در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره تبدیل لاپلاس و خواص آن بحث کردیم. تبدیل لاپلاس، یک ابزار ریاضی قدرتمند برای تجزیه و تحلیل و طراحی است. توانایی بررسی مدارها و سیستم‌ها در حوزه s، ما را در فهم بهتر عملکرد واقعی سیستم کمک می‌کند. علاوه بر این، می‌توانیم سیستم‌های فیزیکی را ساده‌تر و سریع‌تر بررسی کنیم. در این آموزش، نحوه مدل‌سازی مدار در فضای s یا فرکانس و کاربرد تبدیل لاپلاس در مدار را معرفی می‌کنیم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

استفاده از تبدیل لاپلاس در مدارهای الکتریکی، سه گام دارد:

  1. تبدیل مدار از حوزه زمان به حوزه s
  2. حل مدار با استفاده از تحلیل گره، تحلیل مش، تبدیل منبع، جمع آثار، یا هر تکنیک دیگر
  3. اعمال تبدیل لاپلاس معکوس به پاسخ و به دست آوردن پاسخ در حوزه زمان

همان‌طور که می‌بینیم، فقط گام اول جدید است و درباره آن بحث می‌کنیم. از تحلیل فازور می‌دانیم که با استفاده از تبدیل لاپلاس می‌توان هریک از اجزای یک مدار را در حوزه زمان، به حوزه فرکانس یا حوزه s بُرد.

رابطه ولتاژ-جریان یک مقاومت در حوزه زمان به‌صورت زیر است:

رابطه مقاومت
رابطه (۱)

تبدیل لاپلاس این معادله برابر است با:

لاپلاس رابطه مقاومت
رابطه (۲)

برای یک سلف داریم:

رابطه سلف
رابطه (۳)

با اعمال تبدیل لاپلاس به دو طرف رابطه سلف، خواهیم داشت:

تبدیل لاپلاس رابطه سلف
رابطه (۴)

یا

تبدیل لاپلاس رابطه سلف
رابطه (۵)

معادل‌های حوزه s در شکل ۱ نشان داده شده که در آن، شرایط اولیه با منبع ولتاژ یا منبع جریان مدل شده است.

نمایش یک سلف در خوزه زمان و s
شکل ۱: نمایش یک سلف: (الف) حوزه زمان، (ب و ج) معادل‌های حوزه s

برای یک خازن داریم:

معادله خازن
رابطه (۶)

که تبدیل لاپلاس آن در فضای s به‌صورت زیر است:‌

تبدیل لاپلاس معادله خازن
رابطه (۷)

یا

تبدیل لاپلاس معادله خازن
رابطه (۸)

معادل‌های حوزه s در شکل ۲ نشان داده شده‌اند.

نمایش یک خازن
شکل ۲: نمایش یک خازن: (الف) حوزه زمان، (ب و ج) معادل‌های حوزه s

با استفاده از معادل‌های حوزه s می‌توان تبدیل لاپلاس را به‌راحتی برای حل معادلات مرتبه اول و مرتبه دوم به‌کار برد. همان‌طور که از معادلات (۳) تا (۸) مشخص است، شرایط اولیه، بخشی از تبدیل هستند. این، یکی از مزایای استفاده از تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار است. یکی دیگر از مزایای تبدیل لاپلاس این است که می‌توان پاسخ کامل (گذرا و حالت) ماندگار شبکه را با استفاده از آن به‌دست آورد.

با فرض شرایط اولیه صفر برای سلف و خازن، روابط بالا را می‌توان به معادلات زیر کاهش داد:

لاپلاس
رابطه (۹)

معادل‌های حوزه s، در شکل ۳ نشان داده شده‌اند.

نمایش حوزه زمان و حوزه s عناصر پسیو در شرایط اولیه صفر
شکل ۳: نمایش حوزه زمان و حوزه s عناصر پسیو در شرایط اولیه صفر

امپدانس در حوزه s، به‌عنوان نسبت تبدیل لاپلاس ولتاژ به تبدیل لاپلاس جریان در شرایط اولیه صفر تعریف می‌شود:

امپدانس در فضای s
رابطه (۱۰)

بنابراین، امپدانس‌های سه عنصر مدار در حوزه s به‌صورت زیر هستند:

امپدانس عناص در فضای s
رابطه (۱۱)

جدول ۱ این روابط را به‌طور خلاصه نشان می‌دهد. امپدانس عناصر

ادمیتانس در حوزه s برابر با معکوس امپدانس است:

ادمیتانس در حوزه s
رابطه (۱۲)

استفاده از تبدیل لاپلاس برای تحلیل مدار، این قابلیت را به ما می‌دهد که بتوانیم از منابع سیگنال مختلف، مانند ضربه، پله، شیب، نمایی و سینوسی استفاده کنیم.

مدل منابع وابسته و تقویت‌کننده‌های عملیاتی را می‌توان به‌سادگی و با استفاده از این حقیقت که اگر تبدیل لاپلاس $$ f(t)$$، $$ F (s) $$ باشد، آن‌گاه تبدیل لاپلاس $$ a f(t) $$، $$ a F(s ) $$ است (خاصیت خطی بودن)، به‌دست آورد. مدل منبع وابسته، اندکی ساده‌تر است، چون فقط می‌تواند دو مقدار کنترلی داشته باشد: یک مقدار ثابت و ولتاژ‌ یا جریان. بنابراین، داریم:

لاپلاس ولتاژ
رابطه (۱۳)
لاپلاس جریان
رابطه (۱۴)

آپ‌امپ ایده‌آل را می‌توان مانند یک مقاومت در نظر گرفت.

مثال برای کاربرد تبدیل لاپلاس در مدار

مقدار $$v_o(t)$$ مدار شکل ۴ را با فرض شرایط اولیه صفر به‌دست آورید.

مدار مثال ۱
شکل ۴: مدار مربوط به مثال

حل: ابتدا مدار را از حوزه زمان به حوزه s تبدیل می‌کنیم:

تبدیل به حوزه s

شکل ۵، مدار معادل را در حوزه s نشان می‌دهد.

تحلیل مش مدار در حوزه فرکانس
شکل ۵: تحلیل مش مدار در حوزه فرکانس

برای تحلیل مدار، از روش مش استفاده می‌کنیم. برای مش ۱ می‌توان نوشت:

معادله مش
رابطه (۱۵)

برای مش ۲ نیز داریم:

معادله مش ۲

یا

معادله مش ۲
رابطه (۱۶)

با جایگذاری معادله (۱۶) در معادله (۱۵)، به معادله زیر می‌رسیم:

معادله جریان $$I_2$$

با ضرب معادله اخیر در $$ 3s$$، داریم:

جریان و ولتاژ

اگر از ولتاژ تبدیل لاپلاس معکوس بگیریم، رابطه آن در حوزه زمان به‌دست می‌آید:

ولتاژ خروجی

در صورتی که مباحث بیان شده برای شما مفید بوده و می‌خواهید درباره موضوعات مرتبط، مطالب بیشتری یاد بگیرید، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش‌های زیر مراجعه کنید:

^^

فیلم‌ های آموزش کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مستقیم مدارهای الکتریکی

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 20 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *