معادله لاپلاس در ریاضیات، به معادله دیفرانسیلی مرتبه دوم اطلاق می‌شود که شکل آن به‌صورت زیر باشد.

Laplace-equation

البته توجه داشته باشید که رابطه بالا در حالت دوبعدی نوشته شده است. نمونه‌ای از کاربرد فیزیکی معادله لاپلاس در انتقال حرارت است. در حقیقت رابطه انتقال حرارت در حالت دوبعدی به‌صورت زیر است.

Laplace-equation

در رابطه فوق u همان دما است. اگر منبع حرارتی (Q=0) و تغییرات زمانی دما برابر با صفر باشد ($${\partial u \over {\partial t}}=0$$)، رابطه بالا به شکل معادله لاپلاس در خواهد آمد. قبل از مطالعه ادامه مطلب پیشنهاد می‌کنیم حتما مطلب روش جداسازی متغیر‌ها در حل معادلات با مشتقات جزئی مطالعه شود.

پاسخ‌های معادله لاپلاس

با توجه به درجه دو بودن و دو متغیره بودن معادله لاپلاس، نیاز به 4 شرط مرزی داریم (البته توجه داشته باشید که در حالت سه‌بعدی به ۶ شرط مرزی نیاز داریم). فرض کنید می‌خواهیم معادله انتقال حرارت را روی صفحه‌ای مستطیلی مطابق با شکل زیر، با 4 شرط مرزی حل کنیم. بنابراین هدف ما پیدا کردن تابع دمای (u(x,y بر حسب متغیر‌های x و y است.

Laplace-general

دمای سمت راست و چپ صفحه را برابر با توابع g و دمای بالا و پایین را برابر با توابع f در نظر بگیرید. در نتیجه معادله لاپلاس مربوط به صفحه فوق و شرایط مرزی آن برابرند با:

Laplace-equation

توجه داشته باشید که معادله، خطی و همگن اما شرایط مرزی، خطی و غیرهمگن است. غیر همگن بودن شرایط مرزی، حل مسئله را اندکی با مشکل مواجه می‌کند چرا که دیگر نمی‌توان از روش جداسازی متغیر‌ها استفاده کرد. جهت حل مسئله بالا با استفاده از جداسازی متغیر‌ها، می‌توان در 4 حالت جداگانه مسئله را حل کرد و نهایتا پاسخ‌های مرتبط با هرکدام از آن‌ها را با یکدیگر جمع کرد. این 4 حالت در اشکال زیر نشان داده شده‌اند.

Laplace-equation

اگر پاسخ هرکدام از حالات بالا، به‌صورت جداگانه برابر با ui باشد (u,u,u,u4)، پاسخ نهایی مسئله برابر است با:

Laplace-equation

هرکدام از u‌ها را می‌توان با روش ارائه شده در مثال زیر حل کرد. در مثال‌ ارائه شده، از روش‌ جداسازی متغیر‌ها جهت حل معادله لاپلاس استفاده شده است.

مثال

پاسخ معادله لاپلاس زیر را با توجه به شرایط مرزی ارائه شده، بیابید. این معادله توزیع دما در یک صفحه مستطیلی را نشان می‌دهد.

رابطه 1

در ابتدا با استفاده از روش جداسازی متغیر‌ها، پاسخ معادله فوق را به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم.

Laplace-equation

با جایگذاری پاسخ بالا در رابطه 1 داریم:

Laplace-equation

توجه داشته باشید که سمت چپ رابطه بالا از جنس x و سمت راست از جنس y است؛ بنابراین سمت چپ و راست رابطه فوق تنها زمانی با هم برابر هستند که هر دو برابر با عدد ثابت λ باشند؛ از این رو رابطه بالا را برابر با λ قرار داده و به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم.

Laplace-equation

عبارت بالا را می‌توان در قالب دو معادله دیفرانسیل ساده و به شکل زیر بازنویسی کرد:

Laplace-equation

هم‌چنین با جایگذاری توابع $$\varphi$$ و h در شرایط مرزی، داریم:

Laplace-equation

در مطلب جداسازی متغیر‌ها، نحوه بدست آوردن λn و توابع (φn(y را بیان کردیم. این مقادیر برابر بودند با:

Trigonometry

توجه داشته باشید که در مثالِ مطلبِ جداسازی متغیر‌ها، مشتق زمانی از مرتبه اول و مشتق مکانی از مرتبه دوم بود؛ این در حالی است که در معادله لاپلاس، مشتقات نسبت به تمامی متغیر‌ها از مرتبه دوم هستند. با جایگذای مقدار $$\sqrt{\lambda}$$ در رابطه مربوط به h، داریم:

Laplace-equation

با توجه به مثبت بودن ریشه معادله مشخصه مربوط به h ($$r=\pm(n \pi /H)$$) تابع h برابر است با:

Laplace-equation

رابطه بالا شرط h(L)=0 را ارضا نمی‌کند؛ جهت حل این مشکل، ضرایب ثابتِ c را می‌توان به نحوی در نظر گرفت که پاسخ به‌شکل زیر باشد.

Laplace-equation

با اعمال شرط مرزی h(L)=0، مقدار c1 برابر با صفر بدست می‌آید. در نتیجه پاسخ h برابر است با:

معادله لاپلاس

با بدست آمدن توابع (φ(y و (h(x، تابع u برابر خواهد بود با:

رابطه 2

جهت بدست آوردن ضرایب ثابت، همانند روش جداسازی متغیر‌ها، می‌توان از سری فوریه استفاده کرد. در حقیقت با اعمال شرایط مرزی در x=0، داریم:

رابطه 3

در حقیقت در این مسئله ضریب ثابت برابر با کلِ تابعِ زیر است:

Laplace-equation

با توجه به رابطه 3 و استفاده از مفاهیم سری فوریه، تابع بالا برابر است با:

رابطه 4

با بدست آمدن ضرایب Bn، مسئله حل شده. در حقیقت باجایگذاری Bn در رابطه 2، (u(x,y برابر با تابع زیر بدست می‌آید. بنابراین نهایتا تابع (u(x,y برابر است با:

Laplace-equation

Bn نیز همان رابطه 4 است. توجه داشته باشید که معادله لاپلاس را می‌توان در دیگر دستگاه‌های مختصات نیز بیان کرد. برای نمونه این معادله در دستگاه مختصات استوانه‌ای به‌صورت زیر است.

Laplace-equation

بدیهی است که رابطه بالا نسبت به معادله‌ی دستگاه مختصات کارتزینی پیچیده‌تر است. در مطلبی جداگانه به حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در دستگاه استوانه‌ای خواهیم پرداخت.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی مهندسی و معادلات دیفرانسیل، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *