گسترنده منحنی – به زبان ساده

گسترنده منحنی

منحنی مسطح $$\gamma$$ را در نظر بگیرید که با معادله زیر داده شده است:

$$\large \mathbf { r } = \mathbf { r } \left ( s \right ) ,$$

$$\large R = R \left ( s \right ) = \frac { 1 } { { K \left ( s \right ) } } .$$

روی خط عمود $$\mathbf{n}$$ قطعه $$\mathbf{MC}$$ برابر با شعاع خمیدگی $$R ( s )$$ در نقطه $$M$$ است (شکل ۱).

نقطه $$C$$ مرکز خمیدگی منحنی $$\gamma$$ در نقطه $$M$$ نامیده می‌شود.

اگر بردار شعاع مرکز خمیدگی را با $$\boldsymbol{\rho}$$ نشان دهیم، آنگاه، داریم:

$$\large \boldsymbol { \rho } = \mathbf { O M } + \mathbf { M C } = \mathbf { r } + R \mathbf { n } .$$

بردار عمود $$\mathbf {n}$$ با عبارت زیر مشخص می‌شود:

$$\large { \mathbf { n } = \frac { 1 } { K } \frac { { d \boldsymbol { \tau } } } { { d s } } } = { \frac { 1 }{ K } \frac { { { d ^ 2 } \mathbf { r } } } { { d { s ^ 2 } } } } = { R \frac { { { d ^ 2 } \mathbf { r } } } { { d { s ^ 2 } } } , }$$

که در آن، $$\boldsymbol\tau$$ بردار مماس واحد است. در نتیجه، موقعیت مرکز خمیدگی متناظر با نقطه $$M$$ توسط فرمول زیر بیان می‌شود:

$$\large { \boldsymbol \rho = \mathbf { r } + R \mathbf { n } } = { \mathbf { r } + { R ^ 2 } \frac { { { d ^ 2 } \mathbf { r } } } { { d { s ^ 2 } } } . }$$

برای هر نقطه از منحنی، با فرض $$K \ne 0$$، می‌توانیم مرکز خمیدگی را به دست آوریم. مجموعه همه مراکز خمیدگی منحنی $$\gamma$$ «گسترنده» (Evolute) نامیده می‌شود.

اگر منحنی $$\gamma _ 1$$ گسترنده منحنی $$\gamma$$ باشد، آنگاه منحنی اولیه $$\gamma$$ «گستران» (Involute) منحنی $$\gamma _ 1$$ نامیده می‌شود.

مرکز خمیدگی را با نقطه $$C$$ با $$\left( {\xi ,\eta } \right)$$ مشخص می‌کنیم. اگر منحنی $$\gamma$$ به فرم پارامتری زیر باشد:

$$\large { x = x \left ( t \right ) , } \; \; \; { y = y \left ( t \right ) , } \; \; \; \kern-0.3pt { \alpha \le t \le \beta , }$$

مختصات مراکز خمیدگی $$\left( {\xi ,\eta } \right)$$ با فرمول زیر محاسبه می‌شوند:

$$\large { \xi = x – y’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { \eta = y + x’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } . }$$

اگر منحنی $$\gamma$$ نمودار تابع $$y = f\left( x \right)$$ باشد، مختصات مرکز خمیدگی به فرم زیر است:

$$\large { \xi = x – \frac { { 1 + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { y ^ { \prime \prime } } } y’ , } \; \; \; \kern-0.3pt { \eta = y + \frac { { 1 + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } }{ { y ^ { \prime \prime } } } . }$$

مثال‌های گسترنده منحنی

در این بخش، مثال‌های متنوعی از گسترنده منحنی را بررسی خواهیم کرد.

مثال اول گسترنده منحنی

$$\large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = { R ^2 } .$$

$$\large x = R \cos t , \; \; \; y = R \sin t .$$

$$\large \begin {align*} x’ & = { \left ( { R \cos t } \right ) ^ \prime } = – R \sin t , \; \; \; \kern-0.3pt y = { \left ( { R \sin t } \right ) ^ \prime } = R \cos t , \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} { x ^ { \prime \prime } = { \left ( { – R \sin t } \right ) ^ \prime } = – R \cos t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { R \cos t } \right ) ^ \prime } = – R \sin t . } \end {align*}$$

مختصات مرکز خمیدگی $$\left( {\xi ,\eta } \right)$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large { \xi = x – y’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { \eta = y + x’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } . }$$

با قرار دادن $$x$$ و $$y$$ و مشتقات آن‌ها در معادله بالا، در نهایت، خواهیم داشت:

$$ \large \require{cancel} \begin {align*} \xi & = x – y’ \frac { { { { \left ( {x’} \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } = { { R \cos t – R \cos t \cdot } \kern0pt { \frac { \cancel { { { R ^ 2 }{ { \sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } } } { \cancel { { { R ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } } } } } \\ & = { \cancel { R \cos t } – \cancel { R \cos t } \equiv 0;} \end {align*} $$