مشتق سینوس – محاسبه و فرمول مشتق Sin + مثال و تمرین

مشتق سینوس (مشتق sin) برابر با کسینوس (cos) است. سینوس یکی از توابع مثلثاتی اصلی به شمار می‌رود. این تابع، در بسیاری محاسبات هندسی و ریاضی کاربرد دارد. مشتق sin، به عنوان شیب مماس بر منحنی این تابع تعریف می‌شود. روابط متعددی برای محاسبه مشتق سینوس و توابع مرتبط با آن نظیر سینوس توان‌دار، ضرب سینوس، تقسیم سینوس، وارون سینوس، سینوس هیپربولیک و غیره وجود دارد. در این مقاله، ضمن معرفی فرمول های مشتق سینوس (sin) و توابع مرتبط با آن، چندین مثال و تمرین متنوع را حل می‌کنیم.

مشتق چیست ؟

«مشتق» (Derivative)، شیب خط مماس بر نمودار در یک نقطه خاص است. این مفهوم پرکاربرد ریاضی، به عنوان نرخ تغییرات تابع بر حسب یک متغیر نیز تعریف می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

تصویر زیر، مفهوم مشتق و پارامترهای مورد نیاز برای محاسبه آن را نمایش می‌دهد.

فرمول کلی مشتق یک تابع عبارت است از:

$$\frac { \Delta y } { \Delta x } = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }$$

با استفاده از این فرمول می‌توان مشتق هر نوع تابعی را به دست آورد.

سینوس چیست ؟

رابطه بین ضلع‌ها و زاویه‌های مثلث قائم‌الزاویه را می‌توان بر اساس توابع مخصوصی به نام توابع مثلثاتی بیان کرد.

فیلم آموزش ریاضی 2 – پایه یازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

«سینوس» (Sine)، یکی از توابع مثلثاتی اصلی است. مثلث قائم‌الزاویه زیر را در نظر بگیرید.

بر اساس پارامترهای نمایش داده شده در تصویر بالا، سینوس زاویه θ، از تقسیم ضلع مقابل به این زاویه بر وتر به دست می‌آید.

مشتق سینوس چیست ؟

مشتق sin، شیب خط مماس بر منحنی تابع سینوس در زاویه مورد نظر است. مقدار تمام توابع سینوسی بین ۱- تا ۱ قرار دارد.

فیلم آموزش ریاضی 3 – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

تصویر زیر، نمودار تابع سینوس در بازه ۰ تا ۲π (بازه ۰ تا ۳۶۰ درجه) را نمایش می‌دهد.

در نقطه $$x = \frac { \pi } { ۲ }$$ (زاویه ۹۰ درجه)، خطی را بر منحنی sin(x) مماس می‌کنیم (خط سبز در تصویر پایین). همان‌طور که مشاهده می‌کنید، این خط مماس، خطی کاملا افقی با شیب ۰ است.

در مثال بالا می‌گوییم مشتق sin در نقطه $$\frac { \pi } { ۲ }$$ برابر با ۰ است. مشتق سینوس، فرمول مختص به خود را دارد. در بخش بعدی، به معرفی این فرمول می‌پردازیم.

مشتق سینوس چگونه نمایش داده می شود ؟

در دنیای ریاضی، توابع مختلف را معمولا به صورت g(x) ،f(x) و غیره نمایش می‌دهند و برای نمایش مشتق آن، از علامت «'» در کنار عنوان تابع استفاده می‌کنند. به عنوان مثال، مشتق تابع f(x) با f'(x) نشان داده می‌شود. به علامت مشتق، «پرایم» یا «پریم» می‌گویند. مشتق f(x) را می‌توانیم به صورت زیر نیز بنویسیم:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } f ( x )$$

مشتق سینوس چگونه به دست می آید ؟

مشتق سینوس، با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \cos ( x )$$

$$\left ( \sin ( x ) \right ) ^ { \prime } = \cos ( x )$$

$$\sin ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )$$

به عبارت دیگر، مشتق sin، برابر با cos است.

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱: محاسبه مشتق سینوس

مقدار عددی مشتق $$\sin ( ۶۰ ^ { \circ } )$$ را به دست بیاورید.

می‌دانیم که مشتق سینوس یک زاویه برابر با کسینوس آن زاویه است. بنابراین داریم:

$$\frac { d } { d x } \sin ( ۶۰ ^ { \circ } ) = \cos ( ۶۰ ^ { \circ } )$$

کسینوس ۶۰ درجه برابر است با:

$$\cos ( ۶۰ ^ { \circ } ) = \frac { ۱ } { ۲ }$$

به این ترتیب:

$$\frac { d } { d x } \sin ( ۶۰ ^ { \circ } ) = \frac { ۱ } { ۲ }$$