معادله موج — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس درباره میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی صحبت کردیم. در این آموزش قصد داریم معادله موج را بررسی کنیم.

تابع پتانسیل

در مطلب پتانسیل مغناطیسی، با پتانسیل برداری A آشنا شدیم. گفتیم که سلونوئیدی بودن چگالی شار مغناطیسی B یعنی $$\nabla . B = 0$$، منجر به ایجاد پتانسیل برداری A می‌شود.

$$\Large B= \nabla \times A$$
معادله (۱)

فرم دیفرانسیلی قانون القای الکترومغناطیسی فارادی نیز به صورت زیر است:

$$\Large\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$$
معادله (۲)

با جایگزینی معادله (۱) در معادله (۲) خواهیم داشت:

$$\Large \nabla \times E = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times A)$$
معادله (۳)

$$\Large \nabla \times \left( E + \frac{\partial A}{\partial t} \right)= 0$$
معادله (۴)

از آنجا که جمع دو کمیت برداری داخل پرانتز در معادله (۴) فاقد کرل است، می‌توان آن را به صورت گرادیان یک کمیت اسکالر نوشت. برای آنکه به تعریف پتانسیل الکتریکی وفادار بمانیم، می‌توان نوشت:

$$\Large E + \frac{\partial A}{\partial t} = -\nabla V$$

پس داریم:

$$\Large E = - \nabla V - \frac{\partial A}{\partial t}$$
معادله (۵)

در حالتی که فقط بار ساکن داریم و ناحیه بدون جریان است، داریم:

$$\Large \frac{\partial A}{\partial t} = 0$$

و معادله (۵) به رابطه زیر تبدیل می‌شود:

$$\Large E = - \nabla V$$

و در نتیجه می‌توان میدان الکتریکی $$E$$ را از روی پتانسیل الکتریکی $$V$$ محاسبه کرد. برای میدان‌های متغیر با زمان،‌ میدان الکتریکی $$E$$ به هر دو پتانسیل $$V$$ و $$A$$ وابسته است. یعنی تجمع بار ($$-\nabla V$$) و میدان مغناطیسی متغیر با زمان ($$-\frac{\partial A}{\partial t}$$)، هر دو می‌توانند میدان الکتریکی تولید کنند. چگالی شار مغناطیسی $$B$$ نیز به پتانسیل برداری $$A$$ وابسته است، بنابراین $$E$$ و $$B$$‌ به یکدیگر تزویج شده‌اند.

میدان الکتریکی در معادله (۵) را می‌توان ترکیب دو قسمت در نظر گرفت. قسمت اول ($$-\nabla V$$) به دلیلی توزیع بار $$\rho$$‌ ایجاد می‌شود. قسمت دوم نیز به دلیل جریان متغیر با زمان $$J$$ ایجاد می‌شود. می‌دانیم که رابطه پتانسیل و چگالی بار به صورت زیر است:

$$\Large V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_ 0} \int_{V^{\prime}}\frac{\rho}{R^\prime}dv^\prime$$
معادله (۶)

رابطه پتانسیل برداری و چگالی جریان نیز به صورت زیر است:

$$\Large A = \frac{\mu_0}{4 \pi}\int_{V^ \prime} \frac{J}{R}dv^\prime$$
معادله (7)

هرچند دو معادله قبلی، در شرایط بار و جریان ساکن به دست آمده‌اند و $$V$$ و $$A$$ هر دو نتیجه معادله پواسون هستند. پیشتر در مطالب حل مسائل الکتریسته ساکن و پتانسیل مغناطیسی، معادله پواسون بررسی شده است. اگر $$\rho$$ و $$J$$ توابعی از زمان باشند، پتانسیل‌های الکتریکی و مغناطیسی نیز توابعی از زمان خواهند بود. اما این دو پتانسیل، اثرات تاخیر زمانی مربوط به سرعت محدود انتشار امواج الکترومغناطیسی متغیر با زمان را در نظر نمی‌گیرند.

در فرکانس‌های پایین که $$\rho$$ و $$J$$ به صورت آهسته با زمان تغییر می‌کنند و $$R$$ نیز در مقایسه با طول موج کوچک است، می‌توان از دو معادله (۶) و (۷) برای یافتن «میدان‌های شبه ساکن» (Quasi-static fields) استفاده کرد. البته میدان‌های شبه ساکن تقریبی هستند. به این صورت از تئوری میدان به تئوری مدار می‌رسیم. اما هنگامی که فرکانس منبع بالاست و محدوده بررسی پتانسیل نسبت به طول موج کوچک نیست، حل شبه ساکن کافی نخواهد بود. مانند تحلیل انتشار امواج الکترومغناطیسی در آنتن‌ها، «اثرات تاخیر زمانی» (Time-retardation Effects) نیز باید در نظر گرفته شود.

معادله موج بر حسب پتانسیل

می‌توان شدت میدان مغناطیسی را بر حسب چگالی شار مغناطیسی نوشت. همچنین می‌توان جابجایی الکتریکی (چگالی شار الکتریکی) را بر حسب میدان الکتریکی نوشت. روابط مربوطه به صورت زیر هستند:

$$\Large B = \mu H \, \, \, , \, \, \, D= \varepsilon E$$

از طرفی معادله دوم ماکسول به صورت زیر است:

$$\Large \nabla \times H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$$

پس می‌توان نوشت:

$$\Large \nabla \times \nabla \times A = \mu J + \mu \varepsilon \frac{\partial}{\partial t}\left( -\nabla V - \frac{\partial A}{\partial t} \right)$$
معادله (8)

در معادله (۸) فرض می‌شود که محیط همگن است. از طرفی کرلِ کرلِ یک بردار عبارت است از:

$$\Large \nabla \times \nabla \times A = \nabla (\nabla .A) - \nabla^2 A$$

 یا:

$$\Large \nabla^2 A = \nabla (\nabla .A) - \nabla \times \nabla \times A.$$

با جایگزینی این روابط در معادله (۸)، خواهیم داشت:

$$\Large \nabla (\nabla . A) - \nabla^2 A = \mu J -\nabla \left( \mu \varepsilon \frac{\partial V}{\partial t} \right) - \mu \varepsilon \frac{\partial^2 A}{\partial^2}$$

یا:

$$\Large \nabla^2 A - \mu \varepsilon \frac{\partial^2 A}{\partial t^2}= -\mu J + \nabla \left( \nabla . A + \mu \varepsilon \frac{\partial V}{\partial t} \right)$$
معادله (9)

طبق قضیه هلمهولتز، می‌دانیم که برای آنکه یک بردار به طور کامل مشخص شود، باید دیورژانس و کرل آن مشخص باشد. از آنجا که کرل $$A$$، برابر $$B$$ است، همچنان می‌توان آزادانه درباره دیورژانس پتانسیل مغناطیسی تصمیم‌گیری کرد. داریم:

$$\Large \nabla . A + \mu \varepsilon \frac{\partial V}{\partial t} = 0$$
معادله (10)

پس عبارت دوم سمت راست معادله (۹) برابر صفر می‌شود. بنابراین می‌توان نوشت:

$$\Large \nabla^۲ A - \mu \varepsilon \frac{\partial ^2 A}{\partial t^2} = -\mu J$$
معادله (۱۱)

معادله (۱۱)، «معادله موج برداری ناهمگن» (Nonhomogenous Vector Wave Equation) برای پتانسیل برداری $$A$$ نام دارد. این رابطه معادله موج نامیده می‌شود زیرا حل آن به حرکت موج با سرعتی معادل $$\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$$ اشاره می‌کند. به رابطه بین پتانسیل الکتریکی ($$V$$) و پتانسیل مغناطیسی ($$A$$) در معادله (10)، «شرط یا معیار لورنتز» (Lorentz Condition) گفته می‌شود. برای میدان‌های ساکن، این شرط به $$\nabla . A = 0$$ تبدیل می‌شود. معادله موج برای پتانسیل اسکالر $$V$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\Large - \nabla . \varepsilon \left ( \nabla V + \frac{\partial A}{\partial t} \right ) = \rho$$

اگر گذردهی الکتریکی $$\varepsilon$$ عددی ثابت باشد، خواهیم داشت:

$$\Large \nabla^2 V + \frac{\partial}{\partial t} (\nabla . A) = -\frac{\rho}{\varepsilon}$$
معادله (۱۲)

با استفاده از معادله (10) خواهیم داشت:

$$\Large \nabla^2 V - \mu \varepsilon \frac{\nabla^2 V}{\nabla t^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon}$$
معادله (۱۳)

به رابطه (۱۳)، معادله موج ناهمگن برای پتانسیل اسکالر $$V$$ گفته می‌شود. بنابراین شرط لورنتز در معادله (10) معادلات موج پتانسیل مغناطیسی و پتانسیل الکتریکی را از یکدیگر جدا می‌کند. در حالت استاتیک، معادلات موج در روابط (۱۱) و (۱۳) به معادلات پواسون تبدیل می‌شوند. در حالتی که میدان الکترومغناطیسی متغیر با زمان داریم، معادله‌های (6) و (7) که حل معادله پواسون هستند، نمی‌توانند جواب معادله موج ناهمگن باشند.

معادله موج بر حسب میدان

همانطور که می‌دانیم میدان‌های الکترومغناطیسی در مسائل مقدار مرزی، به وسیله حل معادلات ماکسول به دست می‌آید. اما معادلات ماکسول، معادلات دیفرانسیل جزئی درجه اول و مزدوج شده با هم هستند. یعنی هر معادله، بیشتر از یک میدان مجهول دارد و مجهول‌ها در چهار معادله ماکسول با هم ارتباط دارند. این معادلات را می‌توان از یکدیگر جدا کرد. البته در این حالت، درجه معادلات زیاد می‌شود و همه روابط به معادلات دیفرانسیل جزئی درجه دو تبدیل می‌شوند. در حالت کلی به این روابط، معادله موج گفته می‌شود. بنابراین می‌توان میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را برای یک مسئله مقدار مرزی از طریق حل معادلات ماکسول یا معادله موج پیدا کرد. انتخاب معادلات به مسئله و شرایط آن وابسته است.

میدان‌های الکترومغناطیسی متغیر با زمان

همانطور که می‌دانیم که دو معادله اول ماکسول به صورت زیر هستند:

$$\Large \nabla \times E = -M_i - \frac{\partial B}{\partial t} = -M_i - M_d= -M_t$$
معادله (۱۴)

$$\Large \nabla \times H = J_i + J_c + \frac{\partial D}{\partial t} = J_{ic}+ \frac{\partial D}{\partial t}= J_{ic} + J_d = J_t$$
معادله (۱۵)

این دو رابطه، معادلات دیفرانسیل درجه اول و مزدوج شده با یکدیگر هستند. یعنی دو میدان مجهول $$E$$ و $$H$$ در هر دو معادله ظاهر می‌شود. معمولا، جدا کردن این دو معادله از یکدیگر بسیار مطلوب است. در این حالت، این روابط به معادلات دیفرانسیل درجه دو تبدیل می‌شوند. با بازنویسی روابط (۱۴) و (۱۵) خواهیم داشت:

$$\Large \nabla \times E = -M_i - \mu \frac{\partial H}{\partial t}$$
معادله (16)

$$\Large \nabla \times H = J_i + \sigma E + \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t}$$
معادله (17)

که $$\sigma$$ همان «هدایت موثر» (Effective Conductivity) محیط است. اگر با فرض محیط همگن از دو طرف معادلات (16) و (17)، کِرل بگیریم، خواهیم داشت:

$$\Large \nabla \times \nabla \times E =-\nabla \times M_i -\mu \nabla \times \left( \frac{\partial H}{\partial t} \right)=- \nabla \times M_i - \mu \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times H)$$
معادله (18)

$$\Large \begin{aligned} \nabla \times \nabla \times H &=\nabla \times J_i + \sigma \nabla \times E + \varepsilon \nabla \times \left( \frac{\partial E}{\partial t} \right) \\ \Large & = \nabla \times J_i + \sigma \nabla \times E + \varepsilon \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times E) \end{aligned}$$
معادله (19)

اما همانطور که دیدیم، می‌توان کرلِ کرلِ یک بردار را به صورت معادل آن نوشت. پس داریم:

$$\Large \begin{aligned} &\nabla (\nabla . E)- \nabla^2E = - \nabla \times M_i - \mu \frac{\partial}{\partial t}\left[ J_i + \sigma E + \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t} \right]\\ \Large &\nabla (\nabla . E)- \nabla^2E = - \nabla \times M_i - \mu \frac{\partial J_i}{\partial t} - \mu \sigma \frac{\partial E}{\partial t} -\mu \varepsilon \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}\\ \end{aligned}$$
معادله (20)

از طرفی می‌دانیم که:

$$\Large \nabla . D = \varepsilon \nabla . E = q_{ev} \to \nabla . E = \frac{q_{ev}}{\varepsilon}$$

با جایگزین کردن این رابطه در معادله (20) خواهیم داشت:

$$\Large \nabla ^2 E = \nabla \times M_i +\mu \frac{\partial J_i}{\partial t } + \frac{1}{\varepsilon}\nabla q_{ev} + \mu \sigma \frac{\partial E}{\partial t}+ \mu \varepsilon \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$$
معادله (۲۱)

معادله (۲۱)، معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم غیر مزدوج برای میدان الکتریکی $$E$$ نام دارد.

به طریق مشابه، می‌توان نوشت:

$$\Large \begin{aligned} \nabla (\nabla . H) - \nabla^2 H &= \nabla \times J_i + \sigma \left( -M_i-\mu \frac{\partial H}{\partial t} \right)+ \varepsilon \frac{\partial}{\partial t}\left( -M_i - \mu \frac{\partial H}{\partial t} \right) \\ \Large &=\nabla \times J_i - \sigma M_i - \mu \sigma \frac{\partial H}{\partial t}-\varepsilon \frac{\partial M_i}{\partial t}- \mu \varepsilon \frac{\partial^2 H}{\partial t^2} \end{aligned}$$
معادله (۲۲)

با جایگزین کردن معادله (۲۲) در معادلات ماکسول خواهیم داشت:

$$\Large \nabla . B = \mu \nabla .H = q_{mv} \to \nabla . H = \left( \frac{q_{mv}}{\mu} \right )$$
معادله (۲۳)

پس:

$$\Large \nabla^2 H = - \nabla \times J_i + \sigma M_i + \frac{1}{\mu} \nabla (q_{mv})+ \varepsilon \frac{\partial M_i}{\partial t}+\mu \sigma \frac{\partial H}{\partial t}+\mu \varepsilon \frac{\partial^2 H}{\partial t^2}$$
معادله (24)

که معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم برای میدان مغناطیسی $$H$$ است. معادله‌های (۲۱) و (۲۴) یک جفت معادله دیفرانسیل درجه دو غیر مزدوج ایجاد می‌کنند و نتیجه معادلات ماکسول هستند.

معادله‌های (۲۱) و (۲۴) به نام «معادلات موج برداری همگن» (Homogeneous Vector Wave Equations) برای میدان‌های $$E$$ و $$H$$ مشهور هستند. برای حل مسائل الکترومغناطیسی مقدار مرزی، باید معادلات ماکسول یا معادلات موج ارضاء شوند. معمولا، معادله موج به معادلات ماکسول ترجیح داده می‌شوند.

برای یک ناحیه بدون منبع داریم:

$$\Large J_ i = q_{ev} = 0 \, \, \, , \, \, \, M_i = q_{mv} =0$$

بنابراین معادلات (۲۱) و (۲۴) به روابط زیر تبدیل می‌شوند:

$$\Large \nabla^2 E = \mu \sigma \frac{\partial E}{\partial t^2} + \mu \varepsilon \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$$
معادله (25)

$$\Large \nabla^2 H = \mu \sigma \frac{\partial H}{\partial t^2} + \mu \varepsilon \frac{\partial^2 H}{\partial t^2}$$
معادله (26)

برای یک محیط بدون منبع و بدون تلف ($$\sigma = 0$$) معادلات (۲۱) و (۲۴) یا (۲۵) و (26) به روابط ساده‌تر زیر تبدیل می‌شوند:

$$\Large \nabla^2 E = \mu \varepsilon \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$$
معادله (27)

$$\Large \nabla^2 H = \mu \varepsilon \frac{\partial^2 H}{\partial t^2}$$
معادله (28)

این دو معادله ساده‌ترین انواع معادلات موج برداری هستند.

میدان‌های الکترومغناطیسی هارمونیک زمانی

برای میدان‌های هارمونیک زمانی که تغییرات زمانی تابعی از $$e^{j \omega t}$$ است، معادلات موج را می‌توان برای میدان‌های متغیر با زمان نوشت. از آنجا که با میدان‌های متغیر با زمان روبرو هستیم، می‌توان در معادلات به دست آمده تغییرات زیر را اعمال کرد:

$$\Large \frac{\partial}{\partial t} = j \omega \, \, \, , \, \, \, \frac{\partial^2}{\partial t^2}= (j \omega)^2= - \omega^2$$

بنابراین می‌توان معادله موج را برای معادلات (۲۱) و (۲۴) یا (۲۵) و (۲۶) به صورت زیر نوشت:

$$\Large \begin{aligned} &\nabla ^2 E = \nabla \times M_i + j \omega \mu J_i + \frac{1}{\varepsilon} \nabla q_{ev} +j \omega \mu \sigma E - \omega^2 \mu \varepsilon E\\ \Large &\nabla^2 H = - \nabla\times J_i+ \sigma M_i + j \omega\varepsilon M_i + \frac{1}{\mu}\nabla q_{mv}+ j \omega \mu \sigma H - \omega^2 \mu \varepsilon H\\ \Large &\nabla ^2 E = j \omega \mu \sigma E - \omega^2\mu \varepsilon E = \gamma^2 E\\ \Large &\nabla^2 H= j \omega \mu \sigma H - \omega^2 \mu \varepsilon H = \gamma^2H \end{aligned}$$
معادله (29)

در این معادلات:

$$\Large \begin{aligned} &\gamma^2 = j \omega \mu \sigma - \omega^2 \mu \varepsilon = j\omega \mu (\sigma + j \omega \varepsilon)\\ \Large &\gamma = \alpha + j \beta\\ \end{aligned}$$

که $$\gamma$$، «ثابت انتشار» (Propagation Constant) و $$\alpha$$ «ثابت تضعیف» (Attenuation Constant) و $$\beta$$ «ثابت فاز» (Phase Constant) موج است. به طور مشابه برای محیط بدون منبع و بدون تلف خواهیم داشت:

$$\Large \begin{aligned} &\nabla ^2 E = -\omega^2 \mu \varepsilon E = - \beta^2 E\\ \Large & \nabla^2 H = -\omega^2 \mu \varepsilon H= - \beta^2 H \end{aligned}$$
معادله (30)

که در آن:

$$\Large \beta^2 = \omega^2 \mu \varepsilon$$

که البته در برخی متون تخصصی، $$\beta$$ را با $$k$$ نیز نمایش می‌دهند و به آن «عدد موج» (Wavenumber) گویند. به این روابط، «معادلات هلمهولتز برداری همگن» (Homogeneous Vector Helmholtz's Equations) گفته می‌شود.

در حالت هارمونیک زمانی، معادلات موج برای پتانسیل‌های الکتریکی و مغناطیسی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\Large \begin{aligned} &\nabla^2 V + k^2 V = - \frac{\rho}{\varepsilon}\\ \Large &\nabla^2A + k^2A=-\mu J, \end{aligned}$$
معادله (۳۱)

به معادله (۳۱)، «معادلات هلمهولتز ناهمگن» (Nonhomogeneous Helmholtz's Equations) گفته می‌شود.

در این حالت شراط لورنتز به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\Large \nabla . A + j \omega \mu \varepsilon V = 0$$
معادله (۳۲)

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های مهندسی برق
• آموزش الکترومغناطیس مهندسی
• مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی برق
• آموزش الکترومغناطیس مهندسی (مرور و حل تست کنکور ارشد)
• امواج الکترومغناطیسی — از صفر تا صد
• میدان مغناطیسی جریان — از صفر تا صد