پاسخ ضربه – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در این آموزش با پاسخ ضربه سیستم‌های خطی تغییر ناپذیر با زمان آشنا می‌شویم. نمایش فضای حالت سیستم‌های دینامیکی، از مباحثی بود که قبلاً با آن آشنا شدیم. دیدیم که یک سیستم کنترل را می‌توان به فرم زیر نماش داد:

$$ \large \begin {align*}
\dot { x } & = A x + B u \\
y & = C x ,
\end {align*} $$

که در آن:

• $$ x ( t ) \in \mathbb { R } ^ n $$ بردار حالت در زمان $$t$$؛
• $$ u ( t ) \in \mathbb { R } ^ m $$ بردار ورودی در زمان $$t$$؛
• $$ y ( t ) \in \mathbb { R } ^ p $$ بردار خروجی در زمان $$t$$؛
• $$ A \in \mathbb { R } ^ { n \times n } $$ ماتریس حالت یا دینامیک؛
• $$ B \in \mathbb { R } ^ { n \times m } $$ ماتریس کنترل؛
• $$ C \in \mathbb { R } ^ { p \times n } $$ ماتریس سنسور است.

در این آموزش، تنها سیستم‌های تک‌ورودی-تک‌خروجی را در نظر می‌گیریم، یعنی $$ m=p=1 $$. اکنون پرسشی پیش می‌آید که چگونه می‌توان خروجی $$y$$ را از ورودی $$u$$ محاسبه کرد؟ این پرسش کلیدی را با مفهوم پاسخ ضربه می‌توان پاسخ داد.

تعریف تابع ضربه

همان‌طور که قبلاً گفتیم، یک ضربه واحد یا تابع دلتای دیراک، تابعی است که در شرایط زیر صدق می‌کند:

فیلم آموزش تجزیه و تحلیل سیگنال ها و سیستم ها‎ در فرادرس

کلیک کنید

• برای همه $$t \neq 0$$، $$\delta(t) = 0 $$ و
• برای $$ a > 0$$، $$ \displaystyle \int^a_{-a}\delta(t) d t = 1 $$.

تابع $$ \delta(t) $$ را می‌توان به عنوان حد ضربه‌هایی با مساحت واحد مطابق شکل ۲ در نظر گرفت. وقتی $$ \varepsilon \to 0 $$، آن‌گاه ضربه باریک‌تر می‌شود ($$ \frac{1}{\varepsilon} \to + \infty $$)، اما مساحت زیر منحنی، همان $$1 $$ باقی می‌ماند.

خروجی سیستم به عنوان انتگرال کانولوشن

ورودی $$ u(t) = \delta(t-\tau) $$ (ضربه واحد در زمان $$ t = \tau $$) و یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI) را با شرایط اولیه صفر و خروجی $$y(t) = h(t-\tau)$$ در نظر بگیرید که در شکل ۳ نشان داده شده است. تابع $$h$$، پاسخ ضربه (Impulse Response) سیستم نامیده می‌شود.

با داشتن پاسخ ضربه $$h$$ سیستم، می‌توان پاسخ سیستم به هر ورودی دلخواه دیگر را به دست آورد. در واقع، با استفاده از خاصیت جابه‌جایی (Shifting Property) تابع $$ \delta$$، برای هر تابع $$f$$ که در $$t= \tau $$ خوش‌رفتار (Well-behaved) باشد، داریم:

$$ \large \begin {align}
\int ^ \infty _ { - \infty } f ( t ) \delta ( t - \tau ) d t = f ( \tau ) \tag {1}.
\end {align} $$

معادله $$(1)$$ گویای این واقعیت است که تابع دلتا مقدار $$f$$ را در $$ t = \tau $$ جابه‌جا می‌کند. بنابراین، هر تابع منظم (Regular) را می‌توان با یک انتگرال کانولوشن از ضربه‌ها نمایش داد.

برای محاسبه پاسخ سیستم به سایر ورودی‌ها دلخواه با پاسخ $$h$$، می‌توان سیگنال ورودی $$u$$‌ را به فرم انتگرال با خاصیت جابه‌جایی بالا نوشت:

$$ \large \begin {align*}
u ( t ) = \int ^ \infty _ { - \infty } u ( \tau ) \delta ( t - \tau ) d \tau .
\end {align*} $$

با استفاده از اصل برهم‌نهی، پاسخ یک سیستم خطی به یک مجموع (یا انتگرال) ورودی، برابر با مجموع (یا انتگرال) پاسخ‌های مجزا به این ورودی‌ها است؛ یعنی:

$$ \large \begin {align*}
u ( t ) & = \int ^ \infty _ { - \infty } u ( \tau ) \delta ( t - \tau ) d \tau \quad  \\
y ( t ) & = \int ^ \infty _ { - \infty } u ( \tau ) \underbrace { h ( t - \tau ) } _ { \text {response to} \atop \text {$\delta(t-\tau )$ }} d \tau . \tag { 2 }
\end {align*} $$

انتگرال در معادله $$(2)$$ بیان می‌کند که $$ y (t)$$ کانولوشن $$ u $$ و $$h$$ است.

طبق اصل برهم نهی، برای همه سیستم‌های خطی، پاسخ خالص که از دو یا چند ورودی همزمان ایجاد می‌شود، برابر با مجموع پاسخ‌های هر یک از ورودی‌ها به صورت مجزا است.

بنابراین، برای یک سیستم LTI با شرایط اولیه صفر، خروجی برابر با کانولوشن ورودی و پاسخ ضربه سیستم است:

$$ \large \begin {align*}
y ( t ) & = u ( t ) \star h ( t ) \\
& = h ( t ) \star u ( t ) \\
& \triangleq \int ^ \infty _ { - \infty } u ( \tau ) h ( t - \tau ) d \tau .
\end {align*} $$

فرمول اخیر راه ساده‌ای را برای محاسبه خروجی $$y$$ یک ورودی $$u$$ ارائه نمی‌کند. یک راه عملی‌تر، استفاده از تبدیل لاپلاس است.

تابع تبدیل و پاسخ ضربه

همان‌طور که می‌دانیم، تبدیل لاپلاس دو طرفه تابع $$ f (t)$$ به صورت زیر است:

$$ \large \begin{align*}
F ( s ) = \int ^ \infty _ { - \infty } f ( \tau ) e ^ { -s \tau } d \tau ,
\end {align*} $$

فیلم آموزش سیستم های کنترل خطی در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$ s \in \mathbb{C} $$ یک متغیر مختلط است.

می‌توانیم از جدول زیر برای بررسی ارتباط بین سیگنال‌ها در حوزه زمان و فرکانس استفاده کنیم.

کانولوشن $$ y(t) = h(t) \star u(t) $$ نیز معادل با ضرب $$ Y(s) = H(s)U(s) $$ در حوزه فرکانس است:

$$ \large \begin {align*}
Y ( s ) & \triangleq \mathcal { L } \{ y ( t ) \} \\
& = \mathcal { L } \{ h ( t ) \star u ( t ) \} \\
& = \mathcal { L } \{ h ( t ) \} \mathcal { L } \{ u ( t ) \} \hspace{2cm}\\
& \triangleq H ( s ) U ( s ) .
\end {align*} $$

به طور خاص، تبدیل لاپلاس پاسخ ضربه برابر است با:‌

$$ \large H ( s ) = \int ^ \infty _ { - \infty } h ( \tau ) e ^ { -s \tau } d \tau $$

که تابع تبدیل (Transfer Function) سیستم نامیده می‌شود.

وقتی با سیستم‌های عِلّی (Casual) سر و کار داریم، خروجی در زمان $$t$$ از ورودی‌های آینده در زمان $$t' > t $$ تأثیر نمی‌گیرد. همچنین در $$ t < 0 $$ پاسخ ضربه $$ h (t ) = 0 $$ را خواهیم داشت. بنابراین، از تبدیل لاپلاس یک‌طرفه استفاده می‌کنیم:‌

$$ \large \begin {align*}
y ( t ) & = \int ^ \infty _ { \color {red} { 0 } } u ( \tau ) h ( t - \tau ) d \tau , \\
H ( s ) & = \int ^ \infty _ { \color {red} { 0 } } h ( \tau ) e ^ { -s \tau } d \tau .
\end {align*} $$

محاسبه تابع تبدیل

اکنون می‌خواهیم به پرسشی که در ابتدا بیان کردیم پاسخ دهیم. برای ورودی $$ u ( t)$$، می‌توانیم تبدیل لاپلاس $$ U (s)$$ را با استفاده‌ از فرمول‌های آن محاسبه کنیم. $$H(s)$$ نیز به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*}
H ( s ) & = C ( I s - A ) ^ { - 1 } B , \\
h ( t ) & = C e ^ { A t } B , \, \, t \ge 0 ^ - .
\end {align*} $$

مثال

سیستم زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large \begin {align*}
\dot { y } ( t ) & = - a y ( t ) + u ( t ) , & \quad \text {$y(t)=x(t)$} \\
u ( t ) & = e ^ { s t } . & \quad \text {($u(t) = 0$ for $t < 0$)}
\end {align*} $$

تابع تبدیل $$ H ( s) $$ این سیستم را محاسبه کنید.

حل: برای $$ u(t) = e^{st}, t \ge 0 $$ مقدار $$s$$ را به عنوان یک عدد ثابت در نظر می‌گیریم. در نتیجه، داریم:

$$ \large \begin {align*}
y ( t ) & = \int ^ \infty _ 0 h ( \tau ) u ( t - \tau ) d \tau \qquad \text{($u \star h = h \star u $) } \\
& = \int ^ \infty _ 0 h ( \tau ) e ^ { s ( t - \tau ) } d\tau \\
& = e ^ { s t } \int ^ \infty _ 0 h ( \tau ) e ^ { -s \tau } d \tau \\
& = e ^ { s t } H ( s ) .
\end {align*} $$

مشتق خروجی برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
\dot { y } ( t ) & = \frac { d } { d t } \left ( H ( s ) e ^ { s t } \right ) = s H ( s ) e ^ { s t }
\end {align*} $$

با جایگذاری عبارت بالا در معادله $$\dot{y}(t) = -ay(t) + u(t)$$ داریم:

$$ \large \begin {align*} \require {cancel}
s H ( s ) \cancel { e ^ { s t } } & = - a H ( s ) \cancel { e ^ { s t } } + \cancel { e ^ { s t } } , \qquad \forall~ s, t > 0 \\
s H ( s ) & = - a H ( s ) + 1 \tag { 3 } .
\end{align*} $$

با حل معادله $$(3)$$ برای $$ H ( s )$$، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*}
H ( s ) & = \frac { 1 } { s + a } , \tag { 4 } \\
\implies y ( t ) & = \frac { e ^ { s t} } { s + a } .
\end {align*} $$

با نگاهی به سمت راست تابع تبدیل معادله $$(4)$$ و با کمک گرفتن از فرمول‌های تبدیل لاپلاس، پاسخ پله $$ h (t) $$ را می‌توان از تبدیل معکوس لاپلاس به دست آورد:

$$ \large \begin {align*}
h ( t ) & = \begin {cases}
e ^ { - a t } , & t \ge 0 \\
0 , & t < 0
\end {cases}
\end {align*} $$

این مثال را می‌توان با نمودار شکل زیر نشان داد.

$$ \large \begin {align*}
u ( t ) = e ^ { s t } , \, \, t \ge 0 \qquad \xrightarrow { x ( 0 ) = 0 ; \text { LTI system }} \qquad y ( t ) = e ^ { s t } H ( s )
\end {align*} $$

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• فیدبک (Feedback) در سیستم های کنترل — مفاهیم اصلی
• تبدیل z — به زبان ساده
• مکان هندسی ریشه ها (Root Locus) در مهندسی کنترل — به زبان ساده

^^