تابع دلتای دیراک، یکی از انواع مختلف توابع تعمیم یافته است که در زمینه‌های مختلف علوم و مهندسی کاربرد فراوانی دارد. برای مثال، اگر بخواهیم یه نیروی بزرگ ناگهانی در زمان کوتاه را به صورت ریاضی بیان کنیم، از این تابع استفاده می‌کنیم. این تابع که تابع ضربه نیز نامیده می‌شود، توسط «پل دیراک» (Paul Dirac) مطرح شد. در ادامه، با این تابع آشنا خواهیم شد.
فیلم آموزشی تابع دلتای دیراک تابع دلتای دیراک
تاکنون، تعریف‌های زیادی برای تابع دلتای دیراک ارائه شده است. این تابع، سه ویژگی اصلی دارد که دانستن آن‌ها ضروری است. این ویژگی‌ها عبارتند از:
δ ( t − a ) = 0 , t ≠ a \large \delta \left ( { t - a } \right ) = 0 , \, \, \, \, t \ne a δ ( t − a ) = 0 , t = a
∫ a − ε a + ε δ ( t − a ) d t = 1 , ε > 0 \large \displaystyle \int _ { { \, a - \varepsilon } } ^ { { \, a + \varepsilon } } { { \delta \left ( { t - a } \right ) \, d t } } = 1 , \hspace {0.25in} \varepsilon > 0 ∫ a − ε a + ε δ ( t − a ) d t = 1 , ε > 0
∫ a − ε a + ε f ( t ) δ ( t − a ) d t = f ( a ) , ε > 0 \large \displaystyle \int _ { { \, \, a - \varepsilon } } ^ { { \, \, a + \varepsilon } } { { f \left ( t \right ) \delta \left ( { t - a } \right ) \, d t } } = f \left ( a \right ) , \hspace {0.25in} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \varepsilon > 0 ∫ a − ε a + ε f ( t ) δ ( t − a ) d t = f ( a ) , ε > 0
در t = a t=a t = a t = a t = a t = a
تابع دلتای دیراک، تابع جالبی است. مقدار این تابع، در هر جایی جز یک نقطه، صفر است و مقدار انتگرال آن در هر بازه‌ای که آن نقطه را شامل شود، برابر با ۱ است. اگر کمی دقت کنیم، می‌بینیم که تابع دلتای دیراک یک تابع واقعی نیست و در حقیقت، مثالی از چیزی است که «تابع تعمیم یافته» (Generalized Function) یا «توزیع تعمیم یافته» (Generalized Distribution) نامیده می‌شود. با وجود عجیب بودن، این «تابع» در مدل‌سازی شوک‌های ناگهانی و یا نیروهای بزرگ به یک سیستم بسیار کارآمد است.
فرض کنید می‌خواهیم یک دیفرانسیل شامل تابع دلتای دیراک را حل کنیم. قبل از حل مسئله مقدار اولیه، لازم است تابع دلتای دیراک را تبدیل کنیم. برای این کار می‌توانیم از ویژگی سوم استفاده کنیم.
$$ \large \mathcal { L } \left \{ { \delta \left ( { t - a } \right ) } \right\} = \int _ { { \, 0 } } ^ { \infty } { { { { \bf { e } } ^ { - s \, t } } \delta \left ( { t - a } \right ) \, d t } } = { { \bf { e } } ^ { - a \, s } } \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} { \mbox { } } a > 0 $$
توجه کنید که ویژگی‌های دوم و سوم، اغلب از منفی بی‌نهایت تا بی‌نهایت تعریف می‌شوند. اما برای هر بازه‌ای که شامل t = a t=a t = a
اکنون می‌توانیم یک مسئله مقدار اولیه شامل تابع دلتای دیراک را حل کنیم.
مثال ۱
مسئله مقدار اولیه زیر را حل کنید.
y ′ ′ + 2 y ′ − 15 y = 6 δ ( t − 9 ) , y ( 0 ) = − 5 y ′ ( 0 ) = 7 \large y ^ { \prime \prime } + 2 y ^ \prime - 1 5 y = 6 \delta \left ( { t - 9 } \right ) , \hspace{0.25in} \hspace {0.25in} y \left ( 0 \right ) = - 5 \, \, \, \, \, \, y ^ \prime \left ( 0 \right ) = 7 y ′′ + 2 y ′ − 15 y = 6 δ ( t − 9 ) , y ( 0 ) = − 5 y ′ ( 0 ) = 7
حل: با گرفتن تبدیل لاپلاس و اعمال شرایط اولیه، داریم:
s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) + 2 ( s Y ( s ) − y ( 0 ) ) − 15 Y ( s ) = 6 e − 9 s ( s 2 + 2 s − 15 ) Y ( s ) + 5 s + 3 = 6 e − 9 s \large \begin {align*} { s ^ 2 } Y \left ( s \right ) - s y \left ( 0 \right ) - y ^ \prime \left ( 0 \right ) + 2 \left ( { s Y \left ( s \right ) - y \left ( 0 \right ) } \right ) - 1 5 Y \left( s \right ) & = 6 { { \bf { e } } ^ { - 9 s } } \\ \left ( { { s ^ 2 } + 2 s - 1 5 } \right ) Y \left ( s \right ) + 5 s + 3 & = 6 { { \bf { e } } ^ { - 9 s } } \end {align*} s 2 Y ( s ) − sy ( 0 ) − y ′ ( 0 ) + 2 ( s Y ( s ) − y ( 0 ) ) − 15 Y ( s ) ( s 2 + 2 s − 15 ) Y ( s ) + 5 s + 3 = 6 e − 9 s = 6 e − 9 s
در نتیجه، مقدار Y ( s ) Y(s) Y ( s )
Y ( s ) = 6 e − 9 s ( s + 5 ) ( s − 3 ) − 5 s + 3 ( s + 5 ) ( s − 3 ) = 6 e − 9 s F ( s ) − G ( s ) \large \begin {align*} Y \left ( s \right ) & = \frac { { 6 { { \bf { e } } ^ { - 9 s } } } } { { \left ( { s + 5 } \right ) \left ( { s - 3 } \right ) } } - \frac { { 5 s + 3 } } { { \left ( { s + 5 } \right ) \left ( { s - 3 } \right ) } } \\ & = 6 { { \bf { e } } ^ { - 9 s } } F \left ( s \right ) - G \left ( s \right ) \end {align*} Y ( s ) = ( s + 5 ) ( s − 3 ) 6 e − 9 s − ( s + 5 ) ( s − 3 ) 5 s + 3 = 6 e − 9 s F ( s ) − G ( s )
اکنون از تجزیه به کسرهای جزئی کمک می‌گیریم:
F ( s ) = 1 ( s + 5 ) ( s − 3 ) = 1 8 s − 3 − 1 8 s + 5 f ( t ) = 1 8 e 3 t − 1 8 e − 5 t \large \begin {align*} F \left ( s \right ) & = \frac { 1 } { { \left ( { s + 5 } \right ) \left ( { s - 3 } \right ) } } = \frac { { \frac { 1 } { 8 } } } { { s - 3 } } - \frac { { \frac { 1 } { 8 } } } { { s + 5 } } \\ f \left ( t \right ) & = \frac { 1 } { 8 } { { \bf { e } } ^ { 3 t } } - \frac { 1 } { 8 } { { \bf { e } } ^ { - 5 t } } \end {align*} F ( s ) f ( t ) = ( s + 5 ) ( s − 3 ) 1 = s − 3 8 1 − s + 5 8 1 = 8 1 e 3 t − 8 1 e − 5 t
G ( s ) = 5 s + 3 ( s + 5 ) ( s − 3 ) = 9 4 s − 3 + 11 4 s + 5 g ( t ) = 9 4 e 3 t + 11 4 e − 5 t \large \begin {align*} G \left ( s \right ) & = \frac { { 5 s + 3 } } { { \left ( { s + 5 } \right ) \left ( { s - 3 } \right ) } } = \frac { { \frac { 9 } { 4 } } } { { s - 3 } } + \frac { { \frac { { 1 1 } } { 4 } } } { { s + 5 } } \\ g \left ( t \right ) & = \frac { 9 } { 4 } { { \bf { e } } ^ { 3 t } } + \frac { { 1 1 } } { 4 }{ { \bf { e } } ^ { - 5 t } } \end {align*} G ( s ) g ( t ) = ( s + 5 ) ( s − 3 ) 5 s + 3 = s − 3 4 9 + s + 5 4 11 = 4 9 e 3 t + 4 11 e − 5 t
در نتیجه، حل نهایی معادله، به صورت زیر خواهد بود:
Y ( s ) = 6 e − 9 s F ( s ) − G ( s ) y ( t ) = 6 u 9 ( t ) f ( t − 9 ) − g ( t ) \large \begin {align*} Y \left ( s \right ) & = 6 { { \bf { e } } ^ { - 9 s } } F \left ( s \right ) - G \left ( s \right ) \\ y \left ( t \right ) & = 6 { u _ 9 } \left ( t \right ) f \left ( { t - 9 } \right ) - g \left ( t \right ) \end {align*} Y ( s ) y ( t ) = 6 e − 9 s F ( s ) − G ( s ) = 6 u 9 ( t ) f ( t − 9 ) − g ( t )
که در آن f ( t ) f(t) f ( t ) g ( t ) g(t) g ( t )
مثال ۲
مسئله مقدار اولیه زیر را حل کنید.
2 y ′ ′ + 10 y = 3 u 12 ( t ) − 5 δ ( t − 4 ) , y ( 0 ) = − 1 y ′ ( 0 ) = − 2 \large 2 y ^ {\prime \prime } + 1 0 y = 3 { u _ { 1 2 } } \left ( t \right ) - 5 \delta \left ( { t - 4 } \right ) , \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} y \left ( 0 \right ) = - 1 \, \, \, \, \, \, y ^ \prime \left ( 0 \right ) = - 2 2 y ′′ + 10 y = 3 u 12 ( t ) − 5 δ ( t − 4 ) , y ( 0 ) = − 1 y ′ ( 0 ) = − 2
حل: با گرفتن تبدیل لاپلاس و اعمال شرایط اولیه ، داریم:
2 ( s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) ) + 10 Y ( s ) = 3 e − 12 s s − 5 e − 4 s ( 2 s 2 + 10 ) Y ( s ) + 2 s + 4 = 3 e − 12 s s − 5 e − 4 s \large \begin {align*} 2 \left ( { { s ^ 2 } Y \left ( s \right ) - s y \left ( 0 \right ) - y ^ \prime \left ( 0 \right ) } \right ) + 1 0 Y \left ( s \right ) & = \frac { { 3 { { \bf { e } } ^ { - 1 2 s } } } } { s } - 5 { { \bf { e } } ^ { - 4 s } } \\ \left ( { 2 { s ^ 2 } + 1 0 } \right ) Y \left ( s \right ) + 2 s + 4 & = \frac { { 3 { { \bf { e } } ^ { - 1 2 s } } } } { s} - 5 { { \bf { e } } ^ { - 4 s } } \end {align*} 2 ( s 2 Y ( s ) − sy ( 0 ) − y ′ ( 0 ) ) + 10 Y ( s ) ( 2 s 2 + 10 ) Y ( s ) + 2 s + 4 = s 3 e − 12 s − 5 e − 4 s = s 3 e − 12 s − 5 e − 4 s
در نتیجه، مقدار Y ( s ) Y(s) Y ( s )
Y ( s ) = 3 e − 12 s s ( 2 s 2 + 10 ) − 5 e − 4 s 2 s 2 + 10 − 2 s + 4 2 s 2 + 10 = 3 e − 12 s F ( s ) − 5 e − 4 s G ( s ) − H ( s ) \large \begin {align*} Y \left ( s \right) & = \frac { { 3 { { \bf { e } } ^ { - 1 2 s } } } } { { s \left ( { 2 { s ^ 2 } + 1 0 } \right ) } } - \frac { { 5 { { \bf { e } } ^ { - 4 s } } } } { { 2 { s ^ 2 } + 1 0 } } - \frac { { 2 s + 4 } } { { 2 { s ^ 2 } + 1 0 } } \\ & = 3 { { \bf { e } } ^ { - 1 2 s } } F \left ( s \right ) - 5 { { \bf { e } } ^ { - 4 s } } G \left ( s \right ) - H \left ( s \right ) \end {align*} Y ( s ) = s ( 2 s 2 + 10 ) 3 e − 12 s − 2 s 2 + 10 5 e − 4 s − 2 s 2 + 10 2 s + 4 = 3 e − 12 s F ( s ) − 5 e − 4 s G ( s ) − H ( s )
لازم است تابع نخست عبارت بالا را به کسرهای جزئی تجزیه کنیم:
F ( s ) = 1 s ( 2 s 2 + 10 ) = 1 10 1 s − 1 10 s s 2 + 5 f ( t ) = 1 10 − 1 10 cos ( 5 t ) \large \begin {align*} F \left ( s \right ) & = \frac { 1 } { { s \left ( { 2 { s ^ 2 } + 1 0 } \right ) } } = \frac { 1 } { { 1 0 } } \frac { 1 } { s } - \frac { 1 } { { 1 0 } } \frac { s } { { { s ^ 2 } + 5 } } \\ f \left ( t \right ) & = \frac { 1 } { { 1 0 } } - \frac { 1 } { { 1 0 } } \cos \left ( { \sqrt 5 \, t } \right ) \end {align*} F ( s ) f ( t ) = s ( 2 s 2 + 10 ) 1 = 10 1 s 1 − 10 1 s 2 + 5 s = 10 1 − 10 1 cos ( 5 t )
عکس تبدیل لاپلاس سایر جملات نیز به صورت است:
g ( t ) = 1 2 5 sin ( 5 t ) \large g \left ( t \right ) = \frac { 1 } { { 2 \sqrt 5 } } \sin \left ( { \sqrt 5 \, t } \right ) g ( t ) = 2 5 1 sin ( 5 t )
h ( t ) = cos ( 5 t ) + 2 5 sin ( 5 t ) \large h \left ( t \right ) = \cos \left ( { \sqrt 5 \, t } \right ) + \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } \sin \left ( { \sqrt 5 \, t } \right ) h ( t ) = cos ( 5 t ) + 5 2 sin ( 5 t )
در نتیجه، حل نهایی معادله، به صورت زیر خواهد بود:
Y ( s ) = 3 e − 12 s F ( s ) − 5 e − 4 s G ( s ) − H ( s ) y ( t ) = 3 u 12 ( t ) f ( t − 12 ) − 5 u 4 ( t ) g ( t − 4 ) − h ( t ) \large \begin {align*} Y \left ( s \right ) & = 3 { { \bf { e } } ^ { - 1 2 s } } F \left ( s \right ) - 5 { { \bf { e } } ^ { - 4 s } } G \left ( s \right ) - H \left ( s \right ) \\ y \left ( t \right ) & = 3 { u _ { 1 2 } } \left ( t \right ) f \left ( { t - 1 2 } \right ) - 5 { u _ 4 } \left ( t \right ) g \left ( { t - 4 } \right ) - h \left ( t \right ) \end {align*} Y ( s ) y ( t ) = 3 e − 12 s F ( s ) − 5 e − 4 s G ( s ) − H ( s ) = 3 u 12 ( t ) f ( t − 12 ) − 5 u 4 ( t ) g ( t − 4 ) − h ( t )
که در آن f ( t ) f(t) f ( t ) g ( t ) g(t) g ( t ) h ( t ) h(t) h ( t )
در اینجا می‌خواهیم ارتباط تابع پله و تابع دلتای دیراک را به دست آوریم. ابتدا انتگرال زیر را در نظر بگیرید:
$$ \large \int _ { { \, - \infty } } ^ { t } { { \delta \left ( { u - a } \right ) \, d u } } = \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } } 0, &{ \hspace {0.25in} { \mbox { }}t < a}\\ 1, & { \hspace {0.25in} { \mbox { } } t > a } \end {array} } \right . $$
همان‌گونه که می‌بینیم، حاصل انتگرال دقیقاً همان تعریف تابع پله است. بنابراین، می‌توان نوشت:
∫ − ∞ t δ ( u − a ) d u = u a ( t ) \large \int _ { { \, - \infty } } ^ { t } { { \delta \left ( { u - a } \right ) \, d u } } = { u _ a } \left ( t \right ) ∫ − ∞ t δ ( u − a ) d u = u a ( t )
و با استفاده از قضیه اساسی حسابان ، داریم:
u a ′ ( t ) = d d t ( ∫ − ∞ t δ ( u − a ) d u ) = δ ( t − a ) \large {u'_a}\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {\int_{{\, - \infty }}^{t}{{\delta \left( {u - a} \right)\,du}}} \right) = \delta \left( {t - a} \right) u a ′ ( t ) = d t d ( ∫ − ∞ t δ ( u − a ) d u ) = δ ( t − a )
در نتیجه، می‌توان گفت که مشتق تابع پله، برابر با تابع دلتای دیراک است.
اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
^^
فرادرس
ویدیو ضمیمه عاالی بود. ممنون.
تشکر عالی هست
سلام.
مطالب ارائه شده در مورد تابع تعمیم یافته دلتای دیراک بسیار بسیار بسیار مختصر بیان شده است.
خوب هستش فقط نیاز به ویرایش داره
خیلی ممنونم عالی بود.
عالی هستین واقعا، من هر چی تو جزوه و کتاب دانشگاهی نمیفهمم میام اینجا و کلا درک میکنم چی میگه،مرسی