آونگ غیرخطی— از صفر تا صد

در مباحث ارتعاشات، آونگ ساده، مرکب و معادلات دیفرانسیل خطی حاکم بر آن‌ها و همچنین پاسخ‌هایشان مورد بحث قرار گرفتند. همان‌طور که احتمالا می‌دانید، فرض خطی بودن پاسخ‌ها در حالت واقعی برقرار نبوده و به‌منظور ساده‌تر کردن معادلات حاکم، این فرض انجام شده است. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد آونگ غیرخطی بحث کرده و رابطه‌ای به منظور بدست آوردن دوره تناوب آن ارائه دهیم. بنابراین پیشنهاد می‌شود ابتدا به ساکن مطالبِ معادلات دیفرانسیل و ارتعاشات مطالعه شوند.

معادله دیفرانسیل نوسان

پاندول یا آونگ، مدلی ایده‌آل از جرمِ در حال نوسان است که به میله‌ای بی‌وزن متصل شده. به منظور بدست آوردن معادله نوسان در ابتدا میله‌ای به طول $$L$$ را در نظر گرفته که جرمِ $$m$$ به آن متصل شده است. در این سیستم، حرکتی دوره‌ای وجود دارد که می‌توان آن را به صورت حرکتی دایره‌ای در نظر گرفت. در شکل زیر چنین سیستمی نشان داده شده است.

فیلم آموزش مکانیک تحلیلی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

نیرو‌های وارد شده به این سیستم مطابق با تصویر فوق هستند. با فرض این‌ که $$\varepsilon$$، شتاب زاویه‌ای پاندول در هر لحظه باشد، در این صورت می‌توان رابطه زیر را بین آن و لختی دورانی بیان کرد:

$$\large \varepsilon = \frac { { { d ^ 2 } \alpha } } { { d { t ^ 2 } } } = \frac { M } { I } $$

توجه داشته باشید که $$I$$ نشان دهنده لختی دورانی حول مرکز است. در این مسئله، گشتاور با تصویر کردن نیروی وزن در راستای مماس بر حرکت آونگ بدست می‌آید. این گشتاور برابر است با:

$$ \large M = – m g L \sin \alpha $$

علامت منفی نشان‌دهنده آن است که در هنگام قرار‌گیری پاندول در زاویه مثبت، نیروی گرانش تلاش می‌کند پاندول را در راستای منفی به‌ حرکت در آورد. هم‌چنین توجه داشته باشید که لختی دورانی پاندول حول مرکز برابر است با:

$$ I = m { L ^ 2 } $$

با این فرضیات معادله دیفرانسیل حرکت را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

$$ \large \begin {gather*} \require {cancel} { { \frac { { { d ^ 2 } \alpha } } { { d { t ^ 2 } } } } = { \frac{{ – \cancel { m } g \cancel { L } \sin \alpha } } { { \cancel { m } { L^ \cancel {2 } } } } } = { – \frac { { g \sin \alpha } } { L } ,\;\;} } \\ \\ \Rightarrow { \frac { { { d ^ 2 } \alpha } } { { d{ t ^ 2 } } } + \frac { g } { L } \sin \alpha = 0 } \end {gather*} $$

در مواردی که زاویه نوسان اندک در نظر گرفته می‌شود، می‌توان از تقریبِ $$ \sin \alpha \approx \alpha $$ استفاده کرد. در نتیجه این فرض، معادله دیفرانسیلی به‌صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large { \frac { { { d ^ 2 } \alpha } } { { d { t^ 2 } } } + \frac { g } { L } \alpha = 0\;\;} \kern-0.3 pt {\text{or}\;\; \frac { { { d ^ 2 } \alpha } } { { d { t ^2 } } } + {\omega ^ 2 } \alpha = 0 } $$

در رابطه فوق، $$ \omega = \sqrt { \large \frac { g } { L } \normalsize } $$ نشان‌دهنده سرعت زاویه‌ای است. البته می‌توان از عکس این مفهوم استفاده کرده و دوره تناوب را به صورت زیر تعریف کرد.

$$\large T = \frac { { 2 \pi } } { \omega } = 2 \pi \sqrt { \frac { L }{ g } } $$

با این حال با افزایش دامنه، فرض خطی بودن معادله برقرار نخواهد بود. در این حالت به منظور بررسی رفتار سیستم باید معادله غیرخطی حل شود.

دوره تناوب آونگ غیرخطی

همان‌طور که در بالا نیز عنوان شد، معادله یک پاندول غیرخطی به‌صورت زیر است.

$$\large \frac { { { d ^ 2 } \alpha } } { { d { t ^ 2 } } } + \frac { g } { L } \sin \alpha = 0 $$

فیلم آموزش مکانیک تحلیلی ۱ Analytical Mechanics در فرادرس

کلیک کنید

به منظور حل معادله فوق، شرایط اولیه باید به صورت زیر در نظر گرفته شوند.

$$\large {\alpha \left ( { t = 0 } \right ) = { \alpha _ 0 } \;\; ,\;\;\;} \kern-0.3pt { \frac { { d \alpha } } { { d t } } \left ( { t = 0} \right ) = 0 } $$

توجه داشته باشید که $$ { \alpha _ 0 } $$ نشان‌دهنده دامنه نوسان است. مرتبه معادله دیفرانسیل را می‌توان در صورت یافتن ضریب انتگرالی مناسب، کاهش داد. با ضرب کردن طرفین معادله در ضریب انتگرالی $$ \frac { { d \alpha } } { { d t } } \normalsize $$، معادله زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large \begin {gather*} { { \frac { { { d ^ 2 } \alpha } } { { d{ t ^2 } } } \frac { { d \alpha } }{ { d t } } } + { \frac { g } { L}\sin \alpha \frac { { d\alpha } } { { d t } } } = { 0 \;\;} } \\ \\ \Rightarrow \frac { d } { d t } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left(\frac { d \alpha } { d t } \right) ^ 2 -\frac { g }{ L } \cos \alpha \right] = 0 \end {gather*} $$

پس از انتگرال‌گیری به معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر می‌رسیم.

$$ \large { \left ( { \frac { { d \alpha } } { { d t } } } \right ) ^ 2 } – \frac { { 2 g } } { L } \cos \alpha = C $$

ضریب $$ C $$ را می‌توان به صورت زیر و با استفاده از شرایط اولیه بدست آورد.

$$ \large C = – \frac { { 2 g } } { L } \cos { \alpha _ 0 } $$

در این صورت معادله نیز به صورت زیر در خواهد آمد.

$$ \large { { \left ( { \frac { { d \alpha } } { { d t } } } \right ) ^ 2 } } = { \frac{{2g}}{ L } \left ( { \cos \alpha – \cos { \alpha _ 0 } } \right) } $$

در مرحله بعد با اعمال قانون نصف کمان، معادله به صورت زیر در خواهد آمد.

$$ \large \begin {gather*} { { { \left ( { \frac { { d \alpha } } { { d t } } } \right)^2} }={ \frac { { 4 g } } { L } \cdot}\kern0pt{ \left( { { { \sin } ^ 2 }\frac { { { \alpha _0 } } } { 2 } – {{\sin } ^ 2 } \frac{\alpha } { 2 } } \right) \;\;} } \\ \\ \Rightarrow { { \frac { { d \alpha } } { { d t } } } = { 2\sqrt {\frac { g } { L } } \cdot } \kern0pt{ \sqrt { { { \sin } ^ 2 } \frac { { { \alpha _0 } } }{ 2 } – { { \sin } ^ 2 } \frac { \alpha } { 2 } } } } \end {gather*} $$

توجه داشته باشید که منظورمان از قانون نصف کمان، رابطه زیر است.

$$ \large \cos \alpha = 1 – 2 \, { \sin ^ 2 } \frac { \alpha } { 2 } $$

با انتگرال‌گیری از طرفین معادله فوق، داریم:

$$ \large { \int { \frac { { d \left( {\frac { \alpha } { 2} } \right ) } } { { \sqrt { { { \sin } ^ 2 } \frac { { { \alpha _ 0 } } } { 2 } – { { \sin } ^ 2 } \frac { \alpha } { 2 } } } } } } = { \sqrt { \frac { g } { L } } \int { d t } } $$

با فرض $$ \sin { \large \frac { { { \alpha _ 0 } } } { 2 } \normalsize } = k $$ و تعریف متغیر جدیدی تحت عنوانِ $$ θ $$ به جای $$\alpha$$، رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large { \sin \frac { \alpha } { 2 } = \sin \frac { { { \alpha _ 0 } } } { 2 } \sin \theta } = { k \sin \theta } $$

دیفرانسیل عبارت سمت چپ رابطه فوق برابر است با:

$$ \large \begin {align*} { d \left( {\sin \frac { \alpha } { 2 } } \right ) } & = { \cos \frac { \alpha } { 2 } d \left ( { \frac {\alpha } { 2 } } \right) } \\\\ & = {\sqrt {1 – { { \sin } ^ 2 } \frac { \alpha } { 2 } } d \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) } \\\\ & = { \sqrt {1 – { k ^ 2 } \, { { \sin } ^ 2 } \theta } \, d \left( {\frac{\alpha } { 2 } } \right ) } \\\\ & = { k \cos \theta d \theta } \end {align*} $$

نهایتا دیفرانسیل متغیر مجازی را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$ \large { d \left ( { \frac { \alpha } { 2 } } \right ) } = { \frac { { k \cos \theta d \theta } } { { \sqrt { 1 – { k ^ 2 } \, { { \sin } ^ 2 } \theta } } } } $$

از این رو معادله بدست آمده در بالا به شکل زیر قابل بازنویسی است.

$$\large \begin {align*} {{\int { \frac { { \cancel { k \cos \theta} d\theta } } { { \sqrt {1 – { k ^ 2 }\, { { \sin }^2}\theta }\,\cancel { k \cos \theta } } } } } = { \sqrt {\frac { g } { L } } \int {dt} ,\;\;} } \Rightarrow { { \int { \frac { { d \theta } } { { \sqrt {1 – { k ^ 2 } \,{ { \sin } ^ 2 } \theta } }}} } = { \sqrt { \frac { g } { L } } \int { d t } } } \end {align*} $$

حال می‌خواهیم در مورد حدود انتگرال بحث کنیم. در ابتدا باید بگوییم که $$T$$ نشان‌دهنده دوره تناوب بوده و برابر با مدت زمانی است که آونگ یک نوسان کامل را انجام می‌دهد. هنگامی که آونگ در نقطه تعادلش قرار دارد، در حقیقت زاویه آن برابر با $$\alpha = 0$$ است. هم‌چنین در حالتی که سرعت پاندول صفر شده و به $$\alpha = {\alpha_0}$$ می‌رسد، مدت زمان به اندازه $$ \frac { T } { 4 } $$ سپری شده است. در حالتی که $$ \theta = { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize }$$ است، زاویه پاندول در $$\alpha = {\alpha_0}.$$ قرار دارد. بنابراین عبارت زیر برای دوره تناوب بدست می‌آید.

$$ \large { { \sqrt { \frac { g } { L } } \frac { T } { 4 } } = { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \frac { { d \theta } } { { \sqrt { 1 – { k ^ 2 } \, { { \sin } ^ 2 } \theta } } } } \;\;} } \kern-0.3pt {{\text{or}\;\;T = 4\sqrt { \frac { L } { g } } \cdot} \kern0pt { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize} { \frac { { d\theta } } { { \sqrt { 1 – { k ^ 2 } \, { { \sin } ^ 2 } \theta } } } } } } $$

انتگرال سمت راست را نمی‌توان به صورت تابعی مشخص بیان کرد. این انتگرال را، انتگرالِ بیضوی نوع اول می‌نامند. در حقیقت انتگرال بیضوی برابر است با:

$$ \large { K \left ( k \right ) } = { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { \pi }{ 2 } \normalsize } { \frac { { d \theta } } { { \sqrt { 1 – { k ^ 2 } \, { { \sin } ^ 2 } \theta } } } } } $$

تابع فوق به ازای مقادیر مختلفِ $$ k $$ محاسبه می‌شوند. این مقادیر در نمودار زیر نشان داده شده‌اند.

توجه داشته باشید که تابع $$K\left( k \right)$$ را می‌توان به صورت سری توانی نیز که در ادامه آمده، نوشت.

$$ \large \begin {gather*} { K \left ( k \right ) } = { \frac { \pi } { 2 } \left\{ { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2} { k ^ 2} } \right.} + { \left.{ { { \left ( { \frac { { 1 \cdot 3 } } { { 2 \cdot 4 } } } \right ) } ^ 2 } { k ^ 4 } } \right. } \\ \\ + { \left.{ {{\left( {\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 } } { { 2 \cdot 4 \cdot 6}}} \right ) } ^ 2} { k ^ 6 } + \ldots } \right.} \kern0pt {\left. { + { { \left[ { \frac { { \left( {2n – 1} \right ) !! } } { { \left( {2n} \right ) !! } } } \right]} ^ 2 } { k ^{ 2 n } } + \ldots } \right\} } \end {gather*} $$

در رابطه فوق، $${\left( {2n – 1} \right)!!}$$ و $${\left( {2n} \right)!!}$$ نشان دهنده فاکتوریلِ اعداد فرد و زوج هستند. جالب است بدانید که در نظر گرفتن تنها جمله اول ($$ K \left( k \right) \approx { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } $$) به معنای آن است که، نوسان به صورت خطی در نظر گرفته شده است. در این حالت دوره تناوب نیز مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large { { T _ 0 } = 4 \sqrt { \frac { L } { g } } K \left ( k \right ) }\approx { 4 \sqrt { \frac { L } { g } } \frac{\pi } { 2 } } = { 2 \pi \sqrt {\frac {L } { g } } } $$

بدیهی است که هرچه ترم‌های بیشتری از سری فوق در نظر گرفته شوند، توصیف دقیق‌تری از نوسان را می‌توان ارائه داد.

مثال

میزان خطای دوره تناوب فرض شده برای آونگ ساده نسبت به آونگ غیرخطی چقدر است؟

فیلم آموزش مکانیک تحلیلی ۱ مرور و حل مثال در فرادرس

کلیک کنید

در ابتدا باید بگوییم که دوره تناوب با فرض خطی بودنِ نوسان، برابر است با:

$$ \large { T _ 0 } = 2 \pi \sqrt { \large \frac { L } { g } \normalsize } $$

به منظور تعیین دوره تناوب از سری ارائه شده در بالا استفاده می‌کنیم. با فرض $$n=1$$ رابطه زیر برای دوره تناوب بدست خواهد آمد.

$$ \large \begin {align*} { { T _ 1 } \left( { { \alpha _0}} \right) = 4\sqrt {\frac{L}{g}} K\left ( k \right ) } & = { 4 \sqrt {\frac{L}{g}} K\left( {\sin {\alpha _0}} \right ) } \\\\ & = { 4 \sqrt { \frac { L }{ g } } \left[ {\frac{\pi }{2}\left( {1 + \frac{1}{ 4 } { { \sin } ^ 2 } \frac { { { \alpha _ 0 } } } { 2 } } \right)} \right] } \\\\ & = { { T _ 0 } \left( {1 + \frac { 1 } { 4 }{{\sin }^2}\frac { { { \alpha _ 0 } } }{ 2 } } \right) } \end {align*} $$

بدیهی است که در رابطه فوق، ترم اول یا همان $$ { T _ 0 } = 2 \pi \sqrt {\frac { L } { g } } $$، نشان دهنده دوره تناوب پاندول ساده است. بنابراین $$ { { \large\frac{1}{4}\normalsize} {{\sin }^2}{ \large \frac { { { \alpha _0 } } } { 2 } \normalsize} } $$ نشان دهنده اختلاف دوره تناوبِ ناحیه خطی با غیرخطی است. به‌طور مشابه با در نظر گرفتن $$n=2$$ و $$n=3$$ در روابط فوق، این اختلاف برابر با عدد دقیق‌تری بدست خواهد آمد:

$$ \large { { T _ 2 } \left ( { { \alpha _ 0 } } \right) }={ {T_0}\left( {1 + \frac { 1 } { 4 } { { \sin } ^ 2 } \frac { { { \alpha _0 } } } { 2 } } \right.}+{\left.{ \frac { 9 } { { 6 4 } } { { \sin } ^ 4 } \frac { { { \alpha _ 0 } } }{ 2 } } \right ) } $$

$$ \large { { { T _ 3 } \left ( { { \alpha _0}} \right) }={ {T_0}\left( {1 + \frac { 1 } { 4 } { { \sin } ^ 2 } \frac { { { \alpha _ 0 } } } { 2 } } \right.}+{\left.{ \frac { 9 } { { 64 } } { { \sin } ^ 4 } \frac { { { \alpha _0 } } } { 2 } } \right.} {\left. {\;+\;\frac { { 225 } } { { 2304 } } { { \sin }^6}\frac { { { \alpha _ 0 } } } { 2 } } \right ) } } $$

در تصویر فوق درصد اختلافِ مقادیر دوره تناوب نسبت به حالت خطی در قالب نمودار نشان داده شده است. همان‌طور که دیده می‌شود، برای زوایای کمتر از $${\alpha_0} = 20^{\circ}$$ دوره تناوب با فرض $$ n = 1 , 2 $$ تفاوت چندانی با یکدیگر نخواهند داشت.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مکانیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی مکانیک
• مجموعه آموزش‌های مهندسی کنترل
• مجموعه آموزش‌های مهندسی مکانیک
• آونگ مرکب — از صفر تا صد
• آونگ ساده در فیزیک — مفاهیم پایه