چندجمله ای های متعامد – از صفر تا صد

۲۹۸۳ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۷ مرداد ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۱۲۵ دقیقه
دانلود PDF مقاله
چندجمله ای های متعامد – از صفر تا صدچندجمله ای های متعامد – از صفر تا صد

چندجمله‌ای‌های متعامد (Orthogonal Polynomials) دنباله‌ای نامتناهی از چندجمله‌ای‌های عمود بر هم هستند. در این آموزش با چندجمله ای های متعامد آشنا می‌شویم.

997696

چندجمله‌ ای‌ های متعامد

چندجمله‌‌ای‌‌های p(x)p(x) و q(x)q(x) که روی بازه [a,b]\left[ {a,b} \right] تعریف شده‌‌اند، متعامد هستند، هرگاه

abp(x)q(x)w(x)dx=0,\large { \int \limits _ a ^ b { p \left ( x \right ) q \left ( x \right ) w \left ( x \right ) d x } } = { 0 , }

که در آن، w(x){w\left( x \right)} تابع وزن غیرمنفی است.

دنباله چندجمله‌‌ای pn(x){p_n}\left( x \right) (n=0,1,2,n = 0,1,2, \ldots) که در آن nn مرتبه pn(x){p_n}\left( x \right) است را دنباله‌‌ای از چندجمله‌‌ای‌‌های متعامد می‌‌گویند، هرگاه:

abpm(x)pn(x)w(x)dx=cnδmn,\large { \int \limits _ a ^ b { { p _ m } \left ( x \right ){ p _ n } \left ( x \right ) w \left ( x \right ) d x } } = { { c _ n } { \delta _ { m n } } , }

که در آن، cnc_n ثابت‌‌های تعیین شده و δmn{\delta _{mn}} دلتای کرونکر است.

سری فوریه تعمیم‌ یافته

سری فوریه تعمیم‌ یافته، بسط سری یک تابع بر اساس دستگاهی از چندجمله‌‌ای‌‌های متعامد است. با استفاده از این تعامد، تابع تکه‌‌ای پیوسته f(x)f(x) می‌‌تواند به صورت بسط سری فوریه تعمیم‌ یافته بیان شود:

n=0cnpn(x) = {f(x),  iff(x)is continuousf(x0)+f(x+0)2,  at a jump discontinuity\large { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { c _ n } { p _ n } \left ( x \right ) } \text { = }} \kern0pt { \begin {cases} f \left ( x \right ) , \; \text {if}\, f \left ( x \right ) \,\text {is continuous} \\ \frac { { f \left ( { x – 0 } \right ) + f \left ( { x + 0 } \right ) } } { 2 } , \; \text {at a jump discontinuity} \end {cases}}

در ادامه به بررسی چهار نوع از چندجمله‌‌ای‌‌های متعامد شامل چندجمله‌‌های هرمیت، لاگر، لژاندر و چبیشف می‌‌پردازیم.

چند جمله‌‌ای‌‌های هرمیت

چندجمله‌‌ای‌‌های هرمیت Hn(x)=(1)nex2dndxnex2{H_n}\left( x \right) ={\left( { – 1} \right)^n}{e^{{x^2}}}{\large\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\normalsize} {e^{ – {x^2}}} روی بازه (,)\left( { – \infty ,\infty } \right) نسبت به تابع وزن ex2{e^{ – {x^2}}} متعامد هستند:

ex2Hm(x)Hn(x)dx={0,mn2nn!π,m=n.\large { \int \limits _ { – \infty } ^ \infty { { e ^ { – { x ^ 2 } } } { H _ m } \left ( x \right ) { H _ n } \left ( x \right ) d x } } = { \begin {cases} 0 , & m \ne n \\ { 2 ^ n } n ! \sqrt \pi , & m = n \end {cases} . }

در تعریف دیگری، از تابع وزن ex22{e^{ – \frac{{{x^2}}}{2}}} استفاده می‌‌شود. در برخی موارد، این تعریف در نظریه احتمال ترجیح داده می‌‌شود، زیرا 12πex22{\large\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\normalsize} {e^{ – \frac{{{x^2}}}{2}}} تابع چگالی احتمال برای توزیع نرمال است.

چند جمله‌‌ای‌‌های لاگر

این نوع چندجمله‌‌ای‌‌ها که به صورت Ln(x)=exn!dn(xnex)dxn,n=0,1,2,3,{L_n}\left( x \right) ={\large\frac{{{e^x}}}{{n!}}\normalsize} {\large\frac{{{d^n}\left( {{x^n}{e^{ – x}}} \right)}}{{d{x^n}}}\normalsize}, n = 0,1,2,3, \ldots تعریف می‌‌شوند، روی بازه (0,)\left( {0,\infty } \right) با تابع وزن ex{{e^{ – x}}} متعامدند:

0exLm(x)Ln(x)dx={0,mn1,m=n.\large { \int \limits _ 0 ^ \infty { { e ^ { – x } } { L _ m } \left ( x \right ) { L _ n } \left ( x \right ) d x } } = { \begin {cases} 0 , & m \ne n \\ 1 , & m = n \end {cases}.}

چند جمله‌‌ای‌‌های لژاندر

چندجمله‌‌ای‌‌های لژاندر Pn(x)=12nn!dn(x21)ndxn,n=0,1,2,3,{P_n}\left( x \right) ={\large\frac{1}{{{{2^n}n!}}\normalsize} {\large\frac{{{d^n}{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^n}}} {d{x^n}}}\normalsize},n = 0,1,2,3, \ldots روی بازه [1,1]\left[ {-1,1} \right] متعامد هستند:

11Pm(x)Pn(x)dx={0,mn22n+1,m=n.\large { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { { P _ m } \left ( x \right ){ P _ n } \left ( x \right ) d x } } = { \begin {cases} 0 , & m \ne n \\ \frac { 2 } { { 2 n + 1 } } , & m = n \end {cases} . }

چند جمله‌‌ای‌‌های چبیشف

چندجمله‌‌ای‌‌های چبیشف نوع اول Tn(x)=cos(narccosx){T_n}\left( x \right)= \cos \left( {n\arccos x} \right) روی بازه [1,1]\left[ {-1,1} \right] با تابع وزن 11x2{\large\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\normalsize} متعامد هستند:

11Tm(x)Tn(x)1x2dx={0,mnπ,m=n=0π2,m=n0.\large { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { T _ m } \left ( x \right ) { T _ n } \left ( x \right ) } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } d x } } = { \begin {cases} 0 , & m \ne n \\ \pi , & m = n = 0 \\ \frac { \pi } { 2 } , & m = n \ne 0 \end {cases}.}\\

مثال‌ها

در این بخش، مثال‌هایی را درباره چندجمله‌ای‌های متعامد ارائه می‌کنیم.

مثال ۱

نشان دهید که مجموعه توابع زیر روی بازه [π,π]\left[ { – \pi ,\pi } \right] متعامدند.

I1=ππsinmxsinnxdx,      I2=ππcosmxcosnxdx,      I3=ππsinmxcosnxdx.\large { { I _ 1 } = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \sin m x \sin n x d x } , \; \; \; } \kern-0.3pt \\ \large { { I _ 2 } = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \cos m x \cos n x d x } , \; \; \; } \kern-0.3pt \\ \large { { I _ 3 } = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \sin m x \cos n x d x } . }

حل: ابتدا باید انتگرال‌‌های زیر را تعیین کنیم:

I1=ππsinmxsinnxdx=12ππ[cos(mxnx)cos(mx+nx)]dx=12ππ[cos(mn)xcos(m+n)x]dx=12[(sin(mn)xmnsin(m+n)xm+n)ππ]\large { { I _ 1 } = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \sin m x \sin n x d x } } = { { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \Big [ { \cos \left ( { m x – n x } \right ) } } } } - { { { { \cos \left ( { m x + n x } \right ) } \Big] d x } } } \\ \large = { { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \Big[ { \cos \left ( { m – n } \right ) x } } } } - { { { { \cos \left ( { m + n } \right ) x } \Big] d x } } } = { \frac { 1 } { 2 } \Big[ { \left . { \Big ( { \frac { { \sin \left ( { m – n } \right ) x } } { { m – n } } } } \right . } - { \left . { { \frac { { \sin \left ( { m + n } \right ) x } } { { m + n } } } \Big ) } \right | _ { – \pi } ^ \pi } \Big ] }

انتگرال اول برابر است با:

I1 = sin(mn)πmnsin(m+n)πm+n=0.\large { { I _ 1 } \text { = }} \kern0pt { \frac { { \sin \left ( { m – n } \right ) \pi } } { { m – n } } – \frac { { \sin \left ( { m + n } \right ) \pi } } { { m + n } } } = { 0 . }

برای حالت mnm \ne n:

I1=ππsin2xdx=12ππ(1cos2nx)dx=12[(xsin2nx2n)ππ]=12[πsin2nπ2n(π)sin(2nπ)2n]=π.\large { { I _ 1 } = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { { \sin } ^ 2 } x d x } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \left ( { 1 – \cos 2 n x } \right ) d x } } = { \frac { 1 }{ 2 } \left [ { \left . { \left ( { x – \frac { { \sin 2 n x } } { { 2 n } } } \right ) } \right | _ { – \pi } ^ \pi } \right ] }\\ \large = { { \frac { 1 } { 2 } \left [ { \pi – \frac { { \sin 2 n \pi } } { { 2 n } } – \left ( { – \pi } \right ) } \right . } } - { { \left . { \frac { { \sin \left ( { – 2 n \pi } \right ) } } { { 2 n } } } \right ] } } = { \pi . }

و برای حالت m=nm=n، داریم:

I1=ππsinmxsinnxdx={0,mn π,m=n.\large { { I _ 1 } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \sin mx\sin n x d x } } = { \begin {cases} 0 , & m \ne n \ \pi, & m = n \end {cases} . }

بنابراین:

I2=ππcosmxcosnxdx={0,mnπ,m=n,\large { { I _ 2 } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \cos mx \cos n x d x } } = { \begin {cases} 0, & m \ne n \\ \pi, & m = n \end {cases},}

به طور مشابه، می‌‌توان انتگرال‌‌های دوم و سوم را به دست آورد:

I3=ππsinmxcosnxdx={0,mnπ,m=n.\large { { I _3 } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \sin m x \cos n x d x } } = { \begin {cases} 0, & m \ne n \\ \pi , & m = n \end {cases} . }

این بدین معنی است که مجموعه توابع زیر روی بازه [π,π]\left[ { – \pi ,\pi } \right] دستگاه متعامد تشکیل می‌‌دهند:

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,  cosmx,sinmx,\large { 1 , \cos x , \sin x , \cos 2 x , \sin 2 x , \ldots , \; } \kern-0.3pt { \cos m x , \sin m x , \ldots }

مثال ۲

بسط سری فوریه-هرمیت تابع درجه دوم f(x)=Ax2+Bx+Cf\left( x \right) =A{x^2} + Bx + C را به دست آورید.

حل: در اینجا از جملات صریح چندجمله‌‌ای‌‌های هرمیت استفاده می‌‌کنیم:

H0(x)=1,      H1(x)=2x,      H2(x)=4x22.\large { { H _ 0 } \left ( x \right ) = 1 , \; \; \; } \kern-0.3pt { { H _ 1 } \left ( x \right ) = 2 x , \; \; \; } \kern-0.3pt {{ H _2 } \left ( x \right ) = 4 { x ^ 2 } – 2 . }

سپس، روش ضرایب نامعین را به کار می‌‌بریم:

Ax2+Bx+C=c0H0(x)+c1H1(x)+c2H2(x).\large { A { x ^ 2 } + B x + C } = { { c _ 0 } { H _ 0 } \left ( x \right ) } + { { c _ 1 } { H _ 1 } \left ( x \right ) } + { { c _ 2 } { H _ 2 } \left ( x \right ) . }

با جایگذاری چندجمله‌‌ای‌‌های هرمیت و برابر قرار دادن ضرایب، داریم:

$$ \large { { A { x ^ 2 } + B x + C } = { { c _ 0 } \cdot 1 } + { { c _ 1 } \cdot 2 x } + { { c _ 2 } \cdot \left ( { 4 { x ^ 2 } – 2 } \right ) , \; \; } } \\ \large \Rightarrow { { A { x ^ 2 } + B x + C } = { { c _ 0 } + 2 { c _ 1 } x } } + { { 4 { c _ 2 } { x ^ 2 } – 2 { c _ 2 } , \; \; } } \\ \large \Rightarrow { \left\{ { \begin {array}{* { 2 0 } { l } } { 4 { c ^ 2 } = A } \\ { 2 { c _ 1 } = B } \\ {{ c _ 0 } – 2 { c _ 2 } = C } \end {array} } \right.,\;\; } \Rightarrow { { c _ 0 } = C + \frac { A } { 2 } , \; \; } \kern-0.3pt{ { c _ 1 } = \frac { B } { 2 } , \; \; } \kern-0.3pt { { c _ 2 } = \frac { A } { 4 } .} $$

بنابراین، بسط سری فوریه-هرمیت تابع مفروض به صورت زیر خواهد بود:

f(x)=Ax2+Bx+C=(C+A2)H0(x)+B2H1(x)+A4H2(x).\large { f \left ( x \right ) = A { x ^ 2 } + B x + C } = { \left ( { C + \frac { A } { 2 } } \right ) { H _ 0 } \left ( x \right ) } + { \frac { B } { 2 } { H _ 1 } \left ( x \right ) } + { \frac { A } { 4 }{ H _ 2 } \left ( x \right ) . }

مثال ۳

بسط سری فوریه-لاگر تابع توانی f(x)=xp,p1f\left( x \right) = {x^p},p \ge 1 را بیابید.

حل: این بسط با فرمول زیر بیان می‌‌شود:

f(x)=n=0cnLn(x).\large f \left ( x \right ) = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { c _ n } { L _ n } \left ( x \right ) } .

ابتدا ضرایب cnc_n را به دست می‌‌آوریم:

c0=0f(x)exdx=0xpexdx=Γ(p+1)=p!,\large { { c _ 0 } = \int \limits _ 0 ^ \infty { f \left ( x \right ) { e ^ { – x } } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ \infty { { x ^ p }{ e ^ { – x } } d x } } = { \Gamma \left ( { p + 1 } \right ) } = { p ! , }

که در آن، Γ\Gamma تابع گاماست.

به ازای n1n \ge 1 داریم:

cn=1n!0xpdn(xnex)dxndx=1n![(xpdn1(xnex)dxn1)00pxp1dn1(xnex)dxn1dx].\large { { c _ n } = \frac { 1 } { { n ! } } \int \limits _ 0 ^ \infty { { x ^ p } \frac { { { d ^ n } \left ( { { x ^ n } { e ^ { – x } } } \right ) } } { { d { x ^ n } } } d x } } \\ \large = { \frac { 1 } {{ n ! } } \Big [ { \left. { \left ( { { x ^ p } \frac { { { d ^ { n – 1 } } \left ( { { x ^ n } { e ^ { – x } } } \right ) } } { { d { x ^ { n – 1 } } } } } \right ) } \right | _ 0 ^ \infty } } - { { \int \limits _ 0 ^ \infty { p { x ^ { p – 1 } } \frac { { { d ^ { n – 1 } } \left ( { { x ^ n } { e ^ { – x } } } \right ) } } { { d { x ^ { n – 1 } } } } d x } } \Big ] . }

برای حل این انتگرال از روش جزء به جزء استفاده می‌‌کنیم. خواهیم داشت:

cn = (1)nn!p(p1)(p2)(pn+1)0xpexdx=(1)nn!p!(pn)!Γ(p+1)=(1)n(p!)2n!(pn)!,    if    1np.\large { { c _ n } \text { = } } \kern0pt { { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { n ! } } p \left ( { p – 1 } \right ) \left ( { p – 2 } \right ) \cdots } } \kern0pt{{ \left ( { p – n + 1 } \right ) \int \limits _ 0 ^ \infty { { x ^ p } { e ^ { – x } } d x } } } \\ \large = { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { n ! } } \cdot \frac { { p ! } } { { \left ( { p – n } \right ) ! } } \cdot \Gamma \left ( { p + 1 } \right ) } = { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { { \left ( {p ! } \right ) } ^ 2 } } } { { n ! \left ( { p – n } \right ) ! } } , \; \; } \kern-0.3pt {\text {if} \;\;1 \le n \le p.}

اگر n>pn \gt p باشد، آنگاه cn=0{c_n} = 0.

بنابراین، بسط سری فوریه-لاگر تابع توانی f(x)=xpf\left( x \right) = {x^p} به صورت زیر بیان می‌‌شود:

f(x)=xp<=p!+n=1p(1)n(p!)2n!(pn)!Ln(x).\large { f \left ( x \right ) = { x ^ p } } < = { p ! } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ p { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { { \left ( { p ! } \right ) } ^ 2 } } } { { n ! \left ( { p – n } \right ) ! } } { L _ n } \left ( x \right ) } . }

از آنجایی که L0(x)=1{L_0}\left( x \right) = 1 است، بسط به دست آمده را می‌‌توان به صورت زیر نوشت:

f(x)=xp=n=0p(1)n(p!)2n!(pn)!Ln(x).\large { f \left ( x \right ) = { x ^ p } } = { \sum \limits _ { n = 0 } ^ p { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { { \left ( { p ! } \right ) } ^ 2 } } } { { n ! \left ( { p – n } \right ) ! } } { L _ n } \left ( x \right ) } . }

بسط حاصل را به ازای p=2p=2 بررسی می‌‌کنیم:

x2=n=02(1)n(2!)2n!(2n)!Ln(x)=2L0(x)4L1(x)+2L2(x).\large { { { x ^ 2 } } = { \sum \limits _ { n = 0 } ^ 2 { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { { \left ( { 2 ! } \right ) } ^ 2 } } } { { n ! \left ( { 2 – n } \right ) ! } } { L _ n } \left ( x \right ) } } } = { { 2 { L _ 0 } \left ( x \right ) } - { 4 { L _ 1 } \left ( x \right ) } + { 2 { L _ 2 } \left ( x \right ) . } }

با جایگذاری چندجمله‌‌ای‌‌های لاگرِ

L0(x)=1,      L1(x)=1x,      L2(x)=12x+x22\large { { L _ 0 } \left ( x \right ) = 1 , \; \; \; } \kern-0.3pt{ { L _ 1 } \left ( x \right ) = 1 – x , \; \; \; } \kern-0.3pt { { L _ 2 } \left ( x \right ) = 1 – 2 x + \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } }

در فرمول بالا داریم:

x2=214(1x)+2(12x+x22)x2.\large { { x ^ 2 } } = { 2 \cdot 1 – 4 \left ( { 1 – x } \right ) } + { 2 \left ( { 1 – 2 x + \frac {{ { x ^ 2 } } } { 2 } } \right ) } { \equiv { x ^ 2 } . }

مثال ۴

بسط سری فوریه-لاگرانژ تابع پله‌‌ای زیر را به دست آورید.

f(x)={0,1<x<01,0<x<1.\large {f\left( x \right) }= {\begin{cases} 0, & -1 \lt x \lt 0 \\ 1, & 0 \lt x \lt 1 \end{cases}.}

حل: بسط این سری به صورت زیر نوشته می‌‌شود:

f(x)=n=0cnPn(x).\large f \left ( x \right ) = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { {c _ n } { P_ n } \left ( x \right ) } .

با قرار دادن جملات صریح چندجمله‌‌ای‌‌های لاگرانژ، داریم:

f(x)=2n+1211f(x)Pn(x)dx=2n+1201Pn(x)dx=2n+120112nn!dn(x21)ndxndx=2n+12n+1n![(dn1(x21)ndxn1)01],    n=1,2,3,\large { f \left ( x \right ) } = { \frac { { 2 n + 1 } }{ 2 } \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { f \left ( x \right ) { P _ n } \left ( x \right ) d x } } = { \frac { { 2 n + 1 } } { 2 } \int \limits _ 0 ^ 1 { { P _ n } \left ( x \right ) d x } }\\ \large = { { \frac { { 2 n + 1 } } { 2 } } \kern0pt \int \limits _0 ^ 1 { \frac { 1 } { { { 2 ^ n } n ! } } \frac { { { d ^ n } { { \left ( { { x ^ 2 } – 1 } \right ) } ^ n } } } { { d { x ^ n } } } d x } } \\ \large = { { \frac { { 2 n + 1 } } { { { 2 ^ { n + 1 } } n ! } } } \kern0pt \left[ { \left. { \left ( { \frac { { { d ^ { n – 1 } } { { \left ( { { x ^ 2 } – 1 } \right ) } ^ n } } } { { d { x ^ { n – 1 } } } } } \right ) } \right| _ 0 ^ 1 } \right ] , \; \; } \kern-0.3pt { n = 1 , 2 , 3 , \ldots }

اکنون ضرایب cnc_n را محاسبه می‌‌کنیم. از آنجایی که P0(x)=1{P_0}\left( x \right) = 1 است، خواهیم داشت:

c0=1211f(x)P0(x)dx=1201dx=12.\large { { c _ 0 } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { f \left ( x \right ) { P _ 0 } \left ( x \right ) d x } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ 1 { d x } } = { \frac { 1 } { 2 } . }

سپس، مقدار مشتق (dn1(x21)ndxn1)01{\left. {\left( {\large\frac{{{d^{n – 1}}{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n – 1}}}}\normalsize} \right)} \right|_0^1} را تعیین می‌‌کنیم تا ضرایب cnc_n به ازای n1n \ge 1 به دست آیند.

بدیهی است که این عبارت در x=1x=1 به ازای n1n \ge 1 برابر با صفر است. برای به دست آوردن مقدار این مشتق در نقطه x=0x=0، از فرمول دوجمله‌‌ای نیوتن استفاده می‌‌کنیم:

dn1(x21)ndxn1=d(m=0Cnm(1)mx2n2m)n1dxn1=m=0mn+12[Cnm(1)m(2n2m)(2n2m1)(2m+n+2)xn2m+1].\large { \frac { { { d ^ { n – 1 } } { { \left ( { { x ^ 2 } – 1 } \right ) } ^ n } } } { { d { x ^ { n – 1 } } } } } = { \frac { { d { { \left ( { \sum \limits _ { m = 0 } ^ \infty { C _ n ^ m { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ m } { x ^ { 2 n – 2 m } } } } \right ) } ^ { n – 1 } } } } { { d { x ^ { n – 1 } } } } } \\ \large = { \sum \limits _ { m = 0 } ^ { m \le \frac { { n + 1 } } { 2 } } { \left [ { C _ n ^ m { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ m } \left ( { 2 n – 2 m } \right ) \cdot } \right . } } \kern0pt { { \left . { \left ( { 2 n – 2 m – 1 } \right ) } \right . } } \kern0pt { \cdots \left . { \left ( { – 2 m + n + 2 } \right ) { x ^ { n – 2 m + 1 } } } \right ] . }

همانطور که می‌‌بینیم، این جمع در x=0x=0 به ازای اعداد زوج n=2k,k=0,1,2,3,n = 2k,k = 0,1,2,3, \ldots صفر و به ازای اعداد فرد برابر است با:

C2k+1k+1(1)k+12k(2k1)(2k2)32=C2k+1k+1(1)k+1(2k)!\large { C _ { 2 k + 1 } ^ { k + 1 } { \left ( { – 1 } \right ) ^ { k + 1 } } 2 k \left ( { 2 k – 1 } \right ) \cdot } \kern0pt{ \left ( { 2 k – 2 } \right ) \cdots 3 \cdot 2 } = { C _ { 2 k + 1 } ^ { k + 1 } { \left ( { – 1 } \right ) ^ { k + 1 } } \left ( { 2 k } \right ) ! }

هنگامی که x0x \to 0، به ازای n=2k+1n = 2k + 1 و m=k+1m = k + 1، xn2m+1=x2k+12(k+1)+1=x0=1{x^{n – 2m + 1}} = {x^{2k + 1 – 2\left( {k + 1} \right) + 1}}= {x^0} =1 است. برای سایر مقادیر mm و nn، این جملات برابر با صفر هستند. از این رو:

c2k=0,\large { c _ { 2 k } } = 0 ,

c2k+1=4k+322k+2(2k+1)!(2k+1)!(k+1)!k!(1)k(2k)!=(1)k(4k+3)(2k)!22k+2(k+1)!k!.\large { { c _ { 2 k + 1 } } } = { \frac { { 4 k + 3 } }{ { { 2 ^ { 2 k + 2 } } \left ( { 2 k + 1 } \right ) ! } } \cdot } \kern0pt{ \frac { { \left ( { 2 k + 1 } \right ) ! } } { { \left ( { k + 1 } \right ) ! k ! } } { \left ( { – 1 } \right ) ^ k } \left ( { 2 k } \right ) ! } = { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ k } \left ( { 4 k + 3 } \right ) \left ( { 2 k } \right ) ! } } { { { 2 ^ { 2 k + 2 } } \left ( { k + 1 } \right ) ! k ! } } . }

بنابراین، بسط سری فوریه-لاگرانژ این تابع به صورت زیر خواهد بود:

f(x)=12 + k=0(1)k(4k+3)(2k)!22k+2(k+1)!k!P2k+1(x).\large { f \left ( x \right ) } = { \frac { 1 } { 2 } \text { + }} \kern0pt { \sum \limits _ { k = 0 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ k } \left ( { 4 k + 3 } \right ) \left ( { 2 k } \right ) ! } } { { { 2 ^ { 2 k + 2 } } \left ( { k + 1 } \right ) ! k ! } } \cdot } \kern0pt { { P _ { 2 k + 1 } } \left ( x \right ) } . }

در شکل زیر، تقریب این تابع پله‌‌ای با استفاده از سری فوریه-لاگرانژ به ازای n=5,10,155n=5,10,155 نشان داده شده است.

شکل ۱
شکل ۱

مثال ۵

بسط سری فوریه-چبیشف تابع f(x)=x3f\left( x \right) = {x^3} را روی بازه [1,1]\left[ { – 1,1} \right] بیابید.

حل: بسط سری فوریه-چبیشف این تابع به صورت زیر نمایش داده می‌‌شود:

x3=n=0cnTn(x)=c0+n=1cnTn(x).\large { { x ^ 3 } = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { c _ n } { T _ n } \left ( x \right ) } } = { { c _ 0 } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { c _ n } { T _ n } \left ( x \right ) } . }

برای محاسبه ضرایب cnc_n، از خاصیت تعامد چندجمله‌‌ای‌‌های چبیشف روی بازه [1,1]\left[ { – 1,1} \right] با تابع وزن 11x2{\large\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\normalsize} استفاده می‌‌کنیم.

با ضرب 11x2\large\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\normalsize در دو طرف بسط فوق و انتگرال‌‌گیری روی بازه [1,1]\left[ { – 1,1} \right]، داریم:

11x3dx1x2=11(n=0cnTn(x))dx1x2.\large { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { x ^ 3 } d x } }{ { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } } } = { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \left ( { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { c _ n } { T _ n } \left ( x \right ) } } \right ) \frac { { d x } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } } . }

از آنجایی که f(x)=x3f\left( x \right) = {x^3} تابعی فرد است و روی بازه متقارن [1,1]\left[ { – 1,1} \right] انتگرال می‌‌گیریم، انتگرال طرف چپ برابر با صفر است:

11x3dx1x2=0.\large \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { x ^ 3 } d x } }{ { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } } = 0 .

انتگرال طرف راست را می‌‌توان این‌گونه نوشت:

11(n=0cnTn(x))dx1x2=11(c0+n=1cnTn(x))dx1x2=c011dx1x2+n=1[cn11Tn(x)1x2dx].\large { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \left ( { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { c _ n } { T _ n } \left ( x \right ) } } \right ) \frac { { d x } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } } } = { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \left ( { { c _ 0 } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { c _ n } { T _ n } \left ( x \right ) } } \right ) \frac { { d x } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } } }\\ \large = { { c _ 0 } \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { d x } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left [ { { c _ n } \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { T _ n } \left ( x \right ) } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } d x } } \right ] } . }

با ضرب T0(x)=1{T_0}\left( x \right) = 1 در عبارت زیر انتگرال دوم و با توجه به متعامد بودن چندجمله‌‌ای‌‌های چبیشف، خواهیم داشت:

11Tn(x)T0(x)1x2dx=0\large \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { T _ n } \left ( x \right ) { T _ 0 } \left ( x \right ) } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } d x } = 0

بنابراین:

c011dx1x2=0.\large { c _ 0 } \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { d x } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } } = 0 .

از طرفی:

11dx1x2=(arcsinx)11=arcsin1arcsin(1)=π2(π2)=π.\large { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { {d x } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } } } = { \left . { \left ( { \arcsin x } \right ) } \right | _ { – 1 } ^ 1 } = { \arcsin 1 – \arcsin \left ( { – 1 } \right ) } \\ \large = { \frac { \pi } { 2 } – \left ( { – \frac { \pi } { 2 } } \right ) } = { \pi . }

در نتیجه c0=0c_0=0.

به طور مشابه، ضرایب cnc_n را محاسبه می‌‌کنیم.

بسط x3=n=0cnTn(x){x^3}= \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{T_n}\left( x \right)} را در Tm(x)1x2,m=1,2,3,{\large\frac{{{T_m}\left( x \right)}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\normalsize}, m = 1,2,3, \ldots ضرب می‌‌کنیم و روی بازه 1-1 تا 11 از آن انتگرال می‌‌گیریم:

11x3Tm(x)1x2dx=11(n0cnTn(x))Tm(x)1x2dx,    11x3Tm(x)1x2dx=n=0[cn11Tn(x)Tm(x)1x2dx],    11x3Tm(x)1x2dx=π2cm.\large { { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { x ^ 3 }{ T _ m } \left ( x \right ) } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } d x } } = { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \left ( { \sum \limits _ { n – 0 } ^ \infty { { c _ n } { T _ n } \left ( x \right ) } } \right ) \frac { { { T _ m } \left ( x \right ) } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } d x } , \; \; } } \\ \large \Rightarrow { { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { x ^ 3 } { T _ m } \left ( x \right ) } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } d x } } } = { { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \left [ { { c_ n } \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { T _ n } \left ( x \right ){ T _ m } \left ( x \right ) } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } d x } } \right ] } , \; \; } } \\ \large \Rightarrow { \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { x ^ 3 } { T _ m } \left ( x \right ) } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } d x } } = { \frac { \pi } { 2 } { c _ m } . }

در اینجا از خاصیت تعامد استفاده کرده‌‌ایم.

جملات صریح Tm(x){{T_m}\left( x \right)} را جایگذاری کرده و از تغییر متغیر استفاده می‌‌کنیم:

x=cost,    arccosx=t,    dx1x2=dt.\large { x = \cos t , \; \; } \Rightarrow { \arccos x = t , \; \; } \Rightarrow { - \frac { { d x } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } = d t . }

بنابراین، حدود انتگرال‌‌گیری به صورت زیر خواهد بود:

حدود انتگرال‌گیری

در نتیجه:

cm=2π11x3Tm(x)1x2dx=2π01cos3tcosmtdt=2π0π14(3cost+cos3t)cosmtdt=32π0πcostcosmtdt+12π0πcos3tcosmtdt.\large { { c _ m } = \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ { – 1 } ^ 1 { \frac { { { x ^ 3 } { T _ m } \left ( x \right ) } } { { \sqrt { 1 – { x ^ 2 } } } } d x } } = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ 1 { { { \cos } ^ 3 } t \cos m t d t } } \\ \large = { \frac { 2 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ \pi { \frac { 1 } { 4 } \left ( { 3 \cos t + \cos 3 t } \right ) \cos m t d t } } \\ \large = { \frac { 3 } { { 2 \pi } } \int \limits _ 0 ^ \pi { \cos t \cos m t d t } } + { \frac { 1 } { { 2 \pi } } \int \limits _ 0 ^ \pi { \cos 3 t \cos m t d t } . }

انتگرال‌‌های به دست آمده را جداگانه محاسبه می‌‌کنیم:

0πcostcosmtdt = 120π[cos(tmt)+cos(t+mt)]dt=12[(sin(m1)tm1+sin(m+1)tm+1)0π]=0,    if    m1.\large { \int \limits _ 0 ^ \pi { \cos t \cos m t d t } \text { = } } \kern0pt { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { \left [ { \cos \left ( { t – m t } \right ) + \cos \left ( { t + m t } \right ) } \right ] d t } } \\ \large = { \frac { 1 } { 2 } \Big [ { \left . { \Big ( { \frac { { \sin \left ( { m – 1 } \right ) t } } { { m – 1 } } } } \right . } } + { { \left . { { \frac { { \sin \left ( { m + 1 } \right ) t } } { { m + 1 } } } \Big ) } \right | _ 0 ^ \pi } \Big ] } = { 0,\;\;} \kern-0.3pt {\text{if} \; \; m \ne 1 . }

برای حالت m=1m=1:

0πcos2tdt=120π(1+cos2t)dt=12[(t+sin2t2)0π]=π2.\large { \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \cos } ^ 2 } t d t } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { \left ( { 1 + \cos 2 t } \right ) d t } } = { \frac { 1 } { 2 } \left [ { \left . { \left ( { t + \frac { { \sin 2 t } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi } \right ] } = { \frac { \pi } { 2 } . }

انتگرال دوم نیز به طور مشابه حل می‌‌شود:

0πcos3tcosmtdt=0,    if    m3.\large { \int \limits _ 0 ^ \pi { \cos 3 t \cos m t d t } } = { 0 , } \; \; { \text {if} \; \; m \ne 3 . }

برای حالت m=3m=3، داریم:

0πcos23tdt=120π(1+cos6t)dt=12[(t+sin6t6)0π]=π2.\large { \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \cos } ^ 2 } 3 t d t } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { \left ( { 1 + \cos 6 t } \right ) d t } } = { \frac { 1 } { 2 } \left [ { \left . { \left ( { t + \frac { { \sin 6 t } } { 6 } } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi } \right ] } = { \frac { \pi } { 2 } . }

همانطور که می‌‌بینیم، مجموعه توابع 1,cost,cos2t,cos3t,,cosmt,1,\cos t,\cos 2t,\cos 3t, \ldots ,\cos mt, \ldots روی بازه [0,π]\left[ {0,\pi } \right] متعامدند. اکنون می‌‌توان ضرایب cmc_m را به دست آورد:

cm={0,m1,334,m=114,m=3.\large { c _ m } = \begin {cases} 0 , & m \ne 1 , 3 \\ \frac { 3 } { 4} , & m = 1 \\ \frac { 1 } { 4 } , & m = 3 \end {cases} .

بنابراین، بسط سری فوریه-چبیشف تابع f(x)=x3f\left( x \right) = {x^3} روی بازه [1,1]\left[ { – 1,1} \right] به این صورت خواهد بود:

f(x)=x3=34T1(x)+14T3(x).\large { f \left ( x \right ) = { x ^ 3 } } = { \frac { 3 } { 4} { T _ 1 } \left ( x \right ) + \frac { 1 } { 4 } { T _ 3 } \left ( x \right ) . }

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
دانلود PDF مقاله
۲ دیدگاه برای «چندجمله ای های متعامد – از صفر تا صد»

سلام دکتر خسته نباشید لطفا دباره متعامد بودن تابع لاگرانژ نیز صحبت کنیدممنون

دکتر زندی نابغه هست دروود به شرفت شیر مادرت حلالت باشه مرد
چقدر من از شما یاد گرفتم
دروود به شرفت چقدرم عالی و مسلط تدریس میکنند

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *