مدلسازی سیستم – به زبان ساده

مدلسازی سیستم‌های دینامیکی، مکانیکی و الکتریکی اولین گام در فرایند طراحی کنترل‌کننده محسوب می‌شود. در مدلسازی سیستم، تلاش می‌شود تا یک مدل ریاضی مناسب برای توصیف عملکرد یک سیستم به دست آید و سپس با توجه به آن کنترل‌کننده را طراحی کرد. در مدلسازی سیستم، مدل ریاضی مربوط به آن را می‌توان یا با استفاده از قوانینی فیزیکی (Physical Laws) و یا با استفاده از داده‌های تجربی (Experimental Data) به دست آورد. در این مطلب قصد داریم به بیان نمایش تابع انتقال سیستم و نیز نمایش فضای حالت یک سیستم بپردازیم. در هر بخش چند مثال بسیار ساده برای مدلسازی سیستم مکانیکی و الکتریکی را حل می‌کنیم و در نهایت نحوه ایجاد این مدل‌ها را در نرم‌افزار متلب نشان می‌دهیم. مهم‌ترین دستورات متلب که در این مطلب مورد استفاده قرار می‌گیرند، ss و tf هستند.

مدلسازی سیستم دینامیکی

سیستم‌های دینامیکی سیستم‌هایی هستند که با گذر زمان و بر اساس یک قانون ثابت، دچار تغییر و یا تکامل می‌شوند. برای بسیاری از سیستم‌های فیزیکی، این قانون می‌تواند بر اساس مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به صورت زیر بیان شود:

$$\dot{\text x} = \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = f(\text x(t), \text u(t), t)$$

در معادله بالا، $$x(t)$$ بردار حالت نامیده می‌شود که مجموعه‌ای از متغیرهای تشکیل دهنده دینامیک سیستم در زمان $$t$$ را در خود دارد.

اگرچه متغیرهای حالت، منحصر به‌ فرد نیستند، اما باید تعداد حداقل $$n$$ متغیر وجود داشته باشد که بتوان با آن‌ها حالت سیستم را بررسی و رفتار آینده آن را پیش‌بینی کرد. $$n$$، مرتبه سیستم (System Order) نامیده می‌شود و بُعد فضای حالت را مشخص می‌کند. مرتبه سیستم، معمولاً با تعداد عناصر ذخیره‌کننده انرژی در سیستم متناظر است.

مدلسازی سیستم با نمایش فضای حالت سیستم

نمایش بلوک دیاگرامی یک سیستم با کنترل‌کننده فیدبک در شکل زیر نشان داده شده است.

در شکل بالا، مقادیر را می‌توان به صورت زیر نام‌گذاری کرد:

فیلم آموزش سیستم های کنترل خطی در فرادرس

کلیک کنید

• $$R$$: ورودی سیستم
• $$Y$$: خروجی سیستم
• $$C$$: بلوک کنترلی
• $$P$$ یا $$\tilde{P}$$: بلوک پلنت یا سیستم مورد نظر
• $$F$$: حلقه فیدبک

مثال ۱ از مدلسازی سیستم

سیستم جرم و فنر زیر را در نظر بگیرید.

معادله دیفرانسیل توصیف کننده سیستم بالا را به دست آوردید و برای مدلسازی سیستم سپس به فرم ماتریسی بازنویسی کنید.

حل:

برای این کار باید معادلات دیفرانسیل یا ODE را به مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل درجه یک تبدیل کرد. توجه کنید که متغیر x در این سیستم برابر با جابه‌جایی فنر از موقعیت اولیه یا $$x=0$$ در نظر می‌شود، نه فاصله آن از دیوار؛ زیرا فنر می‌تواند هم فشرده شود و هم دچار کشش شود.

$$F = m a$$

در فرمول بالا، نیروی $$F$$ برابر با مجموع نیروی فنر و اصطکاک و نیروی خارجی در نظر گرفته می‌شود. همچنین با استفاده از قانون هوک (Hooke's Law)، نیروی فنر (Spring Force) را به صورت زیر می‌توان به دست آورد:

$$spring \; force = - kx$$

با توجه به قانون استوک (Stokes' Law)، نیروی اصطکاک (Friction Force) برابر است با:

$$friction \; force = -\rho \dot { x }$$

بنابراین در نهایت معادله زیر برای این سیستم به دست می‌آید:

$$\begin{align*} { -kx - \rho \dot{x} + u = m\ddot{x} }. \end{align*}$$

می‌توانیم مقادیر $$\dot{x}$$، $$x$$ و $$\ddot{x}$$ را به یک سمت از معادله منتقل کنیم و متغیر $$u$$ در سمت دیگر از معادله باقی بماند. سپس ضرایب معادله را نرمالیزه می‌کنیم:

$$\begin{align*} \ddot{x} + \frac{\rho}{m}\dot{x} + \frac{k}{m}x = \frac{u}{m}. \end{align*}$$

$$\begin{align*} \left\{ \begin{array}{lrrrrr} \dot{x} = & v & \\ \dot{v} =& (- \frac{k}{m})x &+ &(- \frac{\rho}{m})v &+& (\frac{1}{m})u \end{array} \right. . \end{align*}$$

$$\begin{align*} \left\{ \begin{array}{lrrrrr} \dot{x} =& (0)x &+ &(1) v &+& (0) u \\ \dot{v} =& (- \frac{k}{m})x &+ &(- \frac{\rho}{m})v &+& (\frac{1}{m})u \end{array} \right. . \end{align*}$$

در نهایت می‌توان معادله را به فرم ماتریسی مانند زیر نوشت:

$$\begin{align*} \left(\begin{matrix} \dot{x} \\ \dot{v} \end{matrix}\right) &= \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{\rho}{m} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} x \\ v\end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{matrix}\right)u. \end{align*}$$

مثال ۲ از مدلسازی سیستم

مدار RL فرضی مانند شکل زیر را در نظر بگیرید.

معادله دیفرانسیل متناظر با این سیستم را به دست آورید و سپس با کاهش درجه معادلات دیفرانسیل به مرتبه یک، فرم ماتریسی آن را بنویسید.

حل:

$$- V_S + V_R + V_L = 0$$

$$V_R = RI$$

$$V_L = L\dot{I}$$

بنابراین در حالت کلی می‌توان نوشت:

$${-V_S + RI + L\dot{I} = 0}$$

پس داریم:

$$\begin{align*} \dot{I} = -\frac{R}{L}I + \frac{1}{L}V_S. \end{align*}$$

این معادله درجه یک، توصیف کننده سیستم مثال ۲ است. بنابراین با استفاده از فضای حالت، می‌توان مدلسازی سیستم الکتریکی و مکانیکی را انجام داد.

مدلسازی سیستم با فضای حالت n بعدی

با توجه به مثال‌های ۱ و ۲، برای سیستمی با n حالت (State) و m ورودی (Input) نیز می‌توان نوشت:

$$\begin{align*} \text{state } x = \left( \begin{matrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix}\right) \in R^n, \qquad \text{input } u = \left( \begin{matrix} u_1 \\ \vdots \\ u_m \end{matrix}\right) \in R^m, \end{align*}$$

نمایش فضای حالت خطی، برابر با مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل در فرم ماتریسی است. پس سیستم را می‌توان به صورت زیر در فرم ماتریسی نوشت:

$$\begin{align*} \left( \begin{matrix} \dot{x}_1 \\ \vdots \\ \dot{x}_n \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} {\Huge A} \\ \\ {\text{$n \times n$}\atop\text{matrix}}\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} {\Huge B} \\ \\ {\text{$n \times m$}\atop\text{matrix}}\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} u_1 \\ \vdots \\ u_m \end{matrix}\right). \end{align*}$$

معادله بالا را می‌توان به صورت زیر خلاصه کرد:

$$\dot{x} = A_{n\times n}x + B_{n \times m}u.$$

در نمایش فضای حالت، فرمول بالا را معادله دینامیک (Dynamics Equation) سیستم می‌گویند. می‌توانیم به معادله دینامیک بالا، معادله خروجی را نیز اضافه کنیم. خروجی‌های $$P$$ را به صورت بردار $$y$$ نشان می‌دهیم و داریم:

$$\begin{align*} \text{output } y &= \left( \begin{matrix} y_1 \\ \vdots \\ y_p \end{matrix}\right) \in R^p, \qquad y = Cx, \end{align*}$$

در این فرمول، $$C$$ برابر با یک ماتریس $$P \times n$$ است. به عنوان مثال، اگر فقط حالت $$x_1$$ مورد نظر باشد، می‌توانیم فقط آن را اندازه بگیریم و بنویسیم:

$$\begin{align*} y = x_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix}\right). \end{align*}$$

بنابراین در حالت کلی، نمایش فضای حالت سیستم را می‌توان به فرم زیر نوشت:

$$\begin{align*}\dot{x} &= Ax + Bu,\\ y &= Cx. \end{align*}$$

مدلسازی سیستم بر اساس نمایش فضای حالت، برای انواع مختلف سیستم‌ها مفید و کاربردی است. از مثال متداول پاندول ساده برای توضیح بیشتر کار با مدل فضای حالت استفاده می‌کنیم.

مثال ۳ از مدلسازی سیستم

یک سیستم پاندول ساده را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید.

معادلات دیفرانسیل توصیف‌کننده سیستم را بنویسید و سپس مدل فضای حالت آن را به دست آوردید.

حل

$$T = J \alpha$$

در فرمول بالا، گشتاور کلی یا $$T$$، برابر با مجموع گشتاور پاندول و گشتاور خارجی است. گشتاور پاندول و اینرسی لحظه‌ای هر کدام به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$\begin{align*} \text{pendulum torque} &= \underbrace{-m {\rm g} \sin \theta}_{\text{force}} \times \underbrace{\ell}_{\text{lever arm}},\\ \text{moment of inertia } J &= m\ell^2. \end{align*}$$

پس از جایگذاری داریم: