آونگ غیرخطی– از صفر تا صد

۱۴۰۲/۰۲/۲۵

۱۱ دقیقه

۶۴۲۳

آموزش متنی جامع

در مباحث ارتعاشات، آونگ ساده، مرکب و معادلات دیفرانسیل خطی حاکم بر آن‌ها و همچنین پاسخ‌هایشان مورد بحث قرار گرفتند. همان‌طور که احتمالا می‌دانید، فرض خطی بودن پاسخ‌ها در حالت واقعی برقرار نبوده و به‌منظور ساده‌تر کردن معادلات حاکم، این فرض انجام شده است. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد آونگ غیرخطی بحث کرده و رابطه‌ای به منظور بدست آوردن دوره تناوب آن ارائه دهیم. بنابراین پیشنهاد می‌شود ابتدا به ساکن مطالبِ معادلات دیفرانسیل و ارتعاشات مطالعه شوند.

فهرست مطالب این نوشته

معادله دیفرانسیل نوسان

دوره تناوب آونگ غیرخطی

مثال

معادله دیفرانسیل نوسان

پاندول یا آونگ، مدلی ایده‌آل از جرمِ در حال نوسان است که به میله‌ای بی‌وزن متصل شده. به منظور بدست آوردن معادله نوسان در ابتدا میله‌ای به طول

L

را در نظر گرفته که جرمِ

m

به آن متصل شده است. در این سیستم، حرکتی دوره‌ای وجود دارد که می‌توان آن را به صورت حرکتی دایره‌ای در نظر گرفت. در شکل زیر چنین سیستمی نشان داده شده است.

فیلم آموزش مکانیک‌ تحلیلی 2 در فرادرس

کلیک کنید

pendulum

نیرو‌های وارد شده به این سیستم مطابق با تصویر فوق هستند. با فرض این‌ که

\varepsilon

، شتاب زاویه‌ای پاندول در هر لحظه باشد، در این صورت می‌توان رابطه زیر را بین آن و لختی دورانی بیان کرد:

$\large \varepsilon = \frac { { { d ^ 2 } \alpha } } { { d { t ^ 2 } } } = \frac { M } { I }$

توجه داشته باشید که $I$ نشان دهنده لختی دورانی حول مرکز است. در این مسئله، گشتاور با تصویر کردن نیروی وزن در راستای مماس بر حرکت آونگ بدست می‌آید. این گشتاور برابر است با:

$\large M = – m g L \sin \alpha$

علامت منفی نشان‌دهنده آن است که در هنگام قرار‌گیری پاندول در زاویه مثبت، نیروی گرانش تلاش می‌کند پاندول را در راستای منفی به‌ حرکت در آورد. هم‌چنین توجه داشته باشید که لختی دورانی پاندول حول مرکز برابر است با:

$I = m { L ^ 2 }$

با این فرضیات معادله دیفرانسیل حرکت را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

$$ \large \begin {gather*} \require {cancel} { { \frac { { { d ^ 2 } \alpha } } { { d { t ^ 2 } } } } = { \frac{{ – \cancel { m } g \cancel { L } \sin \alpha } } { { \cancel { m } { L^ \cancel {2 } } } } } = { – \frac { { g \sin \alpha } } { L } ,\;\;} } \\ \\ \Rightarrow { \frac { { { d ^ 2 } \alpha } } { { d{ t ^ 2 } } } + \frac { g } { L } \sin \alpha = 0 } \end {gather*} $$

محصول، خدمات یا برند خود را در مجله فرادرس معرفی کنید.

کلیک کنید

مطالب مجله فرادرس را در جستجوی گوگل سریع‌تر ببینید

بر اساس رای ۵ نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

اگر پرسشی درباره این مطلب دارید، آن را با ما مطرح کنید.

منابع:

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

مطالب مرتبط