سری لوران – به زبان ساده

سری لوران

در این بخش، روش به دست آمدن سری لوران را بررسی می‌کنیم. دو کانتور دایره‌ای $$C _ 2$$ و $$C_ 1$$ را در نظر بگیرید که شعاع $$C_ 1$$ بزرگ‌تر از شعاع $$C_ 2$$ است. فرض کنید $$z _ 0$$ درون $$C _ 1$$ و $$C_ 2$$ قرار داشته باشد، و $$z$$ بین $$C _ 1$$ و $$C_ 2$$ باشد.

اکنون، پاره‌خط $$C _ c$$ بین $$C_ 1$$ و $$C _ 2$$ را ایجاد کرده و در مسیر $$C\equiv C_1+C_c-C_2-C_c$$ انتگرال‌گیری می‌کنیم، به گونه‌ای که مثبت و منفی $$C _ c$$ یکدیگر را حذف کنند. با توجه به فرمول انتگرال کوشی، داریم:

$$ \large \begin {eqnarray}<br /> f ( z ) & = & { 1 \over 2 \pi i } \int _ C { f ( z' ) \over z' -z } \, d z' \nonumber \\<br /> & = & { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 1 } { f ( z' ) \over z' -z } \, d z' + { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ c } { f ( z' ) \over z' - z } \, d z' \nonumber \\<br /> & \phantom { = } & - { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 2 }{ f ( z' ) \over z' - z } \, d z' - { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ c }{ f ( z' ) \over z' - z } \, d z' \nonumber \\<br /> & = & { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 1 } { f ( z' ) \over z' -z } \, d z' - { 1 \over 2 \pi i } \int _ { C _ 2 } { f ( z' ) \over z' - z } \, d z' .<br /> \end {eqnarray} $$