ماتریس غیر منفرد – به زبان ساده

۱۰۶۴۰
۱۴۰۲/۰۲/۱۷
۸ دقیقه
PDF
ماتریس غیر منفرد – به زبان سادهماتریس غیر منفرد – به زبان ساده
آموزش متنی جامع
امکان دانلود نسخه PDF

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، با ماتریس‌هایی از قبیل ماتریس متعامد، ماتریس دوران و ماتریس تبدیل آشنا شدیم. در این آموزش درباره ماتریس غیر منفرد بحث خواهیم کرد که در جبر خطی کاربرد دارد.

997696

تعریف ماتریس غیر منفرد

فرض کنید AA یک ماتریس n×nn \times n باشد. ماتریس AA غیرمنفرد است، اگر تنها جواب معادله Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}، جواب صفر x=0\mathbf{x}=\mathbf{0} باشد.

چند نکته مهم درباره ماتریس‌ AA به صورت زیر است:

  1. اگر AA غیر منفرد باشد، آن‌گاه ATA ^ T نیز غیر منفرد است.
  2. ماتریس AA غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر بردارهای ستونی AA مستقل خطی باشند.
  3. معادله Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} یک جواب یکتا برای هر بردار ستونی b\mathbf{b} دارد، اگر و تنها اگر AA غیرمنفرد باشد.

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره ماتریس‌های غیرمنفرد بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

درباره غیرمنفرد بودن ماتریس‌های زیر بحث کنید.

الف) A=[101212101]\large A = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & - 1 \end {bmatrix}

ب) B=[212101414]\large B = \begin {bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 &1 \\ 4 & 1 & 4 \end {bmatrix}

حل الف: گفتیم که یک ماتریس n×nn \times n غیرمنفرد است، اگر Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0} فقط یک حل داشته باشد و آن هم صفر باشد. این گفته، معادل این است که رتبه (Rank) ماتریس AA برابر با nn باشد.

ابتدا رتبه ماتریس AA را به دست می‌آوریم:

A=[101212101]R3R1R22R1[101010002]12R3[101010001]R1R3[100010001].\large \begin {align*} A = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 &1 & 2 \\ 1 & 0 & - 1 \end {bmatrix} \xrightarrow [ R _ 3 - R _ 1 ] { R _ 2 - 2 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end {bmatrix} \xrightarrow { - \frac { 1 } { 2 } R _ 3 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 - R _ 3 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} . \end {align*}

رتبه ماتریس آخر ۳ است و بنابراین، ماتریس AA یک ماتریس غیرمنفرد است.

حل ب: رتبه ماتریس BB را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

B=[212101414]R1R2[101212414]R34R1R22R1[101010010]R3R2[101010000].\large \begin {align*} B = \begin {bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 &0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 \leftrightarrow R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 &1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end {bmatrix} \xrightarrow [ R _ 3 - 4 R_ 1 ] { R _2 - 2 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 3 - R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix}. \end {align*}

همان‌طور که می‌بینیم، رتبه ماتریس BB برابر با ۲ است. در نتیجه، می‌توان گفت که ماتریس BB منفرد است.

مثال ۲

ماتریس M=[14312]\large M = \begin {bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 12 \end {bmatrix} را در نظر بگیرید.

الف) نشان دهید که ماتریس MM منفرد است.

ب) بردار غیرصفر v\mathbf{v} را به گونه‌ای محاسبه کنید که Mv=0M \mathbf{v} = \mathbf{0} برقرار باشد، که در آن، 0\mathbf{0} یک بردار صفر دوبعدی است.

حل الف: برای اثبات منفرد بودن MM، ماتریس افزوده را تشکیل داده و از حذف سطر استفاده می‌کنیم.

[1403120]R23R1[140000].\large \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 4 & 0 \\ 3 & 12 & 0 \end {array} \right ] \xrightarrow { R _ 2 – 3 R _ 1 } \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] .

ماتریس بالا سطری دارد که همه درایه‌های آن صفر هستند. بنابراین، MM یک ماتریس منفرد است.

حل ب: بردار v=[v1v2]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} باید در رابطه v1+4v2=0v_1 + 4 v_2 = 0 صدق کند. این معادله، بی‌نهایت جواب دارد. برای مثال، یکی از جواب‌های آن، v1=1v _ 1 = 1 و v2=14v_2 = – \frac{1}{4} است.

مثال ۳

ماتریس 3×۳ زیر را در نظر بگیرید:

A=[11101211a].\large A = \begin {bmatrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 &1 & 2 \\ 1 & 1 & a \end {bmatrix} .

به ازای چه مقادیری از aa، ماتریس AA غیرمنفرد است؟

حل: از این اصل استفاده می‌کنیم که یک ماتریس غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر هم‌ارز سطری با ماتریس واحد یا همانی باشد.

از عملیات سطری مقدماتی به صورت زیر استفاده می‌کنیم:

AR3R1[11101200a+1]R1R2[10301200a+1].\large \begin {align*} A \xrightarrow { R _ 3 - R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a + 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 - R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a+1 \end {bmatrix} . \end{align*}

اگر a+1=0a+1=0، آن‌گاه فرم سطری کاهش یافته است. بنابراین، AA اکنون هم‌ارز با ماتریس همانی نخواهد بود. از طرفی، اگر a+10a+1 \neq 0، آن‌گاه مطابق زیر، به کاهش ادامه می‌دهیم:

[10301200a+1]1a+1R3[103012001]R22R3R1+3R3[100010001].\large \begin {align*} \begin {bmatrix} 1 & 0 & - 3 \\ 0 &1 &2 \\ 0 & 0 & a + 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { a + 1 } R _ 3 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow [ R _ 2 - 2 R _ 3 ] { R _ 1 + 3 R _ 3 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} . \end{align*}

در نتیجه، AA هم‌ارز سطری ماتریس همانی است. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که ماتریس AA به ازای همه مقادیر aa، به جز a=1a = - 1، غیرمنفرد است.

مثال ۴

به ازای چه مقادیری از عدد حقیقی aa، ماتریس زیر غیرمنفرد است؟

A=[30a230018aa+1]A = \begin {bmatrix} 3 & 0 & a \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 18 a & a + 1 \end {bmatrix}

حل: از عملیات سطری مقدماتی زیر استفاده می‌کنیم و داریم:

A=[30a230018aa+1]R1R2[13a230018aa+1]R22R1[13a092a018aa+1]R3(2a)R2[13a092a004a2+a+1].\large \begin {align*} A = \begin {bmatrix} 3 & 0 & a \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 18 a & a + 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 - R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & - 3 & a \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 8 a & a + 1 \end {bmatrix} \\[6pt] \xrightarrow { R _ 2 - 2 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & - 3 & a \\ 0 & 9 & - 2 a \\ 0 & 1 8 a & a + 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 3 - ( 2 a ) R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & - 3 & a \\ 0 & 9 & - 2 a \\ 0 & 0 & 4 a ^ 2 + a + 1 \end {bmatrix}. \end {align*}

همان‌طور که می‌بینیم، ماتریس AA غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر درایه (3,3)(3,3)، یعنی 4a2+a+14a^2+a+1، صفر نباشد. جواب‌های 4a2+a+1=04a^2+a+1=0 به صورت زیر است:

a=1±158\large a = \frac { - 1 \pm \sqrt { - 1 5 } } { 8 }

این جواب‌ها حقیقی نیستند. بنابراین، به ازای همه مقادیر عدد حقیقی aa، داریم: 4a2+a+104a^2+a+1\neq 0. در نتیجه می‌توانیم سطر سوم را بر این عدد تقسیم کنیم و ماتریس را به یک ماتریس همانی کاهش دهیم. در نهایت می‌توان گفت که رتبه ماتریس AA برابر با ۳ است و AA برای هر عدد حقیقی aa غیرمنفرد است.

مثال ۵

فرض کنید AA یک ماتریس 3×33\times 3 منفرد باشد. نشان دهید یک ماتریس غیرصفر BB با اندازه 3×33\times 3 وجود دارد، به گونه‌ای که رابطه زیر برقرار باشد:

AB=O\large AB=O

که در آن، OO یک ماتریس صفر 3×33 \times 3 است.

حل: از آنجایی که AA منفرد است، معادله Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0} یک جواب غیرصفر دارد. فرض می‌کنیم x1\mathbf{x}_1 یک جواب غیرصفر برای Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0} باشد. ماتریس BB را با اندازه 3×33 \times 3 را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

B=[x1,0,0]\large B = [ \mathbf { x } _ 1 , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ]

که ستون اول آن، بردار x1x _ 1 و ستون‌ها دوم و سوم آن، بردارهای صفر به طول ۳ هستند. از آنجایی که x10x_1\neq \mathbf{0}، ماتریس BB ماتریس صفر نیست و داریم:‌

AB=A[x1,0,0]=[Ax1,A0,A0]=[0,0,0]=O,\large \begin {align*} A B & = A [ \mathbf { x } _ 1 , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] \\ & = [ A \mathbf { x } _ 1 , A \mathbf { 0 } , A \mathbf { 0 } ] \\ & = [ \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] = O , \end {align*}

بنابراین، ماتریس غیرصفر BB را به گونه‌ای به دست آوردیم که AB=OAB=O.

مثال ۶

فرض کنید AA یک ماتریس منفرد n×nn \times n باشد. ثابت کنید ماتریس BB با اندازه n×nn \times n وجود دارد، به گونه‌ای که AB=OAB= O و OO یک ماتریس صفر n×nn \times n است.

حل: همان‌طور که دیدیم، ماتریس AA با اندازه n×nn \times n منفرد نامیده می‌شود، اگر معادله زیر دارای جواب غیرصفر xRn\mathbf{x}\in \mathcal{R}^n باشد:

Ax=0\large A \mathbf { x } = \mathbf { 0 }

از آنجایی که AA منفرد است، یک بردار غیرصفر bRn\mathbf{b} \in \mathcal{R}^n به گونه‌ای وجود دارد که:

Ab=0.\large A \mathbf { b } = \mathbf { 0 } .

ماتریس BB با اندازه n×nn \times n‌ را که ستون اول آن b\mathbf{b} و سایر درایه‌های آن صفر است را تعریف می‌کنیم:‌

B=[b00].\large B = \begin {bmatrix} \mathbf { b } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 } \end {bmatrix} .

از آنجایی که بردار b\mathbf{b} غیرصفر است، ماتریس BB نیز غیرصفر خواهد بود. در این انتخاب ماتریس BB، داریم:

AB=A[b00]=[AbA0A0]=[000]=O.\large \begin {align*} A B & = A \begin {bmatrix} \mathbf { b } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 } \end {bmatrix} \\ & = \begin {bmatrix} A \mathbf { b } & A \mathbf { 0 } & \cdots & A\mathbf { 0 } \end {bmatrix} \\ & = \begin {bmatrix} \mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 } \end {bmatrix} = O . \end {align*}

در نتیجه، تساوی AB=OAB = O با ماتریس غیرصفر BB برقرار است.

مثال ۷

فرض کنید AA یک ماتریس n×nn \times n و مجموع درایه‌های هر سطر آن صفر باشد. ثابت کنید ماتریس AA منفرد است.

حل: بردار v=[111]\mathbf { v } = \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end {bmatrix} را به طول nn در نظر بگیرید که iiاُمین درایه AvA\mathbf{v} برابر با مجموع درایه‌های iiاُمین سطر ماتریس AA برای i=1,,ni=1, \dots, n‌ است.

طبق فرضی که مجموع عناصر در هر سطر از AA برابر با صفر است، داریم:

Av=0.\large A \mathbf { v } = \mathbf { 0 } .

از آنجایی که v\mathbf{v} یک بردار غیرصفر است، تساوی بالا به این معنی است که AA یک ماتریس منفرد است.

برای مثال، فرض کنید ماتریس AA به صورت زیر باشد:

A=[143257303]A = \begin {bmatrix} 1 & - 4 & 3 \\ 2 & 5 & - 7 \\ 3 & 0 & - 3 \end {bmatrix}

بنابراین، مجموع درایه‌های هر سطر از AA صفر است:

[143257303][111]=[1+(4)+32+5+(7)3+0+(3)]=[000].\large \begin {align*} \begin {bmatrix} 1 & - 4 & 3 \\ 2 & 5 & -7 \\ 3 & 0 & - 3 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 1 + ( - 4 ) + 3 \\ 2 + 5 + ( - 7 ) \\ 3 + 0 + ( - 3 ) \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix}. \end {align*}

در نتیجه، می‌بینیم که ماتریس AA منفرد است، زیرا برای بردار غیرصفر v\mathbf{v}، داریم: Av=0A\mathbf{v}=\mathbf{0}.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۲۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر پرسشی درباره این مطلب دارید، آن را با ما مطرح کنید.
منابع:
Problems in Mathematics
PDF
۷ دیدگاه برای «ماتریس غیر منفرد – به زبان ساده»

سلام. آیا یک ماتریس معین مثبت همواره معکوس پذیر است؟

سلام خسته نباشید.یه اثبات! فرض کنید AوB دو ماتریس متشابه باشند.نشان دهیدtr(A)=tr(B)

سلام.
همان‌طور که می‌دانیم، دو ماتریس AA و BB را متشابه گوییم اگر برای ماتریس وارون‌پذیر PP داشته باشیم B=P1APB=P^{-1}AP. بنابراین، اثبات تساوی اثر دو ماتریس متشابه AA و BB به‌صورت زیر خواهد بود:
tr(B)=tr(P1AP)=tr(P1(AP))=tr((AP)P1)=tr(A(PP1))=tr(A)\operatorname{tr} (B)=\operatorname{tr}\left(P^{-1} A P\right)=\operatorname{tr}\left(P^{-1}(A P)\right)=\operatorname{tr}\left((A P) P^{-1}\right)=\operatorname{tr}\left(A\left(P P^{-1}\right)\right)=\operatorname{tr}(A)
موفق باشید.

با سلام و خسته نباشید یه سوال…ماتریس 2×2 ای که AوB منفرد ولی A+B نامنفرد باشد؟؟

سلام.
دو ماتریسِ A=[1111]A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & 1 \end{bmatrix} و B=[1236]B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 6 \end{bmatrix} منفرد هستند. اما جمع آن‌ها، A+B=[2347]A+B=\begin{bmatrix}2 & 3 \\4 & 7 \end{bmatrix}، نامنفرد است.
موفق باشید.

با سلام…اثبات اگر aوbدو ماتریس مربعی و هم اندازه باشندو Aمنفرد باشد ان گاه دترمینان ABبرابر صفر و برعکس

سلام. منفرد بودن ماتریس AA یعنی اینکه det(A)=0\det(A)=0. از طرفی، با توجه به رابطه det(AB)=det(A)det(B)\det(AB)=\det(A)\det(B)، می‌توان نتیجه گرفت: det(AB)=0×det(B)=0\det(AB)=0\times \det(B)= 0. برای اثبات عکس آن نیز از گزاره‌هایی که بیان کردیم استفاده کنید.
موفق باشید.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *