گسترنده منحنی — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مطالب ریاضی مجله فرادرس، انحنا و شعاع انحنا را معرفی کردیم. در این آموزش، با گسترنده منحنی آشنا می‌شویم.

گسترنده منحنی

منحنی مسطح $$\gamma$$ را در نظر بگیرید که با معادله زیر داده شده است:

$$\large \mathbf { r } = \mathbf { r } \left ( s \right ) ,$$

که در آن، پارامتر $$s$$ طول قوس منحنی را نشان می‌دهد. فرض کنید در هر نقطه، خمیدگی منحنی مخالف صفر باشد ($$K\left( s \right) \ne 0$$). در نتیجه، در هر نقطه $$M$$ می‌توانیم یک شعاع خمیدگی محدود تعریف کنیم:

$$\large R = R \left ( s \right ) = \frac { 1 } { { K \left ( s \right ) } } .$$

روی خط عمود $$\mathbf{n}$$ قطعه $$\mathbf{MC}$$ برابر با شعاع خمیدگی $$R ( s )$$ در نقطه $$M$$ است (شکل ۱).

نقطه $$C$$ مرکز خمیدگی منحنی $$\gamma$$ در نقطه $$M$$ نامیده می‌شود.

اگر بردار شعاع مرکز خمیدگی را با $$\boldsymbol{\rho}$$ نشان دهیم، آنگاه، داریم:

$$\large \boldsymbol { \rho } = \mathbf { O M } + \mathbf { M C } = \mathbf { r } + R \mathbf { n } .$$

بردار عمود $$\mathbf {n}$$ با عبارت زیر مشخص می‌شود:

$$\large { \mathbf { n } = \frac { 1 } { K } \frac { { d \boldsymbol { \tau } } } { { d s } } } = { \frac { 1 }{ K } \frac { { { d ^ 2 } \mathbf { r } } } { { d { s ^ 2 } } } } = { R \frac { { { d ^ 2 } \mathbf { r } } } { { d { s ^ 2 } } } , }$$

که در آن، $$\boldsymbol\tau$$ بردار مماس واحد است. در نتیجه، موقعیت مرکز خمیدگی متناظر با نقطه $$M$$ توسط فرمول زیر بیان می‌شود:

$$\large { \boldsymbol \rho = \mathbf { r } + R \mathbf { n } } = { \mathbf { r } + { R ^ 2 } \frac { { { d ^ 2 } \mathbf { r } } } { { d { s ^ 2 } } } . }$$

برای هر نقطه از منحنی، با فرض $$K \ne 0$$، می‌توانیم مرکز خمیدگی را به دست آوریم. مجموعه همه مراکز خمیدگی منحنی $$\gamma$$ «گسترنده» (Evolute) نامیده می‌شود.

اگر منحنی $$\gamma _ 1$$ گسترنده منحنی $$\gamma$$ باشد، آنگاه منحنی اولیه $$\gamma$$ «گستران» (Involute) منحنی $$\gamma _ 1$$ نامیده می‌شود.

مرکز خمیدگی را با نقطه $$C$$ با $$\left( {\xi ,\eta } \right)$$ مشخص می‌کنیم. اگر منحنی $$\gamma$$ به فرم پارامتری زیر باشد:

$$\large { x = x \left ( t \right ) , } \; \; \; { y = y \left ( t \right ) , } \; \; \; \kern-0.3pt { \alpha \le t \le \beta , }$$

مختصات مراکز خمیدگی $$\left( {\xi ,\eta } \right)$$ با فرمول زیر محاسبه می‌شوند:

$$\large { \xi = x – y’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { \eta = y + x’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } . }$$

این فرمول‌ها از عبارت بردار شعاعی $$\boldsymbol\rho$$ تبعیت می‌کنند.

اگر منحنی $$\gamma$$ نمودار تابع $$y = f\left( x \right)$$ باشد، مختصات مرکز خمیدگی به فرم زیر است:

$$\large { \xi = x – \frac { { 1 + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { y ^ { \prime \prime } } } y’ , } \; \; \; \kern-0.3pt { \eta = y + \frac { { 1 + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } }{ { y ^ { \prime \prime } } } . }$$

توجه کنید که شرایط خمیدگی غیرصفر در همه نقاط منحنی به اندازه کافی قوی است. در نتیجه، منحنی‌های مشخص، برای مثال آن‌هایی که دارای نقاط عطف هستند، خارج از تحلیل‌اند. بنابراین، یک مورد عمومی‌تر خمیدگی دلخواه را بررسی می‌کنیم. اگر خمیدگی در یک نقطه برابر با صفر باشد، گسترنده در این نقطه دارای یک ناپیوستگی است. این مورد در شکل ۲ نشان داده شده است.

مثال‌های گسترنده منحنی

در این بخش، مثال‌های متنوعی از گسترنده منحنی را بررسی خواهیم کرد.

مثال اول گسترنده منحنی

گسترده دایره زیر را تعیین کنید.

$$\large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = { R ^2 } .$$

حل: معادله دایره را به فرم پارامتری زیر می‌نویسیم:

$$\large x = R \cos t , \; \; \; y = R \sin t .$$

مشتقات $$x$$ و $$y$$ نسبت به پارامتر $$t$$ به صورت زیر هستند:‌

$$\large \begin {align*} x’ & = { \left ( { R \cos t } \right ) ^ \prime } = – R \sin t , \; \; \; \kern-0.3pt y = { \left ( { R \sin t } \right ) ^ \prime } = R \cos t , \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} { x ^ { \prime \prime } = { \left ( { – R \sin t } \right ) ^ \prime } = – R \cos t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { R \cos t } \right ) ^ \prime } = – R \sin t . } \end {align*}$$

مختصات مرکز خمیدگی $$\left( {\xi ,\eta } \right)$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large { \xi = x – y’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { \eta = y + x’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } . }$$

با قرار دادن $$x$$ و $$y$$ و مشتقات آن‌ها در معادله بالا، در نهایت، خواهیم داشت:

$$ \large \require{cancel} \begin {align*} \xi & = x – y’ \frac { { { { \left ( {x’} \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } = { { R \cos t – R \cos t \cdot } \kern0pt { \frac { \cancel { { { R ^ 2 }{ { \sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } } } { \cancel { { { R ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } } } } } \\ & = { \cancel { R \cos t } – \cancel { R \cos t } \equiv 0;} \end {align*} $$

$$ \large \require {cancel} \begin {align*}<br /> \eta & = y + x’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } = { { R \sin t – R \sin t } \cdot \kern0pt { \frac { \cancel { { { R ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } } } { \cancel { { { R ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } } } } } \\ & = { R \sin t – R \sin t \equiv 0.}<br /> \end {align*} $$

بنابراین، به یک نتیجه بدیهی می‌رسیم: گسترنده منحنی دایره تنها یک نقطه (مرکز دایره) است.

مثال دوم گسترنده منحنی

اوولوت بیضی زیر را محاسبه کنید:

$$\large \frac { { { x ^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } + \frac { { { y ^ 2 } } } { { { b ^ 2 } } } = 1 .$$

حل: فرم پارامتری معادله بیضی به صورت زیر است:

$$\large x = a \cos t , \; \; \; y = b \sin t .$$

مشتقات $$x$$ و $$y$$ نسبت به $$t$$ به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$\large { x’ = { \left ( { a \cos t } \right ) ^ \prime } = – a \sin t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y’ = { \left ( { b \sin t } \right ) ^ \prime } = b \cos t , }$$

$$\large { x ^ { \prime \prime } = { \left ( { – a \sin t } \right ) ^ \prime } = – a \cos t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { b \cos t } \right ) ^ \prime } = – b \sin t . }$$

برای محاسبه مختصات مرکز خمیدگی $$\left( {\xi ,\eta } \right)$$ از فرمول‌های زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large { \xi = x – y’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { \eta = y + x’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } . }$$

با قرار دادن عبارات $$x$$ و $$y$$ و مشتقات آن‌ها، خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} \xi & = x – y’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } = { { a \cos t – b \cos t } \cdot \kern0pt { \frac { { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 }{ { \cos } ^ 2 } t } } { { a b \, { { \sin } ^ 2 } t + a b \, { { \cos } ^ 2 } t } } } } \\ & = { { a \cos t – \cos t } \cdot \kern0pt { \frac { { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 }{ { \cos } ^ 2 } t } } { a } } } \\ &= { \frac { { { a ^ 2 } \cos t – { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t \cos t – { b ^ 2 } { { \cos } ^ 3 } t } } { a } = \frac { { { a ^ 2 } \cos t \left ( { 1 – { { \sin } ^ 2 } t } \right ) – { b ^ 2 } { { \cos } ^ 3 } t } } { a } } \\ & = { \frac { 1 } { a } \left ( { { a ^ 2 } { { \cos } ^ 3 } t – { b ^ 2 } { { \cos } ^ 3 } t } \right ) = \frac { { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } } { a } { \cos ^ 3 } t ; } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} \eta & = y + x’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } }{ { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } = { { b \sin t – a \sin t } \cdot \kern0pt{ \frac { { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } } { { a b \, { { \sin } ^ 2 } t + a b \, { { \cos } ^ 2 } t } } } } \\ & = { { b \sin t – \sin t } \cdot\kern0pt { \frac { { { a ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 } { { \cos } ^ 2 } t } } { b } } } \\ & = { \frac { { { b ^ 2 } \sin t – { a ^ 2 } { \sin ^ 3 } t – { b ^ 2 } { \cos ^ 2 } t \sin t } } { b } } \\ & = { \frac { { { b ^ 2 } \sin t \left ( { 1 – { { \cos } ^ 2 } t } \right ) – { a ^ 2 } { \sin ^ 3 } t } } { b } } \\ & = { \frac { 1 } { b } \left ( { { b ^ 2 } { \sin ^ 3 } t – { a ^ 2 } { \sin ^ 3 } t } \right ) = \frac { { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } } { b } { \sin ^ 3 } t .} \end {align*}$$

در نتیجه، گسترنده منحنی یک بیضی با معادلات پارامتری زیر توصیف می‌شود:

$$\large \begin {align*} \xi & = \frac { { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } } { a } { \cos ^ 3 } t = \left ( { a – \frac {b } { a } } \right ) { \cos ^ 3 } t , \; \; \; \kern-0.3pt \\ \eta & = \frac { { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } } { b } { \sin ^ 3 } t = \left ( { b – \frac { a } { b } } \right ) { \sin ^ 3 } t . \end {align*}$$

با حذف پارامتر $$t$$، می‌توانیم معادله گسترنده منحنی را به فرم ضمنی بنویسیم:

$$\large \begin {align*} \xi & = \frac { { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } } { a }{ \cos ^ 3 } t , \; \; \Rightarrow { a \xi = \left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } \right ) { \cos ^ 3 } t , } \; \; \\ & \Rightarrow { \frac { { a \xi } }{ { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } } = { \cos ^ 3 } t , } \; \; \Rightarrow { \frac { { { { \left ( { a \xi } \right ) } ^ { \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } = { \cos ^ 2 } t ; } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} \eta & = \frac { { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } } { b }{ \sin ^ 3 } t , \; \; \Rightarrow { b \eta = \left ( { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } \right ) { \sin ^ 3 } t , } \; \; \\ & \Rightarrow { \frac { { b \eta } }{ { \left [ { – \left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } \right ) } \right ] } } = { \sin ^ 3 } t , } \; \;\Rightarrow { \frac { { { { \left ( { b \eta } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } }{ { { { \left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } = { \sin ^ 2 } t . } \end {align*}$$

با جمع مجذور سینوس و کسینوس، خواهیم داشت:

$$\large { \frac { { { { \left ( { a \xi } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } { { { { \left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } + \frac { { {{ \left ( { b \eta } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } }{ { { { \left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } = 1 , } \; \; \Rightarrow { { \left ( { a \xi } \right ) ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } + { \left ( { b \eta } \right ) ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } = { \left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } \right ) ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } . }$$

سه تساوی $$a\xi = X$$، $$b\eta = Y$$ و $${a^2} – {b^2} = A$$ را تعریف می‌کنیم. در نتیجه، معادله گسترنده منحنی را می‌توان به صورت زیر نمایش داد:

$$\large { X ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } + { Y ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } = { A ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } .$$

همان‌طور که می‌بینیم، گسترنده منحنی بیضی یک منحنی ستاره‌گون است. شکل ۳ این منحنی را نشان می‌دهد.

مثال سوم گسترنده منحنی

گسترنده منحنی سهمی $$y = x ^ 2$$ را به دست آورید.

حل: برای یک منحنی داده شده با یک معادله ضمنی، مختصات مرکز خمیدگی با فرمول‌های زیر تعیین می‌شود:

$$\large { \xi = x – \frac { { 1 + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { y ^ { \prime \prime } } } y’ , } \; \; \; \kern-0.3pt { \eta = y + \frac { { 1 + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } }{ { y ^ { \prime \prime } } } . }$$

با جایگذاری تابع داده شده، خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} \xi & = x – \frac { { 1 + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } }{ { y ^ { \prime \prime } } } y’ = { x – \frac { { 1 + { { \left ( { 2 x } \right ) } ^ 2 } } } { 2 } \cdot 2 x } \\ & = { x – x \left ( { 1 + 4 { x ^ 2 } } \right ) } = { – 4 { x ^ 3 } ; } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} \eta & = y + \frac { { 1 + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } }{ { y ^ { \prime \prime } } } = { { x ^ 2 } + \frac { { 1 + { { \left ( { 2 x } \right ) } ^ 2 } } } { 2 } }\\ & = { { x ^ 2 } + \frac { { 1 + 4 { x ^ 2 } } } { 2 } } = { 3 { x ^ 2 } + \frac { 1 } { 2 } . } \end {align*}$$

با حذف متغیر $$x$$ از این عبارات، معادله گسترنده منحنی را به عنوان تابعی از $$\xi \left( \eta \right)$$ نشان می‌دهیم:

$$\large \begin {align*} \eta & = 3 { x ^ 2 } + \frac { 1 } { 2 } , \; \; \Rightarrow { \eta – \frac { 1 } { 2 } = 3 { x ^ 2 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x ^ 2 } = \frac { \eta } { 3 } – \frac { 1 } {6 } , \; \; } \Rightarrow { x = \pm { \left ( { \frac { \eta } { 3 } – \frac { 1 } { 6 } } \right ) ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } . } \end {align*}$$

در نتیجه، داریم:

$$\large { \xi = – 4 { x ^ 3 } = – 4 \cdot { \left [ { \pm { { \left ( { \frac { \eta } { 3 } – \frac { 1 } { 6 } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ] ^ 3 } } = { \pm 4 { \left ( { \frac { \eta } { 3 } – \frac { 1 } { 6 } } \right ) ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } , }$$

که در آن، $$\eta \ge \large\frac{1}{2}\normalsize$$.

سهمی و گسترنده آن در شکل ۴ رسم شده‌اند.

گسترنده منحنی بالا شبیه یک دم‌چلچله‌ای است که معادله آن یک سهمی شبه‌مکعبی است.

مثال چهارم گسترنده منحنی

گسترنده مارپیچ لگاریتمی $$r = e ^ \theta$$ را به دست آورید.

حل: منحنی در دستگاه مختصات کارتزین با دستگاه معادلات زیر بیان می‌شود:

$$\large { x = r \cos \theta = { e ^ \theta } \cos \theta ,} \; \; \; \kern-0pt { y = r \sin \theta = { e ^ \theta } \sin \theta . }$$

این توصیف معادله منحنی به فرم پارامتری است که در آن، زاویه $$\theta$$ نقش یک پارامتر را بازی می‌کند. در نتیجه، مختصات مرکز خمیدگی را می‌توان با فرمول‌های زیر محاسبه کرد:

$$\large { \xi = x – y’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { \eta = y + x’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } . }$$

مشتق‌ها به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} { x’ = { \left ( { { e ^ \theta } \cos \theta } \right ) ^ \prime } } = { { e ^ \theta } \cos \theta – { e ^ \theta } \sin \theta } = { { e ^ \theta } \left ( { \cos \theta – \sin \theta } \right ) ; }<br /> \end {align*} $$

$$\large \begin {align*} x ^ { \prime \prime } & = \left [ { { e ^ \theta } \left ( { \cos \theta – \sin \theta } \right ) } \right ] ^ \prime = { { e ^ \theta } \left ( { \cos \theta – \sin \theta } \right ) + { e ^ \theta } \left ( { – \sin \theta – \cos \theta } \right ) } \\ & = { { e ^ \theta } \left ( { \cancel { \cos \theta } – \sin \theta } \right . } -{ \left . { \sin \theta – \cancel { \cos \theta } } \right ) } = { – 2 { e ^ \theta } \sin \theta ; } \end {align*}$$

$$\large { y’ = { \left ( { { e ^ \theta } \sin \theta } \right ) ^ \prime } } = { { e ^ \theta } \sin \theta + { e ^ \theta } \cos \theta } = { { e ^ \theta } \left ( { \sin \theta + \cos \theta } \right ) ; }$$

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } & = \left[ { { e ^ \theta } \left ( { \sin \theta + \cos \theta } \right ) } \right ] ^ \prime = { { e ^ \theta } \left ( { \sin \theta + \cos \theta } \right) + { e ^ \theta } \left ( { \cos \theta – \sin \theta } \right ) } \\ & = { { e ^ \theta } \left ( { \cancel { \sin \theta } + \cos \theta } \right . } + { \left .{ \cos \theta – \cancel { \sin \theta } } \right ) } = { 2 { e ^ \theta } \cos \theta . } \end {align*}$$

عبارات $$\xi$$ و $$\eta$$ یک کسر مشترک دارند که برابر است با:

$$\large { F = \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } } = { \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 2 } { 1 } = 1 . }$$

در نتیجه، مختصات $$\xi$$ و $$\eta$$ مرکز خمیدگی به صورت زیر تعریف می‌شوند:

$$\large \begin {align*} \xi & = x – y’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } = { x – y’ F } \\ & = { { e ^ \theta } \cos \theta – { e ^ \theta } \left ( { \sin \theta + \cos \theta } \right ) } = { – { e ^ \theta } \sin \theta = – y ; } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} \eta & = y + x’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } = { y + x’ F } \\ & = { { e ^ \theta } \sin \theta + { e ^ \theta } \left ( { \cos \theta – \sin \theta } \right ) } = { { e ^ \theta } \cos \theta = x . } \end {align*}$$

بنابراین، اگر دستگاه مختصات اولیه $${xOy}$$ را در نظر بگیریم و آن را در خلاف جهت عقربه‌های ساعت به اندازه $$\large\frac{\pi }{2}\normalsize$$ بچرخانیم، به دستگاه مختصات $${\xi O \eta}$$ می‌رسیم. نیم‌محور منفی $$- y$$ به محور افقی مثبت $$\xi$$ و نیم‌محور مثبت $$x$$ به محور عمودی $$\eta$$ تصویر می‌شوند. به عبارت دیگر، گسترنده منحنی مارپیچ لگاریتمی $$r = e ^ \theta$$ مشابه منحنی چرخانده شده در خلاف جهت عقربه‌های ساعت به اندازه $$\large\frac{\pi }{2}\normalsize$$ است.

مثال پنجم گسترنده منحنی

گسترنده منحنی چرخزاد زیر را به دست آورید:

$$\large { x = t – \sin t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y = 1 – \cos t . }$$

حل: ابتدا مشتق منحنی داده شده را به دست می‌آوریم:

$$\large { x’ = { \left ( { t – \sin t } \right ) ^ \prime } = 1 – \cos t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y’ = { \left ( { 1 – \cos t } \right ) ^ \prime } = \sin t . }$$

$$\large { x ^ { \prime \prime } = { \left ( { 1 – \cos t } \right ) ^ \prime } = \sin t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { \sin t } \right)^\prime } = \cos t.}$$

مختصات مرکز خمیدگی به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } & = { \frac { { { { \left ( { 1 – \cos t } \right ) } ^ 2 } + { { \sin } ^ 2 } t } } { { \left ( { 1 – \cos t } \right ) \cos t – \sin t \sin t } } } \\ & = { \frac { { 1 – 2 \cos t + { { \cos } ^ 2 } t + { { \sin } ^ 2 } t } } { { \cos t – { { \cos } ^ 2 } t – { { \sin } ^ 2 } t } } } \\ & = { \frac { { 2 \left ( { 1 – \cos t } \right ) } } { { \cos t – 1 } } = – 2 ; } \end {align*}$$

$$\large { \xi = x – y’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } } = { t – \sin t – \sin t \cdot \left ( { – 2 } \right)} = {t + \sin t;}$$

$$\large { \eta = y + x’ \frac { { { { \left ( { x’ } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y’ } } } = { 1 – \cos t + \left ( { 1 – \cos t } \right ) \cdot \left ( { – 2 } \right ) } = { \cos t – 1 . }$$

در ادامه، پارامتر $$t$$ را به صورت $$t = \tau + \pi$$ نمایش می‌دهیم. در اینجا، متغیر $$\tau$$ نقش پارامتر «تأخیر» را بازی می‌کند که به اندازه $$\pi$$ واحد بعد از $$t$$ است (یعنی نصف قوس چرخزاد).

حال مختصات مرکز خمیدگی $$\xi$$ و $$\eta$$ را برحسب متغیر $$\tau$$ می‌نویسیم:

$$\large { \xi = t + \sin t } = { \tau + \pi + \sin \left ( { \tau + \pi } \right ) } = { \left [ { \tau – \sin \tau } \right ] + \pi ; }$$

$$\large { \eta = \cos t – 1 } = { \cos \left ( { \tau + \pi } \right ) – 1 } = { – \cos \tau + 1 – 2 } = { \left [ { 1 – \cos \tau } \right ] – 2 . }$$

بنابراین، گسترنده منحنی چرخزاد نیز یک چرخزاد است. موقعیت آن نسبت به منحنی اولیه با بردار $$\left( {\pi , – 2} \right)$$ جابه‌جا شده است. علاوه بر این، به دلیل تعویض $$t \to \tau$$، گسترنده منحنی چرخزاد از میانه قوس آغاز می‌شود.

مثال ششم گسترنده منحنی

ثابت کنید منحنی با معادلاتِ

$$\large { x = R \left ( { \cos t + t \sin t } \right ) , } \; \; \; \kern-0.3pt { y = R \left ( { \sin t – t \cos t } \right ) }$$

گسترنده منحنی دایره‌ای با شعاع $$R$$ و مرکز مبدأ مختصات است.

حل: مشتقات $$x$$ و $$y$$ نسبت به پارامتر $$t$$ به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*} \require {cancel}<br /> x’ & = {\left[ {R\left( {\cos t + t\sin t} \right)} \right]^\prime } = {R\left( { – \cancel{\sin t} + \cancel{\sin t} + t\cos t} \right) = Rt\cos t,} \\<br /> x^{\prime\prime} & = {\left( {Rt\cos t} \right)^\prime } ={ R\left( {\cos t – t\sin t} \right),} \\<br /> y’ &= {\left[ {R\left( {\sin t – t\cos t} \right)} \right]^\prime } = {R\left( {\cancel{\cos t} – \cancel{\cos t} + t\sin t} \right) = Rt\sin t,} \\<br /> y^{\prime\prime} & = {\left( {Rt\sin t} \right)^\prime } = {R\left( {\sin t + t\cos t} \right).}<br /> \end {align*} $$

اکنون مختصات مرکز خمیدگی منحنی را محاسبه می‌کنیم:‌

$$\large {D = \frac{{{{\left( {x’} \right)}^2} + {{\left( {y’} \right)}^2}}}{{x’y^{\prime \prime} – x^{\prime\prime}y’}} } = { 1.}$$

در نتیجه، مختصات مرکز به صورت زیر خواهد بود:‌

$$ \large \require {cancel} \begin {align*} \xi = x – y’ D & = { R \left ( { \cos t + t \sin t } \right ) – R t \sin t \cdot 1 } \\ & = { R \cos t + \cancel { R t \sin t } – \cancel { R t \sin t } } = { R \cos t ; } \end {align*} $$

$$ \large \require {cancel} \begin {align*}<br /> { \eta = y + x’ D } & = { R \left ( { \sin t – t \cos t } \right ) + R t \sin t \cdot 1 } \\ & = { R \sin t – \cancel { R t \cos t } + \cancel { R t \cos t } } = { R \sin t . }<br /> \end {align*} $$

معادلات پارامتری گسترنده منحنی دایره به شعاع $$R$$ و مرکز مبدأ مختصات به صورت زیر است:‌

$$\large \xi = R \cos t , \; \; \; \eta = R \sin t .$$

در مختصات کارتزین $$\left( {\xi ,\eta } \right)$$، معادله گسترنده منحنی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\large { \xi ^ 2 } + { \eta ^ 2 } = { R ^ 2 } .$$

گستران دایره به صورت یک مارپیچ است (شکل ۵).

مثال هفتم گسترنده منحنی

معادله گسترنده هذلولوی $$y = \large\frac{1}{x}\normalsize$$ را به دست آورید.

حل: مشتقات اول و دوم تابع هذلولوی به صورت زیر هستند:

$$\large { y’ = { \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } = – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } . }$$

در نتیجه، مختصات مرکز خمیدگی هذلولوی به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \begin {align*} \xi & = x – \frac { { 1 + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { y ^ { \prime \prime } } } y’ = { x – \frac { { 1 + { { \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } ^ 2 } } } { { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } } } \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } \\ & = { x – \frac { { 1 + \frac { 1 } { { { x ^ 4 }} } } } { { \frac { 2 } { { {x ^ 3 } } } } } \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } = { x + \frac { { \left ( { { x ^ 4 } + 1 } \right ) { x ^ 3 } } } { { 2 { x ^ 4 } { x ^2 } } } } \\ & = { x + \frac { { { x ^ 4 } + 1 } } { { 2 { x ^ 3 } }} } = { \frac { { 2 { x ^ 4 } + { x ^ 4 } + 1 } } { { 2 { x ^ 3 } } } } = { \frac { { 3 { x ^ 4 } + 1 } } { { 2 { x ^ 3 } } } ; } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} \eta & = y + \frac { { 1 + { { \left ( { y’ } \right ) } ^ 2 } } } { { y ^ { \prime \prime } } } = { \frac { 1 } { x } + \frac { { 1 + { { \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } ^ 2 } } } { { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } } } } \\ & = { \frac { 1 } { x } + \frac {{ 1 + \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } } { { \frac { 2 }{ { { x ^ 3 } } } } } } = { \frac { 1 } { x } + \frac { { \left ( { { x ^ 4 } + 1 } \right ) { x ^ 3 } } } { { 2 { x ^ 4 } } } } \\ & = { \frac { 1 } { x } + \frac { { { x ^ 4} + 1 } } { { 2 x } } } = { \frac { { { x ^ 4 } + 3 } } { { 2 x } } .} \end {align*}$$

با استفاده از عملیات جبری، متغیر $$x$$ را که یک پارامتر در فرمول‌های $$\xi$$ و $$\eta$$ است، حذف می‌کنیم. ابتدا عبارات مجموع و تفاضل مختصات $$\xi$$ و $$\eta$$ را می‌نویسیم:

$$\large \begin {align*} { \xi + \eta } & = { \frac { { 3 { x ^ 4 } + 1 } } { { 2 { x ^3 } } } + \frac { { { x ^ 4 } + 3 } } { { 2 x } } } = { \frac { { 3 { x ^ 4 } + 1 + { x ^ 6 } + 3 { x ^ 2 } } } { { 2 { x ^ 3 } } } } \\ & = { \frac { { { x ^ 6 } + 3 { x ^4 } + 3 { x ^ 2 } + 1 } }{ { 2 { x ^ 3 } } } } = { \frac { { { { \left ( { { x ^ 2 } + 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { 2 { x ^ 3 } } } } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } + 1 } } { x } } \right ) ^ 3 } } = { \frac { 1 } { 2 } { \left ( { x + \frac { 1 } { x } } \right ) ^ 3 } ; } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} { \xi – \eta } & = { \frac { { 3 { x ^ 4 } + 1 } } { { 2 { x ^ 3 } } } – \frac { { { x ^ 4 } + 3 } } { { 2 x } } } = { \frac { { 3 { x ^ 4 } + 1 – { x ^ 6 } – 3 { x ^ 2 } } } { { 2 { x ^ 3 } } } } \\ & = { – \frac { { { x ^ 6 } – 3 { x ^ 4 } + 3 { x ^ 2 } – 1 } } { { 2 { x ^ 3 } } } } = { – \frac { { { { \left ( { { x ^ 2 } – 1 } \right ) } ^ 3 } }} { { 2 { x ^3 } } } } \\ & = { – \frac { 1 } { 2 } { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { x } } \right ) ^ 3 } } = { – \frac { 1 } { 2 } { \left ( { x – \frac { 1 } { x } } \right ) ^ 3 } . } \end {align*}$$

با اعمال جذر مکعب، روابط زیر به دست می‌آیند:

$$\large { { \left ( { \xi + \eta } \right ) ^ { \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } = \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ 2 } } } \left ( { x + \frac { 1 } { x } } \right ) , } \; \; \; \kern-0.3pt { { \left ( { \xi – \eta } \right ) ^ { \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } = – \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ 2 } } } \left ( { x – \frac { 1 } { x } } \right ) . }$$

اکنون هر معادله را به توان دو می‌رسانیم:‌

$$\large { { \left ( { \xi + \eta } \right ) ^ { \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } } = { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize]{ 4 } } } { \left ( { x + \frac { 1 } { x } } \right ) ^ 2 } } = { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 4 } } } \left ( { { x ^ 2 } + 2 + \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) , }$$

$$\large { { \left ( { \xi – \eta } \right ) ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } = { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 4 } } } { \left ( { x – \frac { 1 } { x } } \right ) ^ 2 } } = { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 4 } } } \left ( { { x ^ 2 } – 2 + \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) . }$$

$$\large { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 4 } { \left ( { \xi + \eta } \right ) ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } = { x ^ 2 } + 2 + \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 4 } { \left ( { \xi – \eta } \right ) ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } = { x ^ 2 } – 2 + \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } }$$

و معادله دوم را از معادله اول کم می‌کنیم‌:

$$\large \begin {align*} & \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 4 } \left [ { { { \left ( { \xi + \eta } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { { \left ( { \xi – \eta } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ] = { { x ^ 2 } + 2 + \frac { 1 }{ { { x ^ 2 } } } – \left ( { { x ^ 2 } – 2 + \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) , \; \; } \\ & \Rightarrow { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 4 } \left [ { { { \left ( { \xi + \eta } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { { \left ( { \xi – \eta } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ] = 4 , \; \; } \Rightarrow { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 4 } \left [ { { { \left ( { \xi + \eta } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { { \left ( { \xi – \eta } \right ) } ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ] = 4 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { \left ( { \xi + \eta } \right ) ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { \left ( { \xi – \eta } \right ) ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } = \frac { 4 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 4 } } } , \; \; } \Rightarrow { { \left ( { \xi + \eta } \right ) ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { \left ( { \xi – \eta } \right ) ^ { \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } = { 4 ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } . } \end {align*}$$

در نتیجه، معادله گسترنده منحنی هذلولوی را به فرم ضمنی $$f\left( {\xi ,\eta } \right) = 0$$ داریم.