برق , مهندسی 994 بازدید

«پاسخ گذرا» (Transient Response) که با نام پاسخ طبیعی نیز شناخته می‌شود، پاسخ یک سیستم دینامیکی به هرگونه تغییرات در حالت ماندگار یا وضعیت تعادل است. پاسخ پله و ضربه، مثال‌هایی از این پاسخ هستند.

شکل زیر، یک نوسان میرا را نشان می‌دهد که نمونه‌ای از یک پاسخ حالت گذرا است.

نوسان میرا
شکل 1: نوسان میرای یک سیستم نمونه

خروجی سیستمی با تابع تبدیل $$G(s)$$ و ورودی $$R(s)$$، به صورت زیر است:

خروجی

خروجی $$C(s)$$‌ و پاسخ $$c(t)$$ آن را می‌توان به فرم  زیر نوشت که در آن، قطب‌های متمایز $$(p_1,…,p_n)$$ مختلط یا حقیقی هستند.

خروجی

مخرج $$C(s)=G(s)R(s)$$ و بسط کسری جزئی آن، شامل جملاتی از قطب‌های ورودی $$R(s)$$ و سیستم $$G(s)$$ است.

پایداری سیستم

«پایداری» (Stability)، مهم‌ترین مشخصه پاسخ گذرا است. یک سیستم پایدار است، اگر پاسخ حالت گذرای آن کاهشی باشد.

قضیه پایداری اساسی را می‌توان با کمک رابطه (۱) بیان کرد. اگر هر قطب $$p_i$$ سیستم، مثبت باشد یا بخش حقیقی آن مثبت باشد، نمایی متناظر با آن رشد خواهد کرد و سیستم ناپایدار خواهد بود. بخش حقیقی مثبت بدین معنی است که قطب، در سمت راست محور موهومی صفحه s قرار دارد. بنابراین:

یک سیستم، پایدار است اگر و تنها اگر، همه قطب‌های آن، در سمت چپ محور موهومی صفحه s باشند.

پاسخ گذرای سیستم مرتبه اول

سیستم مرتبه اول زیر، یک مثال متداول برای تحلیل سیستم‌های کنترل است.

سیستم مرتبه اول
شکل 2: سیستم مرتبه اول پس‌فاز

برای یک ورودی پله $$R(s)=1/s$$، داریم:

خروجی

در نتیجه، پاسخ حالت گذرا به فرم زیر است:

پاسخ گذرا

در پاسخ کامل بالا، جمله نخست پاسخ اجباری به ورودی را مشخص می‌کند، در حالی که جمله دوم، پاسخ گذرای ناشی از قطب سیستم است. شکل 3، این پاسخ گذرا (جمله دوم) و $$c(t)$$‌ را نشان می‌دهد. از شکل 3 (الف) واضح است که پاسخ گذرا به صورت نمایی کاهش می‌یابد و از جایی به بعد سرعت کاهش آن کم می‌شود. سرعت این کاهش معمولاً با «ثابت زمانی» (Time constant) یا T اندازه‌گیری می‌شود.

شکل 3: پاسخ پله یک شبکه پس‌فاز ساده

ثابت زمانی یک سیستم، مدت زمانی است که طول می‌کشد پاسخ سیستم به صورت نمایی به اندازه $$e^{-1}=0.368$$ نسبت به مقدار اولیه کاهش یابد. از آن‌جایی که وقتی $$t=T$$، $$e^{-t/T}=e^{-1}$$  است، داریم:

  1. ثابت زمانی یک شبکه پس‌فاز $$(1/Ts+1)$$، برابر T ثانیه است.
  2. به دلیل همین ثابت زمانی است که سیستم مرتبه اول را به فرم خاصی می‌نویسیم. ضریب s سرعت کاهش پاسخ را نشان می‌دهد.
  3. معمولاً با گذشت $$4T$$ ثانیه، پاسخ گذرا به $$1.8 \%$$ مقدار اولیه‌اش کاهش پیدا می‌کند.
  4. در $$t=T$$، داریم:‌$$c(T)=1-0.368=0.632$$.

مقادیر متناظر با زمان $$t=T$$، در شکل‌های بالا مشخص شده است. شیب اولیه منحنی‌های بالا نیز با نقطه‌چین مشخص شده است. رابطه زیر، نحوه به دست آوردن T‌ را از شیب نشان می‌دهد:

ثابت زمانی

بنابراین، برای یکی سیستم مرتبه اول ساده، دو مشخصه بسیار مهم وجود دارد:

1. پایداری: همان‌گونه که گفته شد، برای آنکه سیستم پایدار باشد، باید قطب $$-1/T$$ در سمت چپ محور موهومی صفحه s باشد. در غیر این صورت، پاسخ گذرای $$e^{-t/T}$$ به جای کاهش، افزایش می‌یابد.

2. سرعت پاسخ: برای آنکه سرعت پاسخ را با کاهش ثابت زمانی افزایش دهیم، قطب $$-1/T$$ باید بزرگتر باشد (در سمت چپ محور موهومی بوده و فاصله زیادی از آن داشته باشد).

پاسخ گذرای سیستم مرتبه دوم

تابع تبدیل متداولی که با آن‌ یک سیستم مرتبه دوم را نشان می دهیم، به صورت استاندارد زیر است:

سیستم مرتبه دوم

که در آن، $$\omega _n$$ فرکانس طبیعی نامیرا و $$\zeta$$ ضریب میرایی است.

برای ورودی پله $$R(s)=1/s$$، خروجی به صورت زیر خواهد بود:

خروجی

معادله مشخصه به فرم زیر است:

معادله مشخصه

قطب‌های سیستم، به مقدار $$\zeta$$ بستگی دارند:

  • اگر $$\zeta >1$$ باشد، $$s_{1,2}=-\zeta \omega_n \pm \omega _n\sqrt{\zeta ^2-1}$$ بوده و پاسخ فرامیرا است.
  • اگر $$\zeta =1$$‌ باشد، $$s_{1,2}=-\omega _n$$ بوده و پاسخ میرای بحرانی است.
  • اگر $$\zeta <1$$ باشد، $$s_{1,2}=-\zeta \omega_n \pm j \omega _n\sqrt{1-\zeta ^2}$$ بوده و پاسخ فرومیرا است.

شکل 4، صفحه s‌ و موقعیت قطب‌ها را در آن، نشان می‌دهد.

قطب‌های سیستم
شکل 4: قطب‌های سیستم مرتبه دوم
  • اگر $$\zeta >1$$، قطب‌ها در قسمت منفی محور حقیقی و دو سمت $$-\omega _n$$‌ هستند.
  • اگر $$\zeta =1$$، در قطب در $$-\omega _n$$‌ قرار دارند.
  • اگر $$\zeta <1$$، قطب‌ها روی دایره‌ای به شعاع $$\omega _n$$‌ و به مرکز مبدا قرار دارند. فرمول زیر، نحوه به دست آوردن فاصله از مبدا را نشان می‌دهد:

فرکانس

با دقت در شکل ۳، می‌توان نوشت:

کسینوس

بنابراین،

ثابت زمانی

مشابه سیستم مرتبه اول، دامنه پاسخ، با گذشت $$4T$$ ثانیه، به $$2\%$$ مقدار اولیه خود می‌رسد. تعیین رابطه بین رفتار دینامیکی و موقعیت قطب‌ها در صفحه s شکل 4 امری ضروری است:

1. پایداری مطلق: برای کاهش پاسخ گذرا، بخش حقیقی $$-\zeta\omega _n$$ قطب‌ها باید منفی باشد (در سمت چپ محور موهومی واقع شود).

2. پایداری نسبی: برای جلوگیری از فراجهش زیاد و رفتار نوسانی، مقدار ضریب میرایی $$\zeta$$ باید رضایت‌بخش باشد. از آن‌جایی که $$\zeta=\cos \Phi$$، زاویه $$\Phi$$‌ نباید نزدیک $$90^\circ$$ باشد.

3. ثابت زمانی: با افزایش اندازه بخش حقیقی (منفی) قطب، ثابت زمانی کم می‌شود (سرعت میل به صفر افزایش می‌یابد).

4. سرعت پاسخ: سرعت پاسخ، با افزایش فاصله $$\omega _n$$ قطب‌ها از مبدا، افزایش می‌یابد.

5. فرکانس طبیعی نامیرا: این فرکانس، برابر با فاصله قطب‌ها از مبدا است. افزایش $$\omega _n$$ قطب‌ها (با $$\zeta $$ ثابت)، سرعت پاسخ را زیاد می‌کند، در حالی که درصد فراجهش تغییری نمی‌کند.

6. فرکانس نوسانات گذرا ($$\omega _n \sqrt{1-\zeta ^2}$$): این فرکانس، فرکانس تشدید یا رزونانس و فرکانس طبیعی میرا نیز نامیده می‌شود که برابر با قسمت موهومی قطب مختلط است.

اگر مطلب بالا برای شما مفید بوده و علاقه‌مند به فراگیری سایر موضوعات مرتبط با آن‌ هستید، پیشنهاد می‌کنیم آموزش‌های زیر را نیز ببینید:

^^

telegram
twitter

سید سراج حمیدی

«سید سراج حمیدی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. فعالیت‌های کاری و پژوهشی او در زمینه سیستم‌های فتوولتائیک و کاربردهای کنترل در قدرت بوده و، در حال حاضر، آموزش‌های مهندسی برق و ریاضیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

2 نظر در “پاسخ گذرا (Transient Response) — مفاهیم پایه

  1. با سلام
    تشکر از اموزشهای خوبتون
    لطفا هنگامی که در مثالها یا فرمولها جاگذاری میکنید توضیح بدید که چطوری اون نتیجه حاصل میشه! مثلا در همون ابتدای مطلب و پاسخ گذرای سیستم مرتبه اول چطوری با ضرب ۱/s اون نتیجه حاصل شده ؟

    1. سلام.
      در ابتدای مطلب و رابطه (۱)، فرم عمومی پاسخ بیان شده و مستقل از نوع ورودی است. در بخش پاسخ گذرای سیستم مرتبه اول نیز، برای محاسبه خروجی از چند عمل ریاضی ساده استفاده شده تا خروجی سیستم به فرم (۱) و بسط کسرهای جزئی در آید.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *