قضیه اساسی حسابان — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

۳۴۰۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۸ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴۴ دقیقه
قضیه اساسی حسابان — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، روش‌های مختلف انتگرال‌گیری نامعین را معرفی کردیم. همچنین با روش‌های عددی انتگرال‌گیری مانند قاعده سیمپپسون و قاعده ذوزنقه‌ای آشنا شدیم. در این آموزش،‌ «قضیه اساسی حسابان» را معرفی می‌کنیم که قضیه‌ای بسیار مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. با استفاده از قضیه اساسی حسابان (Fundamental Theorem of Calculus) می‌توان انتگرال معین و مشتق انتگرال را به آسانی محاسبه کرد.

997696

فیلم آموزشی قضیه اساسی حسابان

دانلود ویدیو

قضیه اساسی حسابان، دو بخش دارد: یکی برای محاسبه انتگرال معین و دیگری برای محاسبه مشتق انتگرال تابع. در ادامه، این دو بخش از این قضیه را معرفی کرده و اثبات آن‌ها را بیان می‌کنیم.

بخش اول قضیه اساسی حسابان

بخش اول قضیه حسابان بیان می‌کند که اگر P(x)=axf(t)dt \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _ { { a } } ^ { { x } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } باشد، آن‌گاه P(x)=f(x) \displaystyle { \large { { P } ^ \prime { \left ( { x } \right ) } ={ f { { \left ( { x } \right ) } } } } } است.

بخش اول قضیه اساسی حسابان به صورت ddxaxf(t)dt=f(x) \displaystyle { \large { \frac { { d } } { { { d } { x } } } { \int _ { { a } } ^ { { x } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { f { { \left ( { x } \right ) } } } } } نیز نوشته می‌شود که بیان می‌کند اگر f f انتگرال‌ده بوده و مشتق‌پذیر باشد، می‌توان به تابع اصلی رسید.

اثبات

فرض کنید P(x)=axf(t)dt \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _ { { a } } ^ { { x } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } }   باشد. اگر x x و  x+h \displaystyle { \large { { x } + { h } } } در بازه باز (a,b) \displaystyle { \large { { \left ( { a} , { b } \right ) } } } باشند، آن‌گاه داریم:

P(x+h)P(x)=ax+hf(t)dtaxf(t)dt \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _ { { a } } ^ { { { x } + { h } } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } - { \int _ { { a } } ^ { { x } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } }

اکنون از خاصیت مجاورت انتگرال استفاده می‌کنیم و یکی از آن‌ها را به دو انتگرال می‌شکنیم:

فرمول

حال از قضیه مقدار میانگین برای انتگرال استفاده می‌کنیم. این قضیه، تساوی زیر را بیان می‌کند:

xx+hf(t)dt=n(x+hx)=nh \large \displaystyle { \large { { \int _ { { x } } ^ { { { x } + { h } } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { n } { \left ( { x } + { h } - { x } \right ) } = { n } { h } } }

که در آن، mnM \displaystyle { \large { { m } ^ \prime \le { n } \le { M } ^ \prime } } است (M \displaystyle{\large{{M}'}} مقدار ماکزیمم و  m \displaystyle{\large{{m}'}} مقدار مینیمم ff روی بازه [x,x+h] \displaystyle { \large { { \left [ { x } , { x } + { h } \right ] } } } است).

بنابراین، تساوی P(x+h)P(x)=nh \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } = { n } { h } } } به دست می‌آید. اگر فرض کنیم  h0 \displaystyle{\large{{h}\to{0}}} ، آن‌گاه P(x+h)P(x)0 \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } \to { 0 } } } یا P(x+h)P(x) \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } \to { P } { \left ( { x } \right ) } } } . این، ثابت می‌کند که P(x) P ( x ) یک تابع پیوسته است.

بدون از دست دادن کلیت مسئله، فرض می‌کنیم h>0 h > 0 باشد. از آن‌جایی که ff در بازه [x,x+h] \displaystyle { \large { { \left [ { x } , { x } + { h } \right ] } } } پیوسته است، قضیه مقدار اکسترمم بیان می‌کند که اعداد c c و d d در بازه [x,x+h] \displaystyle { \large { { \left [ { x } , { x } + { h } \right ] } } } به گونه‌ای وجود دارند که f(c)=m \displaystyle { \large { { f { { \left ( { c } \right ) } } } = { m } } } و f(d)=M \displaystyle { \large { { f { { \left ( { d } \right ) } } } ={ M } } } بوده و در آن، mm و MM به ترتیب، مقادیر مینیمم و ماکزیمم ff روی [x,x+h] \displaystyle { \large { { \left [ { x } , { x } + { h } \right ] } } } هستند.

بنابراین، نامساوی زیر را داریم:

m(x+hx)xx+hf(t)dtM(x+hh) \large \displaystyle { \large { { m } { \left ( { x } + { h } - { x } \right ) } \le { \int _ { { x } } ^ { { { x } + { h } } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } \le { M } { \left ( { x } + { h } - { h } \right ) } }}

یا

mP(x+h)P(x)hM \large \displaystyle { \large { { m } \le \frac { { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } } } { { h } } \le { M } } }

عبارت اخیر را می‌توانیم بر h>0 h > 0 تقسیم کنیم. در نتیجه، داریم:

m1hxx+hf(t)dtM \large \displaystyle { \large { { m } \le \frac { { 1 } } { { h } } { \int _ { { x } } ^ { {{ x } + { h } } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } \le { M } } }

یا

mP(x+h)P(x)hM \large \displaystyle { \large { { m } \le \frac { { { P }{ \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } } } { { h } } \le { M } } }

در نهایت، می‌توان نوشت:

f(c)P(x+h)P(x)hf(d) \large \displaystyle { \large { { f { { \left ( { c } \right ) } } } \le \frac { { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } } } { { h } } \le { f { { \left ( { d } \right ) } } } } }

به طریق مشابه، نامساوی بالا را برای h<0 \displaystyle { \large { { h } < { 0 } } } نیز می‌توان اثبات کرد.

اکنون فرض کنید h0 \displaystyle { \large { { h } \to { 0 } } } . در نتیجه، از آن‌جایی که cc و dd بین xx و x+hx+ h هستند، داریم: cx \displaystyle { \large { { c } \to { x } } } و dx \displaystyle { \large { { d } \to { x } } } .

بنابراین، از آن‌جایی که ff پیوسته است، داریم:

limh0f(c)=limcxf(c)=f(x) \large \displaystyle { \large { \lim _ { {{ h } \to { 0 } } } { f { { \left ( { c } \right ) } } } = \lim _ { { { c } \to { x } } } { f { { \left ( { c } \right ) } } } = { f { { \left ( { x } \right ) } } } } }

و

limh0f(d)=limdxf(d)=f(x) \large \displaystyle { \large { \lim _ { { { h } \to { 0 } } } { f { { \left ( { d } \right ) } } } = \lim _ { { { d } \to { x } } } { f { { \left ( { d } \right ) } } } = { f { { \left ( { x } \right ) } } } } }

با توجه به نامساوی آخر و قضیه فشردگی، می‌توانیم تساوی زیر را نتیجه بگیریم:

limh0P(x+h)P(x)h=f(x) \large \displaystyle { \large { \lim _ { { { h } \to { 0 } } } \frac { { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } } } { { h } } = { f { { \left ( { x } \right ) } } } } }

سمت چپ معادله بالا، تعریف مشتق P(x)P(x) است. بنابراین، می‌توانیم تساوی زیر را بنویسیم:

P(x)=f(x) \large \displaystyle { \large { { P } ^ \prime { \left ( { x } \right ) } = { f { { \left ( { x } \right ) } } } } }

و بدین ترتیب، بخش اول قضیه اثبات می‌شود.

بخش دوم قضیه اساسی حسابان

بخش دوم قضیه اساسی حسابان بیان می‌کند که تساوی abf(x)dx=F(b)F(a) \displaystyle { \large { { \int _ { { a } } ^ { { b } } } { f { { \left ( { x } \right ) } } } { d } { x } = { F } { \left ( { b } \right ) } - { F } { \left ( { a } \right ) } } } برقرار است. در این تساوی، FF پادمشتق ff است؛ یعنی F=f \displaystyle { \large { { F } ^ \prime = { f { } } } } .

بخش دوم قضیه اساسی حسابان، به‌ صورت abF(x)dx=F(b)F(a) \displaystyle { \large { { \int _ { { a } } ^ { { b } } } { F } ^ \prime { \left ( { x } \right ) } { d } { x} = { F } { \left ( { b } \right ) } - { F } { \left ( { a } \right ) } } } نیز نوشته می‌شود که بیان می‌کند اگر تابع ff مشتق‌پذیر و انتگرال‌پذیر باشد، می‌توان آن را با تابع اولیه F F و به فرم F(b)F(a) \displaystyle { \large { { F } { \left ( { b } \right ) } - { F }{ \left ( { a } \right ) } } } نوشت.

اثبات

بازه [a,b] \displaystyle { \large { { \left [ { a } , { b } \right ] } } } را به nn زیربازه با نقاط انتهایی x0(=a),x1,x2,,xn(=b) \displaystyle { \large { { x } _ { { 0 } } { \left ( = { a } \right ) }, { x } _ { { 1 } } , { x } _ { { 2 } } , \ldots , { x } _ { { n } } { \left ( = { b } \right ) } } } و عرض Δx=ban \displaystyle { \large { \Delta { x } = \frac { {{ b } - { a } } } { { n } } } } تقسیم می‌کنیم. همچنین FF را به عنوان پادمشتق ff‌ در نظر می‌گیریم.

با جمع و تفریق جبری جملات مشابه، می‌توانیم تفریق کلی مقادیر FF را با مجموع تفریق‌های زیربازه‌ها نشان دهیم:

F(b)F(a)=F(xn)F(x0)  \large \displaystyle { \large { { F } { \left ( { b } \right ) } - { F } { \left ( { a } \right ) } = { F } { \left ( { x } _ { { n } } \right ) } - { F } { \left ( { x } _ { { 0 } } \right ) }  } }

=F(xn)F(xn1)+F(xn2)++F(x2)F(x1)+F(x1)F(x0)  \large \displaystyle { \large { = { F } { \left ( { x } _ { { n } } \right ) } - { F } { \left ( { x } _ { { { n } - { 1 } } } \right ) } + { F } { \left ( { x } _ { { { n } - { 2 } } } \right ) } + \ldots + { F } { \left ( { x } _ { { 2 } } \right ) } - { F }{ \left ( { x } _{ { 1 } } \right ) } + { F } { \left ( { x } _ { { 1 } } \right ) } - { F } { \left ( { x } _ { { 0 } } \right ) }  } }

=i=1n(F(xi)F(xi1)) \large \displaystyle { \large { = { \sum _ { { { i } = { 1 } } } ^ { { n } } } { \left ( { F } { \left ( { x } _ { { i } } \right ) } - { F } { \left ( { x } _ { { { i } - { 1 } } } \right ) } \right ) } } }

از آن‌جایی که FF مشتق‌پذیر است، پیوسته نیز هست و می‌توانیم قضیه مقدار میانگین را در زیربازه [xi1,xi] \displaystyle { \large { { \left [ { x } _ { { { i } - { 1 } } } , { x } _ { { i } } \right ] } } }   بر آن اعمال کنیم.

بنابراین، عدد  xi \displaystyle{\large{{{x}_{{i}}^{{\star}}}}} بین  xi1 \displaystyle{\large{{x}_{{{i}-{1}}}}} و xi \displaystyle{\large{{x}_{{i}}}} به گونه‌ای وجود خواهد داشت که رابطه زیر برقرار باشد:

F(xi)F(xi1)=F(xi)(xixi1)=f(xi)Δx \large \displaystyle { \large { { F } { \left ( { x } _{ { i } } \right ) } - { F } { \left ( { x } _ { { { i } - { 1 } } } \right ) } = { F } ^ \prime { \left ( { { x } _ { { i } } ^ { { \star } } } \right ) } { \left ( { x } _ { { i } } - { x } _ { {{ i } - { 1 } } } \right ) } = { f { { \left ({ { x } _ { { i }} ^ { { \star } } } \right ) }} } \Delta { x }} }

در نتیجه، داریم:

F(b)F(a)=i=1nf(xi)Δx \large \displaystyle { \large { { F } { \left ( { b } \right ) } - { F } { \left ( { a} \right ) } = { \sum _ {{ { i } = { 1 } } } ^ { { n } } } { f { { \left ( { { x }_ { { i } } ^ { { \star } } } \right ) } } } \Delta { x } } }

اکنون حد بی‌نهایت دو سمت تساوی اخیر را حساب می‌کنیم. سمت چپ مقدار ثابتی است و سمت راست، مجموع ریمان برای تابع ff است. بنابراین، داریم:

F(b)F(a)=limni=1nf(xi)Δx=abf(x)dx \large \displaystyle { \large { { F } { \left ( { b } \right ) } - { F } { \left ( { a } \right ) } = \lim _ { { { n } \to \infty } }{ \sum _ { { { i } = { 1} } } ^ { { n }} } { f { { \left ( { { x } _ { { i }} ^ { { \star}}} \right)}} } \Delta{x}={\int_{{a}}^{{b}}}{f{{\left({x}\right)}}}{d}{x}}}

و بدین ترتیب، بخش دوم قضیه اساسی حسابان اثبات می‌شود.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال را درباره قضیه اساسی حسابان بیان می‌کنیم.

مثال ۱

نمودار تابع ff در شکل زیر نشان داده شده است.

تابع f

اگر P(x)=0xf(t)dt \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _ { { 0 } } ^ { { x } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } باشد، مقادیر P(0)P(0)، P(1)P(1)، P(2)P(2)، P(3)P(3)، P(4)P(4)، P(5)P(5)، P(6)P(6) و P(7)P(7) را به دست آورید. نمودار PP را نیز رسم کنید.

حل: ابتدا به سادگی می‌توانیم بنویسیم:

P(0)=00f(t)dt=0 \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 0 } \right ) } ={ \int _ { { 0 } } ^ { { 0 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { 0 } } }

مقدار P(1)P(1) مساحت مثلثی با اضلاع قائم 11 و 22 است. بنابراین، داریم:

P(1)=01f(t)dt=1212=1 \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 1 } \right ) } = { \int _ { { 0 } } ^ { { 1 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } = \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 1 } \cdot { 2 } = { 1 }

مقدار P(2)P(2) نیز برابر با مساحت مثلثی با اضلاع 22 و 44 است. بنابراین، می‌توان نوشت:

P(2)=02f(t)dt=1224=4 \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 2 } \right ) } = { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } = \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 2 } \cdot { 4 } = { 4 }

مساحت از 00 تا 33، از مساحت 00 تا 22 و 22 تا 33 (مثلثی با اضلاع قائم 11 و 44) تشکیل شده است:

P(3)=03f(t)dt=02f(t)dt+23f(t)dt=4+1214=6 \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 3 } \right ) } ={ \int _ { { 0 } } ^ { { 3 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } + { \int _ { { 2 } } ^ { { 3 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { 4 } + \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 1 } \cdot { 4 } = { 6 } } }

به طریق مشابه، برای P(4)P(4) داریم:

P(4)=P(3)+34f(t)dt=61214=4 \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 4 } \right ) } = { P } { \left ( { 3 } \right ) } + { \int _ { { 3 } } ^ { { 4 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } = { 6 } - \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 1 } \cdot { 4 } = { 4 }

و به همین ترتیب، P(5)P(5)، P(6)P(6) و P(7)P(7) برابرند با:

P(5)=P(4)+45f(t)dt=41214=2 \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 5 } \right ) } = { P } { \left ( { 4} \right ) } + { \int _ { { 4 } } ^ { { 5 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { 4 } - \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 1 } \cdot { 4 } = { 2 } } }

P(6)=P(5)+56f(t)dt=2+1214=4 \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 6 } \right ) } = { P } { \left ( { 5 } \right ) } + { \int _ { { 5 } } ^ { { 6 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { 2 } + \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 1 } \cdot { 4 } = { 4 } } }

P(7)=P(6)+67f(t)dt=4+14=8 \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 7 } \right ) } = { P } { \left ( { 6 } \right ) } + { \int _ { { 6} } ^ { { 7 } } } { f { { \left ( { t } \right )} } } { d } { t } } } = { 4 } + { 1 } \cdot { 4 } = { 8 }

تصویر زیر، این مقادیر را به خوبی نشان می‌دهد.

نمودار

نمودار P(x)P(x) نیز در شکل زیر آورده شده است.

نمودار P(x)

مثال ۲

اگر P(x)=1xt3dt \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _ { { 1 } } ^ { { x } } } { { t } } ^ { { 3 } } { d } { t } } } باشد، فرمول P(x)P(x) را به دست آورده و P(x) P ^ \prime (x) را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از بخش دوم قضیه اساسی حسابان، داریم:

P(x)=1xt3dt=(t44)1x=x4414 \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _{ { 1 } } ^ { { x} } } { { t } } ^ { { 3 } } { d } {t } ={ \left ( \frac { { { t } } ^ {{ 4 } } } {{ 4 } } \right ) } { { \mid } _ { { 1 } } ^ { { x } } } = \frac { { { x } } ^ { { 4 } } } { { 4 } } - \frac { { 1 } } { { 4 } } } }

در نتیجه، حاصل P(x) P^ \prime (x ) برابر است با:

P(x)=(x4414)=x3 \large \displaystyle { \large { {P} ^ \prime { \left ( { x } \right ) } = { \left ( \frac { { { x } } ^ { { 4 } } } { { 4 } } - \frac { { 1 } } { { 4 } } \right ) } ^ \prime = { { x } } ^ { { 3} } } }

همان‌طور که می‌بینیم، P(x)=f(x) P^ \prime (x) = f (x) است که با توجه به بخش اول قضیه اساسی حسابان قابل انتظار بود.

مثال ۳

مشتق P(x)=0xt3+1dt \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = {\int _ { { 0 } } ^ { { x } } } \sqrt { { {{ t } } ^ { { 3 } } + { 1 } } } { d } { t } } } را بیابید.

حل: با استفاده از بخش اول قضیه اساسی حسابان، داریم:

P(x)=x3+1 \displaystyle{\large{{P{^ \prime } } { \left ( { x } \right ) } = \sqrt { { { { x } } ^ { { 3} } + { 1 } } } } }

مثال ۴

حاصل ddx2x3ln(t2+1)dt \displaystyle { \large { \frac { {d } } {{ { d }{ x } }} { \int _ { { 2 } } ^ { { { { x } } ^ { { 3 } } } } } { \ln { { \left ( { {t } } ^ { { 2} } + { 1 } \right ) } } } { d } { t } }} را محاسبه کنید.

حل:‌ در این مثال، تابع ترکیبی P(x3) P (x^3) را داریم. برای مشتق آن، از قاعده زنجیره‌ای و قضیه اساسی حسابان استفاده می‌کنیم.

بنابراین، با در نظر گرفتن u=x3 \displaystyle { \large { { u } = { { x} } ^ { {3 } } } } و در نتیجه  dudx=(x3)=3x2 \displaystyle { \large { \frac { { { d } { u } } } { { { d } { x } } } = { \left ( { { x } } ^ { { 3 } } \right ) } ^ \prime = { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } }} ، داریم:

ddx2x3ln(t2+1)dt=ddu2uln(t2+1)dudx \large \displaystyle \large { \frac { { d } } { { { d } { x } } } { \int _ { { 2 } } ^ { { { { x } } ^ { { 3 } } } } } { \ln { { \left ( { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } \right ) } } } { d } { t } = \frac { { d } } { { { d } { u } } } { \int _ { { 2 } } ^ { { u } } } { \ln { { \left ( { { t } } ^ { { 2 } } +{ 1 } \right ) } } } \cdot \frac { { { d } { u } } } { { { d } { x }}}}

=ddu2uln(t2+1)3x2=ln(u2+1)3x2 \large = \frac { { d } } { { { d } { u } } } { \int _ { { 2 } } ^ { { u } } } { \ln { { \left ( { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } \right ) } }} \cdot { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } \displaystyle { \large { = { \ln{ { \left ( { { u } } ^ { { 2 } } + { 1 } \right ) } } } \cdot { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } }}

=ln((x3)2+1)3x2=3x2ln(x6+1) \large = { \ln { { \left ( { { \left ( { { x } } ^ { { 3 } } \right ) } } ^{ { 2 } } + { 1 } \right ) } } } \cdot { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } = { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } { \ln { { \left ( { { x } } ^ { { 6 } } + { 1 } \right ) } } }

مثال ۵

انتگرال 05exdx \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { 5 } } } {{ e } } ^ { { x } } { d } {x } } } را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از بخش دوم قضیه اساسی حسابان، حاصل انتگرال به صورت زیر است:

05exdx=ex05=e5e0=e51 \large \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { 5 } } } { { e } } ^ { { x } } { d } { x } = { { e } } ^ { { x } } { { \mid } _ { {0 } } ^ { { 5 } } } = { { e } } ^ { { 5 } } - { { e } } ^ { { 0 } } = { { e } } ^ { { 5 } } - { 1 } } }

مثال ۶

انتگرال 0π2cos(x)dx \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { \frac { \pi }{ { 2 } } } } } { \cos { { \left ( { x } \right ) } } } { d } { x } } } را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از بخش دوم قضیه اساسی حسابان، داریم:

0π2cos(x)dx=sin(x)0π2=sin(π2)sin(0)=1 \large \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { \frac { \pi } { { 2 } } } } } { \cos { { \left ( { x } \right ) } } } { d } { x } = { \sin { { \left ( { x } \right )} } } { { \mid } _ { { 0 } } ^ { { \frac { \pi } { { 2 } } } } } = { \sin { { \left ( \frac { \pi } { { 2 } } \right ) } } } - { \sin { { \left ( { 0 } \right ) } } } = { 1 } } }

مثال ۷

انتگرال 02(3x27)dx \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { \left ( { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } - { 7 } \right ) } { d } { x } } } را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از بخش دوم قضیه اساسی حسابان، حاصل انتگرال برابر است با:

02(3x27)dx=023x2dx027dx \large \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { \left ( { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } - { 7 } \right ) } { d } { x } = { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } }} { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } { d } { x } - { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { 7 } { d } { x } }}

=302x2dx7027dx=3(x33)027(20) \large = { 3 } { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { { x } } ^ { { 2 } } { d } { x } - { 7 } { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { 7 } { d } { x } \displaystyle { \large { = { 3 } { \left ( \frac { { { x } } ^ { { 3 } } } { { 3 } } \right ) } { { \mid } _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } - { 7 } \cdot { \left ( { 2 } - { 0 } \right ) }}}

=3(8303)14=6 \large = { 3 } { \left ( \frac { { 8 } } { { 3 } } - \frac { { 0 } } { { 3 } } \right ) } - { 1 4 } = - { 6 }

مثال ۸

انتگرال 13(2t58tt+7t2+1)dt \displaystyle { \large { { \int _ { { 1 } } ^ { { 3 } } } { \left ( \frac { { { 2 } { { t }} ^{ { 5 }} - { 8 } \sqrt { { { t } } } } }{{ t } } + \frac { { 7 } } { { { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } } } \right ) } { d } { t } } } را محاسبه کنید.

حل: ابتدا انتگرال را به صورت زیر می‌نویسیم:

13(2t58tt+7t2+1)dt=13(2t48t12+7t2+1)dt \large \displaystyle { \large { { \int _ { { 1 } } ^ { { 3 } } } { \left ( \frac { { { 2 } { { t } } ^ { { 5 } } - { 8 } \sqrt { { { t } } } } } { { t } } + \frac { { 7 } } { { { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } } } \right ) } { d } { t } = { \int _ { { 1} } ^ { { 3 } } } { \left ( { 2 } { { t } } ^ { { 4 } } - { 8 } { { t } } ^ { { - \frac { { 1 } } { { 2 } } } } + \frac { { 7 } } { { { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } } } \right ) } { d } { t } } }

بنابراین، داریم:

13(2t48t12+7t2+1)dt=(25t516t+7tan1(t))13=(25(3)5163+7tan1(3))(25(1)5161+7tan1(1))=56451637π4+7tan1(3)88.3327 \large \displaystyle { \large { { \int _ { { 1 } } ^ { { 3 } } } { \left ( { 2 } { { t } } ^ { { 4 } } - { 8 } { { t } } ^ { { - \frac { { 1 } } { { 2 } } } } + \frac { { 7 } } { { { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } } } \right ) } { d } { t } = { \left ( \frac { { 2 } } { { 5 } } { { t } } ^ { { 5 } } - { 1 6 } \sqrt {{ { t } }} + { 7 } { { \tan } } ^ { { - { 1 } } } { \left ( { t } \right ) } \right ) } { { \mid } _ { { 1 } } ^ { { 3 } } } } } \\ \large \displaystyle { \large { = { \left ( \frac { { 2 } } { { 5 } } { { \left ( { 3 } \right ) } } ^ { { 5 } } - { 1 6 } \sqrt { { { 3 } } } + { 7 } { { \tan } } ^ { { - { 1 } } } { \left ( { 3 } \right ) } \right ) } - { \left ( \frac { { 2 } } { { 5 } } { { \left ( { 1 } \right ) } } ^ { { 5 } } - { 1 6 } \sqrt { { { 1 } } } + { 7 } { { \tan } } ^ { { - { 1 } } } { \left ( { 1 } \right ) } \right ) } } } \\ \large \displaystyle { \large { = \frac { { 5 6 4 } } { { 5 } } - {1 6 } \sqrt { { { 3 } } } - \frac { { { 7 } \pi } } { { 4 } } + { 7 } { { \tan } } ^ { { - { 1 } } } { \left ( { 3 } \right ) } \approx { 8 8. 3 3 2 7 } } }

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۱۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
eMathHelp
۱ دیدگاه برای «قضیه اساسی حسابان — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)»

آموزک ویدئویی عالی بود

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *