ماتریس غیر منفرد – به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، با ماتریس‌هایی از قبیل ماتریس متعامد، ماتریس دوران و ماتریس تبدیل آشنا شدیم. در این آموزش درباره ماتریس غیر منفرد بحث خواهیم کرد که در جبر خطی کاربرد دارد.

تعریف ماتریس غیر منفرد

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس $$n \times n$$ باشد. ماتریس $$A$$ غیرمنفرد است، اگر تنها جواب معادله $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$، جواب صفر $$\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ باشد.

چند نکته مهم درباره ماتریس‌ $$A$$ به صورت زیر است:

1. اگر $$A$$ غیر منفرد باشد، آن‌گاه $$A ^ T$$ نیز غیر منفرد است.
2. ماتریس $$A$$ غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر بردارهای ستونی $$A$$ مستقل خطی باشند.
3. معادله $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ یک جواب یکتا برای هر بردار ستونی $$\mathbf{b}$$ دارد، اگر و تنها اگر $$A$$ غیرمنفرد باشد.

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره ماتریس‌های غیرمنفرد بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

درباره غیرمنفرد بودن ماتریس‌های زیر بحث کنید.

الف) $$\large A = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & - 1 \end {bmatrix}$$

ب) $$\large B = \begin {bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 &1 \\ 4 & 1 & 4 \end {bmatrix}$$

حل الف: گفتیم که یک ماتریس $$n \times n$$ غیرمنفرد است، اگر $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ فقط یک حل داشته باشد و آن هم صفر باشد. این گفته، معادل این است که رتبه (Rank) ماتریس $$A$$ برابر با $$n$$ باشد.

ابتدا رتبه ماتریس $$A$$ را به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} A = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 &1 & 2 \\ 1 & 0 & - 1 \end {bmatrix} \xrightarrow [ R _ 3 - R _ 1 ] { R _ 2 - 2 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end {bmatrix} \xrightarrow { - \frac { 1 } { 2 } R _ 3 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 - R _ 3 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} . \end {align*}$$

رتبه ماتریس آخر ۳ است و بنابراین، ماتریس $$A$$ یک ماتریس غیرمنفرد است.

حل ب: رتبه ماتریس $$B$$ را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} B = \begin {bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 &0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 \leftrightarrow R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 &1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end {bmatrix} \xrightarrow [ R _ 3 - 4 R_ 1 ] { R _2 - 2 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 3 - R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix}. \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، رتبه ماتریس $$B$$ برابر با ۲ است. در نتیجه، می‌توان گفت که ماتریس $$B$$ منفرد است.

مثال ۲

ماتریس $$\large M = \begin {bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 12 \end {bmatrix}$$ را در نظر بگیرید.

الف) نشان دهید که ماتریس $$M$$ منفرد است.

ب) بردار غیرصفر $$\mathbf{v}$$ را به گونه‌ای محاسبه کنید که $$M \mathbf{v} = \mathbf{0}$$ برقرار باشد، که در آن، $$\mathbf{0}$$ یک بردار صفر دوبعدی است.

حل الف: برای اثبات منفرد بودن $$M$$، ماتریس افزوده را تشکیل داده و از حذف سطر استفاده می‌کنیم.

$$\large \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 4 & 0 \\ 3 & 12 & 0 \end {array} \right ] \xrightarrow { R _ 2 – 3 R _ 1 } \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] .$$

ماتریس بالا سطری دارد که همه درایه‌های آن صفر هستند. بنابراین، $$M$$ یک ماتریس منفرد است.

حل ب: بردار $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$$ باید در رابطه $$v_1 + 4 v_2 = 0$$ صدق کند. این معادله، بی‌نهایت جواب دارد. برای مثال، یکی از جواب‌های آن، $$v _ 1 = 1$$ و $$v_2 = – \frac{1}{4}$$ است.

مثال ۳

ماتریس 3×۳ زیر را در نظر بگیرید:

$$\large A = \begin {bmatrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 &1 & 2 \\ 1 & 1 & a \end {bmatrix} .$$

به ازای چه مقادیری از $$a$$، ماتریس $$A$$ غیرمنفرد است؟

حل: از این اصل استفاده می‌کنیم که یک ماتریس غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر هم‌ارز سطری با ماتریس واحد یا همانی باشد.

از عملیات سطری مقدماتی به صورت زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} A \xrightarrow { R _ 3 - R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a + 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 - R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a+1 \end {bmatrix} . \end{align*}$$

اگر $$a+1=0$$، آن‌گاه فرم سطری کاهش یافته است. بنابراین، $$A$$ اکنون هم‌ارز با ماتریس همانی نخواهد بود. از طرفی، اگر $$a+1 \neq 0$$، آن‌گاه مطابق زیر، به کاهش ادامه می‌دهیم:

$$\large \begin {align*} \begin {bmatrix} 1 & 0 & - 3 \\ 0 &1 &2 \\ 0 & 0 & a + 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { a + 1 } R _ 3 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow [ R _ 2 - 2 R _ 3 ] { R _ 1 + 3 R _ 3 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} . \end{align*}$$

در نتیجه، $$A$$ هم‌ارز سطری ماتریس همانی است. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که ماتریس $$A$$ به ازای همه مقادیر $$a$$، به جز $$a = - 1$$، غیرمنفرد است.

مثال ۴

به ازای چه مقادیری از عدد حقیقی $$a$$، ماتریس زیر غیرمنفرد است؟

$$A = \begin {bmatrix} 3 & 0 & a \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 18 a & a + 1 \end {bmatrix}$$

حل: از عملیات سطری مقدماتی زیر استفاده می‌کنیم و داریم:

$$\large \begin {align*} A = \begin {bmatrix} 3 & 0 & a \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 18 a & a + 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 - R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & - 3 & a \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 8 a & a + 1 \end {bmatrix} \\[6pt] \xrightarrow { R _ 2 - 2 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & - 3 & a \\ 0 & 9 & - 2 a \\ 0 & 1 8 a & a + 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 3 - ( 2 a ) R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & - 3 & a \\ 0 & 9 & - 2 a \\ 0 & 0 & 4 a ^ 2 + a + 1 \end {bmatrix}. \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، ماتریس $$A$$ غیرمنفرد است، اگر و تنها اگر درایه $$(3,3)$$، یعنی $$4a^2+a+1$$، صفر نباشد. جواب‌های $$4a^2+a+1=0$$ به صورت زیر است:

$$\large a = \frac { - 1 \pm \sqrt { - 1 5 } } { 8 }$$

این جواب‌ها حقیقی نیستند. بنابراین، به ازای همه مقادیر عدد حقیقی $$a$$، داریم: $$4a^2+a+1\neq 0$$. در نتیجه می‌توانیم سطر سوم را بر این عدد تقسیم کنیم و ماتریس را به یک ماتریس همانی کاهش دهیم. در نهایت می‌توان گفت که رتبه ماتریس $$A$$ برابر با ۳ است و $$A$$ برای هر عدد حقیقی $$a$$ غیرمنفرد است.

مثال ۵

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس $$3\times 3$$ منفرد باشد. نشان دهید یک ماتریس غیرصفر $$B$$ با اندازه $$3\times 3$$ وجود دارد، به گونه‌ای که رابطه زیر برقرار باشد:

$$\large AB=O$$

که در آن، $$O$$ یک ماتریس صفر $$3 \times 3$$ است.

حل: از آنجایی که $$A$$ منفرد است، معادله $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ یک جواب غیرصفر دارد. فرض می‌کنیم $$\mathbf{x}_1$$ یک جواب غیرصفر برای $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ باشد. ماتریس $$B$$ را با اندازه $$3 \times 3$$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$\large B = [ \mathbf { x } _ 1 , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ]$$

که ستون اول آن، بردار $$x _ 1$$ و ستون‌ها دوم و سوم آن، بردارهای صفر به طول ۳ هستند. از آنجایی که $$x_1\neq \mathbf{0}$$، ماتریس $$B$$ ماتریس صفر نیست و داریم:‌

$$\large \begin {align*} A B & = A [ \mathbf { x } _ 1 , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] \\ & = [ A \mathbf { x } _ 1 , A \mathbf { 0 } , A \mathbf { 0 } ] \\ & = [ \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ] = O , \end {align*}$$

بنابراین، ماتریس غیرصفر $$B$$ را به گونه‌ای به دست آوردیم که $$AB=O$$.

فیلم آموزش ماتریس ها و جبر خطی – حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۶

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس منفرد $$n \times n$$ باشد. ثابت کنید ماتریس $$B$$ با اندازه $$n \times n$$ وجود دارد، به گونه‌ای که $$AB= O$$ و $$O$$ یک ماتریس صفر $$n \times n$$ است.

حل: همان‌طور که دیدیم، ماتریس $$A$$ با اندازه $$n \times n$$ منفرد نامیده می‌شود، اگر معادله زیر دارای جواب غیرصفر $$\mathbf{x}\in \mathcal{R}^n$$ باشد:

$$\large A \mathbf { x } = \mathbf { 0 }$$

از آنجایی که $$A$$ منفرد است، یک بردار غیرصفر $$\mathbf{b} \in \mathcal{R}^n$$ به گونه‌ای وجود دارد که:

$$\large A \mathbf { b } = \mathbf { 0 } .$$

ماتریس $$B$$ با اندازه $$n \times n$$‌ را که ستون اول آن $$\mathbf{b}$$ و سایر درایه‌های آن صفر است را تعریف می‌کنیم:‌

$$\large B = \begin {bmatrix} \mathbf { b } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 } \end {bmatrix} .$$

از آنجایی که بردار $$\mathbf{b}$$ غیرصفر است، ماتریس $$B$$ نیز غیرصفر خواهد بود. در این انتخاب ماتریس $$B$$، داریم:

$$\large \begin {align*} A B & = A \begin {bmatrix} \mathbf { b } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 } \end {bmatrix} \\ & = \begin {bmatrix} A \mathbf { b } & A \mathbf { 0 } & \cdots & A\mathbf { 0 } \end {bmatrix} \\ & = \begin {bmatrix} \mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } & \cdots & \mathbf { 0 } \end {bmatrix} = O . \end {align*}$$

در نتیجه، تساوی $$AB = O$$ با ماتریس غیرصفر $$B$$ برقرار است.

مثال ۷

فرض کنید $$A$$ یک ماتریس $$n \times n$$ و مجموع درایه‌های هر سطر آن صفر باشد. ثابت کنید ماتریس $$A$$ منفرد است.

حل: بردار $$\mathbf { v } = \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end {bmatrix}$$ را به طول $$n$$ در نظر بگیرید که $$i$$اُمین درایه $$A\mathbf{v}$$ برابر با مجموع درایه‌های $$i$$اُمین سطر ماتریس $$A$$ برای $$i=1, \dots, n$$‌ است.

طبق فرضی که مجموع عناصر در هر سطر از $$A$$ برابر با صفر است، داریم:

$$\large A \mathbf { v } = \mathbf { 0 } .$$

از آنجایی که $$\mathbf{v}$$ یک بردار غیرصفر است، تساوی بالا به این معنی است که $$A$$ یک ماتریس منفرد است.

برای مثال، فرض کنید ماتریس $$A$$ به صورت زیر باشد:

$$A = \begin {bmatrix} 1 & - 4 & 3 \\ 2 & 5 & - 7 \\ 3 & 0 & - 3 \end {bmatrix}$$

بنابراین، مجموع درایه‌های هر سطر از $$A$$ صفر است:

$$\large \begin {align*} \begin {bmatrix} 1 & - 4 & 3 \\ 2 & 5 & -7 \\ 3 & 0 & - 3 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 1 + ( - 4 ) + 3 \\ 2 + 5 + ( - 7 ) \\ 3 + 0 + ( - 3 ) \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix}. \end {align*}$$

در نتیجه، می‌بینیم که ماتریس $$A$$ منفرد است، زیرا برای بردار غیرصفر $$\mathbf{v}$$، داریم: $$A\mathbf{v}=\mathbf{0}$$.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش جبر خطی با متلب
• مجموعه آموزش‌‌های مهندسی کنترل
• آموزش کنترل مدرن به همراه پیاده‌سازی در متلب​‎
• بردار ویژه و مقدار ویژه — از صفر تا صد
• تجزیه مقادیر منفرد (SVD) — به زبان ساده
• قضیه کیلی همیلتون — از صفر تا صد

^^