در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس درباره سری فوریه و تبدیل فوریه صحبت کردیم. در این آموزش به بررسی سری فوریه مختلط خواهیم پرداخت.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

معادله اویلر

معادله اویلر، یک تابع نمایی را به جمع توابع و سینوسی و کسینوسی تبدیل می‌کند:

$$\Large e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta$$

که در آن، $$i$$ واحد موهومی است ($$i^2 =-1 $$). می‌توان توابع مثلثاتی را با نمایش توابع نمایی مختلط جایگزین کرد:

$$\Large cos \theta = \frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}=\frac{1}{2} e^{i \theta} + \frac{1}{2} e^{-i \theta}$$

$$\Large sin \theta = \frac{e^{i \theta }- e^{-i \theta}}{2i} = -\frac{1}{2} e^{i \theta} + \frac{1}{2} i e^{-i \theta}$$

اگر از $$e^{i \theta}$$ به جای توابع $$cos \theta$$ و $$ sin \theta$$ استفاده کنیم، روابط ساده‌تر خواهند شد. در جدول زیر، چند نمونه نشان داده شده است:

استفاده از توابع $$sin \theta$$ و $$cos \theta$$ $$e^{i \theta}$$ استفاده از
$$cos (\theta + \phi) = cos \theta cos \phi – sin \theta sin \phi $$ $$e^{i(\theta + \phi)} = e^{i \theta} e^{i \phi}$$
$$cos \theta cos \phi – sin \theta sin \phi = cos (\theta + \phi)$$ $$e^{i \theta} e^{i \phi} = e^{i(\theta + \phi)}$$
$$\frac{d}{d \theta} cos \theta = -sin \theta$$ $$\frac{d}{d \theta} e^{i \theta} = i e^{i \theta}$$

سری فوریه مختلط

سری مختلط فوریه نیز با استفاده از $$e^{i \theta}$$ نوشته می‌شود. تابع $$f(x)$$ در بازه $$-l \leq x \leq l$$ تعریف می‌شود و دوره تناوب آن برابر با $$T=2l$$‌ است. سری فوریه این تابع به صورت زیر است:

$$\Large f(x)= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty \bigl( a_n\cos (\frac{\pi nx}{l})+b_n \sin (\frac{\pi nx}{l}) \bigr)$$

حال اگر از روابط مربوط به تبدیل سینوس و کسینوس استفاده کنیم، خواهیم داشت:

$$\Large \begin{align*} &\cos(\frac{\pi n x}{l})= \frac{1}{2}e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\frac{1}{2}e^{-\frac{i\pi n x}{l}}\\ &\sin(\frac{\pi n x}{l})= \frac{1}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}-\frac{1}{2i}e^{-\frac{i\pi n x}{l}} \end{align*}$$

پس می‌توان تابع $$f(x)$$ را به صورت زیر نوشت:

$$\Large f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigl( \frac{a_n}{2}e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\frac{a_n}{2}e^{\frac{-i\pi n x}{l}}+\frac{b_n}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}-\frac{b_n}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}\bigr)$$

بنابراین:

$$\Large f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigl( \bigl( \frac{a_n}{2}-\frac{ib_n}{2}\bigr)e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\sum_{n=1}^\infty \bigl( \frac{a_n}{2}+\frac{ib_n}{2}\bigr)e^{\frac{-i\pi n x}{l}}\bigr)= \sum_{-\infty} ^\infty c_n e^{\frac{i\pi n x }{l}} $$
معادله
(۱)

ضرایب سری فوریه مختلط

ضرایب $$c_n$$ یا ضرایب سری فوریه مختلط به صورت زیر هستند:

$$\Large {{c_0} = \frac{{{a_0}}}{2},\;\;\;}\kern0pt
{{c_n} = \frac{{{a_n} – i{b_n}}}{2},\;\;\;}\kern0pt
{{c_{ – n}} = \frac{{{a_n} + i{b_n}}}{2}.} $$

این ضرایب از طریق رابطه زیر محاسبه می‌شوند:

$$\Large c_n= \frac{1}{2l}\int_{-l}^{l} f(x)e^{-\frac{i\pi n x}{l}}\,dx \qquad n=\ldots,-2, -1, 0,1,2,\ldots. $$
معادله (۲)

رابطه پارسوال برای سری فوریه مختلط به صورت زیر خواهد بود:

$$ \Large 2l\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2= \int_{-l}^{l} |f(x)|^2\,dx.$$
معادله (۳)

در ادامه با حل چند مثال، به بررسی فرم مختلط سری فوریه می‌پردازیم.

مثال ۱

سری فوریه مختلط را برای تابع علامت زیر بیابید:

$$\Large {f\left( x \right) = \text{sign}\,x }=
{\begin{cases}
-1, & -\pi \le x \le 0 \\
1, & 0 \lt x \le \pi
\end{cases}.}$$

حل: ضرایب $$c_0$$ و $$c_n$$ برای این تابع، به صورت زیر هستند:

$$\begin{align*}
\large \require{cancel}
{{c_0} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right)dx} }
&=\large {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\int\limits_{ – \pi }^0 {\left( { – 1} \right)dx} + \int\limits_0^\pi {dx} } \right] } \\
&=\large {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\left. {\left( { – x} \right)} \right|_{ – \pi }^0 + \left. x \right|_0^\pi } \right] }
= {\frac{1}{{2\pi }}\left( { – \cancel{\pi} + \cancel{\pi }} \right) }={0}
\end{align*}$$

به ازای $$n \ne 0$$ خواهیم داشت:

$$\large \begin{align*}
{{c_n} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right){e^{ – inx}}dx} }
&= {{\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\int\limits_{ – \pi }^0 {\left( { – 1} \right){e^{ – inx}}dx} }\right.}+{\left.{ \int\limits_0^\pi {{e^{ – inx}}dx} } \right] }} \\
&= {{\frac{1}{{2\pi }}\left[ { – \frac{{\left. {\left( {{e^{ – inx}}} \right)} \right|_{ – \pi }^0}}{{ – in}} }\right.}+{\left.{ \frac{{\left. {\left( {{e^{ – inx}}} \right)} \right|_0^\pi }}{{ – in}}} \right] }} \\
&= {{\frac{i}{{2\pi n}}\left[ { – \left( {1 – {e^{in\pi }}} \right) }\right.}+{\left.{ {e^{ – in\pi }} – 1} \right] }}
= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {\frac{{{e^{in\pi }} + {e^{ – in\pi }}}}{2} – 1} \right] } \\
&= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {\cos n\pi – 1} \right] }
= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {{{\left( { – 1} \right)}^n} – 1} \right].}
\end{align*}$$

اگر $$n = 2k$$ باشد، $${c_{2k}} = 0$$ است. حال اگر $$n = 2k – 1$$ باشد، $${c_{2k – 1}} = – {\frac{{2i}}{{\left( {2k – 1} \right)\pi }}\normalsize}$$ خواهد بود. پس در حالت کلی، سری فوریه مختلط برای «تابع علامت» (Sign Function) به صورت زیر است:

$$\Large {f\left( x \right) = \text{sign}\,x }
= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{k = – \infty }^\infty {\frac{1}{{2k – 1}}{e^{i\left( {2k – 1} \right)x}}} .}$$

سری مختلط فوریه بیان‌شده برای تابع علامت را می‌توان به سری فوریه سینوسی و کسینوسی تبدیل کرد. با تغییر متغیر $$n$$ به صورت $$n = 2k – 1,n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$$، داریم:

$$\large \begin{align*}
{f\left( x \right) = \text{sign}\,x }
&= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{k = – \infty }^\infty {\frac{1}{{2k – 1}}{e^{i\left( {2k – 1} \right)x}}}}
= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{n = – \infty }^\infty {\frac{{{e^{inx}}}}{n}} } \\
&= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{e^{ – inx}}}}{{ – n}} + \frac{{{e^{inx}}}}{n}} \right)} } \\
&= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{inx}} – {e^{ – inx}}}}{{2in}}} }
= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin nx}}{n}} } \\
&= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin \left( {2k – 1} \right)x}}{{2k – 1}}} .}
\end{align*}$$

مثال ۲

سری فوریه مختلطِ تابع $$f(x)=x^2$$ را روی بازه $$[-1,1]$$ بیابید.

حل: نیم‌تناوب در این حالت برابر با $$l=\frac{T}{2}=1$$ است. بنابراین، ضریب $$c_0$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\Large {{c_0} = \frac{1}{{2L}}\int\limits_{ – L}^L {f\left( x \right)dx} }  = {\frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {{x^2}dx} }  = {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – 1}^1} \right] }  = {\frac{1}{6}\left[ {{1^3} – {{\left( { – 1} \right)}^3}} \right] }  = {\frac{1}{3}.}$$

برای $$n \ne 0$$ خواهیم داشت:

$$\Large {{c_n} = \frac{1}{{2L}}\int\limits_{ – L}^L {f\left( x \right){e^{ – \frac{{in\pi x}}{L}}}dx} }  = {\frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {{x^2}{e^{ – {in\pi x}}}dx} .}$$

با استفاده از انتگرال‌گیری جزء به جزء داریم:

$$\large \begin{align*}
{c_n} &=\kern0pt{{ \frac{1}{2}\Big[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}{e^{ – in\pi x}}}}{{ – in\pi }}} \right)} \right|_{ – 1}^1 }}-{{ \int\limits_{ – 1}^1 {\frac{{2x{e^{ – in\pi x}}}}{{ – in\pi }}dx} } \Big] }}
= {{\frac{1}{2}\Big[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}{e^{ – in\pi x}}}}{{ – in\pi }}} \right)} \right|_{ – 1}^1 }}+{{\frac{2}{{in\pi }}\int\limits_{ – 1}^1 {x{e^{ – in\pi x}}dx} } \Big] }}\\
& \large = {{- \frac{1}{{2in\pi }}\Big[ {{e^{ – in\pi }} + \frac{2}{{in\pi }}{e^{ – in\pi }} }}+{{ \frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}{e^{ – in\pi }}}} + {{\frac{2}{{in\pi }}{e^{in\pi }} }}-{{ \frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}{e^{in\pi }}} \Big] }} \\
&= {{\frac{1}{{2in\pi }}\Big[ {{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }} }}}-{{{ \frac{2}{{in\pi }}\left( {{e^{in\pi }} + {e^{in\pi }}} \right)}}} + {{{\frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}\left( {{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }}} \right)} \Big] }} \\
&= {{\frac{1}{{n\pi }} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }}}}{{2i}} } + {\frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} + {e^{ – in\pi }}}}{2} } – {\frac{2}{{{n^3}{\pi ^3}}} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }}}}{{2i}} }} \\
&= {{\frac{1}{{n\pi }} \cdot \sin n\pi }+{ \frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}}\cos n\pi }-{ \frac{2}{{{n^3}{\pi ^3}}}\sin n\pi .}}
\end{align*}$$

با قرار دادن $$\sin n\pi = 0$$ و $$\cos n\pi = {\left( { – 1} \right)^n}$$، رابطه زیر برای ضرایب سری فوریه به فرم مختلط به دست می‌آید:

$${c_n} = \frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}}{\left( { – 1} \right)^n}$$

بنابراین تعمیم مختلط سری فوریه به صورت زیر است:

$$\large {f\left( x \right) = {x^2} }
= {{\frac{1}{3} }+{ \frac{4}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\frac{{{e^{in\pi x}} + {e^{ – in\pi x}}}}{2}} }}
= {{\frac{1}{3} }+{ \frac{4}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\cos n\pi x} .}}$$

مثال ۳

سری فوریه مختلط را برای تابع زیر بیابید:

$${f\left( x \right) = \frac{{a\sin x}}{{1 – 2a\cos x + {a^2}}},\;\;}\kern-0.3pt{\left| a \right| \lt 1.}$$

حل: با تبدیل توابع سینوسی و کسینوسی به معادل‌ نمایی آن خواهیم داشت:

$${\cos x = \frac{{{e^{ix}} + {e^{ – ix}}}}{2},\;\;\;}\kern0pt
{\sin x = \frac{{{e^{ix}} – {e^{ – ix}}}}{{2i}}.}$$

بنابراین تابع $$f(x)$$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large \begin{align*}
\Large {f\left( x \right) } &={ \frac{{a \cdot \frac{{{e^{ix}} – {e^{ – ix}}}}{{2i}}}}{{1 – 2a \cdot \frac{{{e^{ix}} + {e^{ – ix}}}}{2} + {a^2}}} }
= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{1 – a\left( {{e^{ix}} + {e^{ – ix}}} \right) + {a^2}}} }
\\
&= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{1 – a{e^{ix}} – a{e^{ – ix}} + {a^2}{e^{ix}}{e^{ – ix}}}} }
= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{\left( {1 – a{e^{ix}}} \right) – a{e^{ – ix}}\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)}} } \\
&= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right)}}.}
\end{align*}$$

با تجزیه کسرها داریم:

$$\large {f\left( x \right) \text{ = }}\kern0pt{ \frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right)}} }
= {\frac{1}{{2i}}\left( {\frac{A}{{1 – a{e^{ix}}}} + \frac{B}{{1 – a{e^{ – ix}}}}} \right)}$$
معادله (۴)

بنابراین ضرایب $$A$$ و $$B$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin{align*}
&{{A\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right) }+{ B\left( {1 – a{e^{ix}}} \right) } ={ a{e^{ix}} – a{e^{ – ix}},\;\;}} \\
&\Rightarrow
{{ A – aA{e^{ – ix}} }+{ B – aB{e^{ix}} } = { a{e^{ix}} – a{e^{ – ix}},\;\;}}\\
&\Rightarrow
{A = 1,\;B = – 1.}
\end{align*}$$

پس می‌توان تابع $$f(x)$$ را به صورت زیر نوشت:

$$\large {f\left( x \right) }={ \frac{1}{{2i}}\left( {\frac{1}{{1 – a{e^{ix}}}} }\right.}-{\left.{ \frac{1}{{1 – a{e^{ – ix}}}}} \right).}$$

می‌دانیم:

$${\left| {a{e^{ix}}} \right| = \left| a \right|\left| {{e^{ix}}} \right| }
= {\left| a \right|\sqrt {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} }
= {\left| a \right| \lt 1.}$$

مزدوج این رابطه به صورت زیر است:

$${\left| {a{e^{ – ix}}} \right| = \left| {a{e^{ix}}} \right| }={ \left| a \right| \lt 1.}$$

سری توانی کسرها برای معادله (۴) عبارت است از:

$${\frac{1}{{1 – a{e^{ix}}}} = {\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)^{ – 1}} }={ \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}{e^{inx}}} ,}$$

$${\frac{1}{{1 – a{e^{ – ix}}}} = {\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right)^{ – 1}} }={ \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}{e^{ – inx}}} .}$$

پس سری فوریه تابع $$f(x)$$‌ به صورت زیر خواهد بود:

$$\large {f\left( x \right) }={ \frac{1}{{2i}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}\left( {{e^{inx}} – {e^{ – inx}}} \right)} }
= {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}\sin nx} .}$$

از آنجا که $$\sin nx = 0$$، تابع $$f(x)$$ به فرم زیر در می‌آید:

$$\large f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a^n}\sin nx} .$$

در آموزش بعدی از این سری آموزش‌ها در مجله فرادرس، به بررسی انتگرال فوریه خواهیم پرداخت.

در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش سری فوریه مختلط — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی معادله اویلر

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی معرفی سری فوریه مختلط

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل مثال از سری فوریه مختلط

دانلود ویدیو

بر اساس رای 10 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

3 نظر در “سری فوریه مختلط — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *