بردار V برابر است با: ui+vj+wk، می‌توان نوشت:

stream-line

بنابراین معادله خطوط جریان در دستگاه x-y، به صورت زیر است.

stream-lines

این معادله در بعضی موارد به صورت عددی و گاهی نیز به صورت تحلیلی قابل حل خواهد بود. به عنوان مثال معادله خطوط جریان مربوط به معادله زیر، در شکل 1 نشان داده شده است. این خطوط جریان را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

velocity field

با استفاده از معادله فرض شده، خواهیم داشت:

پس از انتگرال گیری از معادله بالا می‌توان مسیرخطوط جریان را محاسبه کرد.

integral

stream-lines

دقت کنید همان‌طور که در شکل پایین نیز دیده می‌شود، به ازای هر مقداری از C، یک خط جریان خواهیم داشت. همچنین توجه داشته باشید که این خطوط جریان، هیچ‌گاه همدیگر را قطع نخواهند کرد.

Stream
شکل1. خطوط جریان مرتبط با معادله مفروض

در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک علاقه‌مند هستید، احتمالا مطالب زیر می‌تواند برایتان مفید باشد:

^^

بر اساس رای ۳۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications by Yunus A. Çengel
۲ دیدگاه برای «سینماتیک سیالات — مقدمه‌ای بر مکانیک»

دمت گرم.مفید بود

سلام من میخواستم بدونم که میزان هدررفت نیروی (انرژی} اب در حلزونی وپره های ثابت وراهنما در توربین فرانسیس چقدر است وچطور بدست می اید
می دانیم که هرمانعی که در مسیر اب قرار گیرد وتغییر مسیر ان مستلزم صرف نیروست که این نیرو از جریان اب عبوری که ابرا به توربین میرساند گرفته می شود ممنون میشم اگه راهنمایی کنید من یکی از مخترعین کشور هستم که از مباحث مهندسی وبخصوص مکانیک سیالات شما استفاده میکنم

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *