ماتریس غیر منفرد — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، با ماتریس‌هایی از قبیل ماتریس متعامد، ماتریس دوران و ماتریس تبدیل آشنا شدیم. در این آموزش درباره ماتریس غیر منفرد بحث خواهیم کرد که در جبر خطی کاربرد دارد.

تعریف ماتریس غیر منفرد

فرض کنید $$ A $$ یک ماتریس $$ n \times n $$ باشد. ماتریس $$ A $$ غیرمنفرد است، اگر تنها جواب معادله $$ A\mathbf{x}=\mathbf{0} $$، جواب صفر $$ \mathbf{x}=\mathbf{0} $$ باشد.

چند نکته مهم درباره ماتریس‌ $$ A$$ به صورت زیر است:

1. اگر $$A$$ غیر منفرد باشد، آن‌گاه $$ A ^ T $$ نیز غیر منفرد است.
2. ماتریس $$ A $$ غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر بردارهای ستونی $$ A $$ مستقل خطی باشند.
3. معادله $$ A\mathbf{x}=\mathbf{b} $$ یک جواب یکتا برای هر بردار ستونی $$ \mathbf{b} $$ دارد، اگر و تنها اگر $$A$$ غیرمنفرد باشد.

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره ماتریس‌های غیرمنفرد بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

درباره غیرمنفرد بودن ماتریس‌های زیر بحث کنید.

الف) $$ \large A = \begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 & – 1
\end {bmatrix} $$

ب) $$ \large B = \begin {bmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 &1 \\
4 & 1 & 4
\end {bmatrix} $$

حل الف: گفتیم که یک ماتریس $$ n \times n $$ غیرمنفرد است، اگر $$ A\mathbf{x}=\mathbf{0} $$ فقط یک حل داشته باشد و آن هم صفر باشد. این گفته، معادل این است که رتبه (Rank) ماتریس $$A$$ برابر با $$n$$ باشد.

ابتدا رتبه ماتریس $$A$$ را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
A = \begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 &1 & 2 \\
1 & 0 & – 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow [ R _ 3 – R _ 1 ] { R _ 2 – 2 R _ 1 } \begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & – 2
\end {bmatrix}
\xrightarrow { – \frac { 1 } { 2 } R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 – R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix} .
\end {align*} $$

رتبه ماتریس آخر ۳ است و بنابراین، ماتریس $$ A $$ یک ماتریس غیرمنفرد است.

حل ب: رتبه ماتریس $$B$$ را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
B = \begin {bmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 &0 & 1 \\
4 & 1 & 4
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 \leftrightarrow R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 &1 & 2 \\
4 & 1 & 4
\end {bmatrix}
\xrightarrow [ R _ 3 – 4 R_ 1 ] { R _2 – 2 R _ 1 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 3 – R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینیم، رتبه ماتریس $$ B$$ برابر با ۲ است. در نتیجه، می‌توان گفت که ماتریس $$B$$ منفرد است.

مثال ۲

ماتریس $$ \large M = \begin {bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 12 \end {bmatrix} $$ را در نظر بگیرید.

الف) نشان دهید که ماتریس $$M$$ منفرد است.

ب) بردار غیرصفر $$ \mathbf{v} $$ را به گونه‌ای محاسبه کنید که $$ M \mathbf{v} = \mathbf{0} $$ برقرار باشد، که در آن، $$ \mathbf{0} $$ یک بردار صفر دوبعدی است.

حل الف: برای اثبات منفرد بودن $$M$$، ماتریس افزوده را تشکیل داده و از حذف سطر استفاده می‌کنیم.

$$ \large \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 4 & 0 \\ 3 & 12 & 0 \end {array} \right ] \xrightarrow { R _ 2 – 3 R _ 1 } \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] . $$

ماتریس بالا سطری دارد که همه درایه‌های آن صفر هستند. بنابراین، $$M$$ یک ماتریس منفرد است.

حل ب: بردار $$ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $$ باید در رابطه $$ v_1 + 4 v_2 = 0 $$ صدق کند. این معادله، بی‌نهایت جواب دارد. برای مثال، یکی از جواب‌های آن، $$ v _ 1 = 1 $$ و $$ v_2 = – \frac{1}{4} $$ است.

مثال ۳

ماتریس 3×۳ زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large A = \begin {bmatrix}
1 & 1 & – 1 \\
0 &1 & 2 \\
1 & 1 & a
\end {bmatrix} . $$

به ازای چه مقادیری از $$ a $$، ماتریس $$A$$ غیرمنفرد است؟

حل: از این اصل استفاده می‌کنیم که یک ماتریس غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر هم‌ارز سطری با ماتریس واحد یا همانی باشد.

از عملیات سطری مقدماتی به صورت زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
A \xrightarrow { R _ 3 – R _ 1 } \begin {bmatrix}
1 & 1 & – 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & a + 1
\end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 – R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & – 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & a+1
\end {bmatrix} .
\end{align*} $$

اگر $$ a+1=0 $$، آن‌گاه فرم سطری کاهش یافته است. بنابراین، $$A$$ اکنون هم‌ارز با ماتریس همانی نخواهد بود. از طرفی، اگر $$ a+1 \neq 0 $$، آن‌گاه مطابق زیر، به کاهش ادامه می‌دهیم:

$$ \large \begin {align*}
\begin {bmatrix}
1 & 0 & – 3 \\
0 &1 &2 \\
0 & 0 & a + 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { \frac { 1 } { a + 1 } R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & – 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow [ R _ 2 – 2 R _ 3 ] { R _ 1 + 3 R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 &1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {bmatrix} .
\end{align*} $$

در نتیجه، $$A$$ هم‌ارز سطری ماتریس همانی است. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که ماتریس $$A$$ به ازای همه مقادیر $$a$$، به جز $$ a = – 1 $$، غیرمنفرد است.

مثال ۴

به ازای چه مقادیری از عدد حقیقی $$a$$، ماتریس زیر غیرمنفرد است؟

$$ A = \begin {bmatrix}
3 & 0 & a \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 18 a & a + 1
\end {bmatrix} $$

حل: از عملیات سطری مقدماتی زیر استفاده می‌کنیم و داریم:

$$ \large \begin {align*}
A = \begin {bmatrix}
3 & 0 & a \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 18 a & a + 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 – R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & – 3 & a \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 8 a & a + 1
\end {bmatrix} \\[6pt] \xrightarrow { R _ 2 – 2 R _ 1 }
\begin {bmatrix}
1 & – 3 & a \\
0 & 9 & – 2 a \\
0 & 1 8 a & a + 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 3 – ( 2 a ) R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & – 3 & a \\
0 & 9 & – 2 a \\
0 & 0 & 4 a ^ 2 + a + 1
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

همان‌طور که می‌بینیم، ماتریس $$A$$ غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر درایه $$(3,3)$$، یعنی $$ 4a^2+a+1 $$، صفر نباشد. جواب‌های $$4a^2+a+1=0 $$ به صورت زیر است:

$$ \large a = \frac { – 1 \pm \sqrt { – 1 5 } } { 8 } $$

این جواب‌ها حقیقی نیستند. بنابراین، به ازای همه مقادیر عدد حقیقی $$a$$، داریم: $$4a^2+a+1\neq 0 $$. در نتیجه می‌توانیم سطر سوم را بر این عدد تقسیم کنیم و ماتریس را به یک ماتریس همانی کاهش دهیم. در نهایت می‌توان گفت که رتبه ماتریس $$A$$ برابر با ۳ است و $$A$$ برای هر عدد حقیقی $$a$$ غیرمنفرد است.

مثال ۵

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس $$ 3\times 3 $$ منفرد باشد. نشان دهید یک ماتریس غیرصفر $$B $$ با اندازه $$ 3\times 3 $$ وجود دارد، به گونه‌ای که رابطه زیر برقرار باشد:

$$ \large AB=O $$

که در آن، $$O$$ یک ماتریس صفر $$ 3 \times 3 $$ است.

حل: از آنجایی که $$A$$ منفرد است، معادله $$A\mathbf{x}=\mathbf{0} $$ یک جواب غیرصفر دارد. فرض می‌کنیم $$\mathbf{x}_1 $$ یک جواب غیرصفر برای $$ A\mathbf{x}=\mathbf{0} $$ باشد. ماتریس $$B$$ را با اندازه $$ 3 \times 3 $$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$ \large B = [ \mathbf { x } _ 1 , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ]  $$

که ستون اول آن، بردار $$x _ 1$$ و ستون‌ها دوم و سوم آن، بردارهای صفر به طول ۳ هستند. از آنجایی که $$ x_1\neq \mathbf{0} $$، ماتریس $$B$$ ماتریس صفر نیست و داریم:‌

$$ \large \begin {align*}
A B & = A [ \mathbf { x } _ 1 , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] \\
& = [ A \mathbf { x } _ 1 , A \mathbf { 0 } , A \mathbf { 0 } ] \\
& = [ \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] = O ,
\end {align*} $$

بنابراین، ماتریس غیرصفر $$B$$ را به گونه‌ای به دست آوردیم که $$ AB=O $$.

مثال ۶

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس منفرد $$ n \times n $$ باشد. ثابت کنید ماتریس $$B$$ با اندازه $$ n \times n $$ وجود دارد، به گونه‌ای که $$AB= O$$ و $$O$$ یک ماتریس صفر $$n \times n $$ است.

حل: همان‌طور که دیدیم، ماتریس $$A$$ با اندازه $$n \times n $$ منفرد نامیده می‌شود، اگر معادله زیر دارای جواب غیرصفر $$\mathbf{x}\in \mathcal{R}^n $$ باشد:

$$ \large A \mathbf { x } = \mathbf { 0 } $$

از آنجایی که $$A$$ منفرد است، یک بردار غیرصفر $$ \mathbf{b} \in \mathcal{R}^n $$ به گونه‌ای وجود دارد که:

$$ \large A \mathbf { b } = \mathbf { 0 } . $$

ماتریس $$B$$ با اندازه $$ n \times n $$‌ را که ستون اول آن $$ \mathbf{b} $$ و سایر درایه‌های آن صفر است را تعریف می‌کنیم:‌

$$ \large B = \begin {bmatrix}
\mathbf { b } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 }
\end {bmatrix} . $$

از آنجایی که بردار $$ \mathbf{b} $$ غیرصفر است، ماتریس $$ B $$ نیز غیرصفر خواهد بود. در این انتخاب ماتریس $$B$$، داریم:

$$ \large \begin {align*}
A B & = A \begin {bmatrix}
\mathbf { b } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 }
\end {bmatrix} \\
& = \begin {bmatrix}
A \mathbf { b } & A \mathbf { 0 } & \cdots & A\mathbf { 0 }
\end {bmatrix} \\
& = \begin {bmatrix}
\mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 }
\end {bmatrix}
= O .
\end {align*} $$

در نتیجه، تساوی $$AB = O $$ با ماتریس غیرصفر $$B$$ برقرار است.

مثال ۷

فرض کنید $$ A $$ یک ماتریس $$n \times n$$ و مجموع درایه‌های هر سطر آن صفر باشد. ثابت کنید ماتریس $$A$$ منفرد است.

حل: بردار $$ \mathbf { v } = \begin {bmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots \\
1
\end {bmatrix} $$ را به طول $$n$$ در نظر بگیرید که $$i$$اُمین درایه $$ A\mathbf{v} $$ برابر با مجموع درایه‌های $$i$$اُمین سطر ماتریس $$A$$ برای $$ i=1, \dots, n $$‌ است.

طبق فرضی که مجموع عناصر در هر سطر از $$A$$ برابر با صفر است، داریم:

$$ \large A \mathbf { v } = \mathbf { 0 } . $$

از آنجایی که $$ \mathbf{v} $$ یک بردار غیرصفر است، تساوی بالا به این معنی است که $$A$$ یک ماتریس منفرد است.

برای مثال، فرض کنید ماتریس $$A$$ به صورت زیر باشد:

$$ A = \begin {bmatrix}
1 & – 4 & 3 \\
2 & 5 & – 7 \\
3 & 0 & – 3
\end {bmatrix} $$

بنابراین، مجموع درایه‌های هر سطر از $$A$$ صفر است:

$$ \large \begin {align*}
\begin {bmatrix}
1 & – 4 & 3 \\
2 & 5 & -7 \\
3 & 0 & – 3
\end {bmatrix} \begin {bmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}
1 + ( – 4 ) + 3 \\
2 + 5 + ( – 7 ) \\
3 + 0 + ( – 3 )
\end {bmatrix}
= \begin {bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

در نتیجه، می‌بینیم که ماتریس $$A$$ منفرد است، زیرا برای بردار غیرصفر $$ \mathbf{v} $$، داریم: $$ A\mathbf{v}=\mathbf{0} $$.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش جبر خطی با متلب
• مجموعه آموزش‌‌های مهندسی کنترل
• آموزش کنترل مدرن به همراه پیاده‌سازی در متلب​‎
• بردار ویژه و مقدار ویژه — از صفر تا صد
• تجزیه مقادیر منفرد (SVD) — به زبان ساده
• قضیه کیلی همیلتون — از صفر تا صد

^^