کسر تلسکوپی – روش حل به زبان ساده + مثال و تمرین
جمع کسرها از جمله گسترده‌ترین مباحث ریاضی است و با استفاده از قواعد خاصی می‌توانیم فرآیند ساده‌سازی و به‌دست آوردن مجموع چند کسر را آسان‌تر و سریع‌تر کنیم. یکی از این روش‌ها قاعده کسر تلسکوپی است که موضوع این مطلب از مجله فرادرس است. زمانی که مخرج کسری مانند به شکل حاصل‌ضرب دو عدد بیان شود، طوری که اختلاف این دو عدد با صورت کسر برابر باشد، در این صورت طبق قاعده کسر تلسکوپی می‌توانیم این کسر را با تفاضل دو کسر مجزا به صورت جایگزین کنیم.
- با شرایط سه‌گانه استفاده از قاعده کسر تلسکوپی آشنا می‌شوید.
- یاد می‌گیرید چگونه جمع کسرها را با قاعده تلسکوپی ساده کنید.
- مهارت بازنویسی و تجزیه کسرها برای تبدیل به شکل تلسکوپی را کسب می‌کنید.
- یاد می‌گیرید جمله‌های میانی را در جمع کسرها حذف کنید.
- خواهید توانست جمع سری تلسکوپی را سریع و دقیق محاسبه کنید.
- با روش حل مسائل تستی و معادلات دو مجهولی مرتبط با کسر تلسکوپی آشنا می‌شوید.
در ابتدای این مطلب توضیح می‌دهیم برای اینکه بتوانیم از قاعده کسر تلسکوپی در حل مسائل کسرها در ریاضیات استفاده کنیم، لازم است چه شرایطی برقرار باشد. سپس حالت‌های مختلفی که ممکن است در حل مسائل با آنها روبرو شویم را توضیح می‌دهیم. در بخش بعد با حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع، نشان می‌دهیم که کاربرد این قاعده در هر حالت به چه صورت است. به همین منظور مثال‌هایی در سطوح مختلف برای شما در نظر گرفته‌ایم که از ساد‌ه‌ترین سطح شروع شده و در انتها حل مسائل پیچیده‌تری را با قاعده کسر تلسکوپی بررسی کرده‌ایم. با مطالعه این مطلب تا انتها و حل مثال‌ها و تمرین‌های تهیه شده می‌توانید مبحث کسر تلسکوپی و روش حل مسائل مربوط به آن را با زبانی ساده و کاربردی بیاموزید.
قاعده کسر تلسکوپی چیست؟
قاعده کسر تلسکوپی در مورد کسرهایی است که مخرج آنها به شکل حاصل‌ضرب دو عدد نوشته شده است ()، به‌گونه‌ای که تفاضل این دو عدد با صورت کسر برابر است (). در این صورت می‌توانیم این کسر را به شکل بنویسیم:
- ابتدا باید بتوانیم مخرج تمام کسرها را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد بنویسیم.
- همچنین باید دومین عدد در مخرج هر کسر با اولین عدد در مخرج کسر بعدی برابر باشد.
- برای هر کسر اختلاف یا تفاضل دو عدد در مخرج برابر است با صورت کسر. این اختلاف برای تمام کسرها برابر با عدد یکسانی است.
بنابراین حاصل‌جمع کسرهای برابر می‌شود با:
همان‌طور که مشاهده می‌کنید، این ساده‌سازی باعث می‌شود کسرهای وسطی با اندازه برابر و علامت مخالف هم، ساده و حذف شوند. علت نامگذاری چنین روندی به‌صورت قاعده کسر تلسکوپی نیز در همین حذف شدن کسرها است که قابل مقایسه با یک تلسکوپ جمع‌شونده است. در نتیجه فقط اولین و آخرین کسر از مجموع بالا برای انجام محاسبات باقی خواهند ماند. در بخش مثال‌ها این نکته را بهتر متوجه خواهید شد.
حالا با در نظر گرفتن این شرایط، می‌خواهیم ببینم آیا مجموع کسرهای زیر را می‌توانیم به کمک قاعده تلسکوپی به‌دست آوریم یا نه؟
در عبارت بالا شرط اول که نوشته شدن مخرج هر کسر به صورت حاصل‌ضرب دو عدد است، برقرار است. همچنین تمام این حاصل‌ضرب‌ها به‌گونه‌ای نوشته شده‌اند که دومین عدد در مخرج هر کسر با اولین عدد در مخرج کسر بعد یکسان است. پس دومین شرط نیز برقرار است. درستی شرط سوم نیز در صورتی برقرار است که برای هر کسر اختلاف دو عدد در مخرج برابر با یک شود، یعنی داشته باشیم:
$$ \ b - a = 1 \ , \ c - b = 1 \ , \ d - c = 1 \ , \ .... \ , \ z - y = 1 \ $$آزمون کسر تلسکوپی
۱. کدام شرط، یکی از سه شرط اصلی برای استفاده از قاعده کسر تلسکوپی است؟
هر کسر باید به صورت جمع دو عدد نوشته شود.
جمله‌های اول و آخر همیشه برابر باشند.
صورت هر کسر باید بزرگ‌تر از مخرج باشد.
مخرج هر کسر باید ضرب دو عدد باشد.
در قاعده کسر تلسکوپی، یکی از شروط اصلی این است که مخرج هر کسر باید به صورت ضرب دو عدد نوشته شود. این ویژگی امکان تجزیه کسر به تفاضل دو کسر ساده‌تر را فراهم می‌کند.
۲. قاعده تلسکوپی چه تاثیری بر جمع کسرها دارد و چگونه روند محاسبه را تغییر می‌دهد؟
هر صورت با عدد ثابت جایگزین می‌شود و محاسبه آسان‌تر می‌گردد.
باعث می‌شود همه مخرج‌ها با هم جمع شوند و صورت ثابت بماند.
جمله‌های میانی را حذف می‌کند و فقط جمله اول و آخر باقی می‌مانند.
هر کسر به شکل جمع چند جمله ساده‌تر بازنویسی می‌شود.
استفاده از قاعده تلسکوپی موجب می‌شود که هنگام جمع کسرهایی با شرایط خاص، بتوان عبارت‌ها را به گونه‌ای بازنویسی کرد که بسیاری از جمله‌های وسطی در جمع حذف شوند. در این روش، فقط جمله آغازین و پایان کار باقی می‌ماند و این امر روند کلی محاسبه را بسیار ساده می‌کند.
۴. چرا واژه «تلسکوپی» برای قاعده جمع بعضی کسرها به کار رفته است؟
چون این قاعده بیشتر در فیزیک نجوم و تلسکوپ کاربرد دارد.
چون هنگام جمع، جملات میانی حذف می‌شود و فقط جمله اول و آخر مشابه لوله تلسکوپ باقی می‌ماند.
چون مجموع کسرها با رسم نمودار به شکل خط مستقیم نمایش داده می‌شود.
چون بین یک کسر و کسر دیگر فقط جمع ساده انجام می‌گیرد و ساختار پیچیده‌ای ندارد.
دلیل به‌کاربردن واژه «تلسکوپی» این است که هنگام جمع یا مجموع‌گیری کسرها با این قاعده، جملات میانی حذف می‌شوند و تنها جمله نخست و پایانی باقی می‌مانند؛ این روند درست مانند باز و بسته شدن لوله تلسکوپ است که فقط ابتدا و انتها قابل مشاهده می‌ماند.
۵. ویژگی اصلی سری تلسکوپی هنگام جمع عبارات آن چیست؟
در مجموع سری، تنها جمله ابتدای و انتهای سری باقی می‌ماند و بقیه حذف می‌شوند.
در مجموع سری، همه عبارات برای محاسبه مورد نیاز است و هیچ حذف اتفاق نمی‌افتد.
در مجموع سری، تنها عبارات با صورت برابر یک باقی می‌ماند و سایرین حذف می‌شوند.
در مجموع سری، فقط جمله‌های دارای مخرج مشترک کنار هم باقی می‌ماند.
در سری تلسکوپی، هنگام جمع کردن عبارات به علت شکل خاص تفاضل هر جمله، عبارات میانی حذف شده و فقط عبارت ابتدایی و انتهایی باقی می‌ماند.
۶. اگر مخرج یک کسر به شکل ضرب دو عدد باشد و اختلاف این دو عدد با صورت کسر برابر باشد، بهترین راه برای جمع این نوع کسرها کدام است؟
تقسیم کردن صورت و مخرج هر کسر بر عدد مشترک
به‌کار بردن قاعده تلسکوپی برای حذف جملات میانی
استفاده از جمع کسرهای هم‌مخرج و ساده‌سازی مستقیم
به‌کارگیری مخرج مشترک و جمع عادی بدون تغییر شکل
وقتی مخرج یک کسر حاصل ضرب دو عدد است و اختلاف آنها با صورت برابر باشد، با قاعده تلسکوپی می‌توان کسرها را به تفاضل دو کسر ساده‌تر نوشت. این کار سبب می‌شود اکثر جملات وسطی جمع حذف شده و فقط عبارات اول و آخر باقی بماند. روش «قاعده تلسکوپی» سریع‌ترین راه جمع این نوع کسرهاست، در حالی که عبارت «جمع هم‌مخرج» و «مخرج مشترک» مستقیما به حذف جملات وسطی منجر نمی‌شود، و «تقسیم صورت و مخرج» ارتباطی با ساده‌سازی این نوع جمع ندارد.
۷. کدام یک از کسرهای زیر دارای شرایط لازم برای استفاده از قاعده کسر تلسکوپی است؟
در کسر مخرج به صورت ضرب دو عدد آمده و اختلاف این دو عدد برابر با عدد صورت است، که شرایط اصلی قاعده کسر تلسکوپی را فراهم می‌کند. دیگر گزینه‌ها این ویژگی را ندارند، چون اختلاف اعداد در مخرج برابر با عدد صورت نیست یا عدد صورت با اختلاف مخرج‌ها مطابقت ندارد.
۸. در جمع کسرهایی که اختلاف دو عدد در مخرج برابر ۱ ولی عددهای صورت با هم متفاوت هستند، برای اجرای قاعده کسر تلسکوپی چه کار باید انجام داد؟
هر دو کسر را بدون تغییر جمع کرد.
برخی جمله‌های وسط سری را حذف کرد.
صورت و مخرج را طوری ضرب یا تقسیم کرد تا شرط لازم برقرار شود.
فقط صورت‌ها را با هم جمع کرد و مخرج را ثابت گذاشت.
وقتی در جمع چند کسر، اختلاف اعداد مخرج برابر با ۱ است اما عددهای صورت یکسان نیستند، لازم است با ضرب یا تقسیم کردن صورت و مخرج، کسرها را به شکلی درآورد که شرط قاعده تلسکوپی رعایت شود. این کار کمک می‌کند تا بتوان مانند حالت معمول، کسرها را به صورت تفاضل دو کسر ساده‌تر بازنویسی کرد و از قاعده تلسکوپی بهره برد.
۹. وقتی در جمع کسرها از قاعده تلسکوپی استفاده می‌شود و جملات وسطی حذف می‌شوند، چه اثری بر نتیجه نهایی به جای می‌ماند؟
ارزش عددی کسرها نسبت به حالت اولیه دو برابر می‌شود.
تمام جملات باید مجددا جداگانه با هم جمع شوند.
همه کسرها به مقادیر کسرهای ساده‌تر تقسیم می‌شوند.
محاسبه فقط به اختلاف جمله اول و آخر خلاصه می‌شود.
زمانی که در جمع کسرها با قاعده تلسکوپی، جملات وسطی حذف می‌شوند، فقط «محاسبه به اختلاف جمله اول و آخر» خلاصه می‌شود و دیگر نیازی به جمع‌زدن تک‌تک کسرهای اولیه نیست.
۱۰. در سری علت ساده شدن حاصل جمع چیست؟
چون صورت کسرها افزایشی و مخرج‌ها همواره متغیر هستند
به علت شباهت سری با دنباله هندسی و جمع آن
چون جملات میانی به کمک قاعده تلسکوپی حذف می‌شوند و فقط جمله اول و آخر باقی می‌ماند
زیرا مخرج کسرها همیشه عدد ثابت است و اختلافی ایجاد نمی‌شود
در سری‌هایی مانند با استفاده از قاعده تلسکوپی، هر جمله به صورت تفاضل دو کسر نوشته می‌شود و به هنگام جمع، جملات میانی حذف و تنها جمله اول و آخر باقی می‌مانند.
۱۱. در جمع کسرها با قاعده تلسکوپی، در کدام حالت‌ها لازم است برای مناسب‌سازی شرایط، عملیات تجزیه یا فاکتورگیری روی صورت یا مخرج انجام شود؟
وقتی مخرج را نمی‌توان مستقیما به صورت ضرب دو عدد متوالی نوشت.
وقتی اختلاف اعداد مخرج برابر ۱ است ولی صورت عددی غیر از ۱ دارد.
وقتی اختلاف اعداد مخرج با صورت برابر است و همه صورت‌ها یکسان‌اند.
وقتی صورت کسر عددی منفی و مخرج عددی مثبت باشد.
هنگامی که مخرج کسر را نمی‌توان به طور مستقیم به شکل ضرب دو عدد متوالی (یا مناسب) نوشت، لازم می‌شود با استفاده از تجزیه یا فاکتورگیری این حالت را ایجاد کنیم تا شرایط به کارگیری قاعده تلسکوپی فراهم گردد.
۱۲. در جمع کسرهایی که اختلاف اعداد مخرج آنها برابر ۱ نیست، معمولا برای اجرای قاعده تلسکوپی چه روشی باید به‌کار برد؟
با ضرب و تقسیم صورت و مخرج کسرها، اختلاف مخرج را با صورت برابر می‌سازیم.
افزودن یک عدد دلخواه به صورت کسرها، شرط تلسکوپی را برقرار می‌کند.
صرفا با جمع کردن مستقیم کسرها، تلسکوپی کردن ممکن می‌شود.
فقط برای اختلاف مخرج ۱، فرمول تلسکوپی وجود دارد و نیازی به تبدیل نیست.
در هنگام جمع کسرها اگر اختلاف اعداد مخرج بیشتر یا کمتر از ۱ باشد، باید از روش ضرب و تقسیم صورت و مخرج برای برابر کردن اختلاف و صورت استفاده کرد؛ به این ترتیب شرایط اجرای قاعده تلسکوپی برقرار خواهد شد. صرفا جمع کردن مستقیم کسرها یا افزودن یک عدد به صورت‌ها این شرط را ایجاد نمی‌کند و تنها زمانی فرمول تلسکوپی بدون تبدیل به‌کار می‌رود که اختلاف مخرج دقیقا برابر ۱ باشد. بنابراین فقط استفاده از ضرب و تقسیم صورت و مخرج، شرط تلسکوپی شدن را در این حالت فراهم می‌کند.
۱۳. کدام گزینه نشان‌دهنده مزیت استفاده از قاعده تلسکوپی در جمع سری‌های بی‌نهایت است؟
موجب افزایش تعداد جملات برای محاسبه حاصل می‌شود.
بدون تغییر ساختار، فقط صورت کسرها را تغییر می‌دهد.
تنها برای کسرهای با مخرج ساده قابل استفاده است.
باعث حذف جملات میانی و ساده‌تر شدن جمع سری می‌شود.
مزیت اصلی قاعده تلسکوپی در جمع سری‌های بی‌نهایت آن است که با نوشتن هر جمله به صورت تفاضل، جملات میانی سری حذف و فقط جمله اول و آخر باقی می‌ماند.
۱۴. برای ساده‌سازی جمع سری تلسکوپی، جملات سری را باید چگونه بازنویسی کرد؟
هر جمله را با عدد ثابت در صورت و مخرج ضرب کنیم.
هر جمله سری را به صورت مجموع دو عبارت بنویسیم.
هر جمله را به حاصل‌ضرب دو عدد ساده‌تر تبدیل کنیم.
هر جمله سری را به شکل تفاضل دو جمله متوالی بازنویسی کنیم.
ساده‌سازی جمع سری تلسکوپی با بازنویسی هر جمله به صورت تفاضل دو جمله متوالی امکان‌پذیر است؛ این کار باعث می‌شود هنگام جمع، بسیاری از جملات میانی حذف شوند و فقط جمله اول و آخر باقی بماند. تبدیل هر جمله به حاصل‌ضرب دو عدد، نوشتن به صورت مجموع دو عبارت یا ضرب در عدد ثابت این خاصیت را ندارند و جمع را ساده نمی‌کنند.
مطالب مجله فرادرس را در جستجوی گوگل سریع‌تر ببینید
عالی بود. 🙏🏼
بسیار عالی بود.کاش یکی بود ریاضیات رو اینجوری زمان ما آموزش می‌داد.
ممنون مقاله خوبی بود