مجانب تابع — به زبان ساده

مُجانب در لغت بهمعنی «دور شونده» است و بهخاطر همین، آن را معادل واژه انگلیسی Asymptote قرار دادهاند. در فرهنگ فارسی معین این تعریف برای مجانب آمده است: «در هندسه، خط مستقیمی را مجانب یک منحنی میگویند که چون نقطهای در روی منحنی حرکت کند و به سمت بینهایت رود، فواصل این نقطه از این خط مرتب کم شود و میل به صفر کند». در این آموزش، با انواع مجانبها آشنا شده و نحوه بهدست آوردن آنها را بیان میکنیم.
مجانب چیست؟
مجانب، خط راستی است که منحنی یا خمی در بینهایت به آن نزدیک میشود. شکل زیر، این موضوع را بهخوبی نشان میدهد.
همانطور که میبینیم، فاصله منحنی و مجانب با میل منحنی به بینهایت، کم و کمتر میشود.

انواع مجانبها



مجانب قائم
خط راست $$x=a$$ را مجانب قائم یک منحنی گوییم اگر وقتی $$y$$ به بینهایت میل کند، فاصله منحنی با خط $$x=a$$ به صفر برسد.
به بیان ریاضی، خط قائم $$x=a$$ یک مجانب قائم برای نمودار تابع $$y=f(x)$$ نامیده میشود، اگر یکی از چهار شرط زیر برقرار باشد:
مجانب افقی
خط $$y=b$$ مجانب افقی منحنی است، اگر وقتی $$x$$ به بینهایت (یا منفی بینهایت) میل کند، فاصله منحنی با مقدار ثابت $$b$$ به صفر میل کند.
به بیان ریاضی، خط افقی $$y=b$$، مجانب افقی منحنی $$y=f(x)$$ نامیده میشود، اگر یکی از دو شرط زیر برقرار باشد:
مجانب مایل
خط $$y=mx+c$$، مجانب مایل است، اگر وقتی $$x$$ به بینهایت (یا منفی بینهایت) میل کند، فاصله منحنی و خط به صفر متمایل شود. به عبارت دیگر، خط $$y=mx+c$$، مجانب مایل تابع $$f(x)$$ است، اگر
چند نکته
- یک منحنی، میتواند تعداد نامتناهی مجانب قائم داشته باشد، اما حداکثر دو مجانب افقی دارد.
- مجانبهای افقی، رفتار سمت چپ و راست منحنی را توصیف میکنند.
- اغلب، یک منحنی، با مجانب قائم برخورد نمیکند، در حالی که ممکن است از مجانب افقی عبور کند.
- مجانب افقی، نوعی مجانب مایل است که در آن، $$m=0$$.
مجانب توابع کسری
تابع کسری زیر را در نظر بگیرید:
- مجانبهای قائم منحنی تابع $$y=f(x)$$، مقادیری از $$x$$ خواهد بود که بهازای آنها مخرج برابر با صفر شود.
- منحنی $$y=f(x)$$، حداکثر یک مجانب افقی دارد که بهصورت زیر میتوان آن را تعیین کرد:
- اگر $$m>n$$ (درجه مخرج، بزرگتر از درجه صورت باشد)، آنگاه منحنی $$y=f(x)$$ در $$y=0$$ (یعنی محور $$x$$) یک مجانب افقی خواهد داشت.
- اگر $$m=n$$ (درجه مخرج، برابر با درجه صورت باشد)، آنگاه منحنی تابع $$y=f(x)$$، یگ مجانب افقی در $$y=\dfrac{a_n}{b_m}$$ خواهد داشت.
- اگر $$m<n$$ (درجه صورت بزرگتر از درجه مخرج باشد)، آنگاه منحنی $$y=f(x)$$، هیچ مجانب افقی نخواهد داشت.
- اگر $$n=m+1$$، مجانب مایل تابع را میتوان بهصورت $$mx+c+\dfrac{r(x)}{q(x)}$$ تعیین کرد که در آن، درجه $$r$$ کوچکتر از درجه $$q$$ است. اگر $$x \to \infty$$، میبینیم که همان شرطی که برای وجود مجانب مایل بیان کردیم، برقرار خواهد بود. مجانب مایل را میتوان از تقسیم چندجملهای صورت بر مخرج بهدست آورد.
مجانب توابع رادیکالی
وقتی $$x \to \pm \infty$$، میتوان از هم ارزیهای زیر برای توابع رادیکالی استفاده کرد:
بنابراین، میتوان مجانبها را (در صورت وجود) برای توابعی بهدست آورد که شامل توابع رادیکالی هستند.
مثالهای زیر، برای آشنایی بیشتر با نحوه تعیین مجانبهای توابع، راهگشا خواهد بود.
مثال 1
مجانبهای افقی و قائم تابع زیر را پیدا کنید:
حل: مجانبهای قائم، در مقادیری از $$x$$ واقع هستند که مخرج تابع برابر با صفر شود:
بنابراین، منحنی، دو مجانب قائم در $$x=2$$ و $$x=-2$$ دارد.
مشاهده میکنید که درجه صورت از درجه مخرج بزرگتر است. بنابراین، منحنی، یک مجانب افقی در $$y=0$$ خواهد داشت. منحنی تابع بهصورت زیر است:
حدهای مربوط به تابع، بهصورت زیر هستند:
مثال 2
مجانبهای تابع زیر را بهدست آورید:
حل: از آنجایی که درجه صورت بزرگتر از درجه مخرج است، تابع فوق، مجانب افقی ندارد. اگر بخواهیم مجانب قائم تابع را بهدست آوریم، باید مخرج آن را برابر صفر قرار داده و مقداری را پیدا کنیم که بهازای آن، تابع به بینهایت میل میکند. با توجه به تابع، میبینیم که با $$x \to 1$$، تابع به بینهایت همگرا میشود، در نتیجه، $$x=1$$، مجانب قائم تابع است.
با توجه به اینکه درجه صورت، بهاندازه یک واحد از درجه مخرج بزرگتر است، مجانب مایل وجود دارد. گفتیم که برای بهدست آوردن مجانب مایل تابع، صورت را بر مخرج تقسیم میکنیم. بنابراین، داریم:
با توجه به تقسیم، میتوانیم تابع را بهصورت زیر بنویسیم:
میبینیم که اگر $$x \to \infty$$، کسر صفر شده و تابع به خط $$y=-3x-3$$ میل میکند. شکل زیر میل تابع به مجانب را بهخوبی نشان میدهد. خطوط قرمز رنگ، مجانبهای قائم و مایل تابع هستند.
مثال 3
مجانبهای تابع زیر را بهدست آورید:
حل: طبق همارزی که برای توابع رادیکالی در بینهایت بیان کردیم، داریم:
بنابراین، با میل $$x$$ به بینهایت، به دو مجانب مایل زیر میرسیم:
اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزشهای زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
^^
y = 2/x + 6x^2
چگونه مجانب مایل y را بدست آوریم ؟
ببخشید آقا بعضی توابع هستن در بعضی موارد هستند ک پولینومی اند ولی میبینم کتاب برایش مجانب در نظر گرفته.
آیا توابع پولینومی هم مجانب دارد یا خیر ؟
سلام. ببخشید چطور توی همه موارد برای حد در بی نهایت که مجانب افقی وجود دارد متوجه بشیم که از بالا به مجانب افقی نزدیک میشود تابع یا از پایین مخصوصا در مواردی که مجانب یک عدد حقیقی غیر صفر است؟
سلام من خیلی از فرادرس راضی هستم و به دوستام هم معرفی میکنم من برای کنکور سراسری و ورود به دانشگاه میخونم و بعضی از مطالب سایتتون با اینکه فراتر از کتاب ماست ولی به فهم عمیقم تو ریاضیات خیلی کمک میکنن
سلام محدثه گرامی.
خوشحالیم که این مطلب برایتان مفید بوده است.
شاد و پیروز باشید.
سلام ،میشه به این سوال جواب بدین
تابع اف ایکس مساوی ۴ایکس به توان ۲ +ایکس-۱ به روی خط کسری ایکی به توان ۲-۲ایکس -۳ چند مجانب دارد؟
سلام علی عزیز.
تابع را میتوان اینگونه نوشت:
$$f(x)=\frac{4x^2+x-1}{x^2-2x-3}=\frac{4x^2+x-1}{(x-3)(x+1)}$$
همانطور که میبینیم، در $$ x = 3 $$ و $$ x =-1$$ تابع تعریفنشده است و دو مجانب قائم داریم.
حد تابع، وقتی $$x$$ به بینهایت میرود، برابر با $$4$$ است و بنابراین، یک مجانب افقی نیز داریم.
موفق باشید.
عالی ممنون واقعا
سلام.
سپاس از همراهیتان با مجله فرادرس.
شاد و پیروز باشید.
سلام خسته نباشید
من خیلی دنبال اثبات هم ارزی رادیکالی گشتم اما پیداش نکردم…میشه لطفا شما اثباتش رو بگین????
سلام مجدد.
استاد منظورم مجانب قائم هست.
امکان داره که تابعی مجانب قائم خود رو قطع کنه؟
البته چند ضابطه ای نباشه.
سلام دوباره علی عزیز.
خیر. طبق تعریف مجانب قائم، با نزدیک شدن به نقطه خاص $$x_0$$، اندازه تابع به بینهایت میرود و در واقع، $$f(x)$$ در $$x_0$$ تعریف نشده است.
موفق باشید.
سلام.آیا تابعی میتونه مجانب خودش رو قطع کنه؟
اگر وجود داره لطفا مثال هم بزنید.
سلام.
بله، این امکان وجود دارد. برای مثال، تابع $$\frac {\sin x }{x} $$ وقتی $$ x \to \infty $$ دارای مجانب $$ y = 0 $$ است که بارها خود تابع را قطع میکند.
سالم و موفق باشید.
سلام ببخشید چطور ثابت کنیم یک تابع حداکثر دو مجانب افقی داریم؟
سلام.
از برهان خلف میتوانید کمک بگیرید. فرض کنید تابع $$f(x)$$ بیش از دو مجانب افقی داشته باشد. در این صورت،
باید علاوه بر $$ \lim _{x\to \infty} f (x)=a $$ و $$ \lim _{x\to – \infty} f (x)=b $$ حداقل یکی از دو تساوی $$ \lim _{x\to \infty} f (x)=c $$ یا $$ \lim _{x\to – \infty} f (x)=d $$ را داشته باشیم. این یعنی اینکه وقتی $$x$$ به $$-\infty$$ یا $$\infty$$ میل کند، دو مقدار متفاوت خواهیم داشت که با تعریف تابع تناقض دارد. بنابراین، فرض غلط است و یک تابع میتواند حداکثر دو مجانب افقی داشته باشد.
موفق باشید.
از اینکه در گسترش دانش فعالیت می کنید از شما سپاسگزاری می کنم .پرتوتن باشید ..
سلام.
خوشحالیم که این مطلب برایتان مفید بوده است.
سپاس از همراهیتان.
سلام خسته نباشید
آیا تابع میتونه روی مجانب افقی کاملا منطبق باشه؟
یا یه تابع خطی آیا مجانب مایل داره؟