شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
تابع هارمونیک – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
۳۶۹۹ بازدید
آخرین بهروزرسانی: ۲۵ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳۸ دقیقه
دانلود PDF مقاله
تابع هارمونیک نوعی خاص از توابع چندمتغیره محسوب میشود که در آنالیز مختلط و مسائل مهندسی و فیزیک کاربرد بسیاری دارد. البته پیشنهاد میشود به منظور درک بهتر این مطلب، در ابتدا مطلب تابع مختلط را مطالعه فرمایید.
به عبارت فوق معادله لاپلاس گفته میشود. بنابراین زمانی تابع u هارمونیک است که معادله لاپلاس را ارضا کند. اوپراتور ∇2 تحت عنوان لاپلاسین شناخته شده و به ∇2u لاپلاسینِ u گفته میشود.
اوپراتور دِل (∇)
اوپراتور دل، برداری است که از یک تابع در جهات مختلف مشتقگیری میکند. با فرض F=(u,v) میتوان گزارههای زیر را در مورد این اوپراتور بیان کرد:
∇=(∂x∂,∂y∂)
∇u=(ux,uy)
curlF=∇×F=(vx−uy)k
divF=∇⋅F=ux+vy
divgradu=∇⋅∇u=∇2u=uxx+uyy
تابع تحلیلی
ارتباط کاملا واضح و روشنی میان تابع تحلیلی و تابع هارمونیک وجود دارد. در بسیاری از موارد میتوان این ارتباط را همچون ارتباط بین دو تابع ez و sin یا cos دانست. به منظور درک بهتر مقدار مختلط z و تابع f(z) را به صورت زیر در نظر بگیرید.
z=x+iy
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
قضیه: اگر تابع f(z)=u(x,y)+iv(x,y) روی ناحیه A تحلیلی باشد، در این صورت هر دو تابع u,v روی این ناحیه، تابع هارمونیک محسوب میشوند.
اثبات: با توجه به معادله کوشی ریمان (با توجه به فرض تحلیلی بودن تابع f)، برای یک تابع تحلیلی رابطه بین بخشهای حقیقی و موهومی آن به صورت زیر است.
ux=vy
با مشتقگیری دوباره نسبت به x داریم:
uxx=vyx
به طور مشابه با مشتقگیری از uy=−vx نسبت به y، عبارتِ uyy=−vxy بدست میآید. حال با توجه به uxx=vyx میتوان عبارت زیر را بیان کرد:
uxx+uyy=vyx−vxy=0
بنابراین همانطور که اثبات شد تابع تحلیلی u در معادله لاپلاس صدق میکند (به طور مشابه همین کار را میتوان برای v نیز انجام داد). در نتیجه u یک تابع هارمونیک محسوب میشود. البته قضیه فوق را میتوان به صورتی عکس نیز بیان کرد.
قضیه: اگر u(x,y) روی ناحیهای همچون A هارمونیک باشد، در این صورت u را میتوان بخش حقیقی تابع f(z)=u(x,y)+iv(x,y) در نظر گرفت.
در بیانی دیگر معمولا بخشهای u,v تابعی تحلیلی همچون f(z)=u+iv را هارمونیک مزدوج نیز مینامند.
اصل ماکزیمم و مقدار میانگین
اگر u تابعی هارمونیک باشد، در این صورت تابع u ویژگی مقدار میانگین را دارد. برای توضیح ویژگی مقدار میانگین، فرض کنید u تابعی هارمونیک در دایرهای به شعاع r و به مرکز z0=x0+iy0 باشد. در این صورت مقدار u(x0,y0) را میتوان با استفاده از انتگرال زیر بدست آورد.
u(x0,y0)=2π1∫02πu(z0+reiθ)dθ
تعامد
یکی از مهمترین ویژگیهای u,v در یک تابع تحلیلی، متعامد بودن آنها است. به طور دقیقتر میتوان گفت اگر z=x+iy و f(z)=u(x,y)+iv(x,y) باشد، در این صورت حاصل ضرب داخلی زیر را میتوان نوشت.
∇u⋅∇v=0
اثبات ضرب فوق را میتوان به راحتی و با استفاده از معادله کوشی-ریمان انجام داد. به منظور اثبات میتوان گفت:
توجه داشته باشید که در قدم آخر، به جای vy از ux و به جای −vx از uy استفاده شده است.
مثال ۱
در شکل زیر خطوط u,v مربوط به سه تابع مختلف نشان داده شدهاند. همانطور که مشاهده میکنید خطوط بخشهای حقیقی (u) و موهومی (v) به هم عمود هستند. خطوط زرد رنگ نشاندهنده بخش حقیقی و خطوط آبی نشاندهنده بخش موهومی هستند. شکل سمت راست نیز هر دوی این خطوط را با هم نشان میدهد.
در شکل زیر نیز بخشهای حقیقی و موهومی تابع زیر ترسیم شدهاند.
گرادیان بخشهای حقیقی و موهومی این تابع برابرند با:
∇u=(2x,−2y) , ∇v=(2y,2x)
حال با محاسبه ضرب داخلی دو گرادیان فوق، مقدار صفر بدست میآید. بنابراین همانطور که مشاهده خطوط این دو تابع هارمونیک به یکدیگر عمود هستند. در نتیجه برای این تابع میتوان گفت:
∇u⋅∇v=0
روند فوق را میتوان برای تابع f(z)=z1=r2x−ir2y نیز انجام داد.
∇u=(r4y2−x2,r4−2xy) and ∇v=(r42xy,r4y2−x2)
⇒∇u⋅∇v=0
در صورتی که مطلب فوق برای شما مفید بوده است، آموزشهای زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
بسیار عالی ممنون از مجموعه خوبتون
یک سوال دارم
برای یک سیستم دوجزیی که غلظت آن ثابت است،ثابت کنید که:
Dab=Dba