مشتق توابع پارامتری — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مقالات ریاضی مجله فرادرس، درباره مفهوم مشتق و روش‌های مشتق‌گیری بحث کردیم و مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، درباره مشتق توابع پارامتری بحث خواهیم کرد.

محاسبه مشتق توابع پارامتری

رابطه بین متغیرهای $$x$$ و $$y$$ را می‌توان به‌صورت پارامتری و با استفاده از دو معادله زیر بیان کرد:

$$\large \left \{ \begin {aligned} x &= x\left( t\right) \\ y &= y\left( t\right) \end{aligned} \right.,$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، متغیر $$t$$، یک پارامتر نامیده می‌شود. برای مثال، دو تابعِ

$$\large \left \{ \begin {aligned} x &= R \cos t \\ y &= R \sin t \end{aligned} \right.$$

فرم پارامتری دایره‌ای به مرکز مبدأ محتصات و به شعاع $$R$$ هستند. در این حالت، پارامتر $$t$$ از $$0$$ تا $$2 \pi$$ تغییر می‌کند.

اکنون می‌خواهیم عبارتی را برای مشتق تابع پارامتری پیدا کنیم. فرض کنید توابع $$x = x\left( t \right)$$ و $$y = y\left( t \right)$$، در بازه $$\alpha \lt t \lt \beta$$ مشتق‌پذیر باشند و داشته باشیم: $$x’\left( t \right) \ne 0$$. همچنین فرض کنید معکوس تابع $$x = x\left( t \right)$$، عبارت $$t = \varphi \left( x \right) v$$ است.

با استفاده از قضیه تابع معکوس می‌توان نوشت:

$$\large \frac { { d t }} { { d x}} = { t ’ _ x } = \frac { 1 } {{ { x ’ _ t } } } .$$

تابع اصلی $$y\left( x \right)$$ را می‌توان به‌صورت تابع ترکیبی زیر در نظر گرفت:

$$\large  y \left( x \right) = y\left( { t \left( x \right)} \right).$$

مشتق این تابع، برابر است با:

$$\large { { y ’ _ x} = { y ’ _ t } \cdot { t ’ _ x } } = { { y ’ _ t } \cdot \frac { 1 } { { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { { y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } . }$$

با استفاده از این فرمول می‌توان مشتق یک تابع پارامتری را بدون بیان $$y\left( x \right)$$ در فرم صریح آن محاسبه کرد.

مثال‌ها

در ادامه، برای آشنایی بیشتر با مشتق‌گیری از توابع پارامتری، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large x = { t ^ 2 },\;\;y = { t ^ 3 } .$$

حل: ابتدا مشتق $$x$$ و $$y$$ را نسبت به $$t$$ محاسبه می‌کنیم:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { { t ^ 2 } } \right) ^ \prime } = 2 t,\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = { \left( { { t ^ 3 } } \right) ^ \prime } = 3 { t ^ 2 } . }$$

بنابراین، مشتق به‌‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { {{ y ’ _ t } } }{ { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { 3 { t ^ 2 } } } { { 2 t } } } = { \frac { { 3 t } } { 2 }\;\left( { t \ne 0} \right).}$$

مثال ۲

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large { x = 2 t + 1 ,\;\;}\kern-0.3pt{ y = 4 t – 3 . }$$

حل:‌ مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$t$$‌ به‌صورت زیر است:

$$\large { { x ’ _ t } = \left( { 2 t + 1 } \right) = 2,\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = {\left( { 4 t – 3 } \right) ^ \prime } = 4.}$$

بنابراین، داریم:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { {{ y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } } = { \frac { 4 } { 2 } = 2.}$$

مثال ۳

مشتق تابع پارامتری نمایی زیر را به‌دست آورید:

$$\large x = { e ^ { 2 t } } ,\;\;y = { e ^ { 3t } } .$$

حل: ابتدا مشتقات را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { { e ^ { 2 t } } } \right) ^ \prime } = 2 { e ^ { 2 t } } ,\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = { \left( { { e ^ { 3 t } } } \right) ^ \prime } = 3 { e ^ { 3 t } } . }$$

در نتیجه، مشتتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ برابر است با:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { 3 { e ^ { 3 t } } } } {{ 2 { e ^ { 2 t } }} } } = { \frac { 3 } { 2 }{ e ^ { 3 t – 2 t } } } = { \frac { 3 } { 2 } { e ^ t } . }$$

مثال ۴

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large x = a t, \;\; y = b { t ^ 2 } .$$

حل:‌ مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$t$$‌ به‌صورت زیر است:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { a t } \right) ^ \prime } = a,\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = { \left( { b { t ^ 2 } } \right) ^ \prime } = 2 b t . }$$

بنابراین، داریم:

$$\large \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x} = \frac { { {y ’_ t } }} {{ { x ’_ t } } } = \frac { { 2 bt } } { a} .$$

مثال ۵