در ادامه مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، در این آموزش به مبحث انحنا و شعاع انحنا می‌پردازیم. در ادامه، ابتدا انحنا را تعریف می‌کنیم، سپس نحوه به دست آوردن شعاع انحنا را بیان خواهیم کرد.

تعریف انحنا و شعاع انحنا

یک منحنی مسطح را در نظر بگیرید که با معادله $$ y = f (x) $$ داده شده است. فرض کنید خط مماس بر منحنی در نقطه $$ M(x , y ) $$ رسم شده باشد. خط مماس، زاویه $$ \alpha $$ را با محور افقی می‌سازد (شکل ۱).

شکل ۱
شکل ۱

با جابجایی $$ \Delta s $$ در طول کمان منحنی، نقطه $$M$$ به سمت نقطه $$ M_1 $$ حرکت خواهد کرد. در این صورت، موقعیت خط مماس نیز تغییر می‌کند؛ زاویه شیب خط مماس بر نقطه $$M_1$$ و محور مثبت $$x$$، $$ \alpha + \Delta\alpha $$ خواهد بود. بنابراین، با حرکت نقطه به اندازه $$ \Delta s $$، خط مماس به اندازه $$ \Delta \alpha $$ می‌چرخد (فرض شده که وقتی جهت حرکت زاویه $$ \alpha $$ پادساعتگرد باشد، افزایشی خواهد بود.)

قدر مطلق نسبت $$ \large\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta s}}\normalsize $$ انحنا یا خمیدگی متوسط کمان $$MM_1 $$ نامیده می‌شود. با حد $$ \Delta s \to 0 $$، انحنای منحنی در نقطه $$M$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large K = \lim \limits _ { \Delta s \to 0 } \left | { \frac { { \Delta \alpha } } { { \Delta s } } } \right | . $$

با توجه به تعریف بالا، انحنای منحنی در یک نقطه، سرعت چرخش خط مماس بر منحنی را در این نقطه نشان می‌دهد.

برای یک منحنی مسطح با معادله $$ y = f (x) $$، انحنا در نقطه $$M(x , y ) $$ بر حسب مشتق‌های اول و دوم تابع $$ f (x) $$ و با فرمول زیر بیان می‌شود:‌

$$ \large K = \frac { { \left | { y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ \left ( x \right ) } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . $$

اگر منحنی به فرم پارامتری و با معادلات $$ x = x (t) $$ و $$ y = y (t) $$ تعریف شده باشد، آنگاه انحنا در نقطه $$ M(x , y ) $$ با رابطه زیر تعیین می‌شود:

$$ \large K = \frac { { \left | { x ’ y ^ { \prime \prime } – y ’ x ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { { { \left ( { x ’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . $$

اگر منحنی در مختصات قطبی و با معادله $$ r = r\left( \theta \right) $$ تعریف شده باشد، انحنا را می‌توان با فرمول زیر محاسبه کرد:

$$ \large K = \frac { { \left | { { r ^ 2 } + 2 { { \left ( { r ’ } \right ) } ^ 2 } – r r ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { { r ^ 2 } + { { \left ( { r ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . $$

شعاع انحنای یک منحنی در نقطه $$M(x,y) $$، وارون یا معکوس انحنای $$K$$ نامیده می‌شود:

$$ \large R = \frac { 1 } { K } . $$

بنابراین، برای منحنی‌های مسطحی که با معادله صریح $$ y = f (x) $$ داده شده‌اند، شعاع انحنا در نقطه $$M(x,y ) $$ با عبارت زیر بیان می‌شود:

$$ \large R = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ \left ( x \right ) } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } \right | } } . $$

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را بیان می‌کنیم.

مثال ۱

انحنا و رئوس بیضی زیر را محاسبه کنید.

 $$ \large \frac { { { x ^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } + \frac { { { y ^ 2 } } } { { { b ^ 2 } } } = 1 $$

حل: کافی است انحنا را در نقاط $$ A (a , 0 )$$ و $$ B(0,b) $$ به دست آوریم (شکل ۲)، زیرا با توجه به تقارن منحنی، انحنا در دو رأس مخالف بیضی با هم برابر است.

شکل ۲
شکل ۲

برای محاسبه انحنا، نوشتن فرم پارامتری بیضی محاسبات را ساده‌تر خواهد کرد:

$$ \large x = a \cos t , \; \; \; y = b \sin t $$

که در آن، $$t$$‌ یک پارامتر است. مقدار پارامتر در نقطه $$ A (a,0)$$ برابر با $$ t =0 $$ و در نقطه $$ B( 0 , b ) $$ برابر با $$ t = \large\frac{\pi }{2}\normalsize $$ است.

مشتق اول و دوم معادلات به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
x ’ & = { x ’ _ t } = { \left ( { a \cos t } \right ) ^ \prime } = – a \sin t , \; \; \; \kern-0.3pt \\
x ^ { \prime \prime } & = { x ^ { \prime \prime } _ { t t } } = { \left ( { – a \sin t } \right ) ^ \prime } = { – a \cos t ; } \\
y ’ & = { y ’ _ t } = { \left ( { b \sin t } \right ) ^ \prime } = b \cos t , \; \; \; \kern-0.3pt \\
x ^ { \prime \prime } & = { x ^ { \prime \prime } _ { t t } } = { \left ( { b \cos t } \right ) ^ \prime } = – b \sin t .
\end {align*} $$

انحنای یک منحنی که با فرم پارامتری توصیف شده، به صورت زیر است:

$$ \large K = \frac { { \left | { x ’ y ^ { \prime \prime } – y ’ x ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { { { \left ( { x ’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . $$

با جایگذاری مشتق‌ها در رابطه اخیر، داریم:

$$ \large \begin {align*}
K & = { \frac { { \left | { a b \, { { \sin } ^ 2 } t + a b \, { { \cos } ^ 2 } t } \right | } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { \left | { a b \left ( { { { \sin } ^ 2 } t + { { \cos } ^ 2 } t } \right ) } \right | } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } \right ) } ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { a b } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . }
\end {align*} $$

اکنون مقادیر انحنا را در رئوس $$ A (a , 0 ) $$ و $$ B (0 , b ) $$ محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
K \left ( A \right ) & = K \left ( { t = 0 } \right ) = { \frac { { a b } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } 0 + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } 0 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { a b } } { { { { \left ( { { b ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { a b } } { { { b ^ 3 } } } } = { \frac { a }{ { { b ^ 2 } } } ; } \\
K \left ( B \right ) & = K \left ( { t = \frac { \pi } { 2 } } \right ) = { \frac { { a b } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } \frac { \pi } { 2 } + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } \frac { \pi } { 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { a b } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { a b } } { { { a ^ 3 } } } } = { \frac { b } { { { a ^ 2 } } } . }
\end {align*} $$

مثال ۲

انحنا و شعاع انحنای سهمی $$ y = x ^ 2 $$ را در مبدأ محاسبه کنید.

حل:‌ ابتدا مشتقات تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large { y ’ = { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } = 2 x ; } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { 2 x } \right ) ^ \prime } = 2 .} $$

انحنای سهمی با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { K = \frac { { y ^ { \prime \prime } } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { 2 } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { 2 x } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { 2 } { { { { \left ( { 1 + 4 { x ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . } $$

بنابراین، انحنا و شعاع آن در مبدأ ($$ x = 0 $$) به ترتیب، برابرند با:

$$ \large { K \left ( { x = 0 } \right ) = \frac { 2 } { { { { \left ( { 1 + 4 \cdot { 0 ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = 2 , } \; \; \; \kern-0.3pt { R = \frac { 1 } { K } = \frac { 1 } { 2 } . } $$

مثال ۳

انحنا و شعاع انحنای منحنی $$ y = \cos mx $$ را در نقطه ماکزیمم آن به دست آورید.

حل: این تابع، در نقطه $$ x = {\large\frac{{2\pi n}}{m}\normalsize} $$ به مقدار ماکزیممش می‌رسد که $$ n \in Z $$ است. با توجه به متناوب بودن تابع، انحنا در تمام نقاط ماکزیمم مشابه است. بنابراین، کافی است فقط نقطه $$ x =0 $$ را بررسی کنیم.

مشتق‌های تابع به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}
y ’ & = { \left ( { \cos m x } \right ) ^ \prime } = – m \sin m x , \\ \; \; \; \kern-0.3pt y ^ { \prime \prime } & = \left ( { – m \sin m x } \right ) ^ \prime = { – { m ^ 2 } \cos m x . }
\end {align*} $$

در نتیجه، انحنای این منحنی برابر است با:‌

$$ \large \begin {align*}
K & = \frac { { \left | { y ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = { \frac { { \left | { – { m ^ 2 } \cos m x } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { – m \sin m x } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { \left | { – { m ^ 2 } \cos m x } \right | } } { { { { \left ( { 1 + { m ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } m x } \right ) } ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } } } . }
\end {align*} $$

در نقطه ماکزیمم $$ x = 0$$، انحنا و شعاع آن، به ترتیب، برابرند با:

$$ \large { { K \left ( { x = 0 } \right ) = \frac { { { m ^ 2 } } } { { { { \left ( { 1 + { m ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } 0 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = { m ^ 2 } , } } \; \; \; \kern-0.3pt { { R = \frac { 1 } { K } = \frac { 1 } { { { m ^ 2 } } } . } } $$

مثال ۴

انحنا و شعاع انحنای منحنی تابع $$ y = \sqrt x $$ را در $$ x = 1 $$ محاسبه کنید.

حل: مشتقات تابع رادیکالی به صورت زیر هستند:‌

$$ \large \begin {align*}
y ’ & = { \left ( { \sqrt x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 }{ { 2 \sqrt x } } , \\ \; \; \; \kern-0.3pt y ^ { \prime \prime } & = { \left ( { \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( {\frac { 1 } { 2 } { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { – \frac { 1 } {4 } { x ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } = { – \frac { 1 } { { 4 \sqrt { { x ^ 3 } } } } .}
\end {align*} $$

انحنای منحنی با رابطه زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
\require {cancel} K & = \frac { { \left | { y ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = { \frac { { \left | { – \frac { 1 } { { 4 \sqrt { { x ^ 3 } } } } } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { \frac { 1 } { { 4 \sqrt { { x ^ 3 } } } } } } { { { { \left ( {1 + \frac { 1 }{ { 4 x } } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { \frac { 1 } { { 4 \sqrt { { x ^ 3 } } } } } } { { { { \left ( { \frac { { 4 x + 1 } } { { 4 x } } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { { 4 ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } \cancel { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { 4 \cancel { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } { { \left ( { 4 x + 1 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { 2 } { { { { \left ( { 4 x + 1 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . }
\end {align*} $$

در نقطه $$ x = 1 $$، مقادیر زیر برای انحنا و شعاع انحنا به دست می‌آید:‌

$$ \large \begin {align*}
K ( x & = 1 ) = \frac { 2 } { { { { \left ( { 4 \cdot 1 + 1 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = \frac { 2 } { { 5 \sqrt 5 } } , \; \; \; \kern-0.3pt \\ R ( x & = 1 ) = \frac { 1 }{ K } = \frac { { 5 \sqrt 5 } } { 2 } .
\end {align*} $$

مثال ۵

منحنی با معادله $$ {y^2} + {x^3} = 0 $$ را در نظر بگیرید. انحنای آن را در نقطه $$ ( -1 , 1 ) $$ به دست آورید.

حل: ابتدا مشتق ضمنی این تابع را می‌نویسیم:

$$ \large \begin {align*}
{ y ^ 2 } + { x ^ 3 } = 0 , \; \; \Rightarrow { { \left ( { { y ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } = 0 , \; \; } \\ \Rightarrow { 3 { x ^ 2 } + 2 y y ’ = 0 , \; \; } \Rightarrow { y ’ = – \frac { { 3 { x ^ 2 } } } { { 2 y } } . }
\end {align*} $$

به طریق مشابه، مشتق دوم را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
3 { x ^ 2 } + 2 y y ’ = 0 , \; \; & \Rightarrow { { \left ( { 3 { x ^ 2 } + 2 y y ’ } \right ) ^ \prime } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { 6 x + 2 { \left ( { y ’ } \right ) ^ 2 } + 2 y y ^ { \prime \prime } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { y y ^ { \prime \prime } + { \left ( { y ’ } \right ) ^ 2 } + 3 x = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { y ^ { \prime \prime } = – \frac { { { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } + 3 x } } { y } .}
\end {align*} $$

با جایگذاری رابطه مشتق اول در رابطه اخیر، داریم:‌

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } & = – \frac { { { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } + 3 x } } { y } = { – \frac { { { { \left ( { – \frac { { 3 { x ^ 2 } } } { { 2 y } } } \right ) } ^ 2 } + 3 x } } { y } } \\ & = { – \frac { { \frac { { 9 { x ^ 4 } } } { { 4 { y ^ 2 } } } + 3 x } } { y } } = { – \frac { { 9 { x ^ 4 } + 1 2 x { y ^ 2 } } } { { 4{ y ^ 3 } } } . }
\end {align*} $$

اکنون مقادیر مشتق‌ها را در نقطه $$ \left( { – 1,1} \right) $$ محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
y ’ \left ( { – 1 , 1 } \right ) & = – \frac { { 3 \cdot { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ 2 } } } { { 2 \cdot 1 } } = – \frac { 3 } { 2 } , \\
y ^ { \prime \prime } \left ( { – 1 , 1 } \right ) & = \kern0pt { – \frac { { 9 \cdot { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ 4 } + 1 2 \cdot \left ( { – 1 } \right ) \cdot { 1 ^ 2 } } } { { 4 \cdot { 1 ^ 3 } } } } = { \frac { 3 } { 4 } . }
\end {align*} $$

در نتیجه، انحنای منحنی در نقطه $$ (-1 , 1)$$ برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
K & = \frac { { \left | { y ^ { \prime \prime } } \right | } }{ { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = { \frac { { \frac { 3 } { 4 } } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { – \frac { 3 }{ 2 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { \frac { 3 } { 4 } } }{ { { { \left ( { 1 + \frac { 9 } { 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { 3 } { 4 } \cdot \frac { { { 4 ^ {\large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { { {1 3 } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { 6 } { { { { 1 3 } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } \approx 0.128 . }
\end {align*} $$

مثال ۶

انحنای دل‌وار $$ r = a\left( {1 + \cos \theta } \right) $$ را در $$ \theta = 0 $$ محاسبه کنید.

حل: برای محاسبه انحنای منحنی، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large K = \frac { { \left | { { r ^ 2 } + 2 { { \left ( { r ’ } \right ) } ^ 2 } – r r ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { { r ^ 2 } + { { \left ( { r ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . $$

مشتق‌های منحنی قطبی برابرند با:

$$ \large \begin {align*}
r ’ & = { \left [ { a \left ( { 1 + \cos \theta } \right ) } \right ] ^ \prime } = – a \sin \theta , \\ \; \; \; \kern-0.3pt r ^ { \prime \prime } & = { \left ( { – a \sin \theta } \right ) ^ \prime } = – a \cos \theta .
\end {align*} $$

با جایگذاری مشتق‌های بالا در معادله انحنا و کمی ساده‌سازی، داریم:

$$ \large { K } = { \frac { 3 } { { { 2 ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } a { { \left ( { 1 + \cos \theta } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } } . } $$

بنابراین، وقتی $$ \theta = 0 $$ باشد، منحنی دل‌وار برابر خواهد بود با:

$$ \large { K \left ( { \theta = 0 } \right ) } = { \frac { 3 } { { { 2 ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } a { { \left ( { 1 + \cos \theta } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { 3 } { { { 2 ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } { 2 ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } a } } } = { \frac { 3 } { { 4 a } } . } $$

مثال ۷

انحنای دل‌وار $$ r = a\left( {1 + \cos \theta } \right) $$ را در $$ \theta = 0 $$ به دست آورید.

حل: شعاع انحنای منحنی پارامتری با فرمول زیر قابل محاسبه است:

$$ \large R = \frac { { { { \left [ { { { \left ( { x ’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { x ’ y ^ { \prime \prime } – y ’ x ^ { \prime \prime } } \right | } } . $$

مشتق‌ها به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$ \large \begin {align*}
x ’ & = { \left [ { a \left ( { t – \sin t } \right ) } \right ] ^ \prime } = a \left ( { 1 – \cos t } \right ) , \\ \; \; \; \kern-0.3pt x ^ { \prime \prime } & = { \left [ { a \left ( { 1 – \cos t } \right ) } \right ] ^ \prime } = a \sin t , \\
y ’ & = { \left [ { a \left ( { 1 – \cos t } \right ) } \right ] ^ \prime } = a \sin t , \; \; \; \kern-0.3pt \\ y ^ { \prime \prime } & = { \left ( { a \sin t } \right ) ^ \prime } = a \cos t .
\end {align*} $$

با جایگذاری مشتقات بالا در معادله شعاع انحنا، داریم:

$$ \large \begin {align*}
R & = { \frac { { { { \left [ { 2 { a ^ 2 } \left ( { 1 – \cos t } \right ) } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { { a ^ 2 } \left ( { \cos t – 1 } \right ) } \right | } } } = { \frac { { { 2 ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } { a ^ 3 } { { \left ( { 1 – \cos t } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { { a ^ 2 } \left ( { 1 – \cos t } \right ) } } } \\ & = { { 2 ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } a { \left ( { 1 – \cos t } \right ) ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } = { { 2 ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } a \cdot { \left ( { 2 { { \sin } ^ 2 } \frac { t } { 2 } } \right ) ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \\ & = { 4 a { \left ( { { { \sin } ^ 2 } \frac { t } { 2 } } \right ) ^ { \large \frac { 1 } {2 } \normalsize } } . }
\end {align*} $$

کمان اول چرخ‌زاد، یعنی بازه $$ 0 \le t \le 2\pi $$ را در نظر می‌گیریم. شعاع انحنای چرخ‌زاد به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large R = 4 a \sin \frac { t } { 2 } . $$

با توجه به رابطه بالا، مشاهده می‌کنیم که حداکثر شعاع انحنا در $$ t = \pi $$ رخ می‌دهد و مقدار آن برابر است با $$ {R_{\max }} = 4a $$.

 مثال ۸

انحنای منحنی $$ y = \arctan x $$ را در نقاط $$ x = 0 $$ و بی‌نهایت محاسبه کنید.

حل: مشتقات تابع $$ y = \arctan x $$ به صورت زیر هستند:

$$ \large y ’ = { \left ( { \arctan x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } , \; \; \; \kern-0.3pt \\ \large { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } } = { – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } .}
$$

انحنای منحنی معکوس تانژانت به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
K & = \frac { { \left | { y ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = { \frac { { \left | { – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } } { { { { \left [ { \frac { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + 1 } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { 2 x { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ \cancel { 3 } } } } { { { \cancel { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } { { \left [ { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + 1 } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { 2 x \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } } { { { { \left [ { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + 1 } \right ] } ^ { \large \frac {3 } {2 } \normalsize } } } } . }
\end {align*} $$

همانطور که می‌بینیم، در نقطه $$ x = 0 $$، انحنا صفر است:

$$ \large K \left ( 0 \right ) = { K _ 0 } = 0 $$

در این حالت، نقطه $$ x = 0 $$، نقطه عطف تابع $$ y = \arctan x $$ نامیده می‌شود. از آنجایی که مشتق دوم در هر نقطه عطفی برابر با صفر است، انحنا نیز باید برابر با صفر باشد.

اکنون مقدار انحنای $$ {K_{\infty}} $$ را برای حد $$ x \to \infty $$ محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
{ K _ \infty } & = \lim \limits _ { x \to \infty } K \left ( x \right ) = { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 2 x \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } } { { { { \left [ { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } + 1 } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { 2 { x ^ 3 } + 2 x } } { { { { \left ( { { x ^ 4 } + 2 { x ^ 2 } + 2 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { \frac { { 2 { x ^ 3 } + 2 x } } { { { x ^ 6 } } } } }{{ \frac { { { { \left ( { { x ^ 4 } + 2 { x ^ 2 } + 2 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { { x ^ 6 } } } } } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } + \frac { 2 } { { { x ^ 5 } } } } } { { { { \left ( { \frac { { { x ^ 4 } + 2 { x ^ 2 } + 2 } } { { { x ^ 4 } } } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \lim \limits _ { x \to \infty } \frac { { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } + \frac { 2 } { { { x ^ 5 } } } } } { { { { \left ( { 1 + \frac { 2 } { { { x ^ 2 } } } + \frac { 2 } { { { x ^ 4 } } } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { 0 } { 1 } = 0 . }
\end {align*} $$

بنابراین، انحنای منحنی معکوس تانژانت در بی‌نهایت نیز به صفر میل می‌کند. این بدین معنی است که مقدار ماکزیمم انحنا در مقادیر میانی $$ x $$ رخ می‌دهد.

مثال ۹

کوچکترین شعاع انحنای تابع نمایی $$ y = e ^ x $$ را به دست آورید.

حل: تابع نمایی $$ y = e ^ x $$ تنها تابعی است که مشتق‌های آن برابر با خود تابع هستند. بنابراین، می‌توانیم به سادگی فرمول زیر را برای انحنای منحنی بنویسیم:

$$ \large { K = \frac { { \left | { y ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { { e ^ x } } } { { { { \left ( { 1 + { e ^ { 2 x } }} \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . } $$

می‌توان از علامت قدر مطلق در صورت کسر رابطه بالا چشم پوشید، زیرا تابع نمایی همیشه مثبت است.

شعاع انحنا برابر است با:‌

$$ \large R = \frac { 1 } { K } = \frac { { { { \left ( { 1 + { e ^ { 2 x } } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { { e ^ x } } } . $$

مقدار $$R$$ به مختصه $$x$$ بستگی دارد. بنابراین، $$R$$ تابعی از $$x $$ است و می‌توانیم مقادیر اکسترمم آن را با مشتق‌گیری به دست آوریم:

$$ \large \begin {align*}
R ’ \left ( x \right ) & = { \left [ { \frac { { { { \left ( { 1 + { e ^ { 2 x } } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { {{ e ^ x } } } } \right ] ^ \prime } \\ & = { \frac { { { e ^ x } { { \left ( { 1 + { e ^ { 2 x } } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } \left [ { 3 { e ^ { 2 x } } – \left ( { 1 + { e ^ { 2 x } } } \right ) } \right ] } } { { { e ^ { 2 x } } } } } \\ & = { \frac { { { { \left ( { 1 + { e ^ { 2 x } } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } \left ( { 2 { e ^ { 2 x } } – 1 } \right ) } }{ { { e ^ x } } } . }
\end {align*} $$

تابع $$ R (x) $$ فقط یک نقطه بحرانی دارد:

$$ \large \begin {align*}
& R ’ \left ( x \right ) = 0 , \; \; \Rightarrow { 2 { e ^ { 2x } } – 1 = 0 , \; \; } \Rightarrow { { e ^ { 2 x } } = \frac { 1 } { 2 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { 2 x = \ln \frac { 1 } { 2 } = – \ln 2 , \; \; } \Rightarrow { x = – \frac { { \ln 2 } } { 2 } \approx – 0.35 . }
\end {align*} $$

مشتق $$ R^\prime\left( x \right) $$ در سمت راست نقطه بحرانی منفی و در سمت راست آن مثبت است. بنابراین، این نقطه یک مینیمم برای تابع $$ R(x ) $$ است. در این نقطه، تابع نمایی دارای یک شعاع انحنای کمینه است که به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
{ R _ { \min } } & = R \left ( { – \frac { { \ln 2 } } { 2 } } \right ) = { \frac { { { { \left [ { 1 + { e ^ { 2 \cdot \left ( { – \large \frac { { \ln 2 } } { 2 } \normalsize } \right ) } } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { {e ^ { – \large \frac { { \ln 2 } } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { { { \left [ { 1 + { e ^ { \ln \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } } } { { { e ^ { \ln \large \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } \normalsize } } } } } = { \frac { { { { \left ( { 1 + \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } } } } = { \sqrt 2 { \left ( { \frac { 3 } { 2 } } \right ) ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } \approx 2.60 . }
\end {align*} $$

مثال ۱۰

کمینه شعاع انحنای سهمی مرتبه سوم $$ y = {x^3} $$ را محاسبه کنید.

حل: مشتق‌های تابع به صورت زیر هستند:‌

$$ \large { y ’ = { \left ( { { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } = 3 { x ^ 2 } , } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { 3 { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } = 6 x } $$

شعاع منحنی تابع با رابطه زیر به دست می‌آید:‌

$$ \large { R = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { y ^ { \prime \prime } } \right | } } } = { \frac { { {{ \left [ { 1 + { { \left ( { 3 { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } } } { { \left | { 6 x } \right | } } } = { \frac { { { { \left ( { 1 + 9 { x ^ 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { 6 x } \right | } } . } $$

سهمی مکعب داده شده حول مبدأ متقارن است. به همین دلیل، بخشی از آن را در نظر می‌گیریم که $$ x > 0 $$ است. بنابراین، با حذف علامت قدر مطلق، مقدار $$R$$ را به صورت تابعی از $$x $$ می‌نویسیم:

$$ \large R \left ( x \right ) = \frac { { { { \left ( { 1 + 9 { x ^ 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } }{ { 6 x } } . $$

حال مشتق شعاع انحنا را می‌نویسیم:‌

$$ \large \begin {align*}
R ’ \left ( x \right ) & = { \left [ { \frac { { { { \left ( { 1 + 9 { x ^ 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } }} { { 6 x } } } \right ] ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { { { \left ( { 1 + 9 { x ^ 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } } \right ) } ^ \prime } 6 x – { { \left ( { 1 + 9 { x ^ 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } { { \left ( { 6 x } \right ) } ^ \prime } } } { { 3 6 { x ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { 6 { { \left ( { 1 + 9 { x ^ 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } \left [ { 5 4 { x ^ 4 } – \left ( { 1 + 9 { x ^ 4} } \right ) } \right ] } } { { 3 6 { x ^ 2 } } } } = { \frac { { { { \left ( { 1 + 9 { x ^ 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } \left ( { 4 5 { x ^ 4 } – 1 } \right ) } } { { 6 { x ^ 2 } }} . }
\end {align*} $$

در $$ x > 0 $$ تابع فقط یک نقطه بحرانی دارد. محاسبات، منجر به نتیجه زیر می‌شود:‌

$$ \large { 4 5 { x ^ 4 } – 1 = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x ^ 4 } = \frac { 1 } { { 4 5 } } , \; \; } \Rightarrow { x = \frac { 1 }{ { \sqrt [ \large 4 \normalsize ] { { 4 5 } } } } \approx 0.39 . } $$

وقتی از این نقطه بگذریم، $$ R’\left( x \right) $$ از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد. بنابراین، این نقطه متناظر با کوچکترین شعاع انحنا است. مقدار تقریبی این شعاع برابر است با:‌

 $$ \large \begin {align*}
y ’ \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 4 \normalsize ]{ { 4 5 } } } } } \right ) & = 3 \cdot { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 4 \normalsize ] { { 4 5 } } } } } \right ) ^ 2 } = \frac { 3 } { { \sqrt { 4 5 } } } , \; \; \; \kern-0.3pt \\ y ^ { \prime \prime } \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 4 \normalsize ]{ { 4 5 } } } } } \right ) & = \frac { 6 } { { \sqrt [ \large 4 \normalsize ] { { 4 5 } } } }
\end {align*} $$

$$ \large \begin {align*}
\Rightarrow { R _ { \min } } & = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { y ^ { \prime \prime } } \right | } } = { \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { \frac { 3 } { { \sqrt { 4 5 } } } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 6 } { { \sqrt [ \large 4 \normalsize ] { { 4 5 } } } } } } } \\ & = { \frac { { { { \left ( { 1 + \frac { 9 } { { 4 5 } } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 6 } { { \sqrt [ \large 4 \normalsize ] { { 4 5 } } } } } } } = { { \left ( { \frac { { 5 4 } } { { 45 } } } \right ) ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } \cdot \frac { { \sqrt [ \large 4 \normalsize ]{ { 4 5 } } } } { 6 } } \\ & = { \frac { { { 2 ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } \cdot { { \left ( { { 3 ^ 3 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } \cdot { 5 ^ { \large \frac { 1 } { 4 } \normalsize } } \cdot { { \left ( { { 3 ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 4 } \normalsize } } } } { { { { \left ( { { 3 ^ 3 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } \cdot { 5 ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } \cdot 2 \cdot 3 } } } \\ & = { \frac { { { 2 ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } \cdot 3 } } { { { 5 ^ { \large \frac { 5 } { 4 } \normalsize } } } } } = {  \approx 0.5 7 . }
\end {align*} $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 16 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

3 نظر در “انحنا و شعاع انحنا — به زبان ساده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *