انحنا و شعاع انحنا – به زبان ساده

تعریف انحنا و شعاع انحنا

خط مماس، زاویه $$\alpha$$ را با محور افقی می‌سازد (شکل ۱).

با جابجایی $$\Delta s$$ در طول کمان منحنی، نقطه $$M$$ به سمت نقطه $$M_1$$ حرکت خواهد کرد. در این صورت، موقعیت خط مماس نیز تغییر می‌کند؛ زاویه شیب خط مماس بر نقطه $$M_1$$ و محور مثبت $$x$$، $$\alpha + \Delta\alpha$$ خواهد بود. بنابراین، با حرکت نقطه به اندازه $$\Delta s$$، خط مماس به اندازه $$\Delta \alpha$$ می‌چرخد (فرض شده که وقتی جهت حرکت زاویه $$\alpha$$ پادساعتگرد باشد، افزایشی خواهد بود.)

$$\large K = \lim \limits _ { \Delta s \to 0 } \left | { \frac { { \Delta \alpha } } { { \Delta s } } } \right | .$$

با توجه به تعریف بالا، انحنای منحنی در یک نقطه، سرعت چرخش خط مماس بر منحنی را در این نقطه نشان می‌دهد.

$$\large K = \frac { { \left | { y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ \left ( x \right ) } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } .$$

$$\large K = \frac { { \left | { x ’ y ^ { \prime \prime } – y ’ x ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { { { \left ( { x ’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } .$$

$$\large K = \frac { { \left | { { r ^ 2 } + 2 { { \left ( { r ’ } \right ) } ^ 2 } – r r ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { { r ^ 2 } + { { \left ( { r ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } .$$

شعاع انحنای یک منحنی در نقطه $$M(x,y)$$، وارون یا معکوس انحنای $$K$$ نامیده می‌شود:

$$\large R = \frac { 1 } { K } .$$

بنابراین، برای منحنی‌های مسطحی که با معادله صریح $$y = f (x)$$ داده شده‌اند، شعاع انحنا در نقطه $$M(x,y )$$ با عبارت زیر بیان می‌شود:

$$\large R = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ \left ( x \right ) } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } \right | } } .$$

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را بیان می‌کنیم.

مثال ۱

 $$\large \frac { { { x ^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } + \frac { { { y ^ 2 } } } { { { b ^ 2 } } } = 1$$

حل: کافی است انحنا را در نقاط $$A (a , 0 )$$ و $$B(0,b)$$ به دست آوریم (شکل ۲)، زیرا با توجه به تقارن منحنی، انحنا در دو رأس مخالف بیضی با هم برابر است.

برای محاسبه انحنا، نوشتن فرم پارامتری بیضی محاسبات را ساده‌تر خواهد کرد:

$$\large x = a \cos t , \; \; \; y = b \sin t$$

که در آن، $$t$$‌ یک پارامتر است. مقدار پارامتر در نقطه $$A (a,0)$$ برابر با $$t =0$$ و در نقطه $$B( 0 , b )$$ برابر با $$t = \large\frac{\pi }{2}\normalsize$$ است.

مشتق اول و دوم معادلات به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} x ’ & = { x ’ _ t } = { \left ( { a \cos t } \right ) ^ \prime } = – a \sin t , \; \; \; \kern-0.3pt \\ x ^ { \prime \prime } & = { x ^ { \prime \prime } _ { t t } } = { \left ( { – a \sin t } \right ) ^ \prime } = { – a \cos t ; } \\ y ’ & = { y ’ _ t } = { \left ( { b \sin t } \right ) ^ \prime } = b \cos t , \; \; \; \kern-0.3pt \\ x ^ { \prime \prime } & = { x ^ { \prime \prime } _ { t t } } = { \left ( { b \cos t } \right ) ^ \prime } = – b \sin t . \end {align*}$$

انحنای یک منحنی که با فرم پارامتری توصیف شده، به صورت زیر است:

$$\large K = \frac { { \left | { x ’ y ^ { \prime \prime } – y ’ x ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { { { \left ( { x ’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } .$$

با جایگذاری مشتق‌ها در رابطه اخیر، داریم:

$$\large \begin {align*} K & = { \frac { { \left | { a b \, { { \sin } ^ 2 } t + a b \, { { \cos } ^ 2 } t } \right | } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { \left | { a b \left ( { { { \sin } ^ 2 } t + { { \cos } ^ 2 } t } \right ) } \right | } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } \right ) } ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { a b } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . } \end {align*}$$

اکنون مقادیر انحنا را در رئوس $$A (a , 0 )$$ و $$B (0 , b )$$ محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} K \left ( A \right ) & = K \left ( { t = 0 } \right ) = { \frac { { a b } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } 0 + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } 0 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { a b } } { { { { \left ( { { b ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { a b } } { { { b ^ 3 } } } } = { \frac { a }{ { { b ^ 2 } } } ; } \\ K \left ( B \right ) & = K \left ( { t = \frac { \pi } { 2 } } \right ) = { \frac { { a b } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } \frac { \pi } { 2 } + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } \frac { \pi } { 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { a b } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { a b } } { { { a ^ 3 } } } } = { \frac { b } { { { a ^ 2 } } } . } \end {align*}$$

مثال ۲

انحنا و شعاع انحنای سهمی $$y = x ^ 2$$ را در مبدأ محاسبه کنید.

حل:‌ ابتدا مشتقات تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large { y ’ = { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } = 2 x ; } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { 2 x } \right ) ^ \prime } = 2 .}$$

$$\large { K = \frac { { y ^ { \prime \prime } } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { 2 } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { 2 x } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { 2 } { { { { \left ( { 1 + 4 { x ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . }$$

بنابراین، انحنا و شعاع آن در مبدأ ($$x = 0$$) به ترتیب، برابرند با:

$$\large { K \left ( { x = 0 } \right ) = \frac { 2 } { { { { \left ( { 1 + 4 \cdot { 0 ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = 2 , } \; \; \; \kern-0.3pt { R = \frac { 1 } { K } = \frac { 1 } { 2 } . }$$

مثال ۳

حل: این تابع، در نقطه $$x = {\large\frac{{2\pi n}}{m}\normalsize}$$ به مقدار ماکزیممش می‌رسد که $$n \in Z$$ است. با توجه به متناوب بودن تابع، انحنا در تمام نقاط ماکزیمم مشابه است. بنابراین، کافی است فقط نقطه $$x =0$$ را بررسی کنیم.

مشتق‌های تابع به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} y ’ & = { \left ( { \cos m x } \right ) ^ \prime } = – m \sin m x , \\ \; \; \; \kern-0.3pt y ^ { \prime \prime } & = \left ( { – m \sin m x } \right ) ^ \prime = { – { m ^ 2 } \cos m x . } \end {align*}$$

در نتیجه، انحنای این منحنی برابر است با:‌

$$\large \begin {align*} K & = \frac { { \left | { y ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = { \frac { { \left | { – { m ^ 2 } \cos m x } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { – m \sin m x } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { \left | { – { m ^ 2 } \cos m x } \right | } } { { { { \left ( { 1 + { m ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } m x } \right ) } ^ { \large \frac { 3 }{ 2 } \normalsize } } } } . } \end {align*}$$

در نقطه ماکزیمم $$x = 0$$، انحنا و شعاع آن، به ترتیب، برابرند با:

$$\large { { K \left ( { x = 0 } \right ) = \frac { { { m ^ 2 } } } { { { { \left ( { 1 + { m ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } 0 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = { m ^ 2 } , } } \; \; \; \kern-0.3pt { { R = \frac { 1 } { K } = \frac { 1 } { { { m ^ 2 } } } . } }$$

مثال ۴

انحنا و شعاع انحنای منحنی تابع $$y = \sqrt x$$ را در $$x = 1$$ محاسبه کنید.

حل: مشتقات تابع رادیکالی به صورت زیر هستند:‌

$$\large \begin {align*} y ’ & = { \left ( { \sqrt x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 }{ { 2 \sqrt x } } , \\ \; \; \; \kern-0.3pt y ^ { \prime \prime } & = { \left ( { \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( {\frac { 1 } { 2 } { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { – \frac { 1 } {4 } { x ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } = { – \frac { 1 } { { 4 \sqrt { { x ^ 3 } } } } .} \end {align*}$$

انحنای منحنی با رابطه زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} K & = \frac { { \left | { y ^ { \prime \prime } } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { y ’ } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } = { \frac { { \left | { – \frac { 1 } { { 4 \sqrt { { x ^ 3 } } } } } \right | } } { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { \frac { 1 } { { 4 \sqrt { { x ^ 3 } } } } } } { { { { \left ( {1 + \frac { 1 }{ { 4 x } } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { \frac { 1 } { { 4 \sqrt { { x ^ 3 } } } } } } { { { { \left ( { \frac { { 4 x + 1 } } { { 4 x } } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { { 4 ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } \cancel { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { 4 \cancel { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } { { \left ( { 4 x + 1 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { 2 } { { { { \left ( { 4 x + 1 } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } . }<br /> \end {align*} $$