همگرایی سری فوریه — از صفر تا صد

۳۲۷۹ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۷ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲۱ دقیقه
همگرایی سری فوریه — از صفر تا صد

قبلاً در آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، با سری فوریه آشنا شدیم. در این آموزش، درباره همگرایی سری فوریه بحث می‌کنیم. ابتدا چند تعریف را ارائه می‌کنیم.

997696

تعاریف

تابع تکه‌ای پیوسته (Piecewise Continuous): تابع  f(x) f\left( x \right) در بازه  [a,b] \left[ {a,b} \right] تکه‌ای پیوسته نامیده می‌شود، اگر در این بازه به جز در تعدادی نقاط محدود پیوسته باشد (شکل ۱).

 

شکل ۱
شکل ۱

تابع تکه‌ای هموار (Piecewise Smooth): تابع  f(x) f\left( x \right) را در بازه [a,b]\left[ {a,b} \right] تکه‌ای هموار می‌نامیم، اگر f(x)f\left( x \right) و مشتق آن تکه‌ای پیوسته باشند.

مجموع جزئی سری فوریه: مجموع جزئی فوریه یا سری جزئی فوریه  fN(x) {f_N}\left( x \right) تابع f(x)f\left( x \right) در بازه  [π,π] \left[ {-\pi, \pi} \right] به صورت زیر تعریف می‌شود:

fN(x)=a02+n=1N(ancosnx+bnsinnx). \large { { f _ N } \left ( x \right ) = \frac { { { a _ 0 } } } { 2 } } + { \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \left ( { { a _ n } \cos n x + { b _ n } \sin n x } \right ) } . }

فرم مختلط مجموع جزئی nnاُم تابع  fN(x) {f_N}\left( x \right) روی بازه  [π,π] \left[ {-\pi, \pi} \right] به شکل زیر است:

fN(x)=n=NNcneinx=ππ(12πn=NNein(xy))f(y)dy \large { { f _ N } \left ( x \right ) = \sum \limits _ { n = – N } ^ N { { c _ n } { e^ { i n x } } } } = { \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \left ( { \frac { 1 } { { 2 \pi } } \sum \limits _ { n = – N } ^ N { { e ^ { i n \left ( { x – y } \right ) } } } } \right ) f \left ( y \right ) d y } }

هسته دیریکله: تابعِ

DN(x)=n=NNeinx=sin(N+12)xsinx2 \large { { D _ N } \left ( x \right ) = \sum \limits _ { n = – N } ^ N { { e ^ { i n x } } } } = { \frac { { \sin \left ( { N + \frac { 1 } { 2 } } \right ) x } } { { \sin \frac { x } { 2 } } } }

هسته دیریکله (Dirichlet Kernel) نامیده می‌شود. در شکل ۲، هسته دیریکله برای n=10 n = 10 نشان داده شده است.

شکل ۲
شکل ۲

مجموع جزئی فوریه  f(x) f\left( x \right) را می‌توان با هسته دیریکله بیان کرد:

fN(x)=12πππDN(xy)f(y)dy=12πππDN(y)f(xy)dy. \large { { f _ N } \left ( x \right ) } = { \frac { 1 } { { 2 \pi } } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { D _ N } \left ( { x – y } \right ) f \left ( y \right ) d y } } = { \frac { 1 } { { 2 \pi } } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { D _ N } \left ( y \right ) f \left ( { x – y } \right ) d y } . }

در ادامه، سه نوع همگرایی را بررسی می‌کنیم: نقطه‌ای، یکنواخت و L2L_2.

همگرایی نقطه‌ای سری فوریه

فرض کنید  f(x) f\left( x \right) یک تابع تکه‌ای هموار روی بازه  [π,π] \left[ {-\pi, \pi} \right] باشد. آنگاه برای هر  x0[π,π] {x_0} \in \left[ { – \pi ,\pi } \right] ، داریم:

limNfN(x0) = {f(x0),iff(x)  is continuous on[π,π]f(x00)+f(x0+0)2,  iff(x)has a jump discontinuity atx0 \large { \lim \limits _ { N \to \infty } { f _ N } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \text { = } } \kern0pt { \begin {cases} f \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \text {if} \, f \left ( x \right ) \, \; \text {is continuous on} \, \left[ { – \pi ,\pi } \right ] \\ \frac { { f \left ( { { x _ 0 } – 0 } \right ) + f \left ( { { x _ 0 } + 0 } \right ) } } { 2 } , \; \text {if} \, f \left ( x \right ) \, \text {has a jump discontinuity at} \, { { x _ 0 } } \end {cases}}

که در آن،  f(x00) {f\left( {{x_0} – 0} \right)} و  f(x0+0) {f\left( {{x_0} + 0} \right)} حد چپ و حد راست در نقطه x0 x _ 0 را نشان می‌دهند.

همگرایی یکنواخت سری فوریه

دنباله مجموع جزئی  {fN(x)} \left\{ {{f_N}\left( x \right)} \right\} را همگرای یکنواخت به تابع f(x)f ( x) می‌نامیم، اگر سرعت همگرایی مجموع جزئی  fN(x) {{f_N}\left( x \right)} به x x وابسته نباشد (شکل ۳).

شکل ۳
شکل ۳

سری فوریه تابع f(x) f (x) را همگرای یکنواخت به این تابع می‌‌گوییم، اگر داشته باشیم:

limN[maxx[π,π]f(x)fN(x)]=0. \large { \lim \limits _ { N \to \infty } \left[ { \max \limits _ { x \in \left[ { – \pi , \pi } \right] } \left| { f \left ( x \right ) – { f _ N } \left ( x \right ) } \right | } \right ] } = { 0 . }

قضیه: سری فوریه یک تابع پیوسته و تکه‌ای هموار با دوره تناوب 2π 2 \pi، به صورت یکنواخت همگرا می‌شود.

همگرایی سری فوریه در نرم L2 \LARGE L _ 2

فضای  L2(π,π) {L_2}\left( { – \pi ,\pi } \right) با توابعی شکل می‌گیرد که:

ππf(x)2dx<. \large \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { { \left | { f \left ( x \right ) } \right | } ^ 2 } d x } < \infty .

تابع f(x) f (x) را انتگرال‌پذیر مربعی گوییم، اگر به فضای L2 L_2 متعلق باشد. اگر تابع f(x) f(x) انتگرال‌پذیر مربعی باشد، آنگاه:

limN12πππf(x)fN(x)2dx=0, \large { \lim \limits _ { N \to \infty } \frac { 1 } { { 2 \pi } } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { { \left | { f \left ( x \right ) – { f _ N } \left ( x \right ) } \right | } ^ 2 } d x } } = { 0 , }

و مجموع جزئی  fN(x) {f_N}\left( x \right) در نرم L2L_2 به f(x) f (x) همگراست.

همگرایی یکنواخت، همگرایی نقطه‌ای و همگرایی L2L_2 را نشان می‌دهد. اما، عکس آن برقرار نیست؛ یعنی همگرایی L2L_2 به معنای همگرایی نقطه‌ای و یکنواخت نیست. همچنین نمی‌توان از همگرایی نقطه‌ای، همگرایی یکنواخت و همگرایی L2 L_2 را نتیجه گرفت.

پدیده گیبس

اگر یک ناپیوستگی جهشی وجود داشته باشد، مجموع جزئی سری فوریه در نزدیک جهش نوسان‌هایی دارد که ممکن است بیشینه مجموع جزئی تابع را افزایش دهد. این پدیده، پدیده گیبس (Gibbs Phenomenon) نامیده می‌شود. دامنه فراجهش در هر نقطه جهش یک تابع تکه‌ای هموار تقریباً ۱۸ درصد بزرگ‌تر از جهش تابع اصلی است (شکل ۴).

شکل ۴
شکل ۴

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره همگرایی سری فوریه بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

انتگرال ππDN(z)dz  \large \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { D _ N } \left ( z \right ) d z }  را محاسبه کنید.

حل: می‌دانیم:

fN(x) = 12πππDN(xy)f(y)dy. \large { { f _ N } \left ( x \right ) \text { = }}\kern0pt{ \frac { 1 } { { 2 \pi } } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { D _ N } \left ( { x – y } \right ) f \left ( y \right ) d y } . }

هسته دیریکله  DN(x) {D_N}\left( x \right) یک تابع متناوب با دوره تناوب 2π 2 \pi و زوج است، بنابراین، می‌توان نوشت:

fN(x) = 1π0πDN(xy)f(y)dy. \large { { f _ N } \left ( x \right ) \text { = }}\kern0pt{ \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ \pi { { D _ N } \left ( { x – y } \right ) f \left ( y \right ) d y } . }

فرض کنید  fN(x)=f(x)=1 {f_N}\left( x \right) = f\left( x \right) = 1 و با قرار دادن آن در فرمول بالا، داریم:

1=1π0πDN(xy)dy. \large 1 = \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ \pi { { D _ N } \left ( { x – y } \right ) d y } .

از تغییر متغیر  z=xy z = x – y استفاده می‌کنیم. بنابراین، y=xz y = x - z و dy=dz dy = -dz . اکنون حدود جدید انتگرال را به دست می‌آوریم. وقتی y=0 y = 0 ، داریم: z=x z = x و وقتی y=π y = \pi داریم: z=xπ z = x - \pi. در نتیجه، خواهیم داشت:

1=1πxxπDN(z)(dz)    or    1=1πxπxDN(z)dz. \large { 1 = \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ x ^ { x – \pi } { { D _ N } \left ( z \right ) \left ( { – d z } \right ) } \; \; \text {or}\;\;}\kern-0.3pt { 1 = \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { x – \pi } ^ x { { D _ N } \left ( z \right ) d z } . }

به دلیل متناوب بودن  DN(x) {{D_N}\left( x \right)} ، می‌توان نوشت:

1=1ππ0DN(z)dz. \large 1 = \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ { – \pi } ^ 0 { { D _ N } \left ( z \right ) d z } .

در نتیجه:

ππDN(z)dz=2π0DN(z)dz=2π. \large { \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { D _ N } \left ( z \right ) d z } } = { 2 \int \limits _ { – \pi } ^ 0 { { D _ N } \left ( z \right ) d z } } = { 2 \pi . }

راه دیگری نیز برای محاسبه این انتگرال وجود دارد. ابتدا انتگرال را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

I=ππDN(z)dz=20πDN(z)dz. \large { I = \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { D _ N } \left ( z \right ) d z } } = { 2 \int \limits _ 0 ^ \pi { { D _ N } \left ( z \right ) d z } . }

از آنجایی که داریم:

DN(z)=sin(N+12)zsinz2=2(12+n=1Ncosnz), \large { { D _ N } \left ( z \right ) = \frac { { \sin \left ( { N + \frac { 1 } { 2 } } \right ) z } } { { \sin \frac { z } { 2 } } } } = { 2 \left ( { \frac { 1 } { 2 } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \cos n z } } \right ) , }

می‌توانیم از این سری به صورت جمله به جمله انتگرال بگیریم. بنابراین:

I=20πDN(z)dz=40π(12+n=1Ncosnz)dz=4[(z2+n=1Nsinnzn)0π]. \large { I = 2 \int \limits _ 0 ^ \pi { { D _ N } \left ( z \right ) d z } } = { 4 \int \limits _ 0 ^ \pi { \left ( { \frac { 1 } { 2 } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \cos n z } } \right ) d z } } = { 4 \left[ {\left. { \left ( { \frac { z } { 2 } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \frac { { \sin n z } } { n } } } \right ) } \right| _ 0 ^ \pi } \right ] . }

در رابطه بالا، در z=0,π z = 0 , \pi ، مقدار  sinnz=0 \sin {nz} = 0 را داریم. در نتیجه:

I=4π2=2π. \large I = 4 \cdot \frac { \pi } { 2 } = 2 \pi .

مثال ۲

تابع  f(x)=πx2 f (x)= {\frac{{\pi – x}}{2}\normalsize}  در بازه  [0,2π] \left[ {0,2\pi } \right] تعریف شده است. بسط سری فوریه تابع را در بازه داده شده به دست آورده و با استفاده از آن، مقدار تقریبی π \pi را محاسبه کنید.

حل: ابتدا ضرایب فوریه را محاسبه می‌کنیم:

a0=1π02πf(x)dx=1π02ππx2dx=12π[(πxx22)02π]=0. \large { { a _ 0 } } = { \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { f \left ( x \right ) d x } } = { \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \frac { { \pi – x } } { 2 } d x } } = { \frac { 1 } { { 2 \pi } } \left [ { \left . { \left ( { \pi x – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \right ] } = { 0 . }

برای  n1 n \ge 1، داریم:

an=1π02πf(x)cosnxdx=1π02ππx2cosnxdx=(πx2sinnxnπ)02π+12πn02πsinnxdx=012πn[(cosnxn)02π]=0, \large \begin {align*} { { a _ n } } & = { \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { f \left ( x \right ) \cos n x d x } } = { \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \frac { { \pi – x } } { 2 } \cos n x d x } } \\ & = { \left . { \left ( { \frac { { \pi – x } } { 2 } \frac { { \sin n x } } { { n \pi } } } \right ) } \right| _ 0 ^ { 2 \pi } } + { \frac { 1 } { { 2 \pi n } } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sin n x d x } } \\ & = { 0 – \frac { 1 } { { 2 \pi n } } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { \cos n x } }{ n } } \right ) } \right| _ 0 ^ { 2 \pi } } \right] } = { 0, } \end {align*}

bn=1π02πf(x)sinnxdx=1π02ππx2sinnxdx=(πx2cosnxnπ)02π12πn02πcosnxdx=(π2π2cos2πnnπ+π2cos0nπ)12πn[(sinnxn)02π]=12n+12n=1n. \large \begin {align*} { { b _ n } } & = { \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { f \left ( x \right ) \sin n x d x } } = { \frac { 1 } { \pi } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \frac { { \pi – x } } { 2 } \sin n x d x } } \\ & = { \left. { \left ( { – \frac { { \pi – x } } { 2 } \frac { { \cos n x } } { { n \pi } } } \right ) } \right| _ 0 ^ { 2 \pi } } - { \frac { 1 } { { 2 \pi n } } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \cos n x d x } } \\ & = { \left ( { – \frac { { \frac { { \pi – 2 \pi } } { 2 } \cos 2 \pi n } } { { n \pi } } + \frac { { \frac { \pi } { 2 } \cos 0 } } { { n \pi } } } \right ) } - { \frac { 1 } { { 2 \pi n } } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { \sin n x } } { n } } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \right ] } \\ & = { \frac { 1 } { { 2 n } } + \frac { 1 } { { 2 n } } } = { \frac { 1 }{ n } . } \end {align*}

بنابراین، بسط سری فوریه برابر است با:‌

πx2=n=1sinnxn    for    x[0,2π]. \large { \frac { { \pi – x } } { 2 } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { \sin n x } } { n } } \; \; } \kern-0.3pt{ \text {for}\;\;x \in \left[ { 0 , 2 \pi } \right] . }

با قرار دادن  x=π2 x = {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} ، یک سری جایگزین برای  π4 {\large\frac{\pi }{4}\normalsize} به دست می‌آوریم:

π4=n=1sinnπ2n=113+1517+=n=1(1)n+12n1. \large { \frac { \pi } { 4 } = \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { \sin \frac { { n \pi } } { 2 } } } { n } } } = { 1 – \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 5 } – \frac { 1 } { 7 } + \ldots } = { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { { 2 n – 1 } } } . }

با استفاده از رابطه بالا، می‌توانیم نمایش سری بی‌نهایت π \pi را به صورت زیر بنویسیم:

π=4n=1(1)n+12n1=4(113+1517+). \large { \pi = 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { { 2 n – 1 } } } } = { 4 \left ( { 1 – \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 5 } – \frac { 1 } { 7 } + \ldots } \right ) . }

مثال ۳

ثابت کنید سری فوریه تابع f(x)=x2 f (x) = x ^ 2 در بازه [π,π]\left[ {-\pi, \pi} \right] به صورت یکنواخت به f(x) f (x) همگرا می‌شود.

حل: بسط سری فوریه f(x)=x2 f (x) = x ^ 2 روی بازه  [π,π] \left[ {-\pi, \pi} \right] به صورت زیر است:

f(x)=x2=π23+4n=1(1)nn2cosnx. \large { f \left ( x \right ) = { x ^ 2 } } = { \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } } + { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } . }

مجموع جزئی نیز به صورت زیر تعریف می‌شود:

fN(x)=π23+4n=1N(1)nn2cosnx. \large { { f _ N } \left ( x \right ) = \frac { { { \pi ^ 2 } } } { 3 } } + { 4 \sum \limits _{ n = 1 } ^ N { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } . }

بنابراین:

f(x)fN(x)=4n=1(1)nn2cosnx4n=1N(1)nn2cosnx=4n=N+1(1)nn2cosnx4n=N+1(1)nn2cosnx4n=N+11n2. \large \begin {align*} { \left| { f \left ( x \right ) – { f _ N } \left ( x \right ) } \right| } & = { \left| { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } } \right . } - { \left . { 4 \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } }{ { { n ^ 2 } } } \cos n x } } \right| } \\ & = { \left| { 4 \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { { { n ^ 2 } } } \cos n x } } \right | } \le { 4 \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \left | { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } } } { {{ n ^ 2 } } } \cos n x } \right| } } \le { 4 \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \frac { 1 }{ { { n ^ 2 } } } } . } \end {align*}

وقتی N N \to \infty، مجموع آخری به صفر میل می‌کند. در واقع، با اعمال آزمون انتگرال، داریم:

limNn=N+11n2=limNN+1dxx2=limN[(1x)N+1]=limN1N+1=0. \large \begin {align*} { \lim \limits _ { N \to \infty } \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \frac { 1 } { { { n^ 2 } } } } } & = { \lim \limits _ { N \to \infty } \int \limits _ { N + 1 } ^ \infty { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } } } } } = { \lim \limits _ { N \to \infty } \left[ { \left . { \left ( { – \frac { 1 } { x } } \right ) } \right | _ { N + 1 } ^ \infty } \right ] }\\ & = { \lim \limits _ { N \to \infty } \frac { 1 } { { N + 1 } } } = { 0.} \end {align*}

بنابراین:

limN[maxx[π,π]f(x)fN(x)]=0, \large { \lim \limits _ { N \to \infty } \left [ { \max \limits _ { x \in \left [ { – \pi , \pi } \right ] } \left | { f \left ( x \right ) – { f _ N } \left ( x \right ) } \right | } \right ] } = { 0 , }

که بدین معنی است، تابع f(x)=x2 f (x) = x ^ 2 به صورت یکنواخت همگرا می‌شود.

مثال ۴

ثابت کنید سری فوریه تابع f(x)=x f (x) = x در بازه  [π,π] \left[ {-\pi, \pi} \right] در نرم L2L_2 به f(x) f (x) همگرا می‌شود.

حل: سری فوریه تابع f(x) =x f (x)  = x در بازه  [π,π] \left[ {-\pi, \pi} \right] ، به صورت زیر است:

f(x)=x=2n=1(1)n+1nsinnx. \large { f \left ( x \right ) = x } = { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n x } . }

مجموع جزئی به صورت زیر تعریف می‌شود:

fN(x)=2n=1N(1)n+1nsinnx. \large { { f _ N } \left ( x \right ) } = { 2 \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n x } . }

حد زیر را محاسبه می‌کنیم:

limN12πππf(x)fN(x)2dx=limNf(x)fN(x), \large { \lim \limits _ { N \to \infty } \frac { 1 } { { 2 \pi } } \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { { { \left| { f \left ( x \right ) – { f _ N } \left ( x \right ) } \right| } ^ 2 } d x } } = { \lim \limits _ { N \to \infty } \left| { f \left ( x \right ) – { f _ N } \left ( x \right ) } \right| , }

که در آن،  f(x) \left\| {f\left( x \right)} \right\| نرم L2 L _ 2 تابع f(x) f (x) است.

اکنون نرم  f(x)fN(x) \left\| {f\left( x \right) – {f_N}\left( x \right)} \right\| را پیدا می‌کنیم:

f(x)fN(x)=[12πππn=12(1)n+1nsinnxn=1N2(1)n+1nsinnx2dx]12=n=N+12(1)n+1nsinnx. \large \begin {align*} \left| { f \left ( x \right ) – { f _ N } \left ( x \right ) } \right | & = \kern0pt { {\left[ { \frac { 1 } { { 2 \pi } } { { \int \limits _ { – \pi } ^ \pi { \left | { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { 2 { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n x } } \right . } } } } \right . } - { \left . { { { { \left . { \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \frac { { 2 { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } }{ n } \sin n x } } \right | } } ^ 2 } d x } \right] }^{\frac{1}{2}} } \\ &= { \left | { \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \frac { { 2 { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n x } } \right|.} \end {align*}

اکنون از نامساوی مثلثی f+gf+g \left\| {f + g} \right\| \le \left\| f \right\| + \left\| g \right\|  برای توابع فضای L2 L_2 استفاده می‌کنیم. بنابراین، داریم:

f(x)fN(x)=n=N+12(1)n+1nsinnxn=N+12(1)n+1nsinnxn=N+12n=limNn=N+1(2n)2=limNn=N+14n2. \large { \left| { f \left( x \right) – {f_N}\left( x \right)} \right| } = { \left | { \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \frac { { 2 { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n x } } \right | } \\ \large \le { \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \left | { \frac { { 2 { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { n } \sin n x } \right |} } \le { \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \left | { \frac { 2 } { n } } \right | } } = { \lim \limits _ { N \to \infty } \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { { { \left ( { \frac { 2 } { n } } \right ) } ^ 2 } } }\\ \large = { \lim \limits _ { N \to \infty } \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \frac { 4 } { { { n ^ 2 } } } } . }

حد آخر برابر با صفر است:

limNf(x)fN(x)=limNn=N+14n2=0. \large { \lim \limits _ { N \to \infty } \left | { f \left ( x \right ) – { f _ N } \left ( x \right ) } \right | } = { \lim \limits _ { N \to \infty } \sum \limits _ { n = N + 1 } ^ \infty { \frac { 4 }{ { { n ^ 2 } } } } } = { 0 . }

بنابراین، ثابت کردیم که سری فوریه تابع f(x)=x f (x) = x در نرم L2L_2 به f(x) f (x) همگرا می‌شود.

مثال ۵

سری فوریه تابع  f(x)=πx2   f\left( x \right) ={\large\frac{{\pi – x}}{2}\normalsize}  که در بازه  [0,2π] \left[ {0,2\pi } \right] تعریف شده، با فرمول f(x)=πx2=n=1sinnxn f \left( x \right) ={\large\frac{{\pi – x}}{2}\normalsize}= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{\sin nx}}{n}\normalsize} داده شده است (مثال ۲ را ببینید). رفتار مجموع جزئی  fN(x) {f_N}\left( x \right) سری فوریه را بررسی کنید.

حل: مجموع جزئی سری فوریه برابر است با:

fN(x)=n=1Nsinnxn. \large { f _ N } \left ( x \right ) = \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \frac { { \sin n x } } { n } } .

شکل ۵، مجموع جزئی تقریب زننده تابع را برای NNهای متفاوت نشان می‌دهد. همان‌طور که می‌بینیم، فراجهشی که توسط پدیده گیبس رخ می‌دهد، به ازای افزایش NN، کوچک و کوچک‌تر می‌شود.

شکل ۵
شکل ۵

حال فراجهش دامنه را برای  N N \to \infty بررسی می‌کنیم. با انتگرال‌گیری جمله به جمله، خواهیم داشت:

fN(x)=0x(n=1Ncosnt)dt. \large { { f _ N } \left ( x \right ) } = { \int \limits _ 0 ^ x { \left ( { \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \cos n t} } \right ) d t } . }

از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

12+n=1Ncosnt=12+cost+cos2t++cosnt=sin2n+12t2sint2, \large { \frac { 1 } { 2 } + \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \cos n t } } = { \frac { 1 } { 2 } + \cos t + \cos 2 t + \ldots } +{ \cos n t } = { \frac { { \sin \frac { { 2 n + 1 } } {2 } t }} { { 2 \sin \frac { t } {2 } } } , }

و داریم:

fN(x)=0x(12sin2n+12t2sint2)dt=x2+0xsin2n+12t2sint2dt. \large { { f _ N } \left ( x \right) } = { \int \limits _ 0 ^ x { \left ( { \frac { 1 } { 2 } – \frac { { \sin \frac { { 2 n + 1 } } { 2 } t } }{ { 2 \sin \frac { t } { 2 } } } } \right ) d t } } = { – \frac { x} { 2 } + \int \limits _ 0 ^ x { \frac { { \sin \frac { { 2 n + 1 } } { 2 } t } }{ { 2 \sin \frac { t } { 2 } } } d t } . }

از تغییر متغیر 2N+12t=z {\frac{{2N + 1}}{2}\normalsize} t = z و در نتیجه dt=22N+1dz dt = {\frac{2}{{2N + 1}}\normalsize} dz استفاده می‌کنیم. در این تغییر متغیر، وقتی t=0t = 0 باشد، z=0 z = 0 و وقتی t=xN=2π2N+1 t = {x_N}= {\frac{{2\pi }}{{2N + 1}}\normalsize}  باشد، z=2N+122π2N+1 z = {\frac{{2N + 1}}{2}\normalsize} \cdot {\frac{{2\pi }}{{2N + 1}}\normalsize} است.

بنابراین، خواهیم داشت:

fN(xN)+xN2=0πsinz2sinz2N+12dz2N+1=0πsinzsinz2N+1(2N+1)dz=0πsinzzsinz2N+1z2N+1dz. \large { { f _ N } \left ( { { x _ N } } \right ) + \frac { { { x _ N } } } { 2 } } = { \int \limits _ 0 ^ \pi { \frac { { \sin z } } { { 2 \sin \frac { z } { { 2 N + 1 } } } } \cdot \frac { { 2 d z } } { { 2 N + 1 } } } } \\ \large = { \int \limits _ 0 ^ \pi { \frac { { \sin z } } { { \sin \frac { z } { { 2 N + 1 } } \left ( { 2 N + 1 } \right ) } } d z } } = { \int \limits _ 0 ^ \pi { \frac { { \sin z } } { { \frac { { z \cdot \sin \frac { z } { { 2 N + 1 } } } } { { \frac { z } { { 2 N + 1 } } } } } } d z . } }

اکنون در می‌یابیم که وقتی  N N \to \infty ، fN(x)=0πsinzzdz {f_N}\left( x \right) = \int\limits_0^\pi {{\large\frac{{\sin z}}{z}\normalsize} dz} ، زیرا:‌

limNxN=limN2π2N+1=0    ,              limNsinz2N+1z2N+1=1. \large { \lim \limits _ { N \to \infty } { x _ N } } = { \lim \limits _ { N \to \infty } \frac { { 2 \pi } } { { 2 N + 1 } } = 0 \; \; } \kern-0.3pt { \text {,}\;\;\;\;\;\;\;}\kern -0.3pt { \lim \limits _ { N \to \infty } \frac { { \sin \frac { z } { { 2 N + 1 } } } } { { \frac { z } { { 2 N + 1 } } } } } = { 1 . }

انتگرال 0xsinzzdz \int\limits_0^x {{\large\frac{{\sin z}}{z}\normalsize} dz} ، انتگرال سینوسی نام دارد و به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

Si(x)=0xsinzzdz. \large \text {Si} \left ( x \right ) = \int \limits _ 0 ^ x { \frac { { \sin z } } { z } d z } .

بنابراین، می‌توان نوشت:

limNn=1NsinnxNn=0πsinzzdz=Si(π), \large { \lim \limits _ { N \to \infty } \sum \limits _ { n = 1 } ^ N { \frac { { \sin n { x _ N } } } { n } } } = { \int \limits _ 0 ^ \pi { \frac { { \sin z } } { z } d z } } = { \text {Si} \left ( \pi \right ) , }

که در آن، Si(π)π21,17898\text{Si}\left( \pi \right) \approx {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} \cdot 1,17898 .

در نتیجه، دامنه فراجهش تقریباً‌ ۱۸ درصد است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *