قضیه اساسی حسابان — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، روش‌های مختلف انتگرال‌گیری نامعین را معرفی کردیم. همچنین با روش‌های عددی انتگرال‌گیری مانند قاعده سیمپپسون و قاعده ذوزنقه‌ای آشنا شدیم. در این آموزش،‌ «قضیه اساسی حسابان» را معرفی می‌کنیم که قضیه‌ای بسیار مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. با استفاده از قضیه اساسی حسابان (Fundamental Theorem of Calculus) می‌توان انتگرال معین و مشتق انتگرال را به آسانی محاسبه کرد.

فیلم آموزشی قضیه اساسی حسابان

قضیه اساسی حسابان، دو بخش دارد: یکی برای محاسبه انتگرال معین و دیگری برای محاسبه مشتق انتگرال تابع. در ادامه، این دو بخش از این قضیه را معرفی کرده و اثبات آن‌ها را بیان می‌کنیم.

بخش اول قضیه اساسی حسابان

بخش اول قضیه حسابان بیان می‌کند که اگر $$ \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _ { { a } } ^ { { x } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } $$ باشد، آن‌گاه $$ \displaystyle { \large { { P } ^ \prime { \left ( { x } \right ) } ={ f { { \left ( { x } \right ) } } } } } $$ است.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد

اینجا کلیک کنید

بخش اول قضیه اساسی حسابان به صورت $$ \displaystyle { \large { \frac { { d } } { { { d } { x } } } { \int _ { { a } } ^ { { x } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { f { { \left ( { x } \right ) } } } } } $$ نیز نوشته می‌شود که بیان می‌کند اگر $$ f $$ انتگرال‌ده بوده و مشتق‌پذیر باشد، می‌توان به تابع اصلی رسید.

اثبات

فرض کنید $$ \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _ { { a } } ^ { { x } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } $$  باشد. اگر $$ x $$ و  $$ \displaystyle { \large { { x } + { h } } } $$ در بازه باز $$ \displaystyle { \large { { \left ( { a} , { b } \right ) } } } $$ باشند، آن‌گاه داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _ { { a } } ^ { { { x } + { h } } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } - { \int _ { { a } } ^ { { x } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } $$

اکنون از خاصیت مجاورت انتگرال استفاده می‌کنیم و یکی از آن‌ها را به دو انتگرال می‌شکنیم:

حال از قضیه مقدار میانگین برای انتگرال استفاده می‌کنیم. این قضیه، تساوی زیر را بیان می‌کند:

$$ \large \displaystyle { \large { { \int _ { { x } } ^ { { { x } + { h } } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { n } { \left ( { x } + { h } - { x } \right ) } = { n } { h } } } $$

که در آن، $$ \displaystyle { \large { { m } ^ \prime \le { n } \le { M } ^ \prime } } $$ است ($$ \displaystyle{\large{{M}'}} $$ مقدار ماکزیمم و $$ \displaystyle{\large{{m}'}} $$ مقدار مینیمم $$f$$ روی بازه $$ \displaystyle { \large { { \left [ { x } , { x } + { h } \right ] } } } $$ است).

بنابراین، تساوی $$ \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } = { n } { h } } } $$ به دست می‌آید. اگر فرض کنیم $$ \displaystyle{\large{{h}\to{0}}} $$، آن‌گاه $$ \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } \to { 0 } } } $$ یا $$ \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } \to { P } { \left ( { x } \right ) } } } $$. این، ثابت می‌کند که $$ P ( x ) $$ یک تابع پیوسته است.

بدون از دست دادن کلیت مسئله، فرض می‌کنیم $$ h > 0 $$ باشد. از آن‌جایی که $$f$$ در بازه $$ \displaystyle { \large { { \left [ { x } , { x } + { h } \right ] } } } $$ پیوسته است، قضیه مقدار اکسترمم بیان می‌کند که اعداد $$ c $$ و $$ d $$ در بازه $$ \displaystyle { \large { { \left [ { x } , { x } + { h } \right ] } } } $$ به گونه‌ای وجود دارند که $$ \displaystyle { \large { { f { { \left ( { c } \right ) } } } = { m } } } $$ و $$ \displaystyle { \large { { f { { \left ( { d } \right ) } } } ={ M } } } $$ بوده و در آن، $$m $$ و $$M$$ به ترتیب، مقادیر مینیمم و ماکزیمم $$f$$ روی $$ \displaystyle { \large { { \left [ { x } , { x } + { h } \right ] } } } $$ هستند.

بنابراین، نامساوی زیر را داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { m } { \left ( { x } + { h } - { x } \right ) } \le { \int _ { { x } } ^ { { { x } + { h } } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } \le { M } { \left ( { x } + { h } - { h } \right ) } }} $$

یا

$$ \large \displaystyle { \large { { m } \le \frac { { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } } } { { h } } \le { M } } } $$

عبارت اخیر را می‌توانیم بر $$ h > 0 $$ تقسیم کنیم. در نتیجه، داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { m } \le \frac { { 1 } } { { h } } { \int _ { { x } } ^ { {{ x } + { h } } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } \le { M } } } $$

یا

$$ \large \displaystyle { \large { { m } \le \frac { { { P }{ \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } } } { { h } } \le { M } } } $$

در نهایت، می‌توان نوشت:

$$ \large \displaystyle { \large { { f { { \left ( { c } \right ) } } } \le \frac { { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } } } { { h } } \le { f { { \left ( { d } \right ) } } } } } $$

به طریق مشابه، نامساوی بالا را برای $$ \displaystyle { \large { { h } < { 0 } } } $$ نیز می‌توان اثبات کرد.

اکنون فرض کنید $$ \displaystyle { \large { { h } \to { 0 } } } $$. در نتیجه، از آن‌جایی که $$c$$ و $$d$$ بین $$x$$ و $$x+ h $$ هستند، داریم: $$ \displaystyle { \large { { c } \to { x } } } $$ و $$ \displaystyle { \large { { d } \to { x } } } $$.

بنابراین، از آن‌جایی که $$f$$ پیوسته است، داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { \lim _ { {{ h } \to { 0 } } } { f { { \left ( { c } \right ) } } } = \lim _ { { { c } \to { x } } } { f { { \left ( { c } \right ) } } } = { f { { \left ( { x } \right ) } } } } } $$

و

$$ \large \displaystyle { \large { \lim _ { { { h } \to { 0 } } } { f { { \left ( { d } \right ) } } } = \lim _ { { { d } \to { x } } } { f { { \left ( { d } \right ) } } } = { f { { \left ( { x } \right ) } } } } } $$

با توجه به نامساوی آخر و قضیه فشردگی، می‌توانیم تساوی زیر را نتیجه بگیریم:

$$ \large \displaystyle { \large { \lim _ { { { h } \to { 0 } } } \frac { { { P } { \left ( { x } + { h } \right ) } - { P } { \left ( { x } \right ) } } } { { h } } = { f { { \left ( { x } \right ) } } } } } $$

سمت چپ معادله بالا، تعریف مشتق $$P(x) $$ است. بنابراین، می‌توانیم تساوی زیر را بنویسیم:

$$ \large \displaystyle { \large { { P } ^ \prime { \left ( { x } \right ) } = { f { { \left ( { x } \right ) } } } } } $$

و بدین ترتیب، بخش اول قضیه اثبات می‌شود.

بخش دوم قضیه اساسی حسابان

بخش دوم قضیه اساسی حسابان بیان می‌کند که تساوی $$ \displaystyle { \large { { \int _ { { a } } ^ { { b } } } { f { { \left ( { x } \right ) } } } { d } { x } = { F } { \left ( { b } \right ) } - { F } { \left ( { a } \right ) } } } $$ برقرار است. در این تساوی، $$F$$ پادمشتق $$f $$ است؛ یعنی $$ \displaystyle { \large { { F } ^ \prime = { f { } } } } $$.

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

اینجا کلیک کنید

بخش دوم قضیه اساسی حسابان، به‌ صورت $$ \displaystyle { \large { { \int _ { { a } } ^ { { b } } } { F } ^ \prime { \left ( { x } \right ) } { d } { x} = { F } { \left ( { b } \right ) } - { F } { \left ( { a } \right ) } } } $$ نیز نوشته می‌شود که بیان می‌کند اگر تابع $$f$$ مشتق‌پذیر و انتگرال‌پذیر باشد، می‌توان آن را با تابع اولیه $$ F$$ و به فرم $$ \displaystyle { \large { { F } { \left ( { b } \right ) } - { F }{ \left ( { a } \right ) } } } $$ نوشت.

اثبات

بازه $$ \displaystyle { \large { { \left [ { a } , { b } \right ] } } } $$ را به $$n$$ زیربازه با نقاط انتهایی $$ \displaystyle { \large { { x } _ { { 0 } } { \left ( = { a } \right ) }, { x } _ { { 1 } } , { x } _ { { 2 } } , \ldots , { x } _ { { n } } { \left ( = { b } \right ) } } } $$ و عرض $$ \displaystyle { \large { \Delta { x } = \frac { {{ b } - { a } } } { { n } } } } $$ تقسیم می‌کنیم. همچنین $$F$$ را به عنوان پادمشتق $$f$$‌ در نظر می‌گیریم.

با جمع و تفریق جبری جملات مشابه، می‌توانیم تفریق کلی مقادیر $$F$$ را با مجموع تفریق‌های زیربازه‌ها نشان دهیم:

$$ \large \displaystyle { \large { { F } { \left ( { b } \right ) } - { F } { \left ( { a } \right ) } = { F } { \left ( { x } _ { { n } } \right ) } - { F } { \left ( { x } _ { { 0 } } \right ) }  } } $$

$$ \large \displaystyle { \large { = { F } { \left ( { x } _ { { n } } \right ) } - { F } { \left ( { x } _ { { { n } - { 1 } } } \right ) } + { F } { \left ( { x } _ { { { n } - { 2 } } } \right ) } + \ldots + { F } { \left ( { x } _ { { 2 } } \right ) } - { F }{ \left ( { x } _{ { 1 } } \right ) } + { F } { \left ( { x } _ { { 1 } } \right ) } - { F } { \left ( { x } _ { { 0 } } \right ) }  } } $$

$$ \large \displaystyle { \large { = { \sum _ { { { i } = { 1 } } } ^ { { n } } } { \left ( { F } { \left ( { x } _ { { i } } \right ) } - { F } { \left ( { x } _ { { { i } - { 1 } } } \right ) } \right ) } } } $$

از آن‌جایی که $$F$$ مشتق‌پذیر است، پیوسته نیز هست و می‌توانیم قضیه مقدار میانگین را در زیربازه $$ \displaystyle { \large { { \left [ { x } _ { { { i } - { 1 } } } , { x } _ { { i } } \right ] } } } $$  بر آن اعمال کنیم.

بنابراین، عدد $$ \displaystyle{\large{{{x}_{{i}}^{{\star}}}}} $$ بین $$ \displaystyle{\large{{x}_{{{i}-{1}}}}} $$ و $$ \displaystyle{\large{{x}_{{i}}}} $$ به گونه‌ای وجود خواهد داشت که رابطه زیر برقرار باشد:

$$ \large \displaystyle { \large { { F } { \left ( { x } _{ { i } } \right ) } - { F } { \left ( { x } _ { { { i } - { 1 } } } \right ) } = { F } ^ \prime { \left ( { { x } _ { { i } } ^ { { \star } } } \right ) } { \left ( { x } _ { { i } } - { x } _ { {{ i } - { 1 } } } \right ) } = { f { { \left ({ { x } _ { { i }} ^ { { \star } } } \right ) }} } \Delta { x }} } $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { F } { \left ( { b } \right ) } - { F } { \left ( { a} \right ) } = { \sum _ {{ { i } = { 1 } } } ^ { { n } } } { f { { \left ( { { x }_ { { i } } ^ { { \star } } } \right ) } } } \Delta { x } } } $$

اکنون حد بی‌نهایت دو سمت تساوی اخیر را حساب می‌کنیم. سمت چپ مقدار ثابتی است و سمت راست، مجموع ریمان برای تابع $$f$$ است. بنابراین، داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { F } { \left ( { b } \right ) } - { F } { \left ( { a } \right ) } = \lim _ { { { n } \to \infty } }{ \sum _ { { { i } = { 1} } } ^ { { n }} } { f { { \left ( { { x } _ { { i }} ^ { { \star}}} \right)}} } \Delta{x}={\int_{{a}}^{{b}}}{f{{\left({x}\right)}}}{d}{x}}} $$

و بدین ترتیب، بخش دوم قضیه اساسی حسابان اثبات می‌شود.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال را درباره قضیه اساسی حسابان بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد

اینجا کلیک کنید

مثال ۱

نمودار تابع $$f$$ در شکل زیر نشان داده شده است.

اگر $$ \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _ { { 0 } } ^ { { x } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } $$ باشد، مقادیر $$P(0)$$، $$P(1)$$، $$P(2)$$، $$P(3)$$، $$P(4)$$، $$P(5)$$، $$P(6)$$ و $$P(7)$$ را به دست آورید. نمودار $$P$$ را نیز رسم کنید.

حل: ابتدا به سادگی می‌توانیم بنویسیم:

$$ \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 0 } \right ) } ={ \int _ { { 0 } } ^ { { 0 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { 0 } } } $$

مقدار $$P(1)$$ مساحت مثلثی با اضلاع قائم $$1$$ و $$2$$ است. بنابراین، داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 1 } \right ) } = { \int _ { { 0 } } ^ { { 1 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } = \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 1 } \cdot { 2 } = { 1 } $$

مقدار $$P(2)$$ نیز برابر با مساحت مثلثی با اضلاع $$2$$ و $$4$$ است. بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 2 } \right ) } = { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } = \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 2 } \cdot { 4 } = { 4 } $$

مساحت از $$0$$ تا $$3$$، از مساحت $$0$$ تا $$2$$ و $$2$$ تا $$3$$ (مثلثی با اضلاع قائم $$1$$ و $$4$$) تشکیل شده است:

$$ \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 3 } \right ) } ={ \int _ { { 0 } } ^ { { 3 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } + { \int _ { { 2 } } ^ { { 3 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { 4 } + \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 1 } \cdot { 4 } = { 6 } } } $$

به طریق مشابه، برای $$P(4)$$ داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 4 } \right ) } = { P } { \left ( { 3 } \right ) } + { \int _ { { 3 } } ^ { { 4 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } } } = { 6 } - \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 1 } \cdot { 4 } = { 4 } $$

و به همین ترتیب، $$P(5)$$، $$P(6)$$ و $$P(7)$$ برابرند با:

$$ \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 5 } \right ) } = { P } { \left ( { 4} \right ) } + { \int _ { { 4 } } ^ { { 5 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { 4 } - \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 1 } \cdot { 4 } = { 2 } } } $$

$$ \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 6 } \right ) } = { P } { \left ( { 5 } \right ) } + { \int _ { { 5 } } ^ { { 6 } } } { f { { \left ( { t } \right ) } } } { d } { t } = { 2 } + \frac { { 1 } } { { 2 } } \cdot { 1 } \cdot { 4 } = { 4 } } } $$

$$ \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { 7 } \right ) } = { P } { \left ( { 6 } \right ) } + { \int _ { { 6} } ^ { { 7 } } } { f { { \left ( { t } \right )} } } { d } { t } } } = { 4 } + { 1 } \cdot { 4 } = { 8 } $$

تصویر زیر، این مقادیر را به خوبی نشان می‌دهد.

نمودار $$P(x) $$ نیز در شکل زیر آورده شده است.

مثال ۲

اگر $$ \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _ { { 1 } } ^ { { x } } } { { t } } ^ { { 3 } } { d } { t } } } $$ باشد، فرمول $$P(x)$$ را به دست آورده و $$ P ^ \prime (x) $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از بخش دوم قضیه اساسی حسابان، داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = { \int _{ { 1 } } ^ { { x} } } { { t } } ^ { { 3 } } { d } {t } ={ \left ( \frac { { { t } } ^ {{ 4 } } } {{ 4 } } \right ) } { { \mid } _ { { 1 } } ^ { { x } } } = \frac { { { x } } ^ { { 4 } } } { { 4 } } - \frac { { 1 } } { { 4 } } } } $$

در نتیجه، حاصل $$ P^ \prime (x ) $$ برابر است با:

$$ \large \displaystyle { \large { {P} ^ \prime { \left ( { x } \right ) } = { \left ( \frac { { { x } } ^ { { 4 } } } { { 4 } } - \frac { { 1 } } { { 4 } } \right ) } ^ \prime = { { x } } ^ { { 3} } } } $$

همان‌طور که می‌بینیم، $$ P^ \prime (x) = f (x) $$ است که با توجه به بخش اول قضیه اساسی حسابان قابل انتظار بود.

مثال ۳

مشتق $$ \displaystyle { \large { { P } { \left ( { x } \right ) } = {\int _ { { 0 } } ^ { { x } } } \sqrt { { {{ t } } ^ { { 3 } } + { 1 } } } { d } { t } } } $$ را بیابید.

حل: با استفاده از بخش اول قضیه اساسی حسابان، داریم:

$$ \displaystyle{\large{{P{^ \prime } } { \left ( { x } \right ) } = \sqrt { { { { x } } ^ { { 3} } + { 1 } } } } } $$

مثال ۴

حاصل $$ \displaystyle { \large { \frac { {d } } {{ { d }{ x } }} { \int _ { { 2 } } ^ { { { { x } } ^ { { 3 } } } } } { \ln { { \left ( { {t } } ^ { { 2} } + { 1 } \right ) } } } { d } { t } }} $$ را محاسبه کنید.

حل:‌ در این مثال، تابع ترکیبی $$ P (x^3) $$ را داریم. برای مشتق آن، از قاعده زنجیره‌ای و قضیه اساسی حسابان استفاده می‌کنیم.

بنابراین، با در نظر گرفتن $$ \displaystyle { \large { { u } = { { x} } ^ { {3 } } } } $$ و در نتیجه  $$ \displaystyle { \large { \frac { { { d } { u } } } { { { d } { x } } } = { \left ( { { x } } ^ { { 3 } } \right ) } ^ \prime = { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } }} $$، داریم:

$$ \large \displaystyle \large { \frac { { d } } { { { d } { x } } } { \int _ { { 2 } } ^ { { { { x } } ^ { { 3 } } } } } { \ln { { \left ( { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } \right ) } } } { d } { t } = \frac { { d } } { { { d } { u } } } { \int _ { { 2 } } ^ { { u } } } { \ln { { \left ( { { t } } ^ { { 2 } } +{ 1 } \right ) } } } \cdot \frac { { { d } { u } } } { { { d } { x }}}} $$

$$ \large = \frac { { d } } { { { d } { u } } } { \int _ { { 2 } } ^ { { u } } } { \ln { { \left ( { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } \right ) } }} \cdot { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } \displaystyle { \large { = { \ln{ { \left ( { { u } } ^ { { 2 } } + { 1 } \right ) } } } \cdot { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } }}$$

$$ \large = { \ln { { \left ( { { \left ( { { x } } ^ { { 3 } } \right ) } } ^{ { 2 } } + { 1 } \right ) } } } \cdot { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } = { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } { \ln { { \left ( { { x } } ^ { { 6 } } + { 1 } \right ) } } } $$

مثال ۵

انتگرال $$ \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { 5 } } } {{ e } } ^ { { x } } { d } {x } } } $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از بخش دوم قضیه اساسی حسابان، حاصل انتگرال به صورت زیر است:

$$ \large \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { 5 } } } { { e } } ^ { { x } } { d } { x } = { { e } } ^ { { x } } { { \mid } _ { {0 } } ^ { { 5 } } } = { { e } } ^ { { 5 } } - { { e } } ^ { { 0 } } = { { e } } ^ { { 5 } } - { 1 } } } $$

مثال ۶

انتگرال $$ \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { \frac { \pi }{ { 2 } } } } } { \cos { { \left ( { x } \right ) } } } { d } { x } } } $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از بخش دوم قضیه اساسی حسابان، داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { \frac { \pi } { { 2 } } } } } { \cos { { \left ( { x } \right ) } } } { d } { x } = { \sin { { \left ( { x } \right )} } } { { \mid } _ { { 0 } } ^ { { \frac { \pi } { { 2 } } } } } = { \sin { { \left ( \frac { \pi } { { 2 } } \right ) } } } - { \sin { { \left ( { 0 } \right ) } } } = { 1 } } } $$

مثال ۷

انتگرال $$ \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { \left ( { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } - { 7 } \right ) } { d } { x } } } $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از بخش دوم قضیه اساسی حسابان، حاصل انتگرال برابر است با:

$$ \large \displaystyle { \large { { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { \left ( { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } - { 7 } \right ) } { d } { x } = { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } }} { 3 } { { x } } ^ { { 2 } } { d } { x } - { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { 7 } { d } { x } }} $$

$$ \large = { 3 } { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { { x } } ^ { { 2 } } { d } { x } - { 7 } { \int _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } { 7 } { d } { x } \displaystyle { \large { = { 3 } { \left ( \frac { { { x } } ^ { { 3 } } } { { 3 } } \right ) } { { \mid } _ { { 0 } } ^ { { 2 } } } - { 7 } \cdot { \left ( { 2 } - { 0 } \right ) }}} $$

$$ \large = { 3 } { \left ( \frac { { 8 } } { { 3 } } - \frac { { 0 } } { { 3 } } \right ) } - { 1 4 } = - { 6 } $$

مثال ۸

انتگرال $$ \displaystyle { \large { { \int _ { { 1 } } ^ { { 3 } } } { \left ( \frac { { { 2 } { { t }} ^{ { 5 }} - { 8 } \sqrt { { { t } } } } }{{ t } } + \frac { { 7 } } { { { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } } } \right ) } { d } { t } } } $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا انتگرال را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large \displaystyle { \large { { \int _ { { 1 } } ^ { { 3 } } } { \left ( \frac { { { 2 } { { t } } ^ { { 5 } } - { 8 } \sqrt { { { t } } } } } { { t } } + \frac { { 7 } } { { { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } } } \right ) } { d } { t } = { \int _ { { 1} } ^ { { 3 } } } { \left ( { 2 } { { t } } ^ { { 4 } } - { 8 } { { t } } ^ { { - \frac { { 1 } } { { 2 } } } } + \frac { { 7 } } { { { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } } } \right ) } { d } { t } } } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { \int _ { { 1 } } ^ { { 3 } } } { \left ( { 2 } { { t } } ^ { { 4 } } - { 8 } { { t } } ^ { { - \frac { { 1 } } { { 2 } } } } + \frac { { 7 } } { { { { t } } ^ { { 2 } } + { 1 } } } \right ) } { d } { t } = { \left ( \frac { { 2 } } { { 5 } } { { t } } ^ { { 5 } } - { 1 6 } \sqrt {{ { t } }} + { 7 } { { \tan } } ^ { { - { 1 } } } { \left ( { t } \right ) } \right ) } { { \mid } _ { { 1 } } ^ { { 3 } } } } } \\ \large
\displaystyle { \large { = { \left ( \frac { { 2 } } { { 5 } } { { \left ( { 3 } \right ) } } ^ { { 5 } } - { 1 6 } \sqrt { { { 3 } } } + { 7 } { { \tan } } ^ { { - { 1 } } } { \left ( { 3 } \right ) } \right ) } - { \left ( \frac { { 2 } } { { 5 } } { { \left ( { 1 } \right ) } } ^ { { 5 } } - { 1 6 } \sqrt { { { 1 } } } + { 7 } { { \tan } } ^ { { - { 1 } } } { \left ( { 1 } \right ) } \right ) } } } \\ \large
\displaystyle { \large { = \frac { { 5 6 4 } } { { 5 } } - {1 6 } \sqrt { { { 3 } } } - \frac { { { 7 } \pi } } { { 4 } } + { 7 } { { \tan } } ^ { { - { 1 } } } { \left ( { 3 } \right ) } \approx { 8 8. 3 3 2 7 } } } $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• انتگرال توابع مثلثاتی – از صفر تا صد
• انتگرال گیری به روش کسرهای جزئی – از صفر تا صد
• تقلب نامه (Cheat Sheet) مفاهیم و روابط انتگرال

^^