در آموزشهای قبلی از مجموعه آموزشهای ریاضیات مجله فرادرس، با ماتریسهایی از قبیل ماتریس متعامد ، ماتریس دوران و ماتریس تبدیل آشنا شدیم. در این آموزش درباره ماتریس غیر منفرد بحث خواهیم کرد که در جبر خطی کاربرد دارد.
تعریف ماتریس غیر منفرد
فرض کنید A A A یک ماتریس n × n n \times n n × n باشد. ماتریس A A A غیرمنفرد است، اگر تنها جواب معادله A x = 0 A\mathbf{x}=\mathbf{0} A x = 0 ، جواب صفر x = 0 \mathbf{x}=\mathbf{0} x = 0 باشد.
چند نکته مهم درباره ماتریس A A A به صورت زیر است:
اگر A A A غیر منفرد باشد، آنگاه A T A ^ T A T نیز غیر منفرد است.
ماتریس A A A غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر بردارهای ستونی A A A مستقل خطی باشند.
معادله A x = b A\mathbf{x}=\mathbf{b} A x = b یک جواب یکتا برای هر بردار ستونی b \mathbf{b} b دارد، اگر و تنها اگر A A A غیرمنفرد باشد.
مثالها
در این بخش، چند مثال را درباره ماتریسهای غیرمنفرد بررسی میکنیم.
مثال ۱
درباره غیرمنفرد بودن ماتریسهای زیر بحث کنید.
الف) A = [ 1 0 1 2 1 2 1 0 − 1 ] \large A = \begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 & - 1
\end {bmatrix} A = 1 2 1 0 1 0 1 2 − 1
ب) B = [ 2 1 2 1 0 1 4 1 4 ] \large B = \begin {bmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 &1 \\
4 & 1 & 4
\end {bmatrix} B = 2 1 4 1 0 1 2 1 4
حل الف: گفتیم که یک ماتریس n × n n \times n n × n غیرمنفرد است، اگر A x = 0 A\mathbf{x}=\mathbf{0} A x = 0 فقط یک حل داشته باشد و آن هم صفر باشد. این گفته، معادل این است که رتبه (Rank) ماتریس A A A برابر با n n n باشد.
ابتدا رتبه ماتریس A A A را به دست میآوریم:
A = [ 1 0 1 2 1 2 1 0 − 1 ] → R 3 − R 1 R 2 − 2 R 1 [ 1 0 1 0 1 0 0 0 − 2 ] → − 1 2 R 3 [ 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ] → R 1 − R 3 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] . \large \begin {align*}
A = \begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 &1 & 2 \\
1 & 0 & - 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow [ R _ 3 - R _ 1 ] { R _ 2 - 2 R _ 1 } \begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & - 2
\end {bmatrix}
\xrightarrow { - \frac { 1 } { 2 } R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 - R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix} .
\end {align*} A = 1 2 1 0 1 0 1 2 − 1 R 2 − 2 R 1 R 3 − R 1 1 0 0 0 1 0 1 0 − 2 − 2 1 R 3 1 0 0 0 1 0 1 0 1 R 1 − R 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 .
رتبه ماتریس آخر ۳ است و بنابراین، ماتریس A A A یک ماتریس غیرمنفرد است.
حل ب: رتبه ماتریس B B B را به صورت زیر به دست میآوریم:
B = [ 2 1 2 1 0 1 4 1 4 ] → R 1 ↔ R 2 [ 1 0 1 2 1 2 4 1 4 ] → R 3 − 4 R 1 R 2 − 2 R 1 [ 1 0 1 0 1 0 0 1 0 ] → R 3 − R 2 [ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 ] . \large \begin {align*}
B = \begin {bmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 &0 & 1 \\
4 & 1 & 4
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 \leftrightarrow R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 &1 & 2 \\
4 & 1 & 4
\end {bmatrix}
\xrightarrow [ R _ 3 - 4 R_ 1 ] { R _2 - 2 R _ 1 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 3 - R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end {bmatrix}.
\end {align*} B = 2 1 4 1 0 1 2 1 4 R 1 ↔ R 2 1 2 4 0 1 1 1 2 4 R 2 − 2 R 1 R 3 − 4 R 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 R 3 − R 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 .
همانطور که میبینیم، رتبه ماتریس B B B برابر با ۲ است. در نتیجه، میتوان گفت که ماتریس B B B منفرد است.
مثال ۲
ماتریس M = [ 1 4 3 12 ] \large M = \begin {bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 12 \end {bmatrix} M = [ 1 3 4 12 ] را در نظر بگیرید.
الف) نشان دهید که ماتریس M M M منفرد است.
ب) بردار غیرصفر v \mathbf{v} v را به گونهای محاسبه کنید که M v = 0 M \mathbf{v} = \mathbf{0} M v = 0 برقرار باشد، که در آن، 0 \mathbf{0} 0 یک بردار صفر دوبعدی است.
حل الف: برای اثبات منفرد بودن M M M ، ماتریس افزوده را تشکیل داده و از حذف سطر استفاده میکنیم.
[ 1 4 0 3 12 0 ] → R 2 – 3 R 1 [ 1 4 0 0 0 0 ] . \large \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 4 & 0 \\ 3 & 12 & 0 \end {array} \right ] \xrightarrow { R _ 2 – 3 R _ 1 } \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] . [ 1 3 4 12 0 0 ] R 2 –3 R 1 [ 1 0 4 0 0 0 ] .
ماتریس بالا سطری دارد که همه درایههای آن صفر هستند. بنابراین، M M M یک ماتریس منفرد است.
حل ب: بردار v = [ v 1 v 2 ] \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} v = [ v 1 v 2 ] باید در رابطه v 1 + 4 v 2 = 0 v_1 + 4 v_2 = 0 v 1 + 4 v 2 = 0 صدق کند. این معادله، بینهایت جواب دارد. برای مثال، یکی از جوابهای آن، v 1 = 1 v _ 1 = 1 v 1 = 1 و v 2 = – 1 4 v_2 = – \frac{1}{4} v 2 = – 4 1 است.
مثال ۳
ماتریس 3×۳ زیر را در نظر بگیرید:
A = [ 1 1 − 1 0 1 2 1 1 a ] . \large A = \begin {bmatrix}
1 & 1 & - 1 \\
0 &1 & 2 \\
1 & 1 & a
\end {bmatrix} . A = 1 0 1 1 1 1 − 1 2 a .
به ازای چه مقادیری از a a a ، ماتریس A A A غیرمنفرد است؟
حل: از این اصل استفاده میکنیم که یک ماتریس غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر همارز سطری با ماتریس واحد یا همانی باشد.
از عملیات سطری مقدماتی به صورت زیر استفاده میکنیم:
A → R 3 − R 1 [ 1 1 − 1 0 1 2 0 0 a + 1 ] → R 1 − R 2 [ 1 0 − 3 0 1 2 0 0 a + 1 ] . \large \begin {align*}
A \xrightarrow { R _ 3 - R _ 1 } \begin {bmatrix}
1 & 1 & - 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & a + 1
\end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 - R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & - 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & a+1
\end {bmatrix} .
\end{align*} A R 3 − R 1 1 0 0 1 1 0 − 1 2 a + 1 R 1 − R 2 1 0 0 0 1 0 − 3 2 a + 1 .
اگر a + 1 = 0 a+1=0 a + 1 = 0 ، آنگاه فرم سطری کاهش یافته است. بنابراین، A A A اکنون همارز با ماتریس همانی نخواهد بود. از طرفی، اگر a + 1 ≠ 0 a+1 \neq 0 a + 1 = 0 ، آنگاه مطابق زیر، به کاهش ادامه میدهیم:
[ 1 0 − 3 0 1 2 0 0 a + 1 ] → 1 a + 1 R 3 [ 1 0 − 3 0 1 2 0 0 1 ] → R 2 − 2 R 3 R 1 + 3 R 3 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] . \large \begin {align*}
\begin {bmatrix}
1 & 0 & - 3 \\
0 &1 &2 \\
0 & 0 & a + 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { \frac { 1 } { a + 1 } R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & - 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow [ R _ 2 - 2 R _ 3 ] { R _ 1 + 3 R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix} .
\end{align*} 1 0 0 0 1 0 − 3 2 a + 1 a + 1 1 R 3 1 0 0 0 1 0 − 3 2 1 R 1 + 3 R 3 R 2 − 2 R 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 .
در نتیجه، A A A همارز سطری ماتریس همانی است. بنابراین، میتوان نتیجه گرفت که ماتریس A A A به ازای همه مقادیر a a a ، به جز a = − 1 a = - 1 a = − 1 ، غیرمنفرد است.
مثال ۴
به ازای چه مقادیری از عدد حقیقی a a a ، ماتریس زیر غیرمنفرد است؟
A = [ 3 0 a 2 3 0 0 18 a a + 1 ] A = \begin {bmatrix}
3 & 0 & a \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 18 a & a + 1
\end {bmatrix} A = 3 2 0 0 3 18 a a 0 a + 1
حل: از عملیات سطری مقدماتی زیر استفاده میکنیم و داریم:
A = [ 3 0 a 2 3 0 0 18 a a + 1 ] → R 1 − R 2 [ 1 − 3 a 2 3 0 0 18 a a + 1 ] → R 2 − 2 R 1 [ 1 − 3 a 0 9 − 2 a 0 18 a a + 1 ] → R 3 − ( 2 a ) R 2 [ 1 − 3 a 0 9 − 2 a 0 0 4 a 2 + a + 1 ] . \large \begin {align*}
A = \begin {bmatrix}
3 & 0 & a \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 18 a & a + 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 - R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & - 3 & a \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 8 a & a + 1
\end {bmatrix} \\[6pt]
\xrightarrow { R _ 2 - 2 R _ 1 }
\begin {bmatrix}
1 & - 3 & a \\
0 & 9 & - 2 a \\
0 & 1 8 a & a + 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 3 - ( 2 a ) R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & - 3 & a \\
0 & 9 & - 2 a \\
0 & 0 & 4 a ^ 2 + a + 1
\end {bmatrix}.
\end {align*} A = 3 2 0 0 3 18 a a 0 a + 1 R 1 − R 2 1 2 0 − 3 3 18 a a 0 a + 1 R 2 − 2 R 1 1 0 0 − 3 9 18 a a − 2 a a + 1 R 3 − ( 2 a ) R 2 1 0 0 − 3 9 0 a − 2 a 4 a 2 + a + 1 .
همانطور که میبینیم، ماتریس A A A غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر درایه ( 3 , 3 ) (3,3) ( 3 , 3 ) ، یعنی 4 a 2 + a + 1 4a^2+a+1 4 a 2 + a + 1 ، صفر نباشد. جوابهای 4 a 2 + a + 1 = 0 4a^2+a+1=0 4 a 2 + a + 1 = 0 به صورت زیر است:
a = − 1 ± − 15 8 \large a = \frac { - 1 \pm \sqrt { - 1 5 } } { 8 } a = 8 − 1 ± − 15
این جوابها حقیقی نیستند. بنابراین، به ازای همه مقادیر عدد حقیقی a a a ، داریم: 4 a 2 + a + 1 ≠ 0 4a^2+a+1\neq 0 4 a 2 + a + 1 = 0 . در نتیجه میتوانیم سطر سوم را بر این عدد تقسیم کنیم و ماتریس را به یک ماتریس همانی کاهش دهیم. در نهایت میتوان گفت که رتبه ماتریس A A A برابر با ۳ است و A A A برای هر عدد حقیقی a a a غیرمنفرد است.
مثال ۵
فرض کنید A A A یک ماتریس 3 × 3 3\times 3 3 × 3 منفرد باشد. نشان دهید یک ماتریس غیرصفر B B B با اندازه 3 × 3 3\times 3 3 × 3 وجود دارد، به گونهای که رابطه زیر برقرار باشد:
A B = O \large AB=O A B = O
که در آن، O O O یک ماتریس صفر 3 × 3 3 \times 3 3 × 3 است.
حل: از آنجایی که A A A منفرد است، معادله A x = 0 A\mathbf{x}=\mathbf{0} A x = 0 یک جواب غیرصفر دارد. فرض میکنیم x 1 \mathbf{x}_1 x 1 یک جواب غیرصفر برای A x = 0 A\mathbf{x}=\mathbf{0} A x = 0 باشد. ماتریس B B B را با اندازه 3 × 3 3 \times 3 3 × 3 را به صورت زیر تعریف میکنیم:
B = [ x 1 , 0 , 0 ] \large B = [ \mathbf { x } _ 1 , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] B = [ x 1 , 0 , 0 ]
که ستون اول آن، بردار x 1 x _ 1 x 1 و ستونها دوم و سوم آن، بردارهای صفر به طول ۳ هستند. از آنجایی که x 1 ≠ 0 x_1\neq \mathbf{0} x 1 = 0 ، ماتریس B B B ماتریس صفر نیست و داریم:
A B = A [ x 1 , 0 , 0 ] = [ A x 1 , A 0 , A 0 ] = [ 0 , 0 , 0 ] = O , \large \begin {align*}
A B & = A [ \mathbf { x } _ 1 , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] \\
& = [ A \mathbf { x } _ 1 , A \mathbf { 0 } , A \mathbf { 0 } ] \\
& = [ \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] = O ,
\end {align*} A B = A [ x 1 , 0 , 0 ] = [ A x 1 , A 0 , A 0 ] = [ 0 , 0 , 0 ] = O ,
بنابراین، ماتریس غیرصفر B B B را به گونهای به دست آوردیم که A B = O AB=O A B = O .
مثال ۶
فرض کنید A A A یک ماتریس منفرد n × n n \times n n × n باشد. ثابت کنید ماتریس B B B با اندازه n × n n \times n n × n وجود دارد، به گونهای که A B = O AB= O A B = O و O O O یک ماتریس صفر n × n n \times n n × n است.
حل: همانطور که دیدیم، ماتریس A A A با اندازه n × n n \times n n × n منفرد نامیده میشود، اگر معادله زیر دارای جواب غیرصفر x ∈ R n \mathbf{x}\in \mathcal{R}^n x ∈ R n باشد:
A x = 0 \large A \mathbf { x } = \mathbf { 0 } A x = 0
از آنجایی که A A A منفرد است، یک بردار غیرصفر b ∈ R n \mathbf{b} \in \mathcal{R}^n b ∈ R n به گونهای وجود دارد که:
A b = 0. \large A \mathbf { b } = \mathbf { 0 } . A b = 0 .
ماتریس B B B با اندازه n × n n \times n n × n را که ستون اول آن b \mathbf{b} b و سایر درایههای آن صفر است را تعریف میکنیم:
B = [ b 0 ⋯ 0 ] . \large B = \begin {bmatrix}
\mathbf { b } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 }
\end {bmatrix} . B = [ b 0 ⋯ 0 ] .
از آنجایی که بردار b \mathbf{b} b غیرصفر است، ماتریس B B B نیز غیرصفر خواهد بود. در این انتخاب ماتریس B B B ، داریم:
A B = A [ b 0 ⋯ 0 ] = [ A b A 0 ⋯ A 0 ] = [ 0 0 ⋯ 0 ] = O . \large \begin {align*}
A B & = A \begin {bmatrix}
\mathbf { b } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 }
\end {bmatrix} \\
& = \begin {bmatrix}
A \mathbf { b } & A \mathbf { 0 } & \cdots & A\mathbf { 0 }
\end {bmatrix} \\
& = \begin {bmatrix}
\mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 }
\end {bmatrix}
= O .
\end {align*} A B = A [ b 0 ⋯ 0 ] = [ A b A 0 ⋯ A 0 ] = [ 0 0 ⋯ 0 ] = O .
در نتیجه، تساوی A B = O AB = O A B = O با ماتریس غیرصفر B B B برقرار است.
مثال ۷
فرض کنید A A A یک ماتریس n × n n \times n n × n و مجموع درایههای هر سطر آن صفر باشد. ثابت کنید ماتریس A A A منفرد است.
حل: بردار v = [ 1 1 ⋮ 1 ] \mathbf { v } = \begin {bmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots \\
1
\end {bmatrix} v = 1 1 ⋮ 1 را به طول n n n در نظر بگیرید که i i i اُمین درایه A v A\mathbf{v} A v برابر با مجموع درایههای i i i اُمین سطر ماتریس A A A برای i = 1 , … , n i=1, \dots, n i = 1 , … , n است.
طبق فرضی که مجموع عناصر در هر سطر از A A A برابر با صفر است، داریم:
A v = 0. \large A \mathbf { v } = \mathbf { 0 } . A v = 0 .
از آنجایی که v \mathbf{v} v یک بردار غیرصفر است، تساوی بالا به این معنی است که A A A یک ماتریس منفرد است.
برای مثال، فرض کنید ماتریس A A A به صورت زیر باشد:
A = [ 1 − 4 3 2 5 − 7 3 0 − 3 ] A = \begin {bmatrix}
1 & - 4 & 3 \\
2 & 5 & - 7 \\
3 & 0 & - 3
\end {bmatrix} A = 1 2 3 − 4 5 0 3 − 7 − 3
بنابراین، مجموع درایههای هر سطر از A A A صفر است:
[ 1 − 4 3 2 5 − 7 3 0 − 3 ] [ 1 1 1 ] = [ 1 + ( − 4 ) + 3 2 + 5 + ( − 7 ) 3 + 0 + ( − 3 ) ] = [ 0 0 0 ] . \large \begin {align*}
\begin {bmatrix}
1 & - 4 & 3 \\
2 & 5 & -7 \\
3 & 0 & - 3
\end {bmatrix} \begin {bmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}
1 + ( - 4 ) + 3 \\
2 + 5 + ( - 7 ) \\
3 + 0 + ( - 3 )
\end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end {bmatrix}.
\end {align*} 1 2 3 − 4 5 0 3 − 7 − 3 1 1 1 = 1 + ( − 4 ) + 3 2 + 5 + ( − 7 ) 3 + 0 + ( − 3 ) = 0 0 0 .
در نتیجه، میبینیم که ماتریس A A A منفرد است، زیرا برای بردار غیرصفر v \mathbf{v} v ، داریم: A v = 0 A\mathbf{v}=\mathbf{0} A v = 0 .
اگر علاقهمند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزشهایی که در ادامه آمدهاند نیز به شما پیشنهاد میشوند:
^^
سلام. آیا یک ماتریس معین مثبت همواره معکوس پذیر است؟
سلام خسته نباشید.یه اثبات! فرض کنید AوB دو ماتریس متشابه باشند.نشان دهیدtr(A)=tr(B)
سلام.
همانطور که میدانیم، دو ماتریس A و B را متشابه گوییم اگر برای ماتریس وارونپذیر P داشته باشیم B=P−1AP. بنابراین، اثبات تساوی اثر دو ماتریس متشابه A و B بهصورت زیر خواهد بود:
tr(B)=tr(P−1AP)=tr(P−1(AP))=tr((AP)P−1)=tr(A(PP−1))=tr(A)
موفق باشید.
با سلام و خسته نباشید یه سوال…ماتریس 2×2 ای که AوB منفرد ولی A+B نامنفرد باشد؟؟
سلام.
دو ماتریسِ A=[1111] و B=[1326] منفرد هستند. اما جمع آنها، A+B=[2437]، نامنفرد است.
موفق باشید.
با سلام…اثبات اگر aوbدو ماتریس مربعی و هم اندازه باشندو Aمنفرد باشد ان گاه دترمینان ABبرابر صفر و برعکس
سلام. منفرد بودن ماتریس A یعنی اینکه det(A)=0. از طرفی، با توجه به رابطه det(AB)=det(A)det(B)، میتوان نتیجه گرفت: det(AB)=0×det(B)=0. برای اثبات عکس آن نیز از گزارههایی که بیان کردیم استفاده کنید.
موفق باشید.