مشتق لگاریتم و تابع نمایی – از صفر تا صد

توابع نمایی

در حالت کلی به تابعی نمایی گفته می‌شود که در آن عدد به توان یک متغیر رسیده باشد. در ابتدا قصد داریم تا مشتق تابعی به صورت زیر را توضیح دهیم.

$$f \left( x \right) = { a ^ x }$$

$$\begin{align*} f ^{\prime}\left( x \right) & = \mathop {\lim }\limits _{h \to 0} \frac{{f\left( { x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits _ {h \to 0} \frac{ { { a ^ { x + h}} - {a ^ x }}}{ h }\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^x}{a^h} - {a^x}}}{ h }\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{ { { a ^ x }\left( {{a^h} - 1} \right)}}{ h }\end{align*}$$

بدیهی است که در رابطه فوق $${ a ^ x }$$ مستقل از h بوده و می‌توان آن را بیرون کشید.

$$f ^{\prime} \left( x \right) = { a ^ x } \mathop { \lim } \limits_{ h \to 0} \frac{ { { a ^ h } - 1}}{ h }$$

حاصل حد $$f ^{\prime} \left( x \right) = \mathop { \lim } \limits_{ h \to 0} \frac{ { { a ^ h } - 1}}{ h }$$ دقیقا نشان دهنده مشتق تابع در x=0 است. با توجه این توصیفات، مشتق تابع (f(x برابر می‌شود با:

$$f ^{\prime} \left ( x \right) = f ^{\prime} \left( 0 \right) { a ^ x }$$

رابطه فوق مناسب نیست،‌ چرا که ما به دنبال مشتق یک تابع در قالب یک تابع هستیم! تنها یک مقدار از a وجود دارد که با مفاهیم آن آشنا هستیم. این عدد e یا همان عدد نپر است؛ چرا که راه‌های متفاوتی به‌منظور تعریف عدد e وجود دارد. سه مورد از تعریف‌های مذکور در ادامه آمده‌اند.

• $$\displaystyle { \bf { e } } = \mathop { \lim }\limits _ { n \to \infty } { \left( {1 + \frac{1}{ n } } \right) ^ n }$$
• e عددی ویژه و مثبت است که در حاصل حد $$\mathop { \lim }\limits _ { h \to 0} \frac{{{{\bf{ e } } ^ h } - 1 } } { h } = 1$$ صدق می‌کند.
• عدد e را می‌توان برابر با سری $$\displaystyle { \bf { e } } = \sum \limits _ { n = 0} ^ \infty {\frac{ 1 } { { n ! } } }$$ در نظر گرفت.

مناسب‌ترین تعریف برای ما مورد دوم است. چرا که این مورد دقیقا عبارتی است که با آن کار می‌کنیم. این تعریف نتایج زیر را در پی دارد.

برای یک تابع نمایی طبیعی که به صورت $$f \left ( x \right ) = { { \bf { e } } ^ x }$$ است، مشتق تابع در نقطه x=0 برابر با $$f ^{\prime} \left( 0 \right) = \mathop { \lim } \limits _ { h \to 0} \frac{{{{\bf{ e } } ^ h} - 1}} { h } = 1$$ است. بنابراین مشتق تابع نمایی برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

$$f \left( x \right) = {{\bf{ e } } ^ x }\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}f^{\prime}\left( x \right ) = { { \bf { e } } ^ x }$$

به‌ منظور بدست آوردن مشتق تابع $$f\left( x \right) = {a^x}$$ می‌توان آن را به ترتیب زیر به شکلی نمایی نوشت. در این صورت خواهیم داشت:

\begin{align*}f\left( x \right) & = { a ^ x }\\ & = {\left( a \right) ^ x }\\ & = {\left( {{{\bf{ e }}^{\ln a } } } \right) ^ x }\\ & = {{\bf { e } } ^ {\left( {\ln a } \right) x } }\\ & = {{\bf{ e }}^{ x\,\,\ln a } } \end{align*}

با استفاده از قانون مشتق‌گیری توانی، مشتق تابع $$e ^ { x \ln a }$$ برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

$$f ^{\prime} \left( x \right) = { {\bf{ e } } ^ { x\,\,\ln a}}\left( {\ln a } \right)$$

از طرفی $$e ^ { x \ln a }$$ را می‌توان برابر با $$a ^ { x }$$ نوشت. در این صورت رابطه فوق نیز به‌صورت زیر به دست می‌آید.

$$f ^{\prime} \left( x \right ) = { a ^ x } \ln \left ( a \right)$$

بنابراین نهایتا می‌توان مشتق تابع نمایی را به صورت زیر بیان کرد:

$$f\left( x \right) = {a ^ x } \hspace {0.5in } \Rightarrow \hspace{0.5in}f^{\prime}\left ( x \right) = {a ^ x} \ln \left( a \right)$$

اثبات مشتق تابع $$e ^ { x \ln a }$$

به منظور مشتق تابع $$e ^ { x \ln a }$$، تغییر متغیر زیر را در نظر بگیرید:

$$e ^ x = u$$

بنابراین:

$$e ^ { x \ln a } = u ^ { \ln a }$$

اکنون، از تغییر دو طرف رابطه $$e ^ x = u$$ مشتق می‌گیریم:

$$\frac { d } { d x } e ^ x = \frac { d } { d x } u$$

می‌دانیم که مشتق $$e ^ x$$ بر حسب $$x$$ برابر با خودش است. به این ترتیب، داریم:

$$e ^ x = \frac { d u } { d x }$$

رابطه به دست آمده را بر حسب $$d x$$ بازنویسی می‌کنیم:

$$d x = \frac { d u } { e ^ x }$$

با توجه به این رابطه و بر اساس تغییر متغیرهای فرضی، به سراغ مشتق $$e ^ { x \ln a }$$ می‌رویم. این مشتق به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\frac { d } { d x } e ^ { x \ln a } = \frac { d } { d x } u ^ { \ln a }$$

$$d x = d u e ^ x$$ را در سمت راست معادله بالا قرار می‌دهیم:

$$\frac { d } { d x } e ^ { x \ln a } = \frac { d } { \frac { d u } { e ^ x } } u ^ { \ln a }$$

$$\frac { d } { d x } e ^ { x \ln a } = e ^ x \frac { d } { d u } u ^ { \ln a }$$

بر اساس قانون مشتق عبارات توانی، داریم:

$$\frac { d } { d u } u ^ { \ln a } = \ln a u ^ { \ln a - 1 } = \frac { \ln a u ^ { \ln a }} { u }$$

تغییر متغیرها را درون مشتق بالا جایگذاری می‌کنیم:

$$\frac { d } { d u } u ^ { \ln a } = \frac { \ln a e ^ { x \ln a }} { e ^ x }$$

در نتیجه:

$$\frac { d } { d x } e ^ { x \ln a } = e ^ x \frac { \ln a e ^ { x \ln a }} { e ^ x }$$

$$\frac { d } { d x } e ^ { x \ln a } = \ln a e ^ { x \ln a }$$

تابع لگاریتمی

اگر دو تابع $$f ( x )$$ و $$g ( x )$$ معکوس یکدیگر باشند، در این صورت رابطه‌ای به صورت زیر را می‌توان بین آن‌ها بیان کرد:

$$g ^{\prime} \left( x \right ) = \frac{ 1 } { { f ^{\prime}\left( { g\left( x \right)} \right)}}$$

حال چگونه می‌توان از قانون بیان شده در بالا استفاده کرد. در این مرحله لازم است بگوییم که معکوس تابع $$f \left( x \right ) = { {\bf { e } } ^ x }$$ برابر با $$g \left( x \right) = \ln x$$ است. در این صورت با استفاده از قانون مشتق معکوسِ بیان شده در بالا، داریم:

$$g ^{\prime} \left( x \right) = \frac{1}{{f^{\prime}\left( { g \left( x \right)} \right)}} = \frac { 1 }{{{{\bf{ e }}^{g\left( x \right)}}}} = \frac{ 1 }{{{{ \bf{ e }} ^ {\ln x} } } } = \frac{1}{ x }$$

البته به صورت دقیق‌تر، حاصل مشتق‌گیری تابع لگاریتمی را بایستی به صورت زیر بیان کرد:

$$\frac { d } { { d x } } \left ( { \ln x } \right ) = \frac { 1 } { x } \hspace { 0.5in } x > 0$$

هم‌چنین می‌توان متغیر درون تابع را همانند زیر به صورت قدر مطلق در نظر گرفت.

$$\frac{ d } {{ d x } }\left( { \ln \left| x \right|} \right) = \frac{ 1 } { x }\hspace{0.5in} x \ne 0$$

با توجه به یافته شدن مشتق تابع $$\ln x$$، در مرحله بعد می‌توان مشتق تابع $$\log x$$ را نیز بدست آورد. در حقیقت در این حالت بایستی لگاریتم را بر حسب لگاریتم در مبنای e نوشته، سپس از آن مشتق گرفته شود. به‌منظور انجام این کار ابتدا به ساکن تابع لگاریتمی به ترتیب زیر نوشته شده، سپس به لگاریتم در مبنای e تبدیل می‌شود.

$${\log _ a} x = \frac{ { \ln x } } { { \ln a} }$$

حال با استفاده از قانون مشتق‌گیری کسری، از طرفین رابطه فوق مشتق می‌گیریم. با انجام این کار داریم:

$$\begin {align*}\frac{ d } { { d x } } \left( {{{\log } _ a} x} \right) & = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\ln x}}{{\ln a}}} \right)\\ & = \frac{1} { {\ln a}}\frac{ d } { { d x } } \left( { \ln x} \right )\\ & = \frac { 1 } { { x \ln a } }\end{align*}$$

توجه داشته باشید که در بدست آوردن رابطه بالا از ثابت بودن ln a استفاده شده است. نهایتا مشتق تابع لگاریتمی برابر با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$\frac{ d } { { d x } } \left( { { { \log } _ a} x } \right) = \frac { 1 } { { x \ln a } }$$

نهایتا به‌طور خلاصه مشتق توابع نمایی و لگاریتمی را می‌توان با استفاده از روابط زیر بدست آورد.

$$\boxed {\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{ d } { { d x } }\left( {{{\bf{e}}^x}} \right) = {{\bf{e}} ^ x} & \hspace{1.0in}\displaystyle \frac{ d }{{ d x }}\left( {{a^x}} \right) = {a ^ x}\ln a\\ \displaystyle \frac{ d } {{ d x }}\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{ x } & \hspace{1.0in}\displaystyle \frac{ d }{{ d x }}\left( {{{\log } _ a} x} \right) = \frac{ 1 }{{ x \ln a }}\end{array}}$$

در ادامه مثال‌هایی حل شده که به منظور تسلط به موضوع می‌توانید آن‌ها را مطالعه فرمایید.

مثال ۱

مشتق توابع زیر را بدست آورید.

1. $$R \left( w \right) = { 4 ^ w} - 5{ \log _9} w$$
2. $$f \left ( x \right) = 3 { { \bf { e } } ^ x } + 10 { x ^ 3 } \ln x$$
3. $$\displaystyle y = \frac { { 5 { { \bf { e } } ^ x } } } { { 3 { { \bf{ e }} ^ x } + 1}}$$

حل ۱: بدیهی است که نمی‌توان به صورت عادی از این رابطه مشتق گرفت. در حقیقت بایستی از مشتق تابع ln x و $$e ^ x$$ استفاده کرد. مشتق این تابع برابر است با:

$$R ^{\prime} \left( w \right) = { 4 ^ w } \ln 4 - \frac{ 5 } { { w \ln 9 } }$$

حل ۲: به‌منظور محاسبه مشتق تابع شماره ۲ بایستی از قانونِ مشتق‌گیری توابعِ ضرب شده در یکدیگر به صورت زیر استفاده کرد.

$$\begin{align*}f ^{\prime} \left( x \right) & = 3 { { \bf{ e } } ^ x } + 3 0 { x ^ 2 } \ln x + 1 0 { x ^ 3}\left( {\frac{1}{x}} \right)\\ & = 3 { {\bf { e } } ^ x } + 30 { x ^ 2 } \ln x + 10 { x ^ 2 }\end{align*}$$

حل ۳: به‌منظور محاسبه این مشتق، تنها کافی است از قانون مشتق‌گیری زنجیره‌ای به‌صورت زیر استفاده کرد.

$$\begin{align*} y ^{\prime} & = \frac{ { 5 {{\bf{e}}^x}\left( {3 { {\bf{ e }} ^ x} + 1} \right) - \left( { 5 { { \bf{ e }} ^ x}} \right)\left( {3{{\bf{e}}^x}} \right)}}{{{{\left( {3{{\bf{e}}^x} + 1} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{15{{\bf{ e } } ^ { 2 x }} + 5 {{\bf{e}} ^ x} - 15{{\bf{e}}^{ 2 x } }}}{{{{\left( {3{{\bf{ e } } ^ x} + 1} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{5{{\bf { e } } ^ x }}}{{{{\left( {3{{\bf{e}}^x} + 1} \right)}^2}}}\end{align*}$$

مثال ۲

فرض کنید موقعیت یک جسم مطابق با رابطه زیر توصیف شود.

$$s \left ( t \right) = t { { \bf { e } } ^ t }$$

آیا این جسم با گذشت زمان می‌ایستد یا همواره سرعتش غیر صفر است؟

حل: همان‌طور که از قوانین فیزیک کلاسیک می‌دانید، مشتق تابع جابجایی یک جسم نسبت به زمان برابر با سرعت است. بنابراین سرعت جسم در هر لحظه برابر است با:

$$s ^{\prime} \left( t \right ) = { { \bf{ e } } ^ t } + t { { \bf{ e } } ^ t } = \left( {1 + t } \right){ {\bf{ e } } ^ t }$$

رابطه فوق تنها در $$t = - 1$$ صفر می‌شود. با توجه به مثبت بودن زمان می‌توان نتیجه گرفت که سرعت جسم هیچ‌وقت صفر نخواهد شد.

مثال ۳

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$\large y = \frac{{\ln x}}{x}$$

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت از این تابع مشتق می‌گیریم:

$$\large \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { \ln x } } { x } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { \ln x } \right ) } ^ \prime } \cdot x – \ln x \cdot x’ } } { { { x ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { \frac { 1 } { x } \cdot x – \ln x \cdot 1 } } { { { x ^ 2 } } } } = { \frac { { 1 – \ln x } } { { { x ^ 2 } } } , } \end {align*}$$

که در آن، $$x > 0$$.

مثال ۴

مشتق تابع $$y = x\ln x – x$$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از قواعد ضرب و تفاضل، داریم:

$$ \large \begin {align*} \require{cancel} y’ \left ( x \right ) & = { \left [ { x \ln x – x } \right ] ^ \prime } = { { \left ( { x \ln x } \right ) ^ \prime } – x’ } = { x’ \ln x + x { \left( {\ln x} \right)^\prime } – x’ } \\ & = {1 \cdot \ln x + x \cdot \frac { 1 } { x } – 1 } = { \ln x + \cancel { 1 } – \cancel { 1 } = \ln x \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { x \gt 0 } \right ) . } \end {align*} $$