مشتق توابع مثلثاتی | به زبان ساده

۱۴۰۴/۱۱/۲۶

۳۲ دقیقه

۶۶۲۱۸

آموزش متنی جامع

نمونه سؤال + پاسخ

آزمون سنجش یادگیری

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، با توابع مثلثاتی و انتگرال آن‌ها آشنا شدیم. در این آموزش به مشتق توابع مثلثاتی می‌پردازیم و مثال‌های متنوعی را حل خواهیم کرد.

فهرست مطالب این نوشته

مشتق توابع مثلثاتی پایه

جدول مشتق توابع مثلثاتی

مثال‌های مشتق توابع مثلثاتی

جمع‌بندی

آزمون مشتق توابع مثلثاتی

مشتق توابع مثلثاتی پایه

همان‌طور که می‌دانیم، توابع پایه مثلثاتی شامل شش تابعِ سینوس (

\sin x

)، کسینوس (

\cos x

)، تانژانت (

\tan x

)، کتانژانت (

\cot x

)، سکانت (

\sec x

) و کسکانت (

\csc x

) هستند. همه این توابع در دامنه‌شان پیوسته‌ و مشتق‌پذیرند. در ادامه مشتق توابع مثلثاتی پایه را ارائه می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی ۳ پایه دوازدهم در فرادرس

کلیک کنید

مشتق تابع سینوس

تابع سینوس $y = \sin x$ را در نظر بگیرید. تعریف مشتق برای این تابع به صورت زیر است:

$\large { y’ \left ( x \right ) } = { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { \sin \left ( { x + \Delta x } \right ) – \sin x } } { { \Delta x } } . }$

از اتحاد زیر برای تبدیل جمع به ضرب استفاده می‌کنیم:

$\large { \sin \alpha – \sin \beta } = { 2 \sin \frac { { \alpha – \beta } } { 2 } \cos \frac { { \alpha + \beta } } { 2 } . }$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \require {cancel}<br /> \begin {align*}<br /> y’ \left ( x \right ) & = \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { \sin \left ( { x + \Delta x } \right ) – \sin x } } { { \Delta x } } = { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { 2 \sin \frac { { \cancel { x } + \Delta x – \cancel { x } } } { 2 } \cos \frac { { x + \Delta x + x } } { 2 } } } { { \Delta x } } } \\ & = { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { 2 \sin \frac { { \Delta x }} { 2 } \cos \left ( { x + \frac { { \Delta x } } { 2 } } \right ) } } { { \Delta x } } } = { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { 2 \sin \frac { { \Delta x } } { 2 } } } { { \Delta x } } \cdot } \kern0pt { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \cos \left ( { x + \frac { { \Delta x } } { 2 } } \right ) }<br /> \end {align*} $$

آزمون مشتق توابع مثلثاتی

۱. دامنه مشتق‌پذیری توابع مثلثاتی به چه عواملی بستگی دارد؟

به بازه تعریف و پیوستگی تابع مثلثاتی بستگی دارد.

به اینکه تابع، حتی یا فرد باشد بستگی دارد.

به مقدار اولیه تابع سینوس بستگی دارد.

به تعداد متغیرهای موجود در تابع بستگی دارد.

پاسخ تشریحی

این توابع در بازه‌های خاصی پیوسته و مشتق‌پذیر هستند. مقدار اولیه تابع سینوس، یا زوج و فرد بودن تابع، یا تعداد متغیرها تاثیری در دامنه مشتق‌پذیری توابع مثلثاتی ندارند؛ تنها بازه‌های تعریف و پیوستگی این توابع اهمیت دارد.

۲. برای محاسبه مشتق تابع سینوس از کدام فرمول حدی استفاده می‌شود و نقش اتحاد مثلثاتی در این فرآیند چیست؟

استفاده از قاعده خارج قسمت و اتحاد تفاضل کسینوس در مشتق سینوس

استفاده از قاعده زنجیره‌ای و اتحاد مربع مجموع برای مشتق سینوس

استفاده از جدول مشتق و اتحادهای جمع برای محاسبه حد مشتق سینوس

استفاده از فرمول حدی و اتحاد جمع به ضرب برای ساده‌سازی حد مشتق سینوس

پاسخ تشریحی

برای محاسبه مشتق تابع سینوس، مطلب بر بیان فرمول حدی مشتق و استفاده از اتحاد جمع به ضرب برای ساده کردن فرآیند تاکید می‌کند. این روش باعث می‌شود بتوانیم مشتق تابع را با روشی مرحله‌به‌مرحله و مستقیم محاسبه کنیم.

۳. در فرآیند اثبات مشتق تابع سینوس، هدف استفاده از اتحاد جمع به ضرب چیست؟

برای حل اتحادهای مربعی مربوط به مشتق

برای تبدیل تابع سینوس به تابع تانژانت

برای به دست آوردن مشتق تابع کسینوس

برای ساده‌تر کردن عبارت حد و جایگزینی آن

پاسخ تشریحی

در فرآیند اثبات مشتق تابع سینوس، استفاده از «ساده‌تر کردن عبارت حد و جایگزینی آن» با اتحاد جمع به ضرب باعث می‌شود محاسبه حد تسهیل شود و مراحل استخراج مشتق با وضوح بیشتر قابل انجام باشد. استفاده برای حل اتحادهایی مثل عبارات مربعی یا استخراج مشتق کسینوس، یا تبدیل به تابع تانژانت مطرح نیستند و فقط برای ساده‌سازی بیان ریاضی حد و ادامه روند اثبات استفاده می‌شود.

۴. مراحل یافتن فرمول مشتق کسینوس با استفاده از اتحاد تفاضل دو کسینوس چیست؟

استفاده از مشتق‌گیری زنجیره‌ای بدون در نظر گرفتن اتحاد تفاضل

کاهش تابع کسینوس به ضرب دو تابع ساده و مشتق‌گیری مستقیم از ضرب

استفاده از تعریف حدی مشتق و به کارگیری اتحاد تفاضل دو کسینوس برای ساده‌سازی مراحل

محاسبه مشتق با استفاده از جدول روابط مشتق بدون نیاز به اتحاد

پاسخ تشریحی

در محاسبه مشتق تابع کسینوس، ابتدا تعریف حدی مشتق مورد استفاده قرار می‌گیرد و سپس با به‌کارگیری اتحاد تفاضل دو کسینوس، عبارت به شکلی ساده‌تر درمی‌آید تا بتوان به راحتی فرمول مشتق را استخراج کرد.

۵. در فرآیند مشتق‌گیری تابع تانژانت استفاده از قاعده خارج قسمت چه نقشی دارد؟

قاعده خارج قسمت امکان استفاده از بیان tan به صورت نسبت sin به cos را می‌دهد.

فرآیند مشتق‌گیری را تنها با استفاده از مشتق سینوس انجام می‌دهیم.

در مشتق‌گیری تانژانت فقط مشتق کسینوس کافی است.

مشتق‌گیری تانژانت بدون استفاده از نسبت توابع ممکن است.

پاسخ تشریحی

در مشتق‌گیری تابع تانژانت، از قاعده خارج قسمت استفاده می‌شود زیرا تانژانت به صورت نسبت سینوس (sin) به کسینوس (cos) تعریف شده است. با اعمال قاعده خارج قسمت می‌توان مشتق tan را بر اساس مشتق سینوس و کسینوس نوشت.

۶. قاعده زنجیره‌ای در مشتق‌گیری تابع کتانژانت چه کاربردی دارد؟

در مشتق‌گیری کتانژانت فقط قاعده ضرب استفاده می‌شود.

کاربرد قاعده زنجیره‌ای فقط در مشتق گیری سینوس قابل استفاده است.

برای محاسبه مشتق کتانژانت باید قاعده زنجیره‌ای را هنگام ترکیب توابع بکار برد.

قاعده زنجیره‌ای تنها برای محاسبه مشتق سکانت لازم است.

پاسخ تشریحی

هنگام مشتق گرفتن از تابع کتانژانت می‌بایست از قاعده زنجیره‌ای استفاده کرد، زیرا ساختار این تابع به گونه‌ای است که نیاز به مشتق‌گیری ترکیبی وجود دارد.

۷. جدول مشتق توابع مثلثاتی چه نقشی در تسریع حل مسائل مشتق‌گیری دارد؟

فقط برای حفظ کردن فرمول‌های مشتق مناسب است.

امکان استفاده فوری از روابط مشتق را می‌دهد.

برای تحلیل همه توابع پیچیده لازم است.

صرفا به صورت تئوری و بدون کاربرد عملی است.

پاسخ تشریحی

جدول مشتق توابع مثلثاتی باعث دسترسی سریع و خلاصه به روابط مشتق می‌شود و هنگام حل تمرین به عنوان مرجعی کاربردی برای استفاده آنی نقش دارد.

۸. در فرایند مشتق‌گیری سینوس و کسینوس، نقش اتحادهای مثلثاتی چه تفاوتی دارد؟

در مشتق سینوس، اتحاد جمع به ضرب کاربرد دارد ولی برای کسینوس، اتحاد تفاضل کسینوس‌ها استفاده می‌شود.

تنها در مشتق کسینوس اتحاد مثلثاتی دخالت دارد و سینوس بدون اتحاد مشتق‌گیری می‌شود.

هر دو تابع فقط با استفاده از تعریف حدی بدون نیاز به اتحادهای مثلثاتی مشتق‌گیری می‌شوند.

برای مشتق هر دو تابع، اتحاد جمع به ضرب استفاده می‌شود و نتایج از طریق ساده‌سازی همسان به دست می‌آمد.

پاسخ تشریحی

برای به‌دست‌آوردن مشتق سینوس، اتحاد جمع به ضرب برای ساده‌سازی عبارات مثلثاتی استفاده می‌شود و مراحل با ورود این اتحاد پیش می‌رود. درحالی‌که هنگام مشتق‌گیری کسینوس، اتحاد تفاضل دو کسینوس به کار می‌رود تا فرمول به طور منطقی به $-\sin x$ ختم شود.

۹. برای مشتق‌گیری از تابعی که به صورت ترکیبی از سینوس و یک تابع دیگر نوشته شده، باید از کدام قاعده استفاده کرد و دلیل چیست؟

قاعده ضرب کافی است چون دو تابع دخیل هستند.

قاعده خارج قسمت لازم است چون سینوس کسر است.

صرفا مشتق‌گیری معمولی سینوس کفایت می‌کند.

قاعده زنجیره‌ای برای مشتق ترکیب توابع لازم است.

پاسخ تشریحی

وقتی تابعی به صورت ترکیب سینوس و تابعی دیگر بیان می‌شود، باید ابتدا مشتق سینوس نسبت به متغیر داخلی خودش گرفته شود و سپس مشتق داخلی ضرب شود، به همین دلیل استفاده از قاعده زنجیره‌ای ضروری است.

۱۰. برای محاسبه مشتق $f(x)=tan(x)$ در یک نقطه دلخواه، کاربرد جدول مشتق توابع مثلثاتی چیست؟

فرمول مشتق تابع تانژانت را به سرعت نشان می‌دهد.

راهنمایی برای رسم نمودار تابع اصلی می‌دهد.

یادآوری اتحادهای مثلثاتی لازم برای حل است.

فقط دامنه مجاز مشتق را مشخص می‌کند.

پاسخ تشریحی

وقتی می‌خواهیم مشتق تابع تانژانت را محاسبه کنیم، جدول مشتق توابع مثلثاتی به ما فرمول آماده مشتق این تابع را می‌دهد. به کمک اطلاعات موجود در جدول، می‌توانیم بدون نیاز به اثبات یا بسط فرمول، مقدار مشتق را مستقیما به دست آوریم.

۱۱. در مشتق‌گیری یک عبارت مثلثاتی پیچیده که هم قاعده ضرب و هم قاعده زنجیره‌ای در آن نقش دارند، ترتیب مراحل اصلی چگونه است؟

هر دو قاعده جداگانه روی کل عبارت اعمال شده و نهایتا نتایج جمع می‌شوند.

اول قاعده ضرب بین توابع خارجی اجرا شده و سپس برای هر جزء داخلی از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌شود.

ابتدا مشتق هر تابع داخلی با قاعده زنجیره‌ای یافت می‌شود، سپس نتیجه‌ها با قاعده ضرب ترکیب می‌گردد.

فقط قاعده زنجیره‌ای برای هر جزء به طور جداگانه اعمال می‌شود و نیازی به ضرب نیست.

پاسخ تشریحی

برای مشتق عبارت‌های مثلثاتی که شامل ترکیب توابع هستند و ضرب آن‌ها نیز وجود دارد، ابتدا باید قاعده ضرب را برای توابع بیرونی اعمال کرد تا حاصل ضرب مشتق یکی در دیگری و بالعکس به دست آید. سپس اگر هر جزء خودش تابع مرکب یا داخلی داشت، برای آن قسمت از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌شود.

۱۲. در چه حالتی باید برای مشتق‌گیری توابع مثلثاتی از قاعده خارج قسمت استفاده کرد؟

زمانی که تنها یکی از توابع مثلثاتی تقسیم بر یک عدد ثابت باشد.

اگر هر دو قسمت تابع شامل عبارات ساده غیر مثلثاتی باشند.

هنگامی که تابع مثلثاتی به صورت نسبت دو تابع مثلثاتی تعریف شده باشد.

وقتی تابع مثلثاتی به صورت ضرب چند تابع مختلف نوشته شده باشد.

پاسخ تشریحی

استفاده از قاعده خارج قسمت زمانی لازم است که عبارت تابع به صورت نسبت یا کسر دو تابع مثلثاتی باشد، مانند تانژانت که برابر تقسیم سینوس بر کسینوس است.

۱۳. فرمول مشتق تابع سکانت را طبق جدول مشتق توابع مثلثاتی بنویسید و منظور از دامنه مجاز تابع سکانت چیست؟

مشتق سکانت برابر sec(x) ضرب در tan(x) است و دامنه جایی است که cos(x)=0 نباشد.

مشتق سکانت برابر cos(x) است و دامنه مجاز همانند سینوس می‌باشد.

مشتق سکانت برابر sin(x)- است و دامنه همه اعداد حقیقی است.

مشتق سکانت برابر tan(x) تقسیم بر sec(x) است و هیچ محدودیتی ندارد.

پاسخ تشریحی

طبق جدول مشتق توابع مثلثاتی، مشتق «سکانت» برابر با حاصل ضرب «سکانت» و «تانژانت» یعنی sec(x)·tan(x) است. منظور از دامنه مجاز این است که سکانت فقط جایی مشتق‌پذیر است که cos(x) صفر نشود، چون در این نقاط عبارت تعریف نشده است.

۱۴. فرمول مشتق تابع کتانژانت چیست و این مشتق در چه بازه‌هایی معتبر است؟

مشتق cot(x) برابر $cos^2(x)$ و فقط در xهای مثبت معتبر است.

مشتق cot(x) برابر منفی tan(x) و در دامنه کل اعداد حقیقی برقرار است.

مشتق cot(x) برابر منفی $cosec^2(x)$ و فقط برای xهای مخالف مضارب عدد پی معتبر است.

مشتق cot(x) برابر مثبت $sec^2(x)$ و در همه مقادیر x تعریف شده است.

پاسخ تشریحی

مطابق جدول مشتق‌های مثلثاتی، مشتق تابع کتانژانت برابر با $-csc^2(x)$ می‌باشد و این فرمول تنها برای مقادیری از x معتبر است که cot(x) تعریف شده باشد. کتانژانت در xهای برابر با kπ (مضارب عدد پی)، تعریف نشده و در این نقاط مشتق‌پذیر نیست.

۱۵. کدام تابع مثلثاتی مشتق پایه‌ای با علامت منفی نسبت به یک تابع دیگر دارد و مفهوم این ویژگی چیست؟

مشتق تابع سکانت معادل کسکانت است و علامت منفی ندارد.

مشتق تانژانت برابر جمع دو تابع است و منفی ندارد.

مشتق تابع سینوس معادل کسینوس است و بدون منفی.

مشتق تابع کسینوس معادل منفی سینوس است و این جهت تغییر تابع را نشان می‌دهد.

پاسخ تشریحی

مشتق تابع کسینوس برابر با منفی سینوس است. این بدان معناست که نرخ تغییر کسینوس (cosine) در هر نقطه مخالف جهت سینوس (sine) است؛ در واقع هرگاه کسینوس افزایشی باشد، سینوس کاهشی است و بالعکس. این موضوع اهمیت دارد زیرا رفتار کسینوس از نظر تغییر نسبت به سینوس کاملا برعکس است. در حالی که مشتق سینوس منفی ندارد و مشتق تانژانت و سکانت نیز منفی در ساختار پایه خود ندارند، تنها مشتق کسینوس علامت منفی همراه خود دارد.

۱۶. در حل مشتق توابع مثلثاتی که حاصل ترکیب چند تابع مثلثاتی پایه هستند، کدام مجموعه قواعد مشتق‌گیری معمولا باید به شکل همزمان به کار روند؟

قاعده خارج قسمت و قاعده جمع

قاعده مشتق‌گیری معکوس و قاعده تقسیم

قاعده جمع و قاعده جزء به جزء

قاعده ضرب و قاعده زنجیره‌ای

پاسخ تشریحی

در مشتق‌گیری ترکیبی از چند تابع مثلثاتی، معمولا لازم است «قاعده ضرب و قاعده زنجیره‌ای» به کار روند، زیرا زمانی که توابع مثلثاتی، همزمان ضرب و ترکیب‌شده باشند، باید هر دو قاعده را استفاده کرد تا مشتق درست به‌دست آید.

محصول، خدمات یا برند خود را در مجله فرادرس معرفی کنید.

کلیک کنید

مطالب مجله فرادرس را در جستجوی گوگل سریع‌تر ببینید

بر اساس رای ۱ نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

اگر پرسشی درباره این مطلب دارید، آن را با ما مطرح کنید.

منابع:

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

مطالب مرتبط

نمونه سوال ریاضی یازدهم – از صفر تا صد با جواب

نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول – به زبان ساده + با جواب

نمونه سوال ریاضی دهم با جواب – به زبان ساده

نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب – از صفر تا صد

مجذور چیست؟ – به زبان ساده + تفاوت با جذر و مکعب

دروس کنکور ارشد ریاضی + منابع یادگیری و آمادگی با فرادرس

آموزش حسابان دوازدهم – از صفر تا صد + حل مثال و تمرین

لگاریتم نپر چیست؟ – به زبان ساده + مثال لگاریتم Napierian

قضیه بین سینوس ها و کسینوس ها – فرمول ها + حل مثال

روابط بین سینوس و کسینوس – تمام فرمول ها + مثال و تمرین

۲۳ دیدگاه برای «مشتق توابع مثلثاتی | به زبان ساده»

Fatemeh

۲۸ اسفند، در ۱۴۰۴ ۵:۴۹ ب.ظ

سلام. وقت بخیر. لطفا درباره سینوس هایپربولیک و کسینوس هایپربولیک و روابط بینشون هم توضیحاتی بدین. با تشکر

پاسخ

فهیمه سکاکی

۰۸ فروردین، در ۱۴۰۵ ۴:۲۳ ب.ظ

با سلام خدمت شما همراه گرامی؛

در این زمینه پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزش رایگان توابع هیپربولیک چیست؟ + معکوس هایپربولیک و حل مثال از مجموعه فرادرس را مشاهده کنید.

از بازخورد و همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

s.samadi

۰۹ دی، در ۱۴۰۴ ۱۰:۵۱ ق.ظ

سلام. وقت به خیر.
مثال یک رو یک بار دیگه مرور می کنید لطفا؟ فکر کنم با جایگزینی sin2x با 2sinx.cosx به جواب نهایی (2sinx +1)2cosx – میرسیم.
با تشکر از محتوای مفیدی که به اشتراک گذاشتید.

پاسخ

فهیمه سکاکی

۱۵ دی، در ۱۴۰۴ ۹:۵۶ ق.ظ

با سلام خدمت شما همراه گرامی؛

نکته بیان شده صحیح است و اصلاحات لازم در متن اعمال شد.

از بازخورد و همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

لطفی

۲۰ آبان، در ۱۴۰۲ ۴:۴۶ ب.ظ

سلام
مشتق 2sinx با sin2x فرق داره؟ چرا

پاسخ

نرگس

۰۳ آبان، در ۱۴۰۱ ۱۱:۵۴ ق.ظ

سلام میشه توضیح بدین که سینوس ایکس به توان کسینوس ایکس رو چطور میشه حل کرد؟؟

پاسخ

فاطی

۰۶ اسفند، در ۱۴۰۰ ۵:۰۰ ب.ظ

سلام
‘(sec²x-csc²x) جواب این مشتق چی میشه

پاسخ

سید سراج حمیدی

۰۷ اسفند، در ۱۴۰۰ ۷:۳۴ ق.ظ

سلام.
این مشتق به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:
$\begin {align} (\sec ^ 2x-\csc ^2x)’ &= 2\sec x (\sec x)’-2\csc x (\csc x )’\\&= 2\sec x (\tan x \sec x)-2\csc x ( – \cot x \csc x) \\ &= 2\sec^2 x \tan x +2\csc ^ 2 x \cot x \\ &= 2\frac {1}{\cos ^ 2x}\frac {\sin x }{\cos x}+ 2\frac {1}{\sin ^ 2x}\frac {\cos x }{\sin x} = \frac {2\sin x }{\cos ^ 3 x }+ \frac {2\cos x }{\sin ^ 3 x }\\& =\frac {2\sin ^ 4 x+2\cos ^4 x}{\sin^3 x \cos ^ 3 x } \end {align}$
موفق باشید.

فاطمه

۱۵ دی، در ۱۴۰۰ ۱۲:۳۷ ب.ظ

سلام دستون دردنکنه.میشه بگید مشتق این تابع چی میشه.³(5x⁴(1+2sinx

پاسخ

سید سراج حمیدی

۱۵ دی، در ۱۴۰۰ ۱۲:۵۹ ب.ظ

سلام.
مشتق این تابه به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:
$\begin{align} \frac {d}{dx}[5x^4(1+2\sin x )^3]&=(5)(4x^3)(1+2\sin x )^3+3(2\cos x )(1+2\sin x)^2 (5x^4)\\ &=20x^3(1+2\sin x)^3+30x^4\cos x (1+2\sin x )^2\\ &=10x^3(1+2\sin x)^2[2(1+2\sin x)+3x\cos x ] \\ &=10x^3(1+2\sin x )^2(2+3x\cos x +4\sin x) \end{align}$
موفق باشید.

امید

۱۴ آبان، در ۱۴۰۰ ۷:۲۲ ب.ظ

سلام مشتق
Cos x_1
Sinx_1
چی‌میشه؟

پاسخ

آشیل

۱۹ تیر، در ۱۴۰۰ ۱:۱۳ ب.ظ

سلام آقای حمیدی یه سوال دارم:

آیا می شود مشتق توابع مثلثاتی را با معادله اویلر به دست آورد؟

پاسخ

سید سراج حمیدی

۱۹ تیر، در ۱۴۰۰ ۴:۴۵ ب.ظ

سلام.
برای محاسبه مشتق بهتر است از تعریف مشتق و، در صورت نیاز، از روش‌های مشتق‌گیری استفاده کنید. البته از رابطه اویلر نیز می‌توانید استفاده کنید. مثلاً مشتق سینوس با کمک رابطه اویلر به صورت زیر محاسبه می‌شود:
$\begin {align*} \frac{d}{d\theta}\sin \theta &=\frac{d}{d\theta} \text{Im}\{ e^ {i\theta}\}\\ & =\frac{d}{d\theta} (\frac{1}{2i}(e^{i\theta} -e^{-i \theta }))\\&=\frac 12 (e^{i \theta} + e^ {-i \theta} )\\&= \cos \theta \end {align*}$
سالم و موفق باشید.

آشیل

۲۷ خرداد، در ۱۴۰۰ ۱۲:۵۲ ب.ظ

سلام آقای حمیدی خسته نباشید یه سوال دارم:
اگه هر وقت خواستیم مشتق تابع نمایی (از هر نوع که باشد) را بدست آوریم باید آن را بر حسب عدد نپر بنویسیم؟

پاسخ

سید سراج حمیدی

۲۹ خرداد، در ۱۴۰۰ ۸:۲۷ ق.ظ

سلام.
اگر می‌خواهید مقدار عددی تابع را به دست آورید، از معادل عددی عدد نپر استفاده کنید.
موفق باشید.

آشیل

۲۶ خرداد، در ۱۴۰۰ ۷:۱۹ ب.ظ

سلام آقای حمیدی خیلی ممنون از پاسخگویی به موقع تان یه سوال دیگر هم دارم:
می شود گفت که هر وقت تابع نمایی دیدم (ااز هر مدل که باشد) باید رفت به سراغ عدد نپر و ln ؟

پاسخ

سید سراج حمیدی

۲۹ خرداد، در ۱۴۰۰ ۸:۳۴ ق.ظ

سلام.
اصولاً تابع نمایی برحسب عدد نپر (e) بیان می‌شود ( $f(x)=e^x$ ). اگر منظورتان به دست آوردن مقدار یک تابع در نقطه‌ای خاص است، از مقدار عددی عدد نپر استفاده کنید.
موفق باشید.

آشیل

۲۶ خرداد، در ۱۴۰۰ ۱:۲۳ ب.ظ

سلام آقای حمیدی من اثبات این رابطه ها را می خواهم:
sin a – sin b =2sin (a+b)/2 cos(a+b)/2
که در بالا نوشته بودید و همچنین اثبات حاصل تفاضل کسینوس ها را هم لطفا بگویید
ممنون

پاسخ

سید سراج حمیدی

۲۶ خرداد، در ۱۴۰۰ ۲:۰۲ ب.ظ

سلام مجدد.
دو اتحاد زیر را می‌دانیم:
$\sin(X + Y) = \sin X \cos Y + \cos X \sin Y\\ \sin(X – Y) = \sin X \cos Y – \cos X \sin Y$
این دو اتحاد را از هم کم می‌کنیم و به تساوی زیر می‌رسیم:
$\sin(X + Y) – \sin(X − Y) = 2 \cos X \sin Y$
تساوی‌های $A=X+Y$ و $B=X-Y$ را نیز تعریف می‌کنیم. در این صورت، خواهیم داشت: $X =\frac 12(A + B )$ و $Y =\frac 12(A – B )$ . درنتیجه، تفاضل دو سینوس به صورت زیر درمی‌آید:
$\sin A − \sin B = 2 \cos (\frac {A + B}{2}) \sin (\frac {A – B}{2})$
برای اثبات رابطه تفاضل کسینوس‌ها نیز از این روش استفاده کنید.
موفق باشید.