سری تیلور — از صفر تا صد

۱۱۰۵۰ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۵ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۸ دقیقه
سری تیلور — از صفر تا صد

هر معادله‌ای را می‌توان با استفاده از چند‍‌جمله‌ای از مرتبه بینهایت مدل‌سازی کرد. [منظور از بینهایت، چند‌جمله‌ای است که در آن بزرگ‌ترین توان متغیر بینهایت باشد.] به چنین رابطه‌ای «سری تیلور» (Taylor Series) گفته می‌شود. این سری کاربرد بسیاری در فیزیک کلاسیک، کوانتوم و ریاضیات دارد.

فیلم آموزشی بسط تیلور

دانلود ویدیو

مقدمه

فرض کنید (f(x تابعی حقیقی است. سری تیلورِ این تابع حول نقطه x=x0 به صورت زیر تعریف می‌شود.

Taylor-series

توجه داشته باشید که تابع (f(n)(x0، مشتق nام تابع (f(x در نقطه x=x0 است. شاید در نگاه اول متوجه یک عبارت چند‌جمله‌ای از درجه بینهایت نشده باشید؛ بنابراین به منظور درک بهتر، قصد داریم تا در مثال اول، سری تیلور تابع f(x)=Cos x را حول نقطه x=0 بنویسیم. دقت کنید که الزامی جهت انتخاب نقطه x=0 وجود ندارد. دلیل این انتخاب، کاربردی بودن این نقطه در اکثر مسائل فیزیک و ریاضیات است.

حال با استفاده از تعریف کلی ارائه شده در بالا، شروع به نوشتن سری تیلور f(x)=Cos x حول نقطه x=0 می‌کنیم. همان‌طور که در فرمول بالا نیز نشان داده شده، به منظور بدست آوردن این سری، بایستی مشتق nام تابع (f(x در نقطه x=0 محاسبه شود. بنابراین این مشتقات در نقطه مدنظر عبارتند از:

Cosx derivatives

با توجه به فرمول کلی، جمله دوم این سری برابر است با:

قبل از مطالعه ادامه مطلب در این مورد فکر کنید که جمله سوم و چهارم این سری به چه شکل هستند. بر مبنای فرمول کلی، این جملات به ترتیب به صورت زیر بدست می‌آیند.

Taylor-series

همان‌طور که دیدید چهار جمله اول این سری مشخص شدند؛ بنابراین سری تیلور تابع Cos x، برابر با حاصل جمع این جملات و به صورت زیر است.

همان‌طور که در شکل بالا نیز دیده می‌شود نمودار قرمز رنگ نشان‌دهنده تابع cos x و نمودار آبی رنگ، سری همین تابع، اما تا سه جمله اول را نشان می‌دهد. دقت کنید که هر چه تعداد جملات در نظر گرفته‌ شده این سری، بیشتر باشند، مدل‌سازی تابع مد‌نظر نیز به خود تابع نزدیک‌تر خواهد بود. انیمیشن پایین توصیف بهتری را از این مفهوم نشان می‌دهد.

با افزایش جملات سری تیلور، نمودار آبی رنگ به تابع f(x)=Cos x (نمودار قرمز رنگ) نزدیک‎‌تر می‌شود.

معمولا در توابعی که به صورت «دوره‌ای» (Periodic) هستند، الگوی مشخصی برای سری تیلور قابل تعریف است. مثلا مشتقات فرد تابع y=Cos x در نقطه x=0، صفر هستند؛ بنابراین در سری این تابع، فقط توان‌های زوجِ x ظاهر خواهند شد. در عبارت زیر 4 جمله اول این سری ذکر شده است.

با توجه به الگوی مشاهده شده در بالا، تنها مشتقات زوج تابع Cos x در نظر گرفته می‌شوند. نهایتاً می‌توان سری تیلور تابع Cos x را به صورت زیر ذکر کرد.

سری تیلوری که حول نقطه x=0 نوشته شود، «سری مکلورن» (Maclaurin Series) نامیده می‌شود.

در مثال دوم قصد داریم تا سری تیلور تابع y=Sin x را حول نقطه x=0 بدست آوریم. بدین منظور مشتقات اول تا چهارم این تابع، به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

بنابراین با جایگذاری این مقادیر در رابطه کلی مربوط به سری تیلور، جملات اول آن حول نقطه x=0 به صورت زیر بدست می‌آیند.

همان‌طور که در رابطه بالا نیز دیده می‌شود، برخلاف تابع y=Cos x تمامی جملات زوجِ سری y=Sin x صفر هستند. بنابراین شکل کلی بسط تیلور تابع Sin x برابر است با:

به همین صورت بسط تیلور تابع y=ex را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

شعاع همگرایی

شعاع همگرایی در یک سری تیلور عبارت است از مقادیری از x که سری به ازای آن‌ها همگرا شود. یعنی این‌که به ازای چه مقادیری از x، سری تیلور نوشته شده به بینهایت میل نمی‌کند. به عنوان مثال سری تیلور تابع (y=1/(1-x به صورت زیر است.

شکل سری نشان می‌دهد که به ازای x‌های کمتر از 1 و بیشتر از 1- همواره سری مذکور همگرا خواهد بود.

کاربرد سری تیلور

تصور کنید که یک زندانی هستید. نگهبان شما نیز فردی است که به ریاضیات علاقه‌مند است؛ بنابراین او به شما پیشنهاد می‌دهد که در صورت محاسبه مقدار $$\root 3 \of {8.1}$$، آزادی شما را فراهم خواهد کرد.

وی همچنین از شما خواسته، که مقدار محاسبه شده بایستی تا 5 رقم اعشار دقیق باشد. شما بدون استفاده از ماشین‌حساب و تنها با استفاده از چند جمله اول سری تیلور این تابع، قادر خواهید بود تا ریشه سوم 8.1 را محاسبه کنید.

Taylor-series

در ابتدا بایستی سری تابع $$f(x)=\root 3 \of x$$ را بدست آورید. بدیهی است که نوشتن تمامی جملات این سری غیر ممکن است؛ اما محاسبه کردن تعدادی اندک از جملات آن نیز برای ما مفید خواهد بود. دقت کنید که به منظور محاسبه راحت‌تر و دقیق‌تر، بایستی این سری را حول نقطه x=8 نوشت. بنابراین سه جمله اول آن برابر هستند با:

با جایگذاری 8.1 به جای x در سری بالا، می‌توان مقدار نسبتاً دقیقی از $$\root 3 \of {8.1}$$ را تخمین زد.

نهایتاً تنها با نوشتن سه جمله اول بسط تیلور این رابطه، مقدار $$\root 3 \of {8.1}$$ تا 6 رقم اعشار محاسبه می‌شود.

اگر به مطالب مرتبط در زمینه ریاضیات علاقه‌مند هستید، احتمالا آموزش‌های زیر می‌تواند برایتان مفید باشد.

^^

بر اساس رای ۱۱۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Brilliant
۱۶ دیدگاه برای «سری تیلور — از صفر تا صد»

سلام خیلی ممنون از متن و مثال زیباش فقط توی مثال من حساب کردم دیدم عدد ها غلط هست ینی با سری تیلور نمیشه به جواب ۲.۰۰۸۲۹۸ رسید
بجاش عدد ۲.۰۰۸۳۶۷ در امد

ولی در کل خیلی عالی بود و استفاده کردم

با سلام و وقت بخیر؛

متن مقاله بررسی شد و اشکالی در جواب یافت نشد. لطفا برای بررسی بیشتر، نحوه محاسبات خود را شرح دهید تا در صورت ایراد، متن اصلاح شود. با تشکر

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم

مثل همیشه عالییییی
خدا خیرتون بده

اگه از روش نیوتن جواب مسئله زندان بان رو بدست بیاریم خیلی راحت تریم که (با حدس اولیه 2)
با دو بار انجام روش نیوتن عدد
2.008298850
بدست میاد که تا 9 رقم اعشار درسته

من فوق لیسانس ریاضی دارم ولی تاحالا جایی ندیدم اینقدر روان، قابل فهم و گویا سری تیلور رو توضیح بدن، مخصوصا فیلم آموزشی سری تیلور، فیلم بسیار عالی بود ممنون از زحمات شما

من فوق لیسانس دارم ولی سری تیلور رو نفهمیده بودم. الان تازه بعد ده سال فهمیدم. بسیار ممنونم .

خوب و کامله.
فقط حواستون باشه برای نوشتن سری توی مجرج جمله های اول به ترتیب صفر فاکتوریل و یک فاکتوریل بعدش ۲ فاکتوریل هستن که به ترتیب ۱ و ۱ و ۲ میشن

مرسی مجید جون من همیشه عاشق تدریساتم، حتی فیلمای ورد و اکسلتم گرفتم که نگاه کنم ولی متاسفانه هنوز وقت نکردم 😉

سلام، توضیحات عالی و بیان شفاف شما به همراه انیمیشن های مفیدی که در فیلم وجود داشت باعث شد بسط تیلور را که از 12 سال پیش یاد نگرفته بودم را به خوبی بیاموزم. استاد متشکرم. فوق العاده عالی بود. ای کاش در زمان دانشجویی ما اینترنت به صورت امروزی موجود بود. سپاس

در مثال مناقشه نیس
من خوشم اومد هم از درسش هم از مثالش

با سلام
برای بدست آوردن sin(31.5) درجه اول باید حول نقطه 31 بدست آورد بعد به جای ایکس 31.5 رو نوشت؟
دلیل اینکه به صورت مستقیم سری را حول 8.1 بسط نمی دهید چیست؟
با سپاس

میخاد تابع رو توی x=8.1 بسدت بیاره.
برای این کار نباید توی x=8.1 بسط بده که!
باید به نزدیک و رند ترین عدد نزدیکش بسط بده تا تقریب بزنه

راست میگه سخت نگیر

سخت نگیر

قسمت کاربرد سری تیلور و مثال زندانی بسیار بی ربط و غیرمنطقی است

غیر منطقی حرفته

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *