امپدانس ذاتی محیط — به زبان ساده

۱۹۱۹ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۴ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۶ دقیقه
امپدانس ذاتی محیط — به زبان ساده

امواج الکترومغناطیسی به هنگام انتشار در یک محیط (خلأ، هوا یا هر نوع ماده‌ای) با مقاومتی موسوم به امپدانس ذاتی مواجه می‌شوند. امپدانس ذاتی همانند مقاومت یا امپدانس یک مدار یا خطوط انتقال، با واحد «اهم» (Ohm : Ω) سنجیده می‌شود. در مقوله انتشار امواج الکترومغناطیسی امپدانس را غالباً با عناوینی مانند امپدانس ذاتی محیط یا امپدانس موج مورد خطاب قرار می‌دهند و بیانگر نسبت میدان الکتریکی به میدان مغناطیسی موج (EH\frac{E}{H}) است. از آنجایی که در سیستم بین‌المللی SISI، واحد EE و HH به ترتیب (Vm\frac{V}{m}) و (Am\frac{A}{m}) است، پس واحد نسبت (EH\frac{E}{H}) برابر با (VA\frac{V}{A}) شده که خود مطابق با قانون اهم، تعریف واحد اهم (Ω) است.

997696

در ادامه این مقاله با ما همراه باشید تا با زبانی ساده به بررسی امپدانس ذاتی محیط و عوامل موثر در آن بپردازیم.

معادلات ماکسول

در مقاله «معادلات ماکسول (Maxwell’s Equations) — به زبان ساده» با معادلات ماکسول به طور کامل آشنا شدیم. دیدیم که جهت بررسی و تحلیل پدیده‌های الکتریکی و مغناطیسی و به طور کل تحلیل الکترومغناطیسی، می‌توان از این ۴ معادله که به شرح ذیل هستند، استفاده کرد:

.D=ρ\large \triangledown.D=\rho
(1)

.B=0\large \triangledown.B=0
(2)

×E=Bt\large \triangledown \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}
(3)

×H=Dt+J\large \triangledown \times H=\frac{\partial D}{\partial t}+J
(4)

در معادلات فوق DD جا‌به‌جایی الکتریکی، ρ\rho چگالی بار، BB چگالی شار مغناطیسی، HH شدت میدان مغناطیسی، EE شدت میدان الکتریکی و JJ چگالی جریان الکتریکی است.

معادلات مذکور در محیطی همسانگرد (Isotropic)، همگن (Homogeneous)، نارسانا (Nonconducting) و بدون بار (Uncharged) نظیر شیشه به شکل زیر در می‌آیند:

ϵ.D=0\large \epsilon \triangledown.D=0
(5)

μ.H=0\large \mu \triangledown.H=0
(6)

×E=μHt\large \triangledown \times E=-\mu \frac{\partial H}{\partial t}
(7)

×H=ϵEt\large \triangledown \times H=\epsilon \frac{\partial E}{\partial t}
(8)

اگر عبارات توصیفی بالا برای محیط شرطی برایتان نامفهوم است، تعاریف زیر را به خاطر بسپارید:

  • محیط همگن: محیطی را همگن می‌گویند که در آن میدان الکتریکی EE و قطبش PP وابسته به مکان نباشند.
  • محیط همسانگرد: محیطی را همسانگرد می‌گویند که در آن بردار قطبش PP به جهت بردار EE وابسته نباشد. به عبارت دیگر، دو بردار موازی باشند.

همچنین در مقاله «معادله موج — از صفر تا صد» دیدیم که از معادلات ماکسول می‌توان به معادله موج برای مولفه‌های الکتریکی و مغناطیسی رسید. با گرفتن کرل (×\triangledown \times) از طرفین معادله (7) و استفاده از سایر معادلات جهت حذف HH به معادله موج الکتریکی زیر می‌رسیم:

2E=ϵμ2Et2\large \triangledown^{2} E=\epsilon \mu \frac{\partial{^2}E}{\partial t^{2}}
(9)

سرعت موج

عبارت (ϵμ\epsilon \mu) در معادله (9)، مرتبط به سرعت موج در محیط است که از طریق فرمول زیر بیان می‌شود:

v2=1ϵμv^{2}=\frac{1}{\epsilon\mu}
(10)

اگر معادله موج (9) را در محیط خلأ بنویسیم، عبارت ϵμ\epsilon \mu به فرم ϵ0μ0\epsilon_{0} \mu_{0} در آمده که به سرعت موج الکترومغناطیسی در خلأ ارتباط دارد. با جایگذاری مقدار عددی ضریب نفوذپذیری الکتریکی ϵ0\epsilon_{0} و ضریب نفوذپذیری (تراوایی) مغناطیسی μ0\mu_{0}، مطابق با انتظار، این سرعت برابر با سرعت نور می‌شود.

c=1ϵ0μ0=3×108 msc=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}=3\times 10^{8} \ \frac{m}{s}
(11)

در مقاله «ضریب شکست و محاسبه عملی آن -- به زبان ساده» دیدیم که سرعت نور یا به طور جامع‌تر سرعت امواج الکترومغناطیسی در یک محیط، به صورت زیر تعریف می‌شود:

v=cnv=\frac{c}{n}
(12)

حال از رابطه فوق و (10)، می‌توانیم نسبت سرعت موج در دو محیط مختلف را به شکل زیر بنویسیم:

v1v2=n2n1=ϵ2μ2ϵ1μ1\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}=\sqrt{\frac{\epsilon_{2}\mu_{2}}{\epsilon_{1}\mu_{1}}}
(13)

در صورتی که دو محیط (ماده) مغناطیسی نباشند، می‌توان ضریب نفوذپذیری (تراوایی) مغناطیسی را برای هر دو محیط μ=μ0\mu=\mu_{0} در نظر گرفت. در نتیجه:

v1v2=n2n1=ϵ2ϵ1\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}=\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}}
(14)

نتیجه جالب توجهی که می‌توان از رابطه فوق گرفت، رسیدن به رابطه‌ای جهت محاسبه ضریب شکست محیط است. در واقع اگر محیط n1n_{1} را خلأ فرض کنیم، ϵ1ϵ0\epsilon_{1}\equiv\epsilon_{0} شده و در نتیجه:

n=ϵϵ0n=\sqrt{\frac{\epsilon}{\epsilon_{0}}}
(15)

ضریب شکست
شکل (۲): ضریب شکست، عامل شکست موج الکترومغناطیسی در مرز دو محیط و کاهش سرعت موج در محیط است.

برای امواج الکترومغناطیسی فرکانس بالا (نظیر نور) که در یک محیطی دی‌الکتریک حرکت می‌کنند، بردار جابه‌جایی الکتریکی (DD) ناشی از قطبش محیط (القا دوقطبی‌ها) نمی‌تواند همگام با میدان الکتریکی EE تغییر کند و لذا از آن عقب می‌ماند. در این حالت رابطه (15) شکل پیچیده‌تری به خود گرفته و به صورت عددی مختلط نمایش داده می‌شود که عامل فرکانس و طول موج را در دل خود دارد. به عبارتی ضریب شکست یک محیط تابعی از طول موج یا فرکانس موجی است که در آن منتشر می‌شود. پرداختن به رابطه ضریب شکست مختلط خارج از هدف این مقاله است. جهت آشنایی با محدوده فرکانسی امواج الکترومغناطیسی به مقاله «طیف الکترومغناطیسی -- به زبان ساده» مراجعه کنید. همچنین جهت آشنایی با پدیده قطبش در مواد، به مقاله «دی‌الکتریک -- به زبان ساده» رجوع کنید.

طیف الکترومغناطیسی
شکل (۳): طیف الکترومغناطیسی از فرکانس‌های کم تا فرکانس‌های زیاد به طور پیوسته گسترش پیدا می‌کند.

حال اگر از طرفین رابطه (8)، کرل گرفته و مولفه EE را حذف کنیم، به معادله موج مغناطیسی زیر می‌رسیم.

2H=ϵμ2Ht2\large \triangledown^{2} H=\epsilon \mu \frac{\partial{^2}H}{\partial t^{2}}
(16)

نتایجی که برای سرعت انتشار موج و ضریب شکست در فوق حاصل شد، از رابطه (16) نیز قابل حصول هستند.

امپدانس ذاتی محیط یا امپدانس موج (Wave Impedance)

امواج عرضی الکترومغناطیسی
شکل (4): نمایشی از موج الکترومغناطیسی عرضی (موج صفحه‌ای)

با پیش گرفتن رویکرد خطی در امواج صفحه‌ای الکترومغناطیسی عرضی (Transverse Electro Magnetic : TEM) تک رنگ (تک فرکانس) می‌توانیم دو معادله (7) و (8) را به فرم زیر بنویسیم.

k×E0=ωμH0k\times E_{0}=\omega\mu H_{0}
(17)

k×H0=ωμE0k\times H_{0}=-\omega\mu E_{0}
(18)

از دو رابطه فوق، نسبت اندازه دامنه‌های امواج الکتریکی و مغناطیسی، یعنی E0H0\frac{E_{0}}{H_{0}} را می‌توان به صورت زیر نوشت (kk عمود بر EE و HH است):

H0=(kωμ)E0H_{0}=(\frac{k}{\omega\mu})E_{0}
(19)

H0=(ωϵk)E0H_{0}=(\frac{\omega\epsilon}{k})E_{0}
(20)

ωϵk=kωμk2=ω2ϵμk=ωϵμ=ωv=nωc\Rightarrow \frac{\omega\epsilon}{k}=\frac{k}{\omega\mu}\rightarrow k^{2}=\omega^{2}\epsilon\mu\rightarrow k=\omega\sqrt{\epsilon\mu}=\frac{\omega}{v}=n\frac{\omega}{c}
(21)

E0H0=ωμk=cμ=μϵ\Rightarrow \frac{E_{0}}{H_{0}}=\frac{\omega\mu}{k}=c\mu=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}
(22)

نسبت E0H0\frac{E_{0}}{H_{0}}، به امپدانس ذاتی محیط یا امپدانس مشخصه موسوم است که غالباً با η یا ZZ نمایش داده می‌شود. با نوشتن این نسبت برای موج الکترومغناطیسی که در خلأ منتشر می‌شود، امپدانس ذاتی خلأ به صورت زیر نتیجه می‌شود:

η0=E0H0=μ0ϵ0=120π=377 Ω\eta_{0}=\frac{E_{0}}{H_{0}}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}}}=120\pi=377 \ Ω
(23)

رابطه فوق بیان می‌کند، امواج الکترومغناطیسی که در خلأ منتشر می‌شوند، در مقابل خود مقاومتی حدود 377Ω احساس می‌کنند. از آنجایی که ضریب شکست هوا را با تقریب خوبی می‌توان برابر با ضریب شکست خلأ در نظر گرفت، امپدانس ذاتی هوا نیز همین مقدار است. به عبارت دیگر، هوای بین دو آنتن فرستنده و گیرنده را می‌توان خط انتقالی (نظیر یک سیم) با امپدانس 377 اهم در نظر گرفت. جهت آشنایی با امپدانس مدارهای الکتریکی به مقاله «امپدانس و محاسبه آن -- به زبان ساده» مراجعه کنید.

امپدانس ذاتی محیط
شکل (5): نمایشی از میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی عمود برهم در یک موج الکترومغناطیس، این امواج در فضای آزاد (هوا) تقریباً با امپدانس 377 اهم هنگام انتشار مواجه هستند.

امپدانس ذاتی یک محیط را می‌توان بر حسب ضریب شکست آن محیط به شکل زیر نوشت:

η=η0n\eta=\frac{\eta_{0}}{n}
(24)

همچنین شدت موج الکترومغناطیسی بر حسب امپدانس ذاتی (مشخصه) محیط به شکل زیر در می‌آید.

I=E022ηI=\frac{|E_{0}|^{2}}{2\eta}
(25)

لازم به ذکر است که امپدانس ذاتی یا مشخصه در اینجا به امپدانس موج نیز معروف است. امپدانس موج در حالت کلی‌تر با در نظر گرفتن خواص الکتریکی محیط، به صورت زیر در می‌آید (σ ضریب رسانایی J=σEJ=\sigma E \leftarrow):

Z=jωμσ+jωϵZ=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}}
(26)

در واقع رابطه (22) نیز خود حالت خاصی از معادله‌ (۲۷) است که در آن دامنه‌های مولفه EE و HH هم‌زمان به صفر و مقدار ماکزیمم خود می‌رسند. در این حالت، ωϵ >> σ\omega\epsilon \ >> \ \sigma بوده و در نتیجه:

Z=jωμσ+jωϵ    ,   if : ωϵ >> σ   Z=μϵZ=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}} \ \ \ \ , \ \ \ if \ : \ \omega\epsilon \ >> \ \sigma \ \ \Rightarrow \ Z=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}
(27)

موج الکترومغناطیسی
شکل (۶): نمایشی از انتشار امواج الکترومغناطیسی که میدان‌های E و H هم‌فاز هستند.

برای حالت شبه‌استاتیک (Quasi-Static Approximation)، یعنی زمانی که مولفه‌های EE و HH به اندازه π4\frac{\pi}{4} با یکدیگر اختلاف فاز دارند (شکل 7)، امپدانس موج یا امپدانس ذاتی محیط به شکل زیر در می‌آید (ωϵ<< σ\omega\epsilon << \ \sigma):

Z=jωμσ+jωϵ    ,   if : ωϵ << σ   Z=jωμσ=ωμjωμσZ=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}} \ \ \ \ , \ \ \ if \ : \ \omega\epsilon \ << \ \sigma \ \ \Rightarrow \ Z=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma}}=\frac{\omega\mu}{\sqrt{-j\omega\mu\sigma}}
(28)

اختلاف قاز در موج الکترومغناطیسی
شکل (7): نمایشی از یک موج الکترومغناطیسی که در آن میدان‌های E و H اختلاف فاز دارند.

امپدانس موج در محیط دی‌الکتریک

در یک محیط همسانگرد و همگن دی‌الکتریک با ضریب دی‌الکتریک (نفوذپذیری نسبی) kϵrk\equiv\epsilon_{r}، که خاصیت مغناطیسی نیز ندارد (μ=μ0\mu=\mu_{0})، امپدانس موج به صورت زیر محاسبه می‌شود:

Z=μϵ=μ0ϵ0ϵr=Z0ϵr=377ϵr ΩZ=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}\epsilon_{r}}}=\frac{Z_{0}}{\sqrt{\epsilon_{r}}}=\frac{377}{\sqrt{\epsilon_{r}}} \ Ω
(29)

امپدانس موج در موجبر

امواج الکترومغناطیسی که در موجبر‌ها نیز منتشر می‌شوند، در مقابل خود مقاومت یا امپدانس احساس می‌کنند. امپدانس موج برای امواج منتشر شده در داخل موجبرها با هر نوع ساختاری (استوانه‌ای، مستطیلی و ...) به فرکانس موج و فرکانس قطع (cut-off frequency) بستگی دارد. فرکانس قطع، حداقل فرکانسی است که موج جهت انتشار در موجبر باید داشته باشد.

امپدانس موج برای مد عرضی میدان الکتریکی (Transverse Electric : TE) در یک موجبر مستطیلی به صورت زیر تعریف می‌شود.

ZTE=Z01(fcf)2Z_{TE}=\frac{Z_{0}}{\sqrt{1-(\frac{f_{c}}{f}})^{2}}
(30)

در رابطه فوق، Z0Z_{0} امپدانس ذاتی خلأ با مقدار 377 اهم و fcf_{c} فرکانس قطع موجبر است. همچنین برای مد عرضی میدان مغناطیسی (Transverse Magnetic : TM)، امپدانس موج برای یک موجبر مستطیلی به شکل زیر است:

ZTM=Z01(fcf)2Z_{TM}=Z_{0}\sqrt{1-(\frac{f_{c}}{f}})^{2}
(31)

در دو رابطه فوق، اگر فرکانس موج منتشر شده، بیشتر از فرکانس قطع باشد (f > fcf \ > \ f_{c})، امپدانس موج حقیقی شده و محیط مشابه یک مقاومت است. در این صورت موج حامل انرژی است. در فرکانس‌های زیر فرکانس قطع نیز، امپدانس موهومی (مقاومت واکنشی) است و موج به مرور محو شده (انرژی از دست می‌دهد) و توانایی انتشار در آن موجبر را ندارد. این امر برای انتقال موج در مسیر‌های طولانی حائز اهمیت است.

یک مثال نام آشنا برای مهندسان، امپدانس مرسوم 50 اهم کابل‌های کواکسیال (Coaxial cable) است. در حوزه مخابرات، به خصوص مخابرات فرکانس بالای میکروویو (microwave communication)، از کابل‌های کواکسیال به وفور استفاده می‌شود. همچنین در این حوزه، تطبیق امپدانس خطوط انتقال بحث مهمی است که جهت انتشار مناسب امواج الکترومغناطیسی باید رعایت شود. با این تعریف آنتن را می‌توان وسیله‌ای در نظر گرفت که میان فضای آزاد با امپدانس 377Ω و موجبر استوانه‌ای (کابل کواکسیال) 50Ω عمل تطبیق امپدانس را انجام می‌دهد.

coaxial cable
شکل (8): نمایی از یک کابل کواکسیال 50 اهم

اگر مطالب ارائه شده در این مقاله برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۱۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرسPhys.LibretextsFundamentals of Photonics
۴ دیدگاه برای «امپدانس ذاتی محیط — به زبان ساده»

رابطه 30 رو اصلاح کنید

سلام وحید عزیز.
فرمول بازبینی و اصلاح شد.
سپاس از همراهی و بازخوردتان.
شاد و پیروز باشید.

عالی بود

عالی بود ممنون از زحمات شما عزیز

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *