در این آموزش از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، تقعر و تحدب توابع را معرفی می‌کنیم که برای تعیین آن‌ها از مشتق دوم استفاده می‌شود.

تعریف تابع محدب و مقعر

تابع $$y = f\left( x \right),$$ را در نظر بگیرید که فرض شده در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ پیوسته است. این تابع را «محدب رو به پایین» (Convex Downward) یا «محدب» (Convex)‌ می‌نامیم، اگر برای هر دو نقطه $$x_1$$ و $$x_2$$ در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$، نامعادله زیر برقرار باشد:

$$f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right) \le \frac{{f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)}}{2}.$$

اگر نامعادله فوق، اکید باشد، آن‌گاه تابع $$f(x)$$ را در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ «اکیداً محدب» می‌نامیم.

به‌طور مشابه، می‌توانیم یک تابع مقعر را تعریف کنیم. تابع $$f(x)$$ را «محدب رو به بالا» (Convex Upward) یا «مقعر» (Concave) می‌نامیم، اگر برای هر دو نقطه $$x_1$$ و $$x_2$$ در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$، نامساوی زیر برقرار باشد:

$$f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right) \ge \frac{{f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)}}{2}.$$

اگر نامساوی بالا برای هر $${x_1},{x_2} \in \left[ {a,b} \right]$$ به‌طوری که $${x_1} \ne {x_2}$$، به‌صورت اکید برقرار باشد، تابع $$f(x)$$‌ را در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ اکیداً مقعر می‌نامیم. لازم به یادآوری است که تحدب به‌معنای برآمدگی است و وقتی می‌گوییم تحدب رو به بالا است، یعنی جهت برآمدگی به بالا است. منظور از تقعر نیز فرورفتگی است.

تفسیر هندسی تحدب و تقعر

شکل زیر تفسیر هندسی تابع محدب را نشان می‌دهد:

تابع محدب

همان‌طور که از شکل بالا مشخص است، در تابع محدب یا تابعی که تحدب آن به پایین است، نقطه میانی $$B$$ در وتر $$A_1A_2$$ زیر نقطه $$A_0$$ از نمودار تابع قرار دارد یا منطبق بر آن است.

تابع مقعر نیز به‌صورت زیر است:

تابع مقعر

به طریق مشابه، در تابع مقعر یا تابعی که تحدب آن به بالا است، نقطه میانی $$B$$ در وتر $$A_1A_2$$ بالاتر از نقطه $$A_0$$ از نمودار تابع قرار دارد یا منطبق بر آن است.

توابع محدب یک ویژگی واضح دیگر نیز دارند که به نقطه مماس بر منحنی آن‌ها مربوط می‌شود. تابع $$f(x)$$ در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ محدب است، اگر و تنها اگر منحنی آن، بالای خط مماس بر منحنی در نقطه $$x_0$$ از بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ قرار گیرد. شکل زیر این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد:

تابع محدب

به‌طور مشابه، تابع $$f(x)$$ را در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ مقعر می‌گوییم، اگر و تنها اگر، منحنی آن، پایین‌تر از خط مماس بر منحنی در نقطه $$x_0$$ از بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ نباشد. شکل زیر این گفته را نشان می‌دهد.

تابع مقعر

شرایط کافی تحدب

فرض کنید مشتق اول $$f’\left( x \right)$$ از تابع $$f\left( x \right)$$ در بازه بسته $$\left[ {a,b} \right]$$، و مشتق دوم $$f^{\prime\prime}\left( x \right)$$ در بازه باز $$\left( {a,b} \right)$$ وجود داشته باشند. در این صورت، می‌توانیم شرایط کافی زیر را برای تحدب بیان کنیم:

  • اگر برای همه $$x \in \left( {a,b} \right)$$، نامساوی $$f^{\prime\prime}\left( x \right) \ge 0$$ برقرار باشد، آن‌گاه تابع $$f(x)$$ در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ محدب است.
  • اگر برای همه $$x \in \left( {a,b} \right)$$، نامساوی $$f^{\prime\prime}\left( x \right) \le 0$$ برقرار باشد، آن‌گاه تابع $$f(x)$$ در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ مقعر است.

برای فهم بهتر، اثبات مورد اول را بیان می‌کنیم. فرض کنید مشتق دوم تابع $$f(x)$$ در بازه $$\left( {a,b} \right)$$، غیرصفر باشد ($$f^{\prime\prime}\left( x \right) \ge 0$$). نقطه $$x_0$$ را در بازه $$\left[ {{x_1},{x_2}} \right]$$ در نظر بگیرید. فرض کنید طول این بازه برابر با $$2h$$ باشد. دو نقطه $$x_1$$ و $$x_2$$ را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$${{x_1} = {x_0} – h,\;\;\;}\kern-0.3pt{{x_2} = {x_0} + h.}$$

در ادامه، از بسط سری تیلور (به فرم لاگرانژ) تابع $$f\left( x \right)$$ در نقطه $$x_0$$ استفاده می‌کنیم:

$${f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_0} – h} \right) }
= {f\left( {{x_0}} \right) – f’\left( {{x_0}} \right)h + \frac{{f^{\prime\prime}\left( {{\xi _1}} \right){h^2}}}{{2!}},}$$

$${f\left( {{x_2}} \right) = f\left( {{x_0} + h} \right) }
= {f\left( {{x_0}} \right) + f’\left( {{x_0}} \right)h + \frac{{f^{\prime\prime}\left( {{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},}$$

که در آن، $${x_0} – h \lt {\xi _1} \lt {x_0}$$ و $${x_0} \lt {\xi _2} \lt {x_0} + h$$.

اگر دو معادله را با هم جمع کنیم، داریم:

$${f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) }
= {2f\left( {{x_0}} \right) + \frac{{{h^2}}}{2}\left[ {f^{\prime\prime}\left( {{\xi _1}} \right) + f^{\prime\prime}\left( {{\xi _2}} \right)} \right].}$$

از آن‌جایی که $${\xi _1},{\xi _2} \in \left( {a,b} \right)$$، مشتق‌های دوم سمت راست معادله،‌ غیرمنفی هستند. در نتیجه:

$$f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) \ge 2f\left( {{x_0}} \right)$$

یا

$$f\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right) \le \frac{{f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)}}{2}$$

به عبارت دیگر، بنا بر تعریف، تابع $$f(x)$$ محدب است.

ویژگی توابع محدب و مقعر

در این‌جا، چند ویژگی توابع محدب را با فرض اینکه همه توابع روی بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ پیوسته باشند، بیان می‌کنیم.

  1. اگر توابع $$f$$ و $$g$$ محدب (مقعر) باشند، آن‌گاه ترکیب خطی $$af + bg$$ که در آن، $$a$$ و $$b$$ اعداد حقیقی مثبت هستند، محدب (مقعر) خواهد بود.
  2. اگر تابع $$u=g(x)$$ محدب، و تابع $$y = f\left( u \right)$$ محدب و غیرکاهشی باشد،‌ آن‌گاه تابع ترکیبی $$y = f\left( {g\left( x \right)} \right)$$ محدب خواهد بود.
  3. اگر تابع $$u = g\left( x \right)$$ مقعر، و تابع $$y = f\left( u \right)$$ محدب و غیرکاهشی باشد، آن‌گاه $$y = f\left( {g\left( x \right)} \right)$$ محدب است.
  4. هر ماکزیمم محلی تابع مقعر که در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ تعریف می‌شود، ماکزیمم سراسری است.
  5. هر مینیمم محلی تابع محدب که در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ تعریف می‌شود، مینیمم سراسری است.

مثال ۱

نمودار مربوط به یک تابع دلخواه را به‌ازای ترکیبات مختلف $$y$$، $$y’$$ و $$y”$$ رسم کنید.

حل: برای نمونه، ترکیب زیر را در نظر بگیرید:

$${y \gt 0,\;\;y’ \lt 0,\;\;\;}\kern-0.3pt{y^{\prime\prime} \gt 0}$$

نمودار مربوط به ترکیب بالا، در نیمه بالایی صفحه مختصات قرار دارد و اکیداً کاهشی است (زیرا $$y’ \lt 0$$). از آن‌جایی که $$y^{\prime\prime} \gt 0$$ است، تابع محدب است. نمودار مربوط به این تابع و سایر حالت‌های ممکن، در شکل زیر نشان داده شده است.

توابع برای حالت های مختلف

مثال ۲

مقادیری از $$x$$‌ را به‌دست آورید که به‌ازای آن، تابع $$f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c$$ مقعر باشد.

حل: ابتدا مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم:

$${f’\left( x \right) = {\left( {{x^3} + a{x^2} + bx + c} \right)^\prime } }
= {3{x^2} + 2ax + b;}$$

$${f^{\prime\prime}\left( x \right) = {\left( {3{x^2} + 2ax + b} \right)^\prime } }
= {6x + 2a.}$$

تابع، مقعر است اگر $$f^{\prime\prime}\left( x \right) \le 0$$. بنابراین:

$${f^{\prime\prime}\left( x \right) \le 0,\;\;}\Rightarrow
{6x + 2a \le 0,\;\;}\Rightarrow
{6x \le – 2a,\;\;}\Rightarrow
{x \le – \frac{a}{3}.}$$

مثال ۳

بازه‌های تحدب و تقعر تابع $$f\left( x \right) = \sqrt {2 + {x^2}}$$‌ را به‌دست آورید.

حل: این تابع برای همه $$x \in \mathbb{R}$$ تعریف شده و مشتق‌پذیر است. ابتدا مشتق دوم تابع را به‌دست می‌آوریم:

$$\require{cancel}
{f’\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)^\prime } }
= {\frac{1}{{2\sqrt {2 + {x^2}} }} \cdot {\left( {2 + {x^2}} \right)^\prime } }
= {\frac{{\cancel{2}x}}{{\cancel{2}\sqrt {2 + {x^2}} }} }
= {\frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }};}$$

$${f^{\prime\prime}\left( x \right) = {\left( {\frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}} \right)^\prime } }
= {\frac{{x’\sqrt {2 + {x^2}} – x{{\left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)}^2}}} }
= {\frac{{\sqrt {2 + {x^2}} – x \cdot \frac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}}}{{2 + {x^2}}} }\\
= {\frac{{{{\left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)}^2} – {x^2}}}{{\left( {2 + {x^2}} \right)\sqrt {2 + {x^2}} }} }
= {\frac{{2 + \cancel{x^2} – \cancel{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {2 + {x^2}} \right)}^3}} }} }
= {\frac{2}{{\sqrt {{{\left( {2 + {x^2}} \right)}^3}} }}.}$$

همان‌طور که می‌بینیم، مشتق دوم همواره مثبت است. بنابراین، برای همه مقادیر $$x$$ محدب است.

مثال 4

وضعیت تحدب تابع $$f\left( x \right) = \arctan x$$‌ را در نقطه $$x=1$$ تعیین کنید.

حل: مانند مثال‌های قبلی، مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم:

$${f’\left( x \right) = {\left( {\arctan x} \right)^\prime } }
= {\frac{1}{{1 + {x^2}}};}$$

$${f^{\prime\prime}\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } }
= {{\left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{ – 1}}} \right]^\prime } }
= { – {\left( {1 + {x^2}} \right)^{ – 2}} \cdot 2x }
= { – \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}.}$$

مقدار مشتق دوم در نقطه $$x=1$$ برابر است با:

$${f^{\prime\prime}\left( 1 \right) = – \frac{{2 \cdot 1}}{{{{\left( {1 + {1^2}} \right)}^2}}} }
= { – \frac{1}{2} \lt 0.}$$

از آن‌جایی که مشتق دوم منفی است، تابع در نقطه $$x=1$$ محدب رو به بالا یا همان مقعر است.

مثال ۵

بازه تقعر یا تحدب تابع زیر را محاسبه کنید.

$$f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}$$

حل: تابع برای همه $$x \in \mathbb{R}$$ تعریف شده و مشتق‌پذیر است. ابتدا مشتق دوم تابع را به‌دست می‌آوریم:

$${f’\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } }
= {{\left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{ – 1}}} \right]^\prime } }
= { – \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}};}$$

$${f^{\prime\prime}\left( x \right) = {\left( { – \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \right)^\prime } }
= {\frac{{{6{x^2}} – {2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}.}$$

حال از بازه‌های متناظر با مثبت و منفی بودن مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

حالت اول:

$${f^{\prime\prime}\left( x \right) \gt 0,\;\;} \Rightarrow {{\large\frac{{6{x^2} – 2}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}\normalsize} \gt 0,\;\;}$$

$$\Rightarrow
{x \in \left( { – \infty , – {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}} \right) \cup \left( {{\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize},\infty } \right);}$$

حالت دوم:

$${f^{\prime\prime}\left( x \right) \lt 0,\;\;} \Rightarrow
{{\large\frac{{6{x^2} – 2}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}\normalsize} \lt 0,\;\;}\Rightarrow {6{x^2} – 2 \lt 0,\;\;}\Rightarrow {{x^2} \lt {\large\frac{1}{3}\normalsize},\;\;}\Rightarrow {x \in \left( { – {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}, {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}} \right).}$$

در حل نامعادلات فوق از این واقعیت استفاده کرده‌ایم که مخرج مشتق دوم به‌ازای همه مقادیر $$x$$ بزرگ‌تر از صفر است: $${\left( {1 + {x^2}} \right)^3} \gt 0$$.

در نهایت، با توجه به علامت مشتق دوم می‌توان گفت:

  • تابع در بازه $$\left( { – {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}, {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}} \right)$$ مقعر؛
  • و در بازه‌های $$\left( { – \infty , – {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}} \right)$$ و $$\left( {{\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}, \infty} \right)$$ محدب است.

مثال ۶

بازه یا بازه‌های تحدب یا تقعر تابع زیر را محاسبه کنید:

$${f\left( x \right) }={ {x^4} + 2{x^3} – 36{x^2} + 2x + 1.}$$

حل: ابتدا مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم:

$${f’\left( x \right) = {\left( {{x^4} + 2{x^3} – 36{x^2} + 2x + 1} \right)^\prime } }
= {4{x^3} + 6{x^2} – 72x + 2;}$$

$${f^{\prime\prime}\left( x \right) = {\left( {4{x^3} + 6{x^2} – 72x + 2} \right)^\prime } }
= {12{x^2} + 12x – 72 }
= {12\left( {{x^2} + x – 6} \right).}$$

اکنون معادله $$f^{\prime\prime}\left( x \right) = 0$$ را حل و آن را تعیین علامت می‌کنیم:

$${f^{\prime\prime}\left( x \right) = 0,\;\;}\Rightarrow
{12\left( {{x^2} + x – 6} \right) = 0,\;\;}\Rightarrow
{D = 1 + 4 \cdot \left( { – 6} \right) = 25,\;\;}\Rightarrow
{{x_{1,2}} = \frac{{ – 1 \pm 5}}{2} = – 3;2.}$$

همان‌طور که در شکل زیر نیز نشان داده شده است، تابع در بازه‌های $$\left( { – \infty , – 3} \right)$$ و $$\left( {2, + \infty } \right)$$ اکیداً محدب و در بازه $$\left( {-3, 2} \right)$$ اکیداً مقعر است.

تعیین علامت مشتق دوم

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است و به یادگیری بیشتر در این زمینه علاقه‌مند هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 21 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

6 نظر در “توابع محدب و مقعر — از صفر تا صد

  • بیننده گرامی says: مرداد ۴, ۱۳۹۸ در ۶:۱۲ ب٫ظ

    سلام. فکر می کنم یک اشتباه تایپی رخ داده است. احساس می کنم به عبارت:
    “تابع f در بازه [a,b] محدب است، اگر و تنها اگر منحنی آن، پایین خط مماس بر منحنی در نقطه x0 قرار گیرد. شکل زیر این موضوع را به خوبی نشان می دهد.”
    بهتره بنویسید ” تابع f در بازه [a,b] محدب است، اگر و تنها اگر منحنی آن، بالای خط مماس بر منحنی در نقطه x0 قرار گیرد. شکل زیر این موضوع را به خوبی نشان می دهد.”
    همچنین فکر می کنم برای تابع مقعر هم اشتباه تایپی وجود داره و بهتره
    اصلاح بشه.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *