شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
معادله کوشی ریمان – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
۸۶۴۴
۱۴۰۲/۰۲/۲۵
۶۵ دقیقه
PDF
آموزش متنی جامع
امکان دانلود نسخه PDF
آموزش ویدئویی
در مطالب پیشتر وبلاگ فرادرس، در مورد حد و مشتق در توابع مختلط بحث شد. همانطور که بیان شد، یک تابع مختلط را میتوان به صورت حاصل جمع یک بخش حقیقی و یک بخش موهومی بیان کرد. از طرفی اگر چنین تابعی مشتقپذیر باشد در این صورت میتوان روابطی خاص را بین بخش حقیقی و موهومی آن بیان کرد. در این مطلب قصد داریم تا معادلهای تحت عنوان معادله کوشی ریمان را معرفی کرده و مثالهایی نیز از آن ارائه دهیم.
با توجه به مشتقپذیر بودن f، دو رابطه زیر باید برقرار باشند.
ux=vy,vx=−uy
اما مشتقات بدست آمده نشان میدهند که به ازای تمامی مقادیر x,y، دو تساوی فوق برقرار هستند. اما جهت درک بهتر میتوان f را بر حسب z نیز بیان کرد. در ادامه این کار انجام شده است.
f′(z)=ux+ivx=2x−2y+i(2x+2y−1)=2z+2iz−i
البته این تابع را میتوان در قالب رابطه زیر نیز بیان کرد:
f(z)=z2+iz2−iz
نهایتا میتوان گفت که تابع f، تابعی چندجملهای بر حسب z است.
مثال ۲
نشان دهید که تابع f(z)=(z+1)3−3z در هیچ نقطهای تحلیلی نیست.
همانطور که بیان شد در اولین گام باید تابع را بر حسب x,y بیان کرد:
همانطور که محاسبه شد، عبارتهای بدست آمده دقیقا عکس شرایط کوشی ریمان است. بنابراین تابع ارائه شده در هیچ نقطهای شرایط کوشی ریمان را ارضا نمیکند. در حقیقت در عبارات بدست آمده در بالا vx=uy و ux=−vy است.
مثال ۳
نشان دهید که اگر تابع f تحلیلی است در این صورت دو رابطه زیر برقرار هستند.
∣f′(z)∣2=(∂x∂u)2+(∂x∂v)2
∣f′(z)∣2=(∂y∂u)2+(∂y∂v)2
با توجه به تحلیل بودن تابع f، مشتق آن را میتوان مطابق با رابطه زیر بیان کرد:
f′(z)=∂x∂u+i∂x∂v
بنابراین اندازه مشتق تابع نیز برابر است با:
∣f′(z)∣=(∂x∂u)2+(∂x∂v)2
بدیهی است که رابطه فوق را نیز میتوان به صورت زیر بازنویسی کرد.
∣f′(z)∣2=(∂x∂u)2+(∂x∂v)2
در صورتی که مطلب فوق برای شما مفید بوده است، آموزشهای زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
ممنون خدا خیرت بده
در بخش اولیه اثبات، وقتی v(x,y) نوشته میشود برای -f(z)، یک i جا افتاده فکر کنم. در خط بعدی ولی اصلاح شده و کلیت درست هست.
خیلی ممنون از توضیحاتتون
با سلام؛
ممنون از توجه شما. اصلاح شد.
از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.
عاااالی