دامنه و برد توابع جبری و گویا — به زبان ساده

۴۱۳۴۳ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۴ آبان ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۷ دقیقه
دامنه و برد توابع جبری و گویا — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با تعریف دامنه و برد تابع آشنا شدیم. در این آموزش، روش محاسبه دامنه و برد توابع جبری و گویا را بیان می‌کنیم.

997696

تعریف دامنه تابع

دامنه تابعی مانند ff که به صورت عبارتی برحسب متغیر xx تعریف شده است، برابر است با مجموعه اعداد حقیقی متغیر xx که به ازای آن‌ها مقدار تابع حقیقی است.

تعریف برد تابع

برد تابع ff برابر است با مجموعه مقادیری که به ازای قرار دادن مقادیر دامنه در متغیر xx برای تابع حاصل می‌شود.

تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا

برای به دست آوردن دامنه و برد یک تابع ابتدا باید نوع آن تابع را تشخیص دهیم، زیرا توابع گوناگون از جمله توابع جبری، لگاریتمی، گویا، مثلثاتی و... دامنه و برد متفاوتی دارند. در ادامه این مطلب، به منظور آشنایی با نحوه تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا مثال‌هایی را ارائه خواهیم کرد.

دامنه و برد تعدادی از توابع جبری و گویا به شرح زیر است:

برددامنهتابع
[0,+)[0, +∞)(,+)(-∞,+∞)(nn زوج و a0a\neq0) f(x)=(ax±b)n f ( x ) = ( a x \pm b ) ^n
(,+)(-∞,+∞)(,+)(-∞,+∞)(nn فرد و a0a\neq0) f(x)=(ax±b)n f ( x ) = ( a x \pm b ) ^n
[0,+)[0, +∞)(,+)(-∞,+∞)f(x)=ax±b,  a0 f ( x ) = | a x \pm b | , \; a \neq 0
[0,+)[0, +∞)[ba,+)[ \mp \frac b a , +∞) (nn زوج و a0a\neq0) f(x)=(ax±b)1n f ( x ) = { ( a x \pm b ) } ^{\frac 1n}
(,+)(-∞,+∞)(,+)(-∞,+∞)(nn فرد و a0a\neq0) f(x)=(ax±b)1n f ( x ) = { ( a x \pm b ) } ^{\frac 1n}
(,0)(0,+) ( - \infty , 0 ) \cup ( 0 , + \infty ) (,ba)(ba,+) ( -\infty ,\mp \frac b a ) \cup (\mp \frac b a , + \infty ) f(x)=1(ax±b),  a0 f ( x ) = \frac {1}{(ax±b)},\; a \neq 0

مثال های تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا

در این بخش، چند مثال را از تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا بیان می‌کنیم.

مثال اول دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه تابع f(x)=(1x)/(x+3) f ( x ) = \sqrt { ( 1 - x ) / ( x + 3 ) } را بدست آورید.

حل: برای تعیین دامنه این تابع، باید بازه‌ای را پیدا کنیم که در آن، عبارت زیر رادیکال مثبت باشد. بنابراین، صورت و مخرج هردو باید یا مثبت یا منفی باشند. در این صورت، دو شرط خواهیم داشت (در هر دو مورد x+3x+3 در مخرج باید مخالف صفر باشد، یعنی x3x≠-3):

  • 1x01-x\ge0 و x+3>0 x+3>0. یعنی:

x1,x>3x(3,1]x\le 1 , x>-3\Rightarrow x\in ( - 3, 1]

  • 1x01-x\le0 و x+3<0 x+3<0. یعنی:

x1,x<3x\ge1 , x<-3

که در مورد دوم اشتراکی وجود ندارد.

از این رو، دامنه تابع (3,1]( - 3, 1] خواهد بود.

چند دانش آموزش نشسته در کلاس در حال نگاه کردن به تخته سفید (تصویر تزئینی مطلب دامنه و برد توابع جبری و گویا)

مثال دوم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه تابع f(x)=1(x3+x22x) f ( x ) = \frac {1}{ ( x ^ 3 + x ^ 2 - 2 x ) } را تعیین کنید.
حل: همانطور که می دانید، اگر مخرج یک تابع کسری صفر شود، مقدار تابع بینهایت (تعریف نشده) خواهد بود. بنابراین، باید x3+x22x0 x ^ 3 + x ^ 2 - 2 x \neq 0 باشد. برای تعیین دامنه، ابتدا باید xxهایی که مخرج را صفر می‌کنند، به دست آوریم:

x3+x22x=0,x(x2+x2)=0,x(x1)(x+2)=0. \large x ^ 3 + x ^ 2 - 2 x = 0 , \\ \large x ( x ^ 2 + x - 2 ) = 0 , \\ \large x ( x - 1 ) ( x + 2 ) = 0 .

در نتیجه

x=0,  x=1,  x=2 \large x=0, \; x=1,\; x = - 2

بنابراین، دامنه تابع برابر است با

(,2)(2,0)(0,1)(1,+) \large ( - ∞ , - 2 ) \cup ( - 2 , 0 ) \cup ( 0 , 1 ) \cup ( 1 , + ∞ )

مثال سوم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع f(x)=x2+4x+46 f ( x ) = \sqrt { x ^ 2 + 4 x + 4 } - 6 را بیابید.

حل: عبارت زیر رادیکال، یک اتحاد مربع به صورت x2+4x+4=(x+2)2 x ^ 2 + 4 x + 4 = ( x + 2 ) ^ 2 است. بنابراین، داریم:

x2+4x+46=(x+2)26=x+26 \large \sqrt {x ^ 2 + 4 x + 4 } - 6 = \sqrt { ( x + 2 ) ^ 2 } - 6 = | x + 2 | - 6

از آنجا که برد تابع x+2 |x+2| ، بازه (,+) (-\infty,+\infty) است، برد تابع f(x)f(x) نیز برابر با (,+) (-\infty,+\infty) یا همان مجموعه اعداد حقیقی (R \mathbb {R} ) خواهد بود.

مثال چهارم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع f(x)=1x2+4 f ( x ) = \frac {1} { x ^ 2 + 4 } را به دست آورید.

حل: همان‌طور که می‌دانید x20 x ^ 2 \ge 0 است. اگر عدد 44 را به طرفین نامعادله اضافه کنیم، داریم:

x2+44 \large x ^ 2 + 4 \ge 4

در نتیجه، خواهیم داشت:

1x2+414f(x)14 \large \frac { 1 } { x ^ 2 + 4 } \le \frac 1 4 \\ \large f ( x ) \le \frac 1 4

توجه داشته باشید که 1x2+4 \frac {1} { x ^ 2 + 4 } همواره یک عبارت مثبت است و هیچ‌گاه صفر نمی‌شود، اما هنگامی که xx افزایش می‌یابد، ممکن است خیلی به صفر نزدیک باشد. بنابراین، برد این تابع برابر با (0,14] (0, \frac 14 ] خواهد بود.

یک دختر در کلاس درس نشسته پشت میز و در حال نوشتن جزوه

مثال پنجم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع f(x)=x1x+2 f ( x ) = \frac {x-1} {x+2} را تعیین کنید.

حل: روش جبری به دست آوردن برد این تابع گویا با مثال‌های قبلی متفاوت است. برای یافتن برد این تابع ابتدا باید معکوس آن را به دست آوریم و سپس، دامنه تابع معکوس را تعیین کنیم. زیرا همان‌طور که در مبحث تابع معکوس بیان شد، دامنه تابع معکوس برابر با برد تابع اصلی است.

از آنجا که f(x)f(x) تابعی یک به یک است، معکوس‌پذیر نیز هست.

y=x1x+2 \large y = \frac {x-1} {x+2}

تساوی بالا را برحسب yy به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

x=y1y+2 \large x = \frac {y-1} {y+2}

با توجه به رابطه فوق، تابع معکوس را می‌توان به شکل زیر نوشت:

f1(x)=y=2x+11x \large f ^ { - 1 } ( x ) = y = \frac { 2 x + 1 }{ 1 - x }

بنابراین، دامنه f1f^{-1} و در نتیجه برد تابع ff برابر با (,1)(1,+) ( - ∞ , 1 ) \cup ( 1 , + ∞ ) است.

مثال ششم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع f(x)=2x21x+1 f ( x ) = \frac { 2 x ^ 2 - 1 } { x + 1 } را به دست آورید.

حل: مانند مثال قبل، ابتدا تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

y=2x21x+12x2yxy1=0 \large y = \frac { 2 x ^ 2 - 1 } { x + 1 } \Rightarrow 2 x ^ 2 - y x - y - 1 = 0

جواب این معادله به صورت زیر است:

x1,2=y±y2+8y+82 \large x _ { 1 , 2 } = \frac { y ± \sqrt {y^2+8y+8} } {2}

جواب‌های فوق در صورتی حقیقی هستند که عبارت زیر رادیکال منفی نباشد. بنابراین، باید نامعادله زیر را حل کنیم:

y2+8y+80,(y+4)28y224,  y422 \large y ^ 2 + 8 y + 8≥ 0 , \\ \large ( y + 4 ) ^ 2 ≥ 8 \\ \large y ≥ 2 \sqrt 2-4, \; y≤-4-2\sqrt 2

در نتیجه، برد تابع برابر است با (,422][224,+) (-∞, -4-2\sqrt 2] \cup [2\sqrt2-4, +∞) .

یک پسر نشسته در کلاس پشت میز و دستش را زیر چانه‌اش قرار داده

مثال هفتم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع f(x)=144x+5+12 f ( x ) = - \frac 14 | - 4x + 5 | + \frac 1 2 را بیابید.

حل: همان‌طور که می‌دانید، خروجی تابع قدر مطلق همواره مقداری مثبت است. بنابراین، واضح است که 4x+50 | - 4 x + 5 | \ge 0 . با ضرب 14-\frac 14 در طرفین نامعادله داریم:

144x+50 \large -\frac 14 |-4x+5|≤0

حال 12\frac 12 را به طرفین این نامعادله اضافه می‌کنیم:

144x+5+1212 \large -\frac 14 | - 4 x + 5 | + \frac 1 2 ≤ \frac 1 2

واضح است که برد تابع در محدوده (,12] ( - ∞ ,\frac 12 ] قرار می‌گیرد.

مثال هشتم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه و برد تابع f(x)=x24x+8 f ( x ) = \sqrt {x^2-4x+8} را به دست آورید.

حل: دامنه این تابع، برابر با مجموعه‌ای از مقادیر xx است که در رابطه زیر صدق کنند:

x24x+80 \large x ^ 2 - 4 x + 8 ≥ 0

مقدار دلتای این عبارت برابر با (4)2+4(1)(8)=16 ( - 4) ^ 2 + 4 ( 1 ) ( 8 ) = - 16 است. از آنجا که مقدار دلتا منفی است، عبارت زیر رادیکال به ازای تمام مقادیر xx یا مثبت است یا منفی. در اینجا عبارت زیر رادیکال همواره مثبت است، زیرا اگر به عنوان مثال x=0x=0 را در x24x+8 x ^ 2 - 4 x + 8 جایگذاری کنیم، حاصل آن مقداری مثبت خواهد بود. بنابراین، دامنه این تابع، مجموعه‌ای از تمام اعداد حقیقی است.

دامنه و برد توابع جبری و گویا

برای تعیین برد تابع، می‌توانیم x24x+8 x ^ 2 - 4 x + 8 را به صورت (x2)2+4 ( x - 2 ) ^ 2 + 4 بازنویسی کنیم. نمودار (x2)2+4 ( x - 2 ) ^ 2 + 4 یک سهمی با یک مینیمم در نقطه (2,4) ( 2 , 4 ) است. از این رو، برد x24x+8 x ^ 2 - 4 x + 8 برابر با [4,+) [ 4, + ∞ ) و برد تابع f(x)f(x) برابر با [4,+)=[2,+)[\sqrt 4,\sqrt {+∞})=[2,+∞) خواهد بود.

مثال نهم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه و برد تابع f(x)=16x2 f ( x ) = \sqrt { 1 6 - x ^ 2 } را تعیین کنید.

حل: عبارت زیر یک رادیکال با فرجه زوج باید صفر یا مثبت باشد:

16x20 \large 16-x^2≥0

در نتیجه، داریم:

x216,x4,  x4 \large x ^ 2 ≤ 1 6 , \\ \large x ≥ - 4, \; x ≤ 4

بنابراین، دامنه تابع بازه بسته [4,4] [-4,4] است. همان‌طور که در نمودار زیر مشاهده می‌کنید، تابع 16x2 1 6 - x ^ 2 یک سهمی با یک ماکزیمم در نقطه (0,16) (0,16) است. بنابراین، برد آن [0,16] [0,16] و در نتیجه برد تابع f(x)f(x) بازه [0,16]=[0,4] [ \sqrt 0 , \sqrt { 1 6 } ] = [ 0 , 4 ] خواهد بود.

دامنه و برد توابع جبری و گویا

مثال دهم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه و برد تابع f(x)=x225 f ( x ) = \sqrt { x ^ 2 - 2 5 } را محاسبه کنید.

حل: از آنجا که تابع یک تابع رادیکالی با فرجه زوج است، داریم:

x2250,x225x5,  x5 \large x ^ 2- 2 5 ≥ 0 , \\ \large x ^ 2 ≥ 2 5 \\ \large x ≥ 5, \; x ≤ - 5

به ازای مجموعه مقادیر xx در بازه (,5][5,+) (-∞ , -5] \cup [5, +∞) ، برد تابع x225 x^2-25 و f(x)f(x)، بازه [0,+)[0, +∞) است.

دامنه و برد توابع جبری و گویا

بر اساس رای ۲۱ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
۴ دیدگاه برای «دامنه و برد توابع جبری و گویا — به زبان ساده»

مثال سوم هر عددی بدی به توان مثبت میشه پس برد R هستش خواهشا این کارو نکنید اومدم یه چیزی یاد بگیرم هرچی بلد بودم پرید

سلام و وقت بخیر؛

مثال اصلاح شد. ممنون از توجه شما

سلام
ممنون از مطالب مفیدتون
در مثال اول دامنه و برد توابع چجوری دامنه تابع منفی بینهایت رو شامل میشه لطفا یه نگاه به مثال بکنید

سلام.
مثال بازنویسی شد.
سپاس از همراهی‌تان با مجله فرادرس.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *