معادله پواسون — راهنمای جامع

۲۱۲۱ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۴ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳ دقیقه
معادله پواسون — راهنمای جامع

معادله پواسون در ریاضیات یک معادله دیفرانسیل مشتقات جزئی بیضوی است. این معادله در فیزیک، مهندسی برق و مهندسی مکانیک کاربرد گسترده‌ای دارد. به عنوان مثال، معادله پواسون در توصیف میدان پتانسیل ایجاد شده توسط یک بار مفروض و یا توزیع چگالی جرم مورد استفاده قرار می‌گیرد. اگر میدان مغناطیسی مشخص باشد، می‌توان میدان الکترواستاتیک و یا میدان گرانشی را توسط معادله پواسون به دست آورد. معادله پواسون یک تعمیم از معادله لاپلاس است که در فیزیک بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد. نام این معادله از ریاضی‌دان فرانسوی «سایمون پواسون» گرفته شده است.

997696

در مطالب قبلی مجله فرادرس، به معادلات ماکسول (Maxwell Equations) و نیز قانون گاوس (Gauss' Law) پرداختیم. در این مطلب قصد داریم به بیان معادله پواسون (Poisson's Equation) بپردازیم. می‌دانیم که میدان مغناطیسی تولید شده توسط مجموعه‌ای از بارهای ثابت (Stationary Charges) را می‌توانیم به صورت گرادیان پتانسیل الکتریکی بنویسیم:

 E=ϕ E= - \triangledown \phi

این معادله را می‌توان با معادله میدان ترکیب کرد و یک معادله مشتقات جزيی برای پتانسیل اسکالر به دست آورد. بنابراین داریم:

 2ϕ=ρϵ0 \triangledown ^2 \phi = - \frac {\rho} {\epsilon _0}

معادله بالا مثالی از یک نوع مهم از معادلات مشتقات جزيی محسوب می‌شود که به معادله پواسون مشهور است. در عمومی‌ترین فرم آن، معادله پواسون را می‌توان به صورت زیر نوشت:

 2u=v \triangledown ^2 u = v

در معادله بالا، u(r) u(r) تابع پتانسیل اسکالر است که باید مقدار آن را به دست آورد. v(r) v(r) به عنوان تابع منبع (Source Function) شناخته می‌شود. متداول‌ترین شرایط مرزی (Boundary Condition) که به این معادله اعمال می‌شود، این است که پتانسیل u u در بی نهایت صفر شود. معادله پواسون از خاصیت جمع آثار تبعیت می‌کند. اگر u1 u_1 پتانسیل تولید شده توسط تابع منبع v1 v_1 و u2 u_2 پتانسیل تولید شده توسط تابع منبع v2 v_2 باشد، آن‌گاه داریم:

 2u1=v1 \triangledown ^2 u_1 = v_1

 2u2=v2 \triangledown ^2 u_2 = v_2

 می‌توان گفت پتانسیل تولید شده توسط v1+v2 v_1 + v_2 برابر با u1+u2 u_1 + u_2 خواهد بود. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که:

2(u1+u2)=2u1+2u2=v1+v2 \triangledown ^2 {(u_1 + u_2) } =\triangledown ^2 u_1 + \triangledown ^2 u_2 = v_1 + v_2

این حقیقت که معادله پواسون از قضیه جمع آثار تبعیت می‌کند، یک روش عمومی را برای حل این معادلات پیشنهاد می‌دهد. فرض کنید که می‌توانستیم تمام پاسخ‌هایی را که توسط منابع نقطه‌ای تولید می‌شوند، بسازیم. البته تمام این پاسخ‌ها باید در شرایط مرزی مناسب صدق کنند. هر تابع منبع عمومی را می‌توان با مجموعه‌ای از منابع نقطه‌ای با وزن‌های مناسب ایجاد کرد. بنابراین راه حل عمومی معادله پواسون باید به صورت مجموع وزن‌دار (Weighted) پاسخ‌های منبع نقطه‌ای قابل بیان باشد. پس هنگامی که تمام پاسخ‌های منبع نقطه‌ای را بدانیم، می‌توانیم هر پاسخ دیگری را نیز ایجاد کنیم. به بیان ریاضی ما نیاز داریم تا پاسخ عبارت زیر را به دست آوریم:

 2G(r,r)=δ(rr) \triangledown ^2 G (r, r^\prime) = \delta (r - r^\prime)

عبارت بالا زمانی که  r |r|\rightarrow \infty ، به سمت صفر میل می‌کند. تابع  G(r,r) G (r, r^\prime) پاسخی است که توسط یک منبع نقطه‌ای واحد، واقع در  r r^\prime ایجاد شده است. این تابع در ریاضیات به تابع گرین (Green's Function) معروف است. جواب ایجاد شده توسط تابع منبع عمومی v(r) v(r) مجموع وزن‌دار مناسب تمام پاسخ‌های تابع گرین است:

 u(r)=G(r,r)v(r)d3r u(r) = \int G (r, r^\prime) v( r^\prime) d^3 r^\prime

به سادگی، با استفاده از رابطه زیر می‌توان نشان داد که این پاسخ صحیح است:

 2u(r)=[2G(r,r)]v(r)d3r=δ(rr)v(r)d3r=v(r) \triangledown ^2 u(r) = \int [\triangledown ^2 G (r, r^\prime)] v( r^\prime) d^3 r^\prime = \int \delta (r - r^\prime) v(r^\prime)d^3 r^\prime = v(r)

مجددا از معادله   2ϕ=ρϵ0  \triangledown ^2 \phi = - \frac {\rho} {\epsilon _0} استفاده می‌کنیم. اگر  G |G|\rightarrow \infty و  r0 |r|\rightarrow 0 ، آن گاه تابع گرین برای این معادله، در رابطه  2G(r,r)=δ(rr) \triangledown ^2 G (r, r^\prime) = \delta (r - r^\prime) صدق خواهد کرد. در نتیجه به رابطه زیر خواهیم رسید:

 G(r,r)=14π1rr G (r, r^\prime) = - \frac {1} {4 \pi}\frac {1} {| r - r^\prime |}

تابع گرین دارای فرمی مشابه با پتانسیل تولید شده توسط بار نقطه‌ای است. این نکته بسیار مهم است که با استفاده از تعریف تابع گرین و معادلات بالا، حل عمومی معادله پواسون به صورت زیر نوشته می‌شود:

 ϕ(r)=14πϵ0ρ(r)rrd3r \phi (r) = \frac {1} {4 \pi \epsilon _0} \int \frac {\rho (r^ \prime)} {|r - r^\prime|}d^3 r^\prime

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۱۸ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
farside
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *