تجانس در هندسه — به زبان ساده

۸۹۲۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۲ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳ دقیقه
تجانس در هندسه — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، انواع تبدیل‌های هندسی را معرفی کردیم. تبدیل هندسی، در واقع تابعی است که نقاط صفحه را به عنوان ورودی می‌گیرد و نقاط دیگری را در صفحه به عنوان خروجی نتیجه می‌دهد. به بیان ساده، می‌توان چنینن گفت که تبدیل قاعده‌ای است که به ما می‌گوید چگونه نقاط جدیدی ایجاد کنیم. تبدیلات هندسی را می‌توان در انواع انتقال، دوران، تجانس و بازتاب دسته‌بندی کرد. در این آموزش، با تجانس در هندسه آشنا می‌شویم.

997696

تعریف تجانس

تجانس در لغت به معنی هم‌جنس و هم‌شکل بودن است و در هندسه به مفهوم تغییر مقیاس اشکال هندسی است. تعریف تجانس در هندسه نیز چیزی غیر از این مفهوم نیست.

تعریف: فرض کنید OO یک نقطه ثابت در صفحه مختصات بوده و k0k\neq0 یک عدد حقیقی باشد. نقطه AA' را «مُجانس» نقطه AA به «مرکز» OO با «نسبت تجانس» kk می‌نامیم، در صورتی که سه شرط زیر برقرار باشند:

  • سه نقطه OO، AA و A A' در امتداد یک خط راست باشند.
  • فاصله AA' از OO، مساوی با kk برابرِ فاصله A A از OO باشد؛ یعنی OA=kOAOA'=|k|OA.
  • اگر kk مثبت باشد، AA' روی نیم‌خط OAOA و نقاط AA و AA' در یک طرف نقطه OO قرار دارند. همچنین، اگر kk منفی باشد، نقطه OO بین AA و AA' قرار خواهد گرفت.

تجانس در هندسه

در تعریف بالا، اگر k> 0 باشد، تجانس را «مستقیم» و اگر k < 0 باشد، تجانس را «معکوس» می‌نامیم. همچنین، اگر |k|<1 باشد، به آن تجانس «انقباض» می‌گوییم و در صورتی که |k|> 1 باشد، تجانس «انبساط» نام دارد.

بنابراین، تجانس یک تبدیل است که نقطه OO‌ در آن ثابت مانده و فاصله هر نقطه AA از مرکز در امتداد خط OAOA در نسبت تجانس یا ضریب مقیاس kk (با در نظر گرفتن علامت آن) ضرب می‌شود و نقطه جدید AA' را تشکیل می‌دهد.

مثلث ΔABC \Delta ABC زیر را در نظر بگیرید که حول نقطه PP با ضریب مقیاس ۲ توسعه یافته است. توجه کنید که نقاط P P، AA و AA’ روی یک خط واقع شده‌اند. به طور مشابه، سه نقطه P P ، BB و B B’ و همچنین سه نقطه PP، CC و C C’ نیز در امتداد یک خط هستند. در این شکل، PC=3PC=3 و PC=6PC’ = 6 است. با توجه به PCPC=63=2  \frac { P C' } { P C } = \frac63 = 2  ، ضریب مقیاس ۲ است. اگر سایر فواصل را نیز محاسبه کنیم، خواهیم دید که رابطه PAPA=PCPC =2  \frac { P A' } { P A } = \frac { P C' } { P C }  = 2  برقرار است.

تجانس مثلث

همان‌طور که می‌بینیم، در تجانس فوق، ΔABC\Delta A’ B’ C’ بزرگ‌تر از ΔABC\Delta ABC است و زوایا حفظ شده‌اند. شکل اصلی و تصویر بعد از تجانس متشابه خواهند بود، به این معنی که تصویر حاصل همان شکل را خواهد داشت و تنها اندازه‌ها تغییر می‌کنند. دو قضیه مهم زیر بیانگر این موارد هستند.

قضیه ۱: تجانس شیب را حفظ می‌کند.

قضیه ۲: تجانس اندازه زاویه را حفظ می‌کند.

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را برای درک بهتر مفهوم تجانس بیان می‌کنیم.

مثال ۱. رسم انبساط یک پاره خط

خط زیر را با در نظر گرفتن مرکز PP و ضریب تجانس 3 رسم کنید.

تجانس پاره خط

حل: برای رسم مجانس، از نقطه PP، سه خط را رسم می‌کنیم که یکی از نقطه AA، یکی از نقطه BB و دیگری از C C عبور کنند. فاصله این خطوط از مرکز PP باید سه برابر فاصله نقطه اصلی تا PP در آن امتداد باشد. شکل زیر جواب این مثال است.

رسم مجانس

مثال ۲. رسم انقباض یک پاره خط

مجانس پاره خط زیر را برای مرکز PP و نسبت تجانس 12 \frac 12 به دست آورید.

مثال رسم مجانس انقباض

حل: فاصله PP تا AA' باید نصف فاصله P P تا A A باشد. به طور مشابه، فاصله PP تا B B' نیز باید نصف فاصله PP تا BB باشد. شکل زیر، جواب این مثال است.

رسم مجانس

مثال ۳. بررسی ویژگی‌های تجانس

در مثال ۲، ثابت کنید روابط AB=12ABA'B' = \frac12 AB و ABAB\overline{A'B'}|| \overline{AB} برقرارند.

حل: با استفاده از قضیه فیثاغورس، دو طول مورد نظر را محاسبه می‌کنیم:

قضیه فیثاغورس

بنابراین، می‌بینیم که AB=12ABA'B'= \frac 12 AB. شیب دو پاره‌خط نیز برابر با 12 \frac 12 است و در نتیجه، ABAB\overline{A'B'}|| \overline{AB} نیز برقرار است.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۶۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
FlexBookمجله فرادرس
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *