معادلات دیفرانسیل کامل — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

۱۳۰۰۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۵ بهمن ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲۳ دقیقه
معادلات دیفرانسیل کامل — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. در این آموزش‌ها، روش‌های حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات مرتبه بالاتر را معرفی کردیم. همچنین به روش حل معادلات خاص، مانند معادله دیفرانسیل چبیشف پرداختیم. در این آموزش، دسته دیگری از معادلات دیفرانسیل را به‌نام «معادلات دیفرانسیل کامل» (Exact Differential Equations) معرفی، و روش حل آن‌ها را بیان خواهیم کرد.

فیلم آموزشی معادلات دیفرانسیل کامل

دانلود ویدیو

تعریف

معادله دیفرانسل به‌فرمِ

$${P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy }={ 0}$$

را یک معادله دیفرانسیل کامل می‌نامیم، اگر تابع دومتغیره $$u\left( {x,y} \right)$$ با مشتقات جزئی پیوسته وجود داشته باشد، به‌طوری که:

$${du\left( {x,y} \right) \text{ = }}\kern0pt{ P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy.}$$

جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل کامل، به‌صورت زیر است:

$$u\left( {x,y} \right) = C$$

که در آن، $$C$$ یک ثابت دلخواه است.

نصویر تزئینی مطلب معادلات دیفرانسیل کامل

آزمون کامل بودن

فرض کنید توابع $$P\left( {x,y} \right)$$ و $$Q\left( {x,y} \right)$$ در دامنه مشخص $$D$$، مشتقات جزئی پیوسته داشته باشند. معادله دیفرانسیل $$P\left( {x,y} \right)dx +Q\left( {x,y} \right)dy= 0$$، یک معادله کامل است اگر و تنها اگر تساوی زیر برقرار باشد:

$$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{{\partial P}}{{\partial y}}.$$

الگوریتم حل معادلات دیفرانسیل کامل

۱. ابتدا باید با استفاده از آزمون، از کامل بودن معادله دیفرانسیل مطمئن شویم:

 $$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{{\partial P}}{{\partial y}}.$$

2. دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر را تشکیل می‌دهیم که تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ را تعریف می‌کند:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = P\left( {x,y} \right)\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = Q\left( {x,y} \right)
\end{array} \right..$$

۳. از معادله اول نسبت به $$x$$ انتگرال گرفته و به‌جای ثابت $$C$$ انتگرال، یک تابع مجهول از $$y$$ قرار می‌دهیم:

$${u\left( {x,y} \right) \text{ = }}\kern0pt{ \int {P\left( {x,y} \right)dx} + \varphi \left( y \right).}$$

۴. از رابطه اخیر، نسبت به $$y$$ مشتق می‌گیریم و تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ را در معادله دوم جایگذاری می‌کنیم:

$${\frac{{\partial u}}{{\partial y}} \text{ = }}\kern0pt
{\frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\int {P\left( {x,y} \right)dx} + \varphi \left( y \right)} \right] }
= {Q\left( {x,y} \right).}$$

با کمی عملیات جبری روی معادله اخیر، می‌توان توصیف تابع مجهول $${\varphi \left( y \right)}$$ را نوشت:

$${\varphi’\left( y \right) }
= {Q\left( {x,y} \right) }-{ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\int {P\left( {x,y} \right)dx} } \right).}$$

۵. با انتگرال‌گیری از تساوی اخیر، تابع $${\varphi \left( y \right)}$$، و در نتیجه تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ به‌دست می‌آید:

$${u\left( {x,y} \right) \text{ = }}\kern0pt{ \int {P\left( {x,y} \right)dx} + \varphi \left( y \right).}$$

6. در نهایت، جواب عمومی معادله دیفرانسیل کامل به‌صورت زیر خواهد بود:

$$u\left( {x,y} \right) = C.$$

نکته: در گام ۳، می‌توان به‌جای انتگرال گرفتن معادله اول نسبت به $$x$$، از معادله دوم نسبت به $$y$$ انتگرال گرفت. بنابراین، بعد از انتگرال‌گیری باید تابع مجهول $${\psi \left( x \right)}$$ را پیدا کنیم.

معلم ریاضی در حال تدریس ریاضی در کلاس

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال حل‌شده را برای درک بهتر حل معادلات دیفرانسیل کامل بیان می‌کنیم.

مثال ۱

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$2xydx +\left( {{x^2} + 3{y^2}} \right)dy= 0$$

حل: معادله بالا، یک معادله کامل است، زیرا مشتقات جزئی آن یکسان هستند:

$${{\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{x^2} + 3{y^2}} \right) }={ 2x,\;\;}}\kern-0.3pt
{{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {2xy} \right) }={ 2x.}}$$

دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر را برای یافتن $$u\left( {x,y} \right)$$ تشکیل می‌دهیم:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2xy\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {x^2} + 3{y^2}
\end{array} \right..$$

با انتگرال‌گیری از معادله اول نسبت به $$x$$، داریم:

$${u\left( {x,y} \right) = \int {2xydx} }={ {x^2}y + \varphi \left( y \right).}$$

جایگذاری عبارت $$u\left( {x,y} \right)$$ در معادله دوم دستگاه، به عبارت زیر منجر خوهد شد:

$${{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {{x^2}y + \varphi \left( y \right)} \right] }={ {x^2} + 3{y^2},\;\;}}\\
\Rightarrow
{{{x^2} + \varphi’\left( y \right) }={ {x^2} + 3{y^2},\;\;}}\Rightarrow
{\varphi’\left( y \right) = 3{y^2}.}$$

اگر از معادله اخیر انتگرال بگیریم، تابع مجهول $${\varphi \left( y \right)}$$ به‌دست می‌آید:

$$\varphi \left( y \right) = \int {3{y^2}dy} = {y^3}$$

بنابراین، جواب عمومی معادله دیفرانسسل کامل، به‌صورت زیر خواهد بود:

$${x^2}y + {y^3} = C$$

که در آن، $$C$$ یک ثابت اختیاری است.

مثال ۲

جواب معادله دیفرانسیل زیر را به‌دست آورید:

$$\left( {6{x^2} – y + 3} \right)dx +\left( {3{y^2} – x – 2} \right)dy=0$$

حل: ابتدا کامل بودن معادله را بررسی می‌کنیم:

$${{\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {3{y^2} – x – 2} \right) }={ – 1,\;\;}}\kern-0.3pt
{{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {6{x^2} – y + 3} \right) }={ – 1.}}$$

بنابراین، معادله دیفرانسیل، کامل است. در ادامه، دستگاه معادلات را برای تعیین تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ تشکیل می‌دهیم:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = P\left( {x,y} \right) = 6{x^2} – y + 3\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = Q\left( {x,y} \right) = 3{y^2} – x – 2
\end{array} \right.$$

در ادامه، با فرض ثابت بودن $$y$$، از معادله اول نسبت به متغیر $$x$$ انتگرال می‌گیریم. در نتیجه، داریم:

$${u\left( {x,y} \right) }={ \int {\left( {6{x^2} – y + 3} \right)dx} } \\
= {\frac{{6{x^3}}}{3} – xy + 3x + \varphi \left( y \right) }
= {2{x^3} – xy + 3x + \varphi \left( y \right).}$$

در رابطه بالا، تابع مشتق‌پذیر پیوسته $$\varphi \left( y \right)$$ را به‌جای ثابت $$C$$ در نظر گرفته‌ایم.

با قرار دادن $$u\left( {x,y} \right)$$ در معادله دوم دستگاه، داریم:

$$\require{cancel}
{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} \text{ = }}\kern0pt
{\frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {2{x^3} – xy + 3x + \varphi \left( y \right)} \right] }
= { – \cancel{x} + \varphi’\left( y \right) }
= {3{y^2} – \cancel{x} – 2.}$$

در نتیجه، معادله مشتق $$\varphi’\left( y \right)$$‌ به‌صورت زیر است:

$$\varphi’\left( y \right) = 3{y^2} – 2.$$

با انتگرال‌گیری از معادله بالا، تابع $$\varphi \left( y \right)$$ به‌دست می‌آید:

$${\varphi \left( y \right) }={ \int {\left( {3{y^2} – 2} \right)dy} }={ {y^3} – 2y.}$$

بنابراین، تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ برابر است با:

$${u\left( {x,y} \right) }={ 2{x^3} – xy + 3x }+{ {y^3} }-{ 2y.}$$

در نهایت، جواب عمومی معادله با عبارت ضمنی زیر توصیف می‌شود:

$${2{x^3} – xy + 3x + {y^3} }-{ 2y }={ C}$$

که در آن، $$C$$ یک عدد حقیقی اختیاری است.

معلم ریاضی در حال تدریس ریاضی در کلاس

مثال ۳

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید:

$${e^y}dx +\left( {2y + x{e^y}} \right)dy=0$$

حل: ابتدا کامل بودن معادله را بررسی می‌کنیم:

$${{\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {2y + x{e^y}} \right) }={ {e^y},\;\;}}\kern-0.3pt
{{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{e^y}} \right) }={ {e^y}.}}$$

می‌بینیم که تساوی $${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\normalsize} = {\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\normalsize}$$ برقرار است، بنابراین، معادله کامل است. اکنون تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ را از دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر پیدا می‌کنیم:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = {e^y}\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 2y + x{e^y}
\end{array} \right..$$

در نتیجه، داریم:

$${u\left( {x,y} \right) = \int {P\left( {x,y} \right)dx} }
= {\int {{e^y}dx} }={ x{e^y} + \varphi \left( y \right).}$$

اکنون، با مشتق‌گیری از $$u$$ نسبت به $$y$$ می‌توانیم مشتق $$\varphi’\left( y \right)$$ را حساب کنیم:

$${{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {x{e^y} + \varphi \left( y \right)} \right] }={ 2y + x{e^y},\;\;}}\\
\Rightarrow
{{\cancel{x{e^y}} + \varphi’\left( y \right) }={ 2y + \cancel{x{e^y}},\;\;}}\\ \Rightarrow
{\varphi’\left( y \right) = 2y.}$$

در نتیجه، تابع $${\varphi \left( y \right)}$$‌ به‌دست می‌آید:

$${\varphi \left( y \right) = \int {2ydy} = {y^2},\;\;}\Rightarrow
{u\left( {x,y} \right) = x{e^y} + \varphi \left( y \right) }
= {x{e^y} + {y^2}.}$$

در نهایت، پاسخ معادله دیفرانسیل به‌صورت زیر است:

$$x{e^y} + {y^2} = C.$$

مثال ۴

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید:

$$\left( {2xy – \sin x} \right)dx +\left( {{x^2} – \cos y} \right)dy=0$$

حل: معادله فوق کامل است، زیرا:

$${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{x^2} – \cos y} \right) }={ 2x }
= {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {2xy – \sin x} \right) }={ 2x.}$$

تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ را از دستگاه معادلات زیر پیدا می‌کنیم:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2xy – \sin x\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {x^2} – \cos y
\end{array} \right..$$

با انتگرال‌گیری از معادله اول دستگاه فوق نسبت به متغیر $$x$$، داریم:

$${u\left( {x,y} \right) }={ \int {\left( {2xy – \sin x} \right)dx} }
= {{x^2}y + \cos x + \varphi \left( y \right).}$$

اگر عبارت اخیر را در معادله دوم دستگاه قرار دهیم، به معادله زیر خواهیم رسید:

$${{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {{x^2}y + \cos x + \varphi \left( y \right)} \right] }={ {x^2} – \cos y,\;\;}}\\\Rightarrow
{{\cancel{x^2} + \varphi’\left( y \right) }={ \cancel{x^2} – \cos y,\;\;}}\\ \Rightarrow
{\varphi’\left( y \right) = – \cos y.}$$

بنابراین:

$${\varphi \left( y \right) = \int {\left( { – \cos y} \right)dy} }={ – \sin y.}$$

در نتیجه، تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$${{x^2}y + \cos x – \sin y }={ C.}$$

در نهایت، جواب عمومی معادله دیفرانسیل، با فرمول ضمنی زیر بیان می‌شود:

$${{x^2}y + \cos x – \sin y }={ C.}$$

مطالعه در کلاس

مثال ۵

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید:

$$\left( {1 + 2x\sqrt {{x^2} – {y^2}} } \right)dx -2y\sqrt {{x^2} – {y^2}} dy=0$$

حل: ابتدا باید کامل بودن معادله را بررسی کنیم:

$${\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { – 2y\sqrt {{x^2} – {y^2}} } \right) }
= { – 2y \cdot \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} – {y^2}} }} }
= { – \frac{{2xy}}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }},}\\
{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {1 + 2x\sqrt {{x^2} – {y^2}} } \right) }
= {2x \cdot \frac{{\left( { – 2y} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} – {y^2}} }} }
= { – \frac{{2xy}}{{\sqrt {{x^2} – {y^2}} }}.}$$

همان‌گونه که می‌بینیم، تساوی $${\large\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\normalsize} = {\large\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\normalsize}$$ برقرار و معادله کامل است.

در ادامه، تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ را به‌گونه‌ای محاسبه می‌کنیم که در دستگاه زیر صدق کند:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 1 + 2x\sqrt {{x^2} – {y^2}} \\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = – 2y\sqrt {{x^2} – {y^2}}
\end{array} \right..$$

با انتگرال‌گیری از معادله اول، داریم:

$${u\left( {x,y} \right) \text{ = }}\kern0pt{ \int {\left( {1 + 2x\sqrt {{x^2} – {y^2}} } \right)dx} } \\
= {x + \frac{{{{\left( {{x^2} – {y^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \varphi \left( y \right) } \\
= {x + \frac{2}{3}{\left( {{x^2} – {y^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} }+{ \varphi \left( y \right)}$$

که در آن، $$\varphi \left( y \right)$$ یک تابع مجهول از $$y$$ است که باید آن را پیدا کنیم.

اکنون، نتیجه به‌دست‌آمده را در معادله دوم دستگاه جایگذاری می‌کنیم:

$${{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\Big[ {x + \frac{2}{3}{{\left( {{x^2} – {y^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}} }}+{{ \varphi \left( y \right)} \Big] = – 2y\sqrt {{x^2} – {y^2}} ,\;\;}}\\\Rightarrow
{{ – \cancel{2y\sqrt {{x^2} – {y^2}}} + \varphi’\left( y \right) }={ – \cancel{2y\sqrt {{x^2} – {y^2}}} ,\;\;}}\\ \Rightarrow
{\varphi’\left( y \right) = 0.}$$

با انتگرال‌گیری از عبارت اخیر، داریم:

$$\varphi \left( y \right) = C$$

که در آن، $$C$$ یک ثابت است.

در نتیجه، جواب عمومی معادله دیفرانسیل، به‌فرم زیر است:

$${x + \frac{2}{3}{\left( {{x^2} – {y^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} }+{ C }={ 0.}$$

نصویر تزئینی مطلب معادلات دیفرانسیل کامل

مثال ۶

معادله دیفرانسیل زیر را با شرط اولیه $$y\left( 1 \right) = 1$$ حل کنید:

$${\large\frac{1}{{{y^2}}}\normalsize} – {\large\frac{2}{x}\normalsize} ={\large\frac{{2xy’}}{{{y^3}}}\normalsize}$$

حل: ابتدا معادله را به‌فرم استاندارد می‌نویسیم:

$${\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x} = \frac{{2x}}{{{y^3}}}\frac{{dy}}{{dx}},\;\;}\\ \Rightarrow
{\left( {\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}} \right)dx = \frac{{2x}}{{{y^3}}}dy,\;\;}\\ \Rightarrow
{\left( {\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}} \right)dx – \frac{{2x}}{{{y^3}}}dy }={ 0.}$$

مشتقات جزئی مربوط به آزمون کامل بوده، به‌صورت زیر هستند:

$${{\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { – \frac{{2x}}{{{y^3}}}} \right) }={ – \frac{2}{{{y^3}}},\;\;\;}}\kern-0.3pt
{{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}} \right) }={ – \frac{2}{{{y^3}}}.}}$$

در نتیجه، معادله کامل است. اکنون دستگاه معادلات زیر را برای یافتن تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ تشکیل می‌دهیم:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x}\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = – \frac{{2x}}{{{y^3}}}
\end{array} \right..$$

در ادامه، با انتگرال‌گیری از معادله دوم نسبت $$y$$، تابع مورد نظر را محاسبه می‌کنیم:

$${u\left( {x,y} \right) }={ \int {\left( { – \frac{{2x}}{{{y^3}}}} \right)dy} }
= {\frac{x}{{{y^2}}} + \psi \left( x \right).}$$

با مشتق‌گیری از معادله اخیر نسبت به متغیر $$x$$، داریم:

$${{\frac{{\partial u}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {\frac{x}{{{y^2}}} + \psi \left( x \right)} \right] }={ \frac{1}{{{y^2}}} – \frac{2}{x},\;\;}}\\ \Rightarrow
{{\cancel{\frac{1}{{{y^2}}}} + \psi’\left( x \right) }={ \cancel{\frac{1}{{{y^2}}}} – \frac{2}{x},\;\;}}\\ \Rightarrow
{\psi’\left( x \right) = – \frac{2}{x},\;\;}\Rightarrow
{{\psi \left( x \right) = – 2\ln \left| x \right| }={ \ln \frac{1}{{{x^2}}}.}}$$

در نهایت، جواب عمومی معادله دیفرانسیل، به‌فرم ضمنی زیر به‌دست می‌آید:

$$\frac{x}{{{y^2}}} + \ln \frac{1}{{{x^2}}} = C.$$

جواب خصوصی را نیز می‌توان با استفاده از شرط اولیه $$y\left( 1 \right) = 1$$ محاسبه کرد. با جایگذاری شرط اولیه، مقدار $$C$$ محاسبه می‌شود:

$${\frac{1}{{{1^2}}} + \ln \frac{1}{{{1^2}}} = C,\;\;}\Rightarrow
{1 + 0 = C,\;\;}\Rightarrow
{C = 1.}$$

بنابراین، جواب نهایی با در نظر گرفتن شرایط اولیه، به‌صورت زیر است:

$$\frac{1}{{{y^2}}} + \ln \frac{1}{{{x^2}}} = 1.$$

بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
۱۵ دیدگاه برای «معادلات دیفرانسیل کامل — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)»

واقعا ممنونم از اموزش خوبتون،خیلی خیلی کمکم کرد،جا داره بگم ک تعصبتونو میکشم شدیدا:)

واقعا ممنونم از اموزش خوبتون،خیلی خیلی کمکم کرد،عاشقتونم:)

ببخشید n16 یعنی چی

با سلام.
تدریس خوب بود،ولی شیوه خیلی راحت تر و سریع تر و همچنین آسان تری نسبت به شیوه تدریس شده هستش.
اینکه بعد از برقراری شرط کامل بودن معادله دیفرانسیل،با توجه به رابطه زیر در Q(x,y)dy به جای X های موجود صفر قرار بدیم.
P(x,y)dx+Q(0,y)dy=0
در نهایت با انتگرال گرفتن از طرفین خیلی راحت به جواب معادله دیفرانسیل میرسیم.

سلام مجتبی عزیز.
ممکن است روش‌های مختلفی برای حل معادلت دیفرانسیل وجود داشته باشد. در این آموزش، سعی کرده‌ایم روش تدریس مبتنی قاطبه روش‌های رایج باشد.
سپاس ازاینکه راه‌حل موردنظرتان را با ما و مخاطبان مجله فرادرس در میان گذاشتید.

تو شرط خاص باید پاسخ نهایی با عدد شرط یکسان باشه یا میتونه متفاوت باشه؟

سلام یک رابطه هست که میگه اگه Q و P و مشتق کیو و پی در بازه مستطیلی R پیوسته باشند این روابط برقرار هست . اکر امکانش هست این قضیه و اثباتش رو روی سایتتون بگذارید ممنون.

بسیار خوب و روان به خصوص توضیحات متنی.

واقعا ازتون تشکر می‏‏کنم. خیلی عالیه

خیلی عالی بود ممنون

ممنون بسیار کمکم کرد!

واقعا عالی بود

سایتتون حرف نداره خیلی عالی واقعا مطالب درسی رو به زبان ساده بیان میکنه علاوه بر اون مثال های متنوع و خوبی رو پوشش میده

بسیار عالی بود

سلام . ممنون از سایت خوبتون . خیلی بهم کمک شد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *