در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، با ماتریس‌هایی از قبیل ماتریس متعامد، ماتریس دوران و ماتریس تبدیل آشنا شدیم. در این آموزش درباره ماتریس غیر منفرد بحث خواهیم کرد که در جبر خطی کاربرد دارد.

تعریف ماتریس غیر منفرد

فرض کنید $$ A $$ یک ماتریس $$ n \times n $$ باشد. ماتریس $$ A $$ غیرمنفرد است، اگر تنها جواب معادله $$ A\mathbf{x}=\mathbf{0} $$، جواب صفر $$ \mathbf{x}=\mathbf{0} $$ باشد.

چند نکته مهم درباره ماتریس‌ $$ A$$ به صورت زیر است:

  1. اگر $$A$$ غیر منفرد باشد، آن‌گاه $$ A ^ T $$ نیز غیر منفرد است.
  2. ماتریس $$ A $$ غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر بردارهای ستونی $$ A $$ مستقل خطی باشند.
  3. معادله $$ A\mathbf{x}=\mathbf{b} $$ یک جواب یکتا برای هر بردار ستونی $$ \mathbf{b} $$ دارد، اگر و تنها اگر $$A$$ غیرمنفرد باشد.

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره ماتریس‌های غیرمنفرد بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

درباره غیرمنفرد بودن ماتریس‌های زیر بحث کنید.

الف) $$ \large A = \begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 & – 1
\end {bmatrix} $$

ب) $$ \large B = \begin {bmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 &1 \\
4 & 1 & 4
\end {bmatrix} $$

حل الف: گفتیم که یک ماتریس $$ n \times n $$ غیرمنفرد است، اگر $$ A\mathbf{x}=\mathbf{0} $$ فقط یک حل داشته باشد و آن هم صفر باشد. این گفته، معادل این است که رتبه (Rank) ماتریس $$A$$ برابر با $$n$$ باشد.

ابتدا رتبه ماتریس $$A$$ را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
A = \begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 &1 & 2 \\
1 & 0 & – 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow [ R _ 3 – R _ 1 ] { R _ 2 – 2 R _ 1 } \begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & – 2
\end {bmatrix}
\xrightarrow { – \frac { 1 } { 2 } R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 – R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix} .
\end {align*} $$

رتبه ماتریس آخر ۳ است و بنابراین، ماتریس $$ A $$ یک ماتریس غیرمنفرد است.

حل ب: رتبه ماتریس $$B$$ را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
B = \begin {bmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 &0 & 1 \\
4 & 1 & 4
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 \leftrightarrow R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 &1 & 2 \\
4 & 1 & 4
\end {bmatrix}
\xrightarrow [ R _ 3 – 4 R_ 1 ] { R _2 – 2 R _ 1 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 3 – R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینیم، رتبه ماتریس $$ B$$ برابر با ۲ است. در نتیجه، می‌توان گفت که ماتریس $$B$$ منفرد است.

مثال ۲

ماتریس $$ \large M = \begin {bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 12 \end {bmatrix} $$ را در نظر بگیرید.

الف) نشان دهید که ماتریس $$M$$ منفرد است.

ب) بردار غیرصفر $$ \mathbf{v} $$ را به گونه‌ای محاسبه کنید که $$ M \mathbf{v} = \mathbf{0} $$ برقرار باشد، که در آن، $$ \mathbf{0} $$ یک بردار صفر دوبعدی است.

حل الف: برای اثبات منفرد بودن $$M$$، ماتریس افزوده را تشکیل داده و از حذف سطر استفاده می‌کنیم.

$$ \large \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 4 & 0 \\ 3 & 12 & 0 \end {array} \right ] \xrightarrow { R _ 2 – 3 R _ 1 } \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] . $$

ماتریس بالا سطری دارد که همه درایه‌های آن صفر هستند. بنابراین، $$M$$ یک ماتریس منفرد است.

حل ب: بردار $$ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $$ باید در رابطه $$ v_1 + 4 v_2 = 0 $$ صدق کند. این معادله، بی‌نهایت جواب دارد. برای مثال، یکی از جواب‌های آن، $$ v _ 1 = 1 $$ و $$ v_2 = – \frac{1}{4} $$ است.

مثال ۳

ماتریس 3×۳ زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large A = \begin {bmatrix}
1 & 1 & – 1 \\
0 &1 & 2 \\
1 & 1 & a
\end {bmatrix} . $$

به ازای چه مقادیری از $$ a $$، ماتریس $$A$$ غیرمنفرد است؟

حل: از این اصل استفاده می‌کنیم که یک ماتریس غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر هم‌ارز سطری با ماتریس واحد یا همانی باشد.

از عملیات سطری مقدماتی به صورت زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
A \xrightarrow { R _ 3 – R _ 1 } \begin {bmatrix}
1 & 1 & – 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & a + 1
\end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 – R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & – 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & a+1
\end {bmatrix} .
\end{align*} $$

اگر $$ a+1=0 $$، آن‌گاه فرم سطری کاهش یافته است. بنابراین، $$A$$ اکنون هم‌ارز با ماتریس همانی نخواهد بود. از طرفی، اگر $$ a+1 \neq 0 $$، آن‌گاه مطابق زیر، به کاهش ادامه می‌دهیم:

$$ \large \begin {align*}
\begin {bmatrix}
1 & 0 & – 3 \\
0 &1 &2 \\
0 & 0 & a + 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { \frac { 1 } { a + 1 } R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & – 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow [ R _ 2 – 2 R _ 3 ] { R _ 1 + 3 R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix} .
\end{align*} $$

در نتیجه، $$A$$ هم‌ارز سطری ماتریس همانی است. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که ماتریس $$A$$ به ازای همه مقادیر $$a$$، به جز $$ a = – 1 $$، غیرمنفرد است.

مثال ۴

به ازای چه مقادیری از عدد حقیقی $$a$$، ماتریس زیر غیرمنفرد است؟

$$ A = \begin {bmatrix}
3 & 0 & a \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 18 a & a + 1
\end {bmatrix} $$

حل: از عملیات سطری مقدماتی زیر استفاده می‌کنیم و داریم:

$$ \large \begin {align*}
A = \begin {bmatrix}
3 & 0 & a \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 18 a & a + 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 – R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & – 3 & a \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 8 a & a + 1
\end {bmatrix} \\[6pt] \xrightarrow { R _ 2 – 2 R _ 1 }
\begin {bmatrix}
1 & – 3 & a \\
0 & 9 & – 2 a \\
0 & 1 8 a & a + 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 3 – ( 2 a ) R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & – 3 & a \\
0 & 9 & – 2 a \\
0 & 0 & 4 a ^ 2 + a + 1
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینیم، ماتریس $$A$$ غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر درایه $$(3,3)$$، یعنی $$ 4a^2+a+1 $$، صفر نباشد. جواب‌های $$4a^2+a+1=0 $$ به صورت زیر است:

$$ \large a = \frac { – 1 \pm \sqrt { – 1 5 } } { 8 } $$

این جواب‌ها حقیقی نیستند. بنابراین، به ازای همه مقادیر عدد حقیقی $$a$$، داریم: $$4a^2+a+1\neq 0 $$. در نتیجه می‌توانیم سطر سوم را بر این عدد تقسیم کنیم و ماتریس را به یک ماتریس همانی کاهش دهیم. در نهایت می‌توان گفت که رتبه ماتریس $$A$$ برابر با ۳ است و $$A$$ برای هر عدد حقیقی $$a$$ غیرمنفرد است.

مثال ۵

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس $$ 3\times 3 $$ منفرد باشد. نشان دهید یک ماتریس غیرصفر $$B $$ با اندازه $$ 3\times 3 $$ وجود دارد، به گونه‌ای که رابطه زیر برقرار باشد:

$$ \large AB=O $$

که در آن، $$O$$ یک ماتریس صفر $$ 3 \times 3 $$ است.

حل: از آنجایی که $$A$$ منفرد است، معادله $$A\mathbf{x}=\mathbf{0} $$ یک جواب غیرصفر دارد. فرض می‌کنیم $$\mathbf{x}_1 $$ یک جواب غیرصفر برای $$ A\mathbf{x}=\mathbf{0} $$ باشد. ماتریس $$B$$ را با اندازه $$ 3 \times 3 $$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$ \large B = [ \mathbf { x } _ 1 , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ]  $$

که ستون اول آن، بردار $$x _ 1$$ و ستون‌ها دوم و سوم آن، بردارهای صفر به طول ۳ هستند. از آنجایی که $$ x_1\neq \mathbf{0} $$، ماتریس $$B$$ ماتریس صفر نیست و داریم:‌

$$ \large \begin {align*}
A B & = A [ \mathbf { x } _ 1 , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] \\
& = [ A \mathbf { x } _ 1 , A \mathbf { 0 } , A \mathbf { 0 } ] \\
& = [ \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] = O ,
\end {align*} $$

بنابراین، ماتریس غیرصفر $$B$$ را به گونه‌ای به دست آوردیم که $$ AB=O $$.

مثال ۶

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس منفرد $$ n \times n $$ باشد. ثابت کنید ماتریس $$B$$ با اندازه $$ n \times n $$ وجود دارد، به گونه‌ای که $$AB= O$$ و $$O$$ یک ماتریس صفر $$n \times n $$ است.

حل: همان‌طور که دیدیم، ماتریس $$A$$ با اندازه $$n \times n $$ منفرد نامیده می‌شود، اگر معادله زیر دارای جواب غیرصفر $$\mathbf{x}\in \mathcal{R}^n $$ باشد:

$$ \large A \mathbf { x } = \mathbf { 0 } $$

از آنجایی که $$A$$ منفرد است، یک بردار غیرصفر $$ \mathbf{b} \in \mathcal{R}^n $$ به گونه‌ای وجود دارد که:

$$ \large A \mathbf { b } = \mathbf { 0 } . $$

ماتریس $$B$$ با اندازه $$ n \times n $$‌ را که ستون اول آن $$ \mathbf{b} $$ و سایر درایه‌های آن صفر است را تعریف می‌کنیم:‌

$$ \large B = \begin {bmatrix}
\mathbf { b } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 }
\end {bmatrix} . $$

از آنجایی که بردار $$ \mathbf{b} $$ غیرصفر است، ماتریس $$ B $$ نیز غیرصفر خواهد بود. در این انتخاب ماتریس $$B$$، داریم:

$$ \large \begin {align*}
A B & = A \begin {bmatrix}
\mathbf { b } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 }
\end {bmatrix} \\
& = \begin {bmatrix}
A \mathbf { b } & A \mathbf { 0 } & \cdots & A\mathbf { 0 }
\end {bmatrix} \\
& = \begin {bmatrix}
\mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 }
\end {bmatrix}
= O .
\end {align*} $$

در نتیجه، تساوی $$AB = O $$ با ماتریس غیرصفر $$B$$ برقرار است.

مثال ۷

فرض کنید $$ A $$ یک ماتریس $$n \times n$$ و مجموع درایه‌های هر سطر آن صفر باشد. ثابت کنید ماتریس $$A$$ منفرد است.

حل: بردار $$ \mathbf { v } = \begin {bmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots \\
1
\end {bmatrix} $$ را به طول $$n$$ در نظر بگیرید که $$i$$اُمین درایه $$ A\mathbf{v} $$ برابر با مجموع درایه‌های $$i$$اُمین سطر ماتریس $$A$$ برای $$ i=1, \dots, n $$‌ است.

طبق فرضی که مجموع عناصر در هر سطر از $$A$$ برابر با صفر است، داریم:

$$ \large A \mathbf { v } = \mathbf { 0 } . $$

از آنجایی که $$ \mathbf{v} $$ یک بردار غیرصفر است، تساوی بالا به این معنی است که $$A$$ یک ماتریس منفرد است.

برای مثال، فرض کنید ماتریس $$A$$ به صورت زیر باشد:

$$ A = \begin {bmatrix}
1 & – 4 & 3 \\
2 & 5 & – 7 \\
3 & 0 & – 3
\end {bmatrix} $$

بنابراین، مجموع درایه‌های هر سطر از $$A$$ صفر است:

$$ \large \begin {align*}
\begin {bmatrix}
1 & – 4 & 3 \\
2 & 5 & -7 \\
3 & 0 & – 3
\end {bmatrix} \begin {bmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}
1 + ( – 4 ) + 3 \\
2 + 5 + ( – 7 ) \\
3 + 0 + ( – 3 )
\end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

در نتیجه، می‌بینیم که ماتریس $$A$$ منفرد است، زیرا برای بردار غیرصفر $$ \mathbf{v} $$، داریم: $$ A\mathbf{v}=\mathbf{0} $$.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۱۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

7 نظر در “ماتریس غیر منفرد — به زبان ساده

    1. سید سراج حمیدی — says: ۲۸ فروردین، ۱۴۰۰ در ۳:۱۶ ب٫ظ

      سلام.
      همان‌طور که می‌دانیم، دو ماتریس $$A$$ و $$B$$ را متشابه گوییم اگر برای ماتریس وارون‌پذیر $$P$$ داشته باشیم $$B=P^{-1}AP$$. بنابراین، اثبات تساوی اثر دو ماتریس متشابه $$A$$ و $$B$$ به‌صورت زیر خواهد بود:
      $$\operatorname{tr} (B)=\operatorname{tr}\left(P^{-1} A P\right)=\operatorname{tr}\left(P^{-1}(A P)\right)=\operatorname{tr}\left((A P) P^{-1}\right)=\operatorname{tr}\left(A\left(P P^{-1}\right)\right)=\operatorname{tr}(A)$$
      موفق باشید.

    1. سید سراج حمیدی — says: ۲۵ فروردین، ۱۴۰۰ در ۸:۳۵ ق٫ظ

      سلام.
      دو ماتریسِ $$A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & 1 \end{bmatrix}$$ و $$B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 6 \end{bmatrix}$$ منفرد هستند. اما جمع آن‌ها، $$A+B=\begin{bmatrix}2 & 3 \\4 & 7 \end{bmatrix}$$، نامنفرد است.
      موفق باشید.

    1. سید سراج حمیدی — says: ۲۱ فروردین، ۱۴۰۰ در ۴:۰۵ ب٫ظ

      سلام. منفرد بودن ماتریس $$A$$ یعنی اینکه $$\det(A)=0$$. از طرفی، با توجه به رابطه $$\det(AB)=\det(A)\det(B)$$، می‌توان نتیجه گرفت: $$\det(AB)=0\times \det(B)= 0 $$. برای اثبات عکس آن نیز از گزاره‌هایی که بیان کردیم استفاده کنید.
      موفق باشید.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *