مشتق تانژانت – محاسبه و فرمول مشتق tan + مثال و تمرین

مشتق تانژانت (مشتق tan)، برابر با مربع سکانت (sec^۲) است. تانژانت، به عنوان یکی از توابع مثلثاتی اصلی شناخته می‌شود. این تابع، نسبت سینوس به کسینوس را نمایش می‌دهد. تانژانت، کاربردهای زیادی در علوم مهندسی و ریاضی دارد. مشتق تانژانت، شیب خط مماس بر منحنی این تابع است. فرمول‌های متعددی برای تعیین مشتق تانژانت و دیگر توابع مرتبط با آن (مانند تانژانت توان‌دار، ضرب تانژانت، تقسیم تانژانت، تانژانت وارون، تانژانت هیپربولیک و غیره) وجود دارد. در این مقاله، به معرفی و اثبات فرمول مشتق تانژانت و توابع مرتبط با آن می‌پردازیم. علاوه بر این، چندین مثال و تمرین متنوع را نیز حل می‌کنیم.

تانژانت چیست ؟

«تانژانت» (Tangent)، یکی از سه تابع مثلثاتی اصلی است. توابع مثلثاتی، بر اساس رابطه بین ضلع‌ها و زاویه‌های حاده مثلث قائم‌ازاویه تعریف می‌شوند.

مثلث‌های زیر را در نظر بگیرید. نسبت ضلع مقابل به مجاور، تانژانت زاویه θ را نمایش می‌دهد.

مفهوم مشتق tan چیست ؟

مشتق تانژانت، شیب خط مماس بر منحنی این تابع در یک نقطه دلخواه است.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

تصویر زیر، منحنی تابع $$y = \tan ( \theta )$$ را در بازه $$- \frac { ۳ \pi } { ۲ }$$ تا $$\frac { ۳ \pi } { ۲ }$$ نشان می‌دهد.

اگر خطی را در نقطه $$\theta = ۰$$ بر منحنی تانژانت مماس کنیم، شیب خط برابر با ۰ می‌شود. بنابراین می‌گوئیم مشتق تانژانت تتا در نقطه $$\theta = ۰$$ برابر با ۰ است. مشتق، به روش‌های مختلفی نشان داده می‌شود. برخی از علائم و عبارت‌های جبری مورد استفاده برای نمایش مشتق تانژانت عبارت هستند از:

$$\frac { d } { d x } \tan ( x )$$

$$\tan ^ { \prime } ( x )$$

$$( \tan ( x ) ) ^ { \prime }$$

فرمول مشتق تانژانت چیست ؟

مشتق تانژانت برابر با مربع سکانت است. فرمول مشتق tan به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ { ۲ } ( x )$$

$$\tan ^ { \prime } ( x ) = \sec ^ { ۲ } ( x )$$

$$( \tan ( x ) ) ^ { \prime } = \sec ^ { ۲ } ( x )$$

مثال ۱: محاسبه تانژانت زاویه ۶۰ درجه

مشتق تابع $$f ( x ) = \tan ( x )$$ را در نقطه $$x = \frac { \pi } { ۳ }$$ را به دست بیاورید.

فرمول محاسبه مشتق tan x عبارت است از:

$$\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ { ۲ } ( x )$$

بنابراین:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \sec ^ { ۲ } ( x )$$

به جای x، زاویه $$\frac { \pi } { ۳ }$$ (زاویه ۶۰ درجه) را قرار می‌دهیم:

$$f ^ { \prime } \left ( \frac { \pi } { ۳ } \right ) = \sec ^ { ۲ } \left ( \frac { \pi } { ۳ } \right )$$

می‌دانیم که سکانت یک زاویه، عکس کسینوس آن زاویه را نمایش می‌دهد. از این‌رو، داریم:

$$\sec \left ( \frac { \pi } { ۳ } \right ) = \frac { ۱ } { \cos \left ( \frac { \pi } { ۳ } \right ) }$$

$$\sec ^ ۲ \left ( \frac { \pi } { ۳ } \right ) = \frac { ۱ } { \cos ^ ۲ \left ( \frac { \pi } { ۳ } \right ) }$$

کسینوس زاویه ۶۰ درجه برابر با $$\frac{ ۱ } { ۲ }$$ است. از این‌رو:

$$\sec ^ ۲ \left ( \frac { \pi } { ۳ } \right ) = \frac { ۱ } { \left ( \frac { ۱ } { ۲ } \right ) ^ ۲ }$$

$$\sec ^ ۲ \left ( \frac { \pi } { ۳ } \right ) = \frac { ۱ } { \frac { ۱ } { ۴ } }$$

$$\sec ^ ۲ \left ( \frac { \pi } { ۳ } \right ) = ۴$$

به این ترتیب:

$$\frac { d } { d x } \tan \left ( \frac { \pi } { ۳ } \right ) = ۴$$

در نتیجه، مشتق تانژانت ایکس در زاویه ۶۰ درجه برابر با ۴ است.

اثبات مشتق تانژانت

روش‌های مختلفی برای اثبات فرمول مشتق tan x وجود دارد. در این بخش، به معرفی دو روش اصلی اثبات این فرمول می‌پردازیم.

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

اثبات مشتق tan با استفاده از فرمول کلی مشتق

اصلی‌ترین روش اثبات مشتق تانژانت، استفاده از رابطه کلی مشتق است. تصویر زیر را در نظر بگیرید. این تصویر، خط مماس بر یک منحنی‍ با تابع f(x) را نمایش می‌دهد.

بر اساس تعریف، مشتق تابع f(x)، شیب خط مماس بر منحنی این تابع در نقطه x است. این تعریف، با فرمول زیر و مفهوم حد بیان می‌شود:

$$\dfrac { d } { d x } f ( x ) = \lim \limits _ { \Delta x \to ۰ } \dfrac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }$$

برای شروع، تابع تانژانت را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$\dfrac { d } { d x } \tan ( x ) = \lim \limits _ { \Delta x \to ۰ } \dfrac { \tan ( x + \Delta x ) - \tan ( x ) } { \Delta x }$$

می‌دانیم که: