انتگرال مکرر — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم پایه‌ای انتگرال، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را نیز توضیح دادیم. انتگرال‌های دوگانه و سه‌گانه نوعی انتگرال مکرر محسوب می‌شوند. در این مطلب مفهوم انتگرال مکرر را با جزئیاتی بیشتر توضیح خواهیم داد.

انتگرال مکرر

انتگرال مکرر، به عبارتی گفته می‌شود که در آن از یک تابع چند‌متغیره به صورت پی‌در‌پی انتگرال گرفته شده است. بنابراین انتگرال دوگانه یا سه‌گانه به نحوی انتگرال مکرر محسوب می‌شوند.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

قوی‌ترین ابزار به منظور محاسبه انتگرال دوگانه، «قضیه فوبینی» (Fubini’s theorem) است. این ابزار تنها برای ناحیه‌هایی که اصطلاحا آن‌ها را نوع اول و نوع دوم می‌نامند، کاربرد دارد.

ناحیه نوع اول

ناحیه‌ای تحت عنوان $$ R $$ را در صورتی ناحیه نوع اول می‌نامند که همانند شکل زیر بین دو تابع پیوسته‌ی وابسته به $$ x $$ قرار دارد. شکل ریاضیاتی این ناحیه را می‌توان به صورت زیر نیز بیان کرد:

$$ \large { R } = { \left\{ {\left( { x , y } \right)| \;a \le x \le b,\;\;}\right.} \kern0pt {\left.{ p \left ( x \right ) \le y \le q\left( x \right)} \right\} \;\;} $$

ناحیه نوع دوم

ناحیه $$ R $$ در صورتی نوع دوم نامیده می‌شود که بین دو تابع وابسته به $$ y $$ قرار گرفته باشد.

قضیه فوبینی

فرض کنید $$ f ( x , y )$$ تابعی دو متغیره باشد. هم‌چنین ناحیه‌‌ای به اسم $$ R $$ را در نظر بگیرید که مطابق با رابطه زیر قابل توصیف باشد.

$$ \large {R } = { \left \{ {\left ( { x , y } \right)|\;a \le x \le b,\;\;}\right.}\kern0pt { \left.{p\left ( x \right ) \le y \le q\left( x \right)} \right \} } $$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

در این صورت انتگرال دوگانه تابع $$f(x,y)$$ در این ناحیه، به صورت انتگرال مکرر و مطابق با رابطه زیر قابل بیان خواهد بود.

$$ \large { \iint \limits _ R { f \left ( { x , y } \right ) d A} } = { \int \limits _ a ^ b { \int \limits _ { p \left ( x \right ) } ^ { q \left( x \right ) } { f \left( { x , y } \right ) d y d x } } } $$

دقیقا برای ناحیه‌ای از نوع دوم نیز می‌توان گزاره‌ای مشابه را بیان کرد. در این حالت نیز $$ f \left ( { x , y } \right) $$ تابعی دومتغیره بوده و $$R$$ ناحیه‌ای از نوع دوم به صورت زیر است.

$$ \large { R } = { \left\{ {\left ( { x , y } \right ) |\;u \left ( y \right) \le x \le v\left( y \right ),\;\;}\right.} \kern0pt {\left.{c \le y \le d} \right\} } $$

در این صورت انتگرال مکرر به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$ \large {\iint \limits_R {f\left( { x , y } \right)dA} } = { \int \limits _ c ^ d {\int \limits _ { u \left ( y \right ) } ^ { v \left ( y \right ) } { f \left ( { x , y } \right) d xd y }}} $$

سخن را کوتاه کرده و به ذکر مثال‌هایی می‌پردازیم.

مثال ۱

حاصل انتگرال مکرر زیر را بدست آورید.

$$ \large \begin {align*} \int \limits _ 0 ^ 1 { \int \limits _ 1 ^ 2 { x y d yd x } } \end {align*} $$

همان‌طور که بیان شد باید در ابتدا انتگرال داخلی محاسبه شده، سپس انتگرال بیرونی را بدست می‌آوریم.

$$ \large \begin {align*} { \int \limits _ 0 ^ 1 { \int \limits _ 1 ^ 2 { x y d y d x } } } & = { \int \limits_0^1 {\left[ {\int\limits_1^2 { x y d y } } \right] d x } } \\ & = {\int\limits_0^1 {\left[ {x\left. {\left( {\frac { { {y ^ 2 } }} { 2 } } \right ) } \right|_1^2} \right] d x } } \\ & = {\int\limits_0^1 {\frac{3}{2}dx} } = {\frac{3}{2}\left. {\left ( { \frac { { {x ^ 2 } }} { 2 } } \right)} \right|_0^1 } \\ & = { \frac { 3} { 4 } } \end {align*} $$

مثال ۲

حاصل انتگرال مکرر زیر را بیابید.

$$ \large \begin {align*} \int \limits _ 0 ^ 1 { \int \limits _ y ^ { { y^ 2 } } { \left ( { x + 2 y } \right ) d x d y } } \end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینید بازه‌های انتگرال بر حسب $$y$$ بیان شده، لذا با استفاده از قضیه فوبینی حاصل انتگرال برابر می‌شود با:

$$ \large \begin {align*} { \int \limits _ 0 ^ 1 { \int \limits _ y ^ { { y ^ 2 } } { \left ( { x + 2 y } \right ) d x d y } } } & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \left [ { \int \limits _ y ^ { {y ^ 2 } } {\left( { x + 2 y } \right) d x } } \right] d y } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 {\left[ {\left. {\left( {\frac { { { x ^ 2 } } } {2} + 2 y x } \right ) } \right|_ y ^ { { y ^2 } } } \right] d y } } \\ & = {\int \limits _ 0 ^ 1 {\left[ {\left( {\frac { { { y ^ 4} } }{ 2} + 2 { y ^ 3 } } \right ) } \right.} - { \left.{ \left ( {\frac { {{ y ^ 2 } }} { 2 } + 2 { y ^2 } } \right ) } \right] d y } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \left[ {\frac{ { { y ^ 4} } } { 2} + 2 { y ^ 3} – \frac { { 5{ y ^ 2 }} }{ 2 }} \right] d y } } \\ & = {\left. {\left[ {\frac { { { y ^ 5 } } } {{ 1 0 }} + \frac { { {y ^ 4 } } } {2} – \frac { { 5 {y ^ 3} }} {6}} \right]} \right|_0^1 } = {\frac { 1} { { 10 } } + \frac { 1}{ 2 } – \frac { 5 } { 6 } } \\ & ={ – \frac { 7 } { { 30 } }} \end {align*} $$

مثال ۳

حاصل انتگرال مکرر زیر را بیابید.

$$ \large \int \limits _ 1 ^ 2 { \int \limits _ 0 ^ y { x \sqrt { \left( {{y ^ 2 } + { x ^ 2 } } \right) } d x d y }} $$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

مشابه با مثال ۲ در این حالت نیز از قضیه فوبینی به صورت زیر استفاده می‌کنیم.

$$ \large \int \limits _ 1 ^ 2 { \int \limits _ 0 ^ y { x \sqrt { { y ^ 2 } + { x ^ 2 } } d x d y } }$$

این مسئله از این جهت متفاوت است که حاصل انتگرال درونی را باید با استفاده از تغییر متغیر زیر بدست آورد.

$$ \large {z = { y ^ 2 } + { x ^ 2 } \;\;} \Rightarrow { d z = 2 x d x \;\;}\Rightarrow { x d x = \frac { { d z } } { 2 } } $$

بدیهی است که بازه‌ها نیز باید در متغیر جدید بیان شوند. زمانی که $$ x = 0 $$ باشد، $$ z = y ^ 2 $$ بوده و زمانی که $$ x = y $$ باشد، $$z =2y^2 $$ بدست خواهد آمد. نهایتا حاصل انتگرال را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

$$ \large \begin{align*} {I } & = { \int \limits _ 1 ^ 2 { \left[ { \int \limits _ 0 ^ y { x \sqrt { { y ^ 2 } + { x ^ 2 } } d x } } \right] d y } } \\ & = {\int\limits_1^2 {\left[ {\int\limits_ { {y ^ 2 } } ^ { 2 { y ^ 2 } } { \sqrt z \frac { { d z } } { 2}} } \right]dy} } \\ & = {\int\limits_1^2 {\left[ {\left. { \left ( { \frac { { { z ^ { \frac { 3 } {2 } }} } }{3}} \right)} \right|_{ { y ^ 2 }} ^ {2 { y ^ 2 } } } \right] d y } } \\ & = {\frac { 1 } {3 }\int\limits_1^2 {\left[ { { {\left( {2{y^2}} \right)}^{\frac { 3 } { 2} } } – {{\left( {{y^2}} \right)} ^ { \frac { 3 } { 2} } } } \right] d y } } \\ & = { \frac { 1 } {3 } \int \limits_1^2 {\left[ {2\sqrt 2 { y ^ 3 } – { y ^ 3 } } \right]dy} } \\ & = {\frac { { 2 \sqrt 2 – 1} } { 3 } \int\limits_1^2 { { y ^ 3} d y } } = {\frac{{2\sqrt 2 – 1} } { { 1 2 } } \left. {\left ( { { y ^ 4 } } \right)} \right|_1^2 } \\ & = {\frac{{5\left( {2\sqrt 2 – 1} \right ) } }{4} } \end{align*} $$

مثال ۴

حاصل انتگرال تکراری $$\int \limits _ 0 ^ 1 { \int \limits _ 0 ^ y { \ln \left ( { { y ^ 2 } + 1 } \right ) d x d y } } $$ را بیابید.

در ابتدا باید حاصل انتگرال داخلی به صورت زیر محاسبه شود.

$$\large \begin {align*} { I } & ={ \int \limits_0^1 {\int\limits _ 0 ^ y { \ln \left ( { { y ^ 2 } + 1} \right ) d x d y } } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \left [ { \int \limits _ 0 ^ y {\ln \left( {{y^2} + 1} \right ) d x } } \right] d y } } \\ & = {\int\limits_0^1 {\left[ {\ln \left( {{y^2} + 1} \right)\left. x \right| _ 0 ^ y } \right] d y } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \ln \left ( { { y ^ 2 } + 1} \right) y d y } } \end {align*} $$

به منظور محاسبه انتگرال لگاریتمی فوق، می‌توان از روش جزء به جزء استفاده کرد. بدین منظور توابع $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

$$ \large u = \ln \left ( { { y ^ 2 } + 1 } \right ) \ \ , \ \ d v = y d y $$

بنابراین دیفرانسیلِ $$ d u $$ و $$ v $$ برابرند با:

$$ \large { d u = \frac { d } { { d y } } \ln \left ( { { y ^ 2 } + 1 } \right ) } = { \frac { { 2 y d y } } { { { y ^ 2 } + 1 } } \;\; ,\;\;}\kern-0.3pt {v = \int { y d y } = \frac { { { y ^ 2 } } }{ 2 } } $$

لذا حاصل انتگرال به صورت زیر ساده‌تر خواهد شد.

$$ \large \begin {align*} I & = \int \limits _ 0 ^ 1 { \ln \left ( { { y ^ 2 } + 1 } \right ) y d y } \\ & = { \left. {\left[ {\frac { { { y ^ 2 } } } { 2 } \ln \left( { { y ^ 2 } + 1} \right)} \right]} \right|_0^1 }-{ \int \limits_0^1 {\frac{{{ y ^ 2 } } } { 2 } \frac { { 2 y d y } } { { { y ^2 } + 1 } } } } \\ & = {\left. {\left[ {\frac { {{ y ^ 2 } } } { 2 }\ln \left( { { y ^ 2 } + 1 } \right)} \right]} \right|_0^1 }-{ \int\limits_0^1 {\frac { { { y ^3 } d y } } { { { y ^ 2 } + 1 } } } } \\ & = { \frac { { \ln 2 } } {2} }-{ \int\limits_0^1 {\frac { { { y ^ 3 }d y } } { { {y ^ 2 } + 1} } }} \end {align*} $$

نهایتا حاصل انتگرال بیرونی نیز برابر است با:

$$ \large \begin {align*} \int \limits _ 0 ^ 1 { \frac { { {y ^ 3 }d y } } { { { y ^ 2} + 1}}} & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \frac { {{ y ^ 3 } + y – y } } { { { y ^2 } + 1 } }d y } } \\ & = {\int\limits_0^1 {\left[ {y – \frac { y} { { { y ^2} + 1} } } \right] d y } } \\ & = {\int\limits_0^1 { y d y } }-{ \frac { 1 } { 2 } \int\limits_0^1 {\frac { { d \left( {{y^2} + 1} \right ) } } { { { y ^ 2} + 1} } } } \\ & = {\left. {\left[ {\frac { { { y ^ 2 } } } { 2 } – \frac { 1} { 2 }\ln \left( {{y^2} + 1} \right)} \right]} \right|_0^1 } \\ & = { \frac { 1 } {2 } – \frac { { \ln 2 } } {2 } } \end {align*} $$

نهایتا با استفاده از مفهوم انتگرال مکرر حاصل انتگرال دوگانه در این مسئله برابر می‌شود با:

$$ \large \require{cancel} {I = { \frac { { \ln 2 } } { 2} } - ( \frac { 1 }{ 2 } } - { {\frac { { \ln 2 } }{ 2 } } })= \ln 2 - \frac { 1 } { 2 } $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• معادلات دیفرانسیل کامل — به زبان ساده
• حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از روش‌ سری توانی — همراه با مثال‌های کاربردی
• معادلات دیفرانسیل — به زبان ساده

^^