مانده تابع — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد توابع مختلط صحبت کردیم. همچنین در مطلبی دیگر نحوه بدست آوردن انتگرال روی یک مسیر را نیز شرح دادیم. توجه داشته باشید که انتگرال روی مسیر در حقیقت انتگرال تابع مختلط محسوب می‌شود. اما تابع مختلطی را در نظر بگیرید که در نقاطی خاص تحلیلی نباشد. در این صورت انتگرال‌گیری روی مسیری که نقطه غیرتحلیلی تابع در آن قرار گرفته است با استفاده از مفهومی تحت عنوان مانده تابع بدست می‌آید.

مانده تابع

فرض کنید $$ f $$ تابعی مختلط باشد که روی ناحیه $$ C $$ در نقطه $$ z _ 0 $$ تحلیلی نباشد. در این صورت مقداری تحت عنوان مانده تابع که آن را با $$ \operatorname { Res } _ { z _ { 0 } } f $$ نشان می‌دهند، به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

$$\large \operatorname {Res} _ { z _ { 0 } } f = \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { C } f ( z ) d z $$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی در فرادرس

کلیک کنید

به‌منظور درک بهتر فرض کنید $$ C $$ منحنی بسته‌ای باشد که تابع $$ f $$ در ناحیه مذکور، در $$ m $$ نقطه تحلیلی نباشد. در شکل زیر این منحنی به همراه نقاط غیرتحلیلی مربوط به آن نشان داده شده‌اند.

در این صورت طبق قضیه مانده تابع، می‌توان حاصل انتگرال تابع مختلط را روی مسیر مذکور مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

$$ \oint _{ C } f ( z ) d z = 2 \pi i \sum _ { j = 1 } ^ { m } \operatorname {Res} _ { z _ { j } } f $$

حال فرض کنید بسط لوران تابع مختلط $$ f $$ مطابق با رابطه کلی زیر بیان شده باشد.

$$ \color {white} {f ( z ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } c _ { n } \left ( z -z _ { 0 } \right ) ^{ n }} f ( z ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } c _ { n } \left ( z -z _ { 0 } \right ) ^{ n } \color {white} {f ( z ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } c _ { n } \left ( z -z _ { 0 } \right ) ^{ n } } $$

در این صورت می‌توان گفت ضرایب $$ c _ n $$ برابرند با:

$$ c _ { n } = \frac { 1 } { 2 \pi i} \oint _ { \Gamma} \frac { f ( \xi ) }{ \left(\xi-z _ { 0 } \right ) ^ { n + 1 } } d \xi $$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید این ضرایب را می‌توان بر حسب انتگرالِ $$ \oint _ { \Gamma } \frac { f ( \xi) } { \left(\xi-z_{0}\right)^{n+1}} d \xi $$ بیان کرد. با فرض $$ n = - 1 $$، مخرج کسر حذف شده و تنها با محاسبه مانده $$ f $$ ضرایب بدست می‌آیند. بنابراین می‌توان رابطه زیر را بین ضریب بسط لوران تابع $$ f $$ و مقدار باقیمانده $$ f $$ بیان کرد:

$$ c _ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { \Gamma } d \xi f ( \xi ) = \operatorname {Res} _ { z _ { 0 } } f $$

به‌منظور درک بهتر، مثال‌هایی در ادامه ارائه شده‌اند که پیشنهاد می‌شود آن‌ها را مطالعه فرمایید.

مثال ۱

مقدار باقیمانده تابع مختلط زیر را در نقطه تکینش بدست آورید.

$$ \color {white} {f ( z‌ )‌ = \frac { 1 - z } { ( 1 - 2 z ) ^ { 2 } } } f ( z‌ )‌ = \frac { 1 - z } { ( 1 - 2 z ) ^ { 2 } } \color {white} {f ( z‌ )‌ = \frac { 1 - z } { ( 1 - 2 z ) ^ { 2 } }} $$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل سوالات کنکور دکتری در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که از رابطه فوق می‌توان دید، این تابع در نقطه $$ z = 1 / 2 $$ تحلیلی نیست. از طرفی توان ترمی که تابع را غیرتحلیلی کرده، برابر با $$ - 2 $$ است. از این رو می‌توان گفت ضریبِ $$ C _ { - 1 } $$، مقدار باقیمانده را نشان خواهد داد. بنابراین باید بسط لوران تابع را حول نقطه $$ z = 1 / 2 $$ نوشته و ضریب $$ C _ { - 1 } $$ را به عنوان مقدار باقیمانده تابع $$ f $$ در نظر گرفت. بنابراین می‌توان گفت مقدار باقیمانده تابع $$ f $$ برابر است با:

$$ \frac { 1 - z } { ( 1 - 2 z ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 8 } \frac { 1 } { ( z - 1 / 2 ) ^ { 2 } } \underbrace {-\frac { 1 }{ 4 } }_{\text {residue}} \frac{1} {z-1 / 2} \Rightarrow \operatorname {Res} _ { z = 1 / 2 } f=-\frac{1}{4} $$

تابعی که در بالا ارائه شد، به‌صورت کسری بود. اما توجه داشته باشید که ممکن است تابع مختلط ارائه شده همواره تحلیلی نباشد.

مثال ۲

باقیمانده تابع $$ f ( z ) = e ^ { 1 / z ^ { 2 } } $$ را در نقطه غیرتحلیلیش بیابید.

مرتبه ترم $$ z $$ قرار گرفته در مخرج که تابع را غیرتحلیلی می‌کند، برابر با $$ 2 $$ است. بنابراین در این مثال نیز ضریب $$ C _ { - 1 } $$ در بسط لوران، نشان‌دهنده مقدار باقیمانده $$ f $$ است.

$$ e ^ { 1 / z ^ { 2 } } = 1 + \frac { 1 } { z ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 !} \frac { 1 } { z ^ { 4 } } + \ldots \Rightarrow \operatorname{Res} _ { z = 0 } f = 0 $$

در موارد بسیاری با انتگرال تابعی مختلط روبرو می‌شوید که شکل آن به‌صورت زیر است.

$$\color {white} { f ( z ) = \frac { h ( z ) } { \left ( z - z _ { 0 } \right ) ^ { n } } } f ( z ) = \frac { h ( z ) } { \left ( z - z _ { 0 } \right ) ^ { n } } \color {white} {f ( z ) = \frac { h ( z ) } { \left ( z - z _ { 0 } \right ) ^ { n } }} $$

در این صورت باقیمانده تابعی به‌صورت بالا را می‌توان با استفاده از قضیه مانده و مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

$$ \begin {aligned} \operatorname { Res} _ { z _ { 0 }} f &= \frac { 1} { 2 \pi i} \oint_{C} \frac { h ( z ) } { \left(z-z_{0}\right)^{n}} d z \\ & = \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \left[\frac { d ^ { n - 1} h(z)}{d z^{n-1}}\right] _ { z = z _ { 0 } } \\ & = \lim _ { z \rightarrow z_{0}} \frac{1}{(n-1) !} \frac { d ^ { n - 1 } } {d z ^ { n - 1 } } \left[\left(z-z_{0}\right)^{n} f ( z ) \right] \end{aligned}
$$

برای نمونه باقیمانده تابع $$ f ( z ) = \frac { 1 - z } { ( 1 - 2 z ) ^ { 2 } } $$ برابر است با:

$$ \operatorname{Res} _ { z = 1 / 2 } f = \lim _ { z \rightarrow 1 / 2} \frac { d } { d z } \left[(z-1 / 2)^{2} f ( z ) \right] = \lim _{z \rightarrow 1 / 2} \frac { d } { d z } \left[ \frac { 1 - z } { 4 } \right] = - \frac { 1 } { 4 } $$

روش‌های محاسبه مانده

به‌منظور محاسبه باقیمانده یک تابع روش‌های مختلفی وجود دارد. معمول‌ترین روش استفاده از بسط لوران است. همان‌طور که در بالا نیز بیان شد در این روش بسط لوران تابع مختلط نوشته شده سپس $$ C _ { - 1 } $$ به‌عنوان مقدار باقیمانده تابع در نظر گرفته می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

روش دوم استفاده از حد است. فرض کنید تابعی مختلط داریم که این تابع در نقطه $$ z = z _ 0 $$ تحلیلی نبوده و مرتبه قطب $$ z _ 0 $$ برابر با $$ n $$ است. در این صورت حاصل باقیمانده را می‌توان برابر با حد زیر در نظر گرفت.

$$ \operatorname{Res} _ { z _ { 0 } } f = \lim _ { z \rightarrow z _ { 0 } } \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \frac { d ^ { n - 1 } } { d z ^ { n - 1 } } \left[\left ( z - z _ { 0 } \right ) ^ { n } f ( z ) \right] $$

مثال ۳

حاصل انتگرال زیر را روی مسیر بسته $$ C $$ با استفاده از مفهوم مانده تابع محاسبه کنید. فرض کنید $$ C $$ برابر با دایره‌ای به مرکز $$ z = 0 $$ و شعاع $$ 1 $$ باشد.

$$\color {white} {\frac { \sin z } { z ^ { 6 } } d z } \mathcal { I } = \oint _ { C } \frac { \sin z } { z ^ { 6 } } d z \color {white} {\frac { \sin z } { z ^ { 6 } } d z } $$

در ابتدا باید بگوییم که مرتبه قطب $$ z = 0 $$ برای این تابع برابر با $$ 5 $$ است (در حقیقت اگر $$ z ^ 5 $$ را در تابع ضرب کنید در این صورت حد تابع در $$ z = 0 $$ موجود خواهد بود). برای بدست آوردن مانده تابع باید بسط لوران آن را بنویسیم.

$$ \frac{\sin z } { z ^ { 6 } } = \frac { 1 } { z ^ { 6 } } \left(z-\frac { z^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { z^ { 5 } } { 5 ! } + \ldots \right ) = \frac { 1 } { z ^ { 5 } } - \frac{1}{6} \frac{1}{z^{3}}+\underbrace { \frac { 1 } { 120 } } _ {\text { residue }} \frac { 1 } { z }... $$

از بسط فوق می‌توان نتیجه گرفت مانده تابع بیان شده برابر با $$ \frac { 1 } { 120 } $$ است. نهایتا حاصل انتگرال فوق برابر می‌شود با:

$$ \mathcal { I } = \oint _ { C } \frac { \sin z } { z ^ { 6 } } d z = 2 \pi i \operatorname ({Res} _ { z = 0 }) = \frac { i \pi } { 60 } $$

یکی از کاربردهای حساب مانده، استفاده از آن در محاسبه انتگرال توابع حقیقی است. در این موارد معمولا از تغییر متغیری مختلط استفاده شده و با تعریف مسیری بسته می‌توان انتگرال را بدست آورد. در ادامه مثالی مهم ارائه شده که پیشنهاد می‌شود آن را مطالعه فرمایید.

مثال ۴

حاصل انتگرال زیر را بیابید.

$$ \color {white} {I = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta } I = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 + \cos \theta } d \theta \color {white} {I = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta } $$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید انتگرال فوق از تابعی حقیقی گرفته شده است. با این حال می‌توان از تغییر متغیر مختلط به‌منظور محاسبه آن استفاده کرد. با به‌کارگیری این تغییر  متغیر، مسیری تعریف شده و انتگرال روی آن محاسبه می‌شود. در ادامه، تغییر متغیر، دیفرانسیل مرتبط با آن و تابع بر حسب $$ z $$ بدست آمده‌اند.

$$ z = e ^ { i \theta} ; \quad d z=i z d \theta ; \quad \cos \theta = \frac { z + 1 / z } { 2 } $$

$$\Rightarrow I = \oint _ { C _ { 1 } } d z \frac { 1 } { i z} \frac{1}{ 2 + ( z + 1 / z) / 2 } = \oint_{C_{1}} d z \frac { 2 } { i } \frac { 1 } { z ^ {2 } + 4 z + 1 } $$

$$ e ^ { i \theta } $$ در بازه $$ 0 $$ تا $$ 2 \pi $$، نشان‌دهنده دایره‌ای به مرکز $$ ( 0 , 0 ) $$ و شعاع $$ 1 $$ است. هم‌چنین ریشه‌های مخرج تابع فوق برابر با $$ z _ { \pm } = - 2 \pm \sqrt { 3 } $$ است. در شکل زیر محل این قطب‌ها و منحنی $$ C $$ نشان داده شد‌ه‌اند.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید تنها قطب $$ z _ { + } = - 2 + \sqrt { 3 } $$ در ناحیه انتگرال‌گیری قرار دارد. نهایتا حاصل انتگرال فوق با استفاده از قضیه مانده‌ها برابر می‌شود با:

$$ I = 2 \pi i \left[\operatorname {Res} _ { z = z _ { + } } f \right] =
\frac { 2 \pi } { \sqrt { 3 } } $$

بسیاری دیگر از انتگرال‌های توابع مثلثاتی را می‌توان با استفاده از روش فوق محاسبه کرد.

در صورتی که مطلب فوق برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های فیزیک
• اعداد مختلط – به زبان ساده
• روش تغییر متغیر برای حل انتگرال — به زبان ساده
• انتگرال خطی — به زبان ساده

^^