در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با انتگرال و روش‌های محاسبه آن آشنا شدیم. در این آموزش، با یکی از کاربردهای انتگرال، یعنی محاسبه طول کمان آشنا می‌شویم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

طول کمان در مختصات قائم

فرض کنید منحنی $$C$$ با رابطه $$y=f(x)$$ تعریف می‌‌شود که در آن $$f$$ روی بازه $$[a,b]$$ پیوسته است. همچنین، فرض می‌‌کنیم که $$f^\prime\left( x \right)$$ نیز روی بازه $$[a,b]$$ پیوسته باشد.

شکل ۱
شکل ۱

آنگاه، طول منحنی $$y=f(x)$$ از $$x=a$$ تا $$x=b$$ با رابطه زیر به دست می‌‌آید:

$$ \large L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } . $$

اگر از نماد لایبنیتس برای مشتق استفاده کنیم، طول کمان با فرمول زیر نشان داده می‌‌شود:

$$ \large L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } d x } . $$

در اینجا تابعی را معرفی می‌‌کنیم که طول کمان یک منحنی را از یک نقطه ثابت منحنی اندازه می‌‌گیرد. فرض کنید $${P_0}\left( {a,f\left( a \right)} \right)$$ نقطه اولیه روی منحنی $$y = f\left( x \right)$$ ($$a \le x \le b$$) باشد، آنگاه طول کمان منحنی از $${P_0}\left( {a,f\left( a \right)} \right)$$ تا نقطه $$Q\left( {x,f\left( x \right)} \right)$$ توسط انتگرال زیر محاسبه می‌‌شود:

$$ \large S \left ( x \right ) = \int \limits _ a ^ x { \sqrt { 1 + { { \left [ { f’ \left ( t \right ) } \right ] } ^ 2 } } d t } , $$

در اینجا $$t$$ متغیر داخلی انتگرال و تابع $$S(x)$$ نیز تابع طول کمان است.

شکل ۲
شکل ۲

طول کمان منحنی پارامتری

اگر منحنی $$C$$ با معادلات پارامتری زیر نشان داده شود:

$$ \large { x = x \left ( t \right ) , \; \; } \kern0pt { y = y \left ( t \right ) , } $$

که در آن پارامتر $$t$$ بین $$t_1$$ و $$t_2$$ باشد، آنگاه طول کمان منحنی برابر است با:

$$ \large L = \int \limits _ { { t _ 1 } } ^ { { t _ 2 } } { \sqrt { { { \left [ { x’ \left ( t \right ) } \right ] } ^ 2 } + { { \left [ { y’ \left ( t \right ) } \right ] } ^ 2 } } d t } . $$

طول کمان در مختصات قطبی

طول کمان یک منحنی قطبی با رابطه $$r = r\left( \theta \right)$$ که در آن محدوده $$\theta$$ بازه $$\left[ {\alpha ,\beta } \right]$$ است، توسط فرمول زیر به دست می‌‌آید:

$$ \large L = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left [ { r \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } + { { \left [ { r ^ \prime \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } } d \theta } . $$

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

طول پاره‌‌خط $$y = 7x + 2$$ را از $$x=2$$ تا $$x=6$$ به دست آورید.

حل: ابتدا مسئله را به صورت کلی حل می‌‌کنیم. پاره‌‌خط دلخواهی را در نظر بگیرید که با رابطه $$y = mx+n$$ تعریف می‌‌شود. طول پاره‌‌خط را در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ محاسبه می‌‌کنیم. بدیهی است که

$$ \large { y ^ \prime = f ^ \prime \left ( x \right ) } = { \left ( { m x + n } \right ) ^ \prime } = { m . } $$

با استفاده از فرمول طول کمان، داریم:

$$ \large { L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left [ { f’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } } = { \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { m ^ 2 } } d x } } = { \sqrt { 1 + { m ^ 2 } } \left ( { b – a } \right ) . } $$

بنابراین، طول پاره‌‌خط $$y = 7x + 2$$ برابر است با:

$$ \large { L = \sqrt { 1 + { 7 ^ 2 } } \left ( { 6 – 2 } \right ) } = { 4 \sqrt { 5 0 } } = { 2 0 \sqrt 2 . } $$

مثال ۲

طول کمان سهمی نیم‌مکعبی $$y = {x^{\frac{3}{2}}}$$ را از $$x=0$$ تا $$x=5$$ بیابید.

حل: از فرمول طول کمان استفاده می‌‌کنیم:

$$ \large L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left [ { f’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } . $$

در اینجا $$f\left( x \right) = {x^{\frac{3}{2}}}$$، $$f^\prime\left( x \right) = \left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^\prime = \large{\frac{3}{2}}\normalsize{x^{\frac{1}{2}}}$$، $$a=0$$ و $$b=5$$ است. در نتیجه:

$$ \large { L = \int \limits _ 0 ^ 5 { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { 3 } { 2 } { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) } ^ 2 } } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 5 { \sqrt { 1 + \frac { { 9 x } } { 4 } } d x} } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ 5 { \sqrt { 4 + 9 x } d x } . } $$

برای حل این انتگرال، روش تغییر متغیر را به کار می‌‌گیریم:

$$ \large { { u ^ 2 } = 4 + 9 x , } \; \; \Rightarrow { u = \sqrt { 4 + 9 x } , } \; \; \Rightarrow { 2 u d u = 9 d x , } \; \; \Rightarrow { d x = \frac { { 2 u d u } } { 9 } . } $$

هنگامی که $$x=0$$ است، $$u=2$$ و هنگامی که $$x=5$$ است، $$u=7$$ خواهد بود. بنابراین، انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌‌شود:

$$ \large { L = \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 2 ^ 7 { \left ( { u \cdot \frac { 2 } { 9 } u } \right ) d u } } = { \frac { 1 } { 9 } \int \limits _ 2 ^ 7 { { u ^ 2 } d u } } = { \frac { 1 } { 9 } \cdot \left . { \frac { { { u ^ 3 } } } { 3 } } \right | _ 2 ^ 7 } = { \frac { 1 } { { 2 7 } } \left ( { { 7 ^ 3 } – { 2 ^ 3 } } \right ) } = { \frac { { 3 3 5 } } { { 2 7 } } . } $$

مثال ۳

ثابت کنید که محیط دایره‌‌ای به شعاع $$R$$ برابر با $$2 \pi R $$ است.

شکل ۳
شکل ۳

حل: ابتدا محیط نیم‌‌دایره بالا را محاسبه کرده و سپس جواب حاصل را در 2 ضرب می‌‌کنیم. نیم‌‌دایره بالا با تابع زیر تعریف می‌‌شود:

$$ \large y = \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } . $$

با مشتق گرفتن از این تابع خواهیم داشت:

$$ \large \require {cancel} { y ^ \prime = f ^ \prime \left ( x \right ) } = { \left ( { \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { { \cancel { 2 } x } } { { \cancel { 2 } \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } } = { – \frac { x } { { \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } . } $$

بنابراین، محیط دایره برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
L & = 2 \int \limits _ { – R } ^ R { \sqrt { 1 + { { \left [ { f’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } = { 2 \int \limits _ { – R } ^ R { \sqrt { 1 + { { \left ( { – \frac { x } { { \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } } \right ) } ^ 2 } } d x } } \\ & = { 2 \int \limits _ { – R } ^ R { \sqrt { 1 + \frac { { { x ^ 2 } } }{ { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } d x } } = { 2 \int \limits _ { – R } ^ R { \sqrt { \frac { { { R ^ 2 } } } { { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } d x } } \\ & = { 2 R \int \limits _ { – R } ^ R { \frac { { d x } } { { \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } } } = { 2 R \left . { \arcsin \frac { x } { R } } \right | _ { – R } ^ R } \\ &= { 2 R \left [ { \arcsin 1 – \arcsin \left ( { – 1 } \right ) } \right ] } = { 2 R \left [ { \frac { \pi } { 2 } – \left ( { – \frac { \pi } { 2 } } \right ) } \right ] } = { 2 \pi R . }
\end {align*} $$

مثال ۴

طول کمان منحنی $$y = \ln x$$ را از $$x = \sqrt{3}$$ تا $$x = \sqrt{15}$$ محاسبه کنید.

شکل ۴
شکل ۴

حل:‌ از آنجایی که $$y^\prime = \left( {\ln x} \right)^\prime = \large{\frac{1}{x}}\normalsize$$ است، می‌‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*}
L & = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left [ { f’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } = { \int \limits _ { \sqrt 3 } ^ { \sqrt { 1 5 } } { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) } ^ 2} } d x } } \\ & = { \int \limits _ { \sqrt 3 } ^ { \sqrt { 1 5 } } { \sqrt { \frac { { { x ^ 2 } + 1 } } { { { x ^ 2 } } } } d x } } = { \int \limits _ { \sqrt 3 } ^ { \sqrt { 1 5 } } { \frac { { \sqrt { { x ^ 2 } + 1 } } } { x } d x } . }
\end {align*} $$

برای محاسبه این انتگرال، آن را به صورت زیر بازنویسی می‌‌کنیم:

$$ \large { I = \int { \frac { { \sqrt { { x ^ 2 } + 1 } } } { x } d x } } = { \int { \frac { { x \sqrt { { x ^ 2 } + 1 } } }{ { { x ^ 2 } }} d x } } $$

و از تغییر متغیر استفاده می‌‌کنیم:

$$ \large { { x ^ 2 } + 1 = { u ^ 2 } , } \; \; \Rightarrow { x d x = u d u , } \; \; \Rightarrow { { x ^2 } = { u ^ 2 } – 1 . } $$

در نتیجه:

$$ \large \begin {align*}
I & = \int { \frac { { { u ^ 2 } } } {{ { u ^ 2 } – 1 } } d u } = { \int { \frac { { { u ^ 2 } – 1 + 1 } } { { { u ^ 2 } – 1 } } d u } } = { \int { \left ( { 1 + \frac { 1 } { { { u ^ 2 } – 1 } } } \right ) d u } } \\ &= { u + \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \frac { { u – 1 } } { { u + 1 } } } \right | } = { \sqrt { { x ^ 2 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \frac { { \sqrt { { x ^ 2 } + 1 } – 1 } } { { \sqrt { { x ^ 2 } + 1 } + 1 } } } \right | . }
\end {align*} $$

با جایگذاری متغیر قبلی، طول کمان $$L$$ را به دست می‌‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
L & = \kern0pt { \left . { \left [ { \sqrt { { x ^ 2 } + 1 } + \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \frac { { \sqrt { { x ^ 2 } + 1 } – 1 } } { { \sqrt { { x ^ 2 } + 1 } + 1 } } } \right | } \right ] } \right | _ { \sqrt 3 } ^ { \sqrt { 1 5 } } } \\ & = { \left ( { 4 + \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { { 4 – 1 } } { { 4 + 1 } } } \right ) – \left ( { 2 + \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { { 2 – 1 } } { { 2 + 1 } } } \right ) } \\ & = { 2 + \frac { 1 } { 2 } \left ( { \ln \frac { 3 } { 5 } } – { \ln \frac { 1 } { 3 } } \right ) } = { 2 + \frac { 1 }{ 2 } \ln \frac { 9 } { 5 } . }
\end {align*} $$

مثال ۵

طول کمان منحنی $$y = \ln \sec x$$ را از $$x = 0$$ تا $$x = \large{\frac{\pi }{3}}\normalsize$$ بیابید.

شکل ۵
شکل ۵

حل: ابتدا از این تابع مشتق می‌‌گیریم:

$$ \large \begin {align*}
y ^ \prime & = f ^ \prime \left ( x \right ) = { \left ( { \ln \sec x } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { { \sec x } } \left ( { \sec x } \right ) ^ \prime } \\ & = { \frac { { \left ( { – { { \sec } ^ 2 } x } \right ) \left ( { – \sin x } \right ) } } { { \sec x } } } = { \sec x \sin x } = { \tan x . }
\end {align*} $$

با استفاده از فرمول طول کمان، داریم:

$$ \large \begin {align*}
L & = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left [ { f’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } = { \int \limits _ 0 ^ { \frac { \pi } { 3 } } { \sqrt { 1 + { { \tan } ^ 2 } x } d x } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ { \frac { \pi } { 3 } } { \sqrt { { { \sec } ^ 2 } x } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ { \frac { \pi } { 3 } } { \sec x d x } . }
\end {align*} $$

از آنجایی که

$$ \large \begin {align*}
\int { \sec x d x } = \ln \left | { \sec x + \tan x } \right | + C ,
\end {align*} $$

خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
L & = \kern0pt { \left . { \left [ { \ln \left | { \sec x + \tan x } \right | } \right ] } \right | _ 0 ^ { \frac { \pi } { 3 } } } = { \ln \left | { \sec \frac { \pi } { 3 } + \tan \frac { \pi } { 3 } } \right | } – { \ln \left | { \sec 0 + \tan 0 } \right | } \\ & = { \ln \left ( { 2 + \sqrt 3 } \right ) – \underbrace { \ln \left ( { 1 + 0 } \right ) } _ 0 } = { \ln \left ( { 2 + \sqrt 3 } \right ) . } \end {align*} $$

مثال ۶

طول کمان منحنی نمایی $$y = {e^x}$$ را از $$x=0$$ تا $$x=1$$ به دست آورید.

شکل ۶
شکل ۶

حل: طول کمان این منحنی برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
{ L = \int \limits _0 ^ 1 { \sqrt { 1 + { { \left [ { y ^ \prime \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2} } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { 1 + { e ^ { 2 x } } } d x } . }
\end {align*} $$

به کمک تغییر متغیر، این انتگرال را به دست می‌‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
& 1 + { e ^ { 2 x } } = { u ^ 2 } , \; \; \Rightarrow { { e ^ { 2 x } } d x = u d u , } \; \; \\& \Rightarrow { d x = \frac { { ud u } }{ { { e ^ { 2 x } } } } = \frac { { u d u } } { { { u ^ 2 } – 1 } } . }
\end {align*} $$

در نتیجه:

$$ \large \begin {align*}
I & = \int { \frac { { {u ^ 2 } d u } } { { { u ^ 2 } – 1 } } } = { \int { \frac { { { u ^ 2 } – 1 + 1 } } { { { u ^ 2 } – 1 } }d u } } = { \int { \left ( { 1 + \frac { 1 } { { { u ^ 2 } – 1 } } } \right ) d u } } \\ & = { u + \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \frac { { u – 1 } } { { u + 1 } } } \right | } = { \sqrt { 1 + { e ^ { 2 x } } } + \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \frac { { \sqrt { 1 + { e ^ { 2 x } } } – 1 } } { { \sqrt { 1 + { e ^ { 2 x } } } + 1 } } } \right | . }
\end {align*} $$

$$ \large \begin {align*}
L & = \kern0pt { \left . { \left [ { \sqrt { 1 + { e ^ { 2 x } } } + \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \frac { { \sqrt { 1 + { e ^ { 2 x} } } – 1 } } { { \sqrt { 1 + { e ^ { 2 x } } } + 1 } } } \right | } \right ] } \right | _ 0 ^ 1 } \\ & = { \left ( { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } – 1 } } { { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } + 1 } } } \right ) } – { \left ( { \sqrt 2 + \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { { \sqrt 2 – 1 } } { { \sqrt 2 + 1 } } } \right ) . }
\end {align*} $$

اکنون، کسرهای زیر لگاریتم را ساده می‌‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
\frac { { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } – 1 } } { { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } + 1 } } = { \frac { { { { \left ( { \sqrt { 1 + { e ^2 } } – 1 } \right ) } ^ 2 } } }{ { { { \left ( { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } } \right ) } ^ 2 } – { 1 ^ 2 } } } } = { \frac { { { { \left ( { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } – 1 } \right ) } ^ 2 } } } { { { e ^ 2 } } } } = { { \left ( { \frac { { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } – 1 } } { e } } \right)^2}}
\end {align*} $$

$$ \large { \frac { { \sqrt 2 – 1 } } { { \sqrt 2 + 1 } } } = { \frac { { { { \left ( { \sqrt 2 } \right ) } ^ 2 } – { 1 ^ 2 } } }{ { { { \left ( { \sqrt 2 + 1 } \right ) } ^ 2 } } } } = { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 2 + 1 } } } \right ) ^ 2 } . } $$

بنابراین، طول کمان برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
L & = \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } – { \sqrt 2 } + { \frac { 1 } { 2 } \ln { \left ( { \frac { { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } – 1 } } { e } } \right ) ^ 2 } } – { \frac { 1 } { 2 } \ln { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 2 + 1 } } } \right ) ^ 2 } } \\& = { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } } – { \sqrt 2 } + { \ln \frac { { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } – 1 } } { e } } – { \ln \frac { 1 } { { \sqrt 2 + 1 } } } \\ & = { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } } – { \sqrt 2 } + { \ln \left [ { \left ( { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } – 1 } \right ) \left ( { \sqrt 2 + 1 } \right ) } \right ] } – { \underbrace { \ln e } _ 1 } \\ &= { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } } – { \sqrt 2 – 1 } + { \ln \left [ { \left ( { \sqrt { 1 + { e ^ 2 } } – 1 } \right ) \left ( { \sqrt 2 + 1 } \right ) } \right ] } \approx {2.004}
\end {align*} $$

مثال ۷

معادلات پارامتری یک چرخزاد به صورت $$x\left( t \right) = t – \sin t$$ و $$y\left( t \right) = 1 – \cos t$$ است. طول یک کمان از آن را محاسبه کنید.

شکل ۷
شکل ۷

حل: طول کمان یک منحنی پارامتری توسط انتگرال زیر به دست می‌‌آید:

$$ \large L = \int \limits _ { { t _ 1 } } ^ { { t _ 2 } } { \sqrt { { { \left [ { x ^ \prime \left ( t \right ) } \right ] } ^ 2 } + { { \left [ { y ^ \prime \left ( t \right ) } \right ] } ^ 2 } } d t } . $$

برای کمان اول چرخزاد که $$0 \le t \le 2\pi$$ است، داریم:

$$ \large \begin {align*}
L & = \kern0pt { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { { { \left ( { 1 – \cos t } \right ) } ^ 2 } + { { \sin } ^ 2 } t } \, d t } } = { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { 1 – 2 \cos t + \underbrace { { { \cos } ^ 2 } t + { { \sin } ^ 2 } t } _ 1 } \, d t } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { 2 – 2 \cos t } \, d t } } = { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { 4 { { \sin } ^ 2 } \frac { t } { 2 } } d t } } = { 2 \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sin \frac { t } { 2 } d t } } = { 4 \left . { \left ( { – \cos \frac { t } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \\ & = { 4 \left ( { – \cos \pi + \cos 0 } \right ) } = { 8 . }
\end {align*} $$

مثال ۸

طول کمان یک خم ستاره‌‌ای را که معادلات آن به صورت $$x\left( t \right) = {\cos ^3}t$$ و $$y\left( t \right) = {\sin^3}t$$ هستند، محاسبه کنید.

شکل ۸
شکل ۸

حل: معادلات این منحنی را به صورت پارامتری می‌نویسیم. بنابراین، از فرمول زیر استفاده می‌‌کنیم:

$$ \large { L \text { = } } \kern0pt { \int \limits _ a ^ b { \sqrt { { { \left [ { x ^ \prime \left ( t \right ) } \right ] } ^ 2 } + { { \left [ { y ^ \prime \left ( t \right ) } \right ] } ^ 2 } } d t } . } $$

مشتق معادلات پارامتری به صورت زیر است:

$$ \large { x ^ \prime \left ( t \right ) = \left ( { { { \cos } ^ 3 } t } \right ) ^ \prime } = { 3 { \cos ^ 2 } t \left ( { – \sin t } \right ) } = { – 3 { \cos ^ 2 } t \sin t , } $$

$$ \large { y ^ \prime \left ( t \right ) = \left ( { { { \sin } ^ 3 } t } \right ) ^ \prime } = { 3 { \sin ^ 2 } t \cos t . } $$

طول یک کمان از خم ستاره‌‌ای واقع در ربع اول را محاسبه کرده، سپس جواب به دست آمده را در 4 ضرب می‌‌کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
L & = \kern0pt { 4 \int \limits _ 0 ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \sqrt { 9 \, { { \cos } ^ 4 } t \, { { \sin } ^ 2 } t + 9 \, { { \sin } ^ 4 } t \, { { \cos } ^ 2 } t } \, d t } } \\ &= { 4 \int \limits _ 0 ^ { \frac { \pi } {2 } } { \sqrt { 9 \, { { \sin } ^ 2 } t \,{ { \cos } ^ 2 } t \underbrace { \left ( { { { \cos } ^ 2 } t + { { \sin } ^ 2 } t } \right ) } _ 1 } d t } } \\& = { 1 2 \int \limits _ 0 ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \sin t \cos t d t } } = { 6 \int \limits _ 0 ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \sin 2 t d t } } \\ & = { – 3 \left . { \cos 2 t } \right | _ 0 ^ { \frac { \pi } { 2 } } } = { – 3 \left ( { \cos \pi – \cos 0 } \right ) } = { 6 . }
\end {align*} $$

مثال ۹

طول یک دلوار را که معادله آن به صورت $$r = 1 + \cos \theta$$ است، بیابید.

شکل ۹
شکل ۹

حل: دلوار را در مختصات قطبی تعریف می‌‌کنیم. از این رو، از فرمول زیر استفاده خواهیم کرد:

$$ \large L = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left [ { r \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } + { { \left [ { r ^ \prime \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } } d \theta } . $$

به دلیل تقارن، طول کمان نیمه بالایی دلوار را محاسبه می‌‌کنیم (بازه $$\theta$$ از $$0$$ تا $$\pi$$ است) و نتیجه را در 2 ضرب می‌‌کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
L & = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left [ { r \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } + { { \left [ { r’ \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } } d \theta } = { 2 \int \limits _ 0 ^ \pi { \sqrt { { { \left ( { 1 + \cos \theta } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { – \sin \theta } \right ) } ^ 2 } } d \theta } } \\ &= { 2 \int \limits _ 0 ^ \pi { \sqrt { 1 + 2 \cos \theta + \underbrace { { { \cos } ^ 2 } \theta + { { \sin } ^ 2 } \theta } _ 1 } \, d \theta } } = { 2 \int \limits _ 0 ^ \pi { \sqrt { 2 + 2 \cos \theta } \, d \theta } } \\ & = { 2 \sqrt 2 \int \limits _ 0 ^ \pi { \sqrt { 1 + \cos \theta } \, d \theta } } = { 2 \sqrt 2 \int \limits _ 0 ^ \pi { \sqrt { 2 { { \cos } ^ 2 } \frac { \theta } { 2 } } d \theta } } \\ &= { 4 \int \limits _ 0 ^ \pi { \cos \frac { \theta } { 2 } d \theta } } = { 8 \left . { \sin \frac { \theta } { 2 } } \right | _ 0 ^ \pi } = { 8 \left ( { \sin \frac { \pi } { 2 } – \sin 0 } \right ) } = { 8 . }
\end {align*} $$

مثال ۱۰

طول دور اول مارپیچ ارشمیدس $$r\left( \theta \right) = \theta$$ را به دست آورید.

شکل 10
شکل 10

حل: طول کمان یک منحنی در مختصات قطبی از رابطه زیر به دست می‌‌آید:

$$ \large L = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left [ { r \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } + { { \left [ { r ^ \prime \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } } d \theta } . $$

در اینجا $$\alpha = 0$$، $$\beta = 2\pi$$، $$r\left( \theta \right) = \theta$$ و $$r^\prime\left( \theta \right) = 1$$ است. در نتیجه، این انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large L = \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { 1 + { \theta ^ 2 } } d \theta } . $$

برای به دست آوردن جواب انتگرال از تغییر متغیر مثلثاتی $$\theta = \tan t$$ استفاده می‌‌کنیم. با جایگذاریِ

$$ \large { \theta = \tan t , \; \; } \kern0pt { \sqrt { 1 + { \theta ^ 2 } } = \sec t , \; \; } \kern0pt { d \theta = { \sec ^ 2 } t \, d t , } $$

انتگرال نامعین را به شکل زیر بازنویسی می‌‌کنیم:

$$ \large { I = \int { \sqrt { 1 + { \theta ^ 2 } } d \theta } } = { \int { { { \sec } ^ 3 } t d t } . } $$

انتگرال حاصل برابر است با:

$$ \large { \int { { { \sec } ^ 3 } t d t } } = { \frac { { \sec t \tan t } } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2} \int { \sec t d t } . } $$

از طرفی، داریم:

$$ \large \int { \sec t d t } = \ln \left | { \sec t + \tan t } \right | . $$

در نتیجه:

$$ \large { \int { { { \sec } ^ 3 } t d t } } = { \frac { { \sec t \tan t } } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \sec t + \tan t } \right | . } $$

با جایگذاری متغیر قبلی، خواهیم داشت:

$$ \large { I = \frac { { \theta \sqrt { 1 + { \theta ^ 2 } } } } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \sqrt { 1 + { \theta ^ 2 } } + \theta } \right | . } $$

بنابراین، طول کمان برابر است با:

$$ \large \begin {align*} \require {cancel}
L & = \kern0pt { \left . { \left [ { \frac { { \theta \sqrt { 1 + { \theta ^ 2 } } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \sqrt { 1 + { \theta ^ 2 } } + \theta } \right | } \right ] } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \\ & = { \left ( { \frac { { \cancel { 2 } \pi \sqrt { 1 + 4 { \pi ^ 2 } } } } { \cancel { 2 } } } \right . } + { \left . { \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { \sqrt { 1 + 4 { \pi ^ 2 } } + 2 \pi } \right | } \right ) } – { \underbrace { \left ( { 0 + \frac { 1 }{ 2 } \ln 1 } \right ) } _ 0 } \\ & = { \pi \sqrt { 1 + 4 { \pi ^ 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( { \sqrt { 1 + 4 { \pi ^ 2 } } + 2 \pi } \right ) } \approx { 2 1 . 2 6 }
\end {align*} $$

اگر به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا علاقه‌مند هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش محاسبه طول کمان — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی طول کمان در مختصات قائم

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از طول کمان در مختصات قائم

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی طول کمان منحنی پارامتری

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از طول کمان منحنی پارامتری

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی طول کمان در مختصات قطبی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از طول کمان در مختصات قطبی

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی (+)

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 5 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *