پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفهوم انتگرال سطحی را بیان کردیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در قالب مثال، کاربرد انتگرال سطحی در مسائل هندسی را توضیح دهیم. البته به منظور آشنایی بیشتر با مفاهیم انتگرال پیشنهاد می‌شود مطالب انتگرال ، انتگرال سطحی و انتگرال دوگانه را مطالعه فرمایید.
کاربرد انتگرال سطحی
در حالت کلی بیشترین کاربرد انتگرال سطحی در دو مورد است.
محاسبه مساحت سطح
حجم محدود شده توسط یک سطح
در مثال‌هایی که در انتهای این متن ذکر شده هریک از کاربرد‌های فوق را به تفکیک توضیح خواهیم داد.
مساحت سطح
رویه یا سطح S S S چندمتغیره قابل توصیف است. در این صورت مساحت سطح S S S
A = ∬ S d S \large A = \iint \limits _ S { d S } A = S ∬ d S
حال این سوال مطرح می‌شود که انتگرال فوق به چه صورت باید محاسبه شود. بدین منظور در ابتدا تابعی برداری یا اصطلاحا پارامتری را در نظر بگیرید که به صورت زیر است.
r ( u , v ) = x ( u , v ) i + y ( u , v ) j + z ( u , v ) k \large { \mathbf{r}\left( { u , v } \right) }
= { x \left ( { u , v } \right)\mathbf{i} } + { y \left( { u , v } \right)\mathbf{j} }+{ z\left( {u,v} \right)\mathbf{k} } r ( u , v ) = x ( u , v ) i + y ( u , v ) j + z ( u , v ) k
فرض کنید تابع پارامتری فوق توصیف کننده سطح S S S A \large A A
A = ∬ D ( u , v ) ∣ ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v ∣ d u d v \large {A \text{ = }}\kern0pt { \iint\limits _ { D \left ( { u , v } \right)} {\left| {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}} \times \frac{{\partial \mathbf { r } } } { { \partial v}}} \right|dudv} } A = D ( u , v ) ∬ ∂ u ∂ r × ∂ v ∂ r d u d v
توجه داشته باشید که D ( u , v ) \large {D\left( {u,v} \right)} D ( u , v ) z ( x , y ) \large { z \left ( { x , y } \right)} z ( x , y )
A = ∬ D ( x , y ) 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 d x d y \large { A \text{ = }}\kern0pt{ \iint \limits _ { D \left ( { x , y} \right)} {\sqrt {1 + {{\left( { \frac { { \partial z } }{{\partial x } } } \right ) } ^ 2} + { {\left( {\frac { { \partial z}}{{\partial y}}} \right)}^2}} d x d y }} A = D ( x , y ) ∬ 1 + ( ∂ x ∂ z ) 2 + ( ∂ y ∂ z ) 2 d x d y
در رابطه فوق D ( x , y ) \large {D\left( {x,y} \right)} D ( x , y ) S S S x y \large x y x y
حجم محدود شده در سطح بسته
فرض کنید حجمی مشخص توسط یک سطح محدود شده است. در این صورت اندازه این حجم برابر است با:
V = 1 3 ∣ ∬ S x d y d z + y d x d z + z d x d y ∣ \large {V \text{ = }}\kern0pt{ \frac{1}{3}\Big| { \iint \limits _ S { x d y d z + y dx d z + z d x d y } } \Big|} V = 3 1 S ∬ x d y d z + y d x d z + z d x d y
به مثال‌هایی که در ادامه ارائه شده، توجه فرمایید.
مثال ۱
مساحت بخشی از سهموی 25 – x 2 – y 2 \large 2 5 – { x ^ 2 } – { y ^ 2 } 25– x 2 – y 2 x y \large x y x y
همان‌طور که در بالا نیز عنوان شد مساحت رویه S S S
A = ∬ S d S = ∬ D ( x , y ) 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 d x d y \large { A = \iint \limits _ S { d S } \text{ = }}\kern0pt
{ \iint \limits _ { D \left( { x , y } \right ) } {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right ) } ^ 2 } } d x d y } } A = S ∬ d S = D ( x , y ) ∬ 1 + ( ∂ x ∂ z ) 2 + ( ∂ y ∂ z ) 2 d x d y
در ابتدا مشتقات جزئی را به صورت زیر بدست می‌آوریم.
∂ z ∂ x = – x 25 – x 2 – y 2 , ∂ z ∂ y = – y 25 – x 2 – y 2 \large {{\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} = {\frac{{ – x}}{{\sqrt {25 – { x ^ 2} – { y ^ 2 }} }}} \;\;\;} , \ \ \kern0pt
{ { \frac { { \partial z } } { { \partial y } } } = {\frac{{ – y } } { { \sqrt {25 – { x ^ 2 } – { y ^ 2 } } }}}} ∂ x ∂ z = 25– x 2 – y 2 – x , ∂ y ∂ z = 25– x 2 – y 2 – y
بنابراین انتگرال دوگانه به صورت زیر در می‌آید.
A = ∬ D ( x , y ) 5 d x d y 25 – x 2 – y 2 \large {A \text{ = }}\kern0pt
{\iint\limits _ { D \left( { x , y } \right)} {\frac { { 5 d x d y } } { { \sqrt {25 – {x^2} – { y ^ 2 } } }}} } A = D ( x , y ) ∬ 25– x 2 – y 2 5 d x d y
رابطه فوق را می‌توان به صورت زیر در مختصات قطبی نوشت. نهایتا مقدار مساحت برابر می‌شود با:
A = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 5 5 r d r 25 – r 2 = 10 π ∫ 0 5 r d r 25 – r 2 = – 5 π ∫ 0 5 d ( 25 – r 2 ) 25 – r 2 = – 5 π [ ( 25 – r 2 1 2 ) ∣ 0 5 ] = 50 π \large \begin {align*} {A = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^5 { \frac { { 5 r d r } } { { \sqrt {25 – {r^2}} }}} } & = { 10 \pi \int \limits _ 0 ^ 5 { \frac { { r d r} } { { \sqrt {25 – { r ^ 2 }} }}} }
\\ & = { – 5\pi \int\limits_0^5 {\frac{{d\left( {25 – { r^ 2 }} \right )}}{{\sqrt {25 – {r^2}} }}} }
\\ & = { – 5\pi \left[ {\left. {\left( {\frac{{\sqrt {25 – { r ^ 2}} }}{{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|_0^5} \right] }
\\ & = {50 \pi } \end {align*} A = 0 ∫ 2 π d φ 0 ∫ 5 25– r 2 5 r d r = 10 π 0 ∫ 5 25– r 2 r d r = –5 π 0 ∫ 5 25– r 2 d ( 25– r 2 ) = –5 π ( 2 1 25– r 2 ) 0 5 = 50 π
همان‌طور که مشاهده شد انتخاب نوع مختصات در حل مسئله بسیار حائز اهمیت است.
مثال ۲
مساحت نیمکره‌ای به شعاع R R R
در شکل زیر نیمکره‌ای به شعاع R R R
هندسه کره نشان می‌دهد بهترین دستگاه مختصات به منظور توصیف سطح آن، دستگاه مختصات کروی است. به منظور توصیف سطح می‌توان از تابع پارامتری زیر استفاده کرد.
r ( ψ , θ ) = R cos ψ sin θ ⋅ i + R sin ψ sin θ ⋅ j + R cos θ ⋅ k , \large \begin {align*} { \mathbf { r } \left ( { \psi ,\theta } \right) }
= {R\cos \psi \sin \theta \cdot \mathbf{i} }+{ R\sin \psi \sin \theta \cdot \mathbf{j} }+{ R\cos \theta \cdot \mathbf{ k } , } \end {align*} r ( ψ , θ ) = R cos ψ sin θ ⋅ i + R sin ψ sin θ ⋅ j + R cos θ ⋅ k ,
به منظور پوشش کلِ سطح، بازه‌های ψ \large \psi ψ θ \large \theta θ
0 ≤ ψ ≤ 2 π , 0 ≤ θ ≤ π 2 \large 0 \le \psi \le 2\pi \ \ , \ \ 0 \le \theta \le {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} 0 ≤ ψ ≤ 2 π , 0 ≤ θ ≤ 2 π
در ابتدا مشتقات جزئی مورد نیاز را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.
∂ r ∂ ψ = ∂ ∂ ψ ( R cos ψ sin θ , R sin ψ sin θ , R cos θ ) = ( – R sin ψ sin θ , R cos ψ sin θ , 0 ) \large \begin {align*} {\frac{{\partial \mathbf{ r } } } {{\partial \psi }} }
& = {\frac{\partial }{{\partial \psi }}\left( {R\cos \psi \sin \theta ,R\sin \psi \sin \theta ,R\cos \theta } \right) }
\\ & = {\left( { – R\sin \psi \sin \theta ,R\cos \psi \sin \theta ,0} \right) } \end {align*} ∂ ψ ∂ r = ∂ ψ ∂ ( R cos ψ sin θ , R sin ψ sin θ , R cos θ ) = ( – R sin ψ sin θ , R cos ψ sin θ , 0 )
∂ r ∂ θ = ∂ ∂ θ ( R cos ψ sin θ , R sin ψ sin θ , R cos θ ) = ( R cos ψ cos θ , R sin ψ cos θ , – R sin θ ) \large \begin {align*} {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \theta }} }
& = {\frac{\partial }{{\partial \theta }}\left( {R\cos \psi \sin \theta ,R\sin \psi \sin \theta ,R\cos \theta } \right) }
\\ & = {\left( {R\cos \psi \cos \theta ,R\sin \psi \cos \theta , – R\sin \theta } \right) }
\\ \end {align*} ∂ θ ∂ r = ∂ θ ∂ ( R cos ψ sin θ , R sin ψ sin θ , R cos θ ) = ( R cos ψ cos θ , R sin ψ cos θ , – R sin θ )
از طرفی دیفرانسیل سطح برابر است با:
d S = ∣ ∂ r ∂ ψ × ∂ r ∂ θ ∣ d ψ d θ = R 2 sin 4 θ ( cos 2 ψ + sin 2 ψ ) + sin 2 θ cos 2 θ d ψ d θ = R 2 sin θ sin 2 θ + cos 2 θ d ψ d θ = R 2 sin θ d ψ d θ \large \begin {align*} {dS = \left| {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }} \times \frac{{\partial \mathbf{ r } } } { { \partial \theta } } } \right|d\psi d\theta }
& = {{R^2}\sqrt {{{\sin }^4}\theta \left( {{{\cos }^2}\psi + {{\sin }^2}\psi } \right) + {{\sin }^2}\theta \,{{\cos }^2}\theta } d\psi d\theta }
\\ & = { { R ^ 2 } \sin \theta \sqrt {{{\sin }^2}\theta + {{\cos }^2}\theta } d\psi d\theta }
\\ & = { { R ^ 2 } \sin \theta d\psi d\theta }
\\ \end {align*} d S = ∂ ψ ∂ r × ∂ θ ∂ r d ψ d θ = R 2 sin 4 θ ( cos 2 ψ + sin 2 ψ ) + sin 2 θ cos 2 θ d ψ d θ = R 2 sin θ sin 2 θ + cos 2 θ d ψ d θ = R 2 sin θ d ψ d θ
نهایتا مساحت نیمکره برابر می‌شود با:
A = ∬ S d S = ∫ D ( ψ , θ ) R 2 sin θ d ψ d θ = R 2 ∫ 0 2 π d ψ ∫ 0 π 2 sin θ d θ = 2 π R 2 ⋅ [ ( – cos θ ) ∣ 0 π 2 ] = 2 π R 2 ( – cos π 2 + cos 0 ) = 2 π R 2 \large \begin {align*} {A = \iint\limits_S { d S } }
& = {\int\limits_{D\left( {\psi ,\theta } \right)} {{R^2}\sin \theta d\psi d\theta } }
\\ & = { { R ^ 2 } \int\limits_0^{2\pi } {d\psi } \int\limits_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize} {\sin \theta d\theta } }
\\ & = {2\pi {R^2} \cdot \left[ {\left. {\left( { – \cos \theta } \right)} \right|_0^{\large\frac{\pi }{2}\normalsize}} \right] }
\\ & = { 2 \pi { R ^ 2 } \left( { – \cos \frac{\pi }{2} + \cos 0} \right) }
\\ & = { 2 \pi { R ^ 2 } } \end {align*} A = S ∬ d S = D ( ψ , θ ) ∫ R 2 sin θ d ψ d θ = R 2 0 ∫ 2 π d ψ 0 ∫ 2 π sin θ d θ = 2 π R 2 ⋅ [ ( – cos θ ) ∣ 0 2 π ] = 2 π R 2 ( – cos 2 π + cos 0 ) = 2 π R 2
مثال ۳
مساحت چنبره‌‌ای با معادله z 2 + ( r – b ) 2 = a 2 , ( 0 ≤ a ≤ b ) \large \begin {align*} { z ^ 2 } + { \left ( { r – b } \right) ^ 2 } = a ^ 2 , \left( {0 \le a \le b} \right) \end {align*} z 2 + ( r – b ) 2 = a 2 , ( 0 ≤ a ≤ b )
با توجه به معادله، شکل این چنبره به صورت زیر خواهد بود.
راحت‌تر آن است که معادله در مختصات استوانه‌ای نوشته شود. بنابراین خواهیم داشت.
{ x = ( b + a cos ψ ) cos φ y = ( b + a cos ψ ) sin φ z = a sin ψ \large \begin {align*} \left\{ \begin{array}{l}
& x = \left( {b + a\cos \psi } \right)\cos \varphi \\
\\ & y = \left( {b + a\cos \psi } \right)\sin\varphi \\
\\ & z = a\sin \psi
\end{array} \right. \end {align*} ⎩ ⎨ ⎧ x = ( b + a cos ψ ) cos φ y = ( b + a cos ψ ) sin φ z = a sin ψ
باید ثابت کنیم که رابطه فوق توصیف کننده همین چنبره است. همان‌طور که می‌بینید شکل چنبره به صورت حلقوی است. بنابراین مقادیر x x x y y y x 2 + y 2 = r 2 \large \begin {align*} { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = {r^2} \end {align*} x 2 + y 2 = r 2
( b + a cos ψ ) 2 cos 2 φ + ( b + a cos ψ ) 2 sin 2 φ = r 2 ⇒ ( b + a cos ψ ) 2 = r 2 ⇒ r = b + a cos ψ ⇒ r – b = a cos ψ ⇒ ( r – b ) 2 + z 2 = ( a cos ψ ) 2 + ( a sin ψ ) 2 ⇒ ( r – b ) 2 + z 2 = a 2 \large \begin {align*} { { \left ( { b + a \cos \psi } \right ) ^ 2 } { \cos ^ 2 } \varphi + { \left ( { b + a \cos \psi } \right ) ^ 2 } { \sin ^ 2 } \varphi = { r ^ 2 } \;\;} & \Rightarrow
{{\left( {b + a\cos \psi } \right)^2} = {r^2} \;\;} \\ & \Rightarrow
{r = b + a\cos \psi \;\;} \\ & \Rightarrow
{r – b = a\cos \psi \;\;} \\ & \Rightarrow
{{\left( {r – b} \right)^2} + {z^2} = {\left( {a\cos \psi } \right)^2} + {\left( {a\sin \psi } \right)^2} \;\;} \\ & \Rightarrow
{{\left( {r – b} \right)^2} + {z^2} = {a^2} } \end {align*} ( b + a cos ψ ) 2 cos 2 φ + ( b + a cos ψ ) 2 sin 2 φ = r 2 ⇒ ( b + a cos ψ ) 2 = r 2 ⇒ r = b + a cos ψ ⇒ r – b = a cos ψ ⇒ ( r – b ) 2 + z 2 = ( a cos ψ ) 2 + ( a sin ψ ) 2 ⇒ ( r – b ) 2 + z 2 = a 2
نهایتا سطح چنبره را می‌توان با استفاده از تابع برداری زیر، به صورت پارامتری بیان کرد.
r ( φ , ψ ) = ( b + a cos ψ ) cos φ ⋅ i + ( b + a cos ψ ) sin φ ⋅ j + a sin ψ ⋅ k \large \begin {align*} { \mathbf { r } \left ( { \varphi , \psi } \right ) } = { \left( {b + a\cos \psi } \right)\cos \varphi \cdot \mathbf{i}}
& + {\left( {b + a\cos \psi } \right)\sin\varphi \cdot \mathbf{j}}
\\ & + {a\sin \psi \cdot \mathbf{k} } \end {align*} r ( φ , ψ ) = ( b + a cos ψ ) cos φ ⋅ i + ( b + a cos ψ ) sin φ ⋅ j + a sin ψ ⋅ k
همان‌طور که در بالا نیز عنوان شد، مساحت یک رویه که به صورت پارامتری بیان شده را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.
A = ∬ S d S = ∬ D ( φ , ψ ) ∣ ∂ r ∂ φ × ∂ r ∂ ψ ∣ d φ d ψ \large \begin {align*} {A = \iint\limits_S {dS} }
= {\iint\limits _ { D \left( {\varphi ,\psi } \right)} {\left| {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \varphi }} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }}} \right|d\varphi d\psi } } \end {align*} A = S ∬ d S = D ( φ , ψ ) ∬ ∂ φ ∂ r × ∂ ψ ∂ r d φ d ψ
ضرب خارجی فوق به صورت زیر بدست می‌آید.
$$ \large \begin {align*} {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \varphi }} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }} }<br />
& = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br />
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\<br />
{ – \left( {b + a\cos \psi } \right)\sin \varphi } & {\left( {b + a\cos \psi } \right)\cos\varphi } & 0\\<br />
{ – a\sin \psi \cos \varphi } & { – a\sin \psi \sin \varphi } & {a\cos\psi }<br />
\end{array}} \right| }<br />
\\ & = {a\cos\psi \left( {b + a\cos \psi } \right)\cos\varphi \cdot \mathbf{i} }<br />
\\ & + {a\cos\psi \left( {b + a\cos \psi } \right)\sin\varphi \cdot \mathbf{j} }<br />
\\& + {\left[ {a\sin \psi \,{{\sin }^2}\varphi \left( {b + a\cos \psi } \right) } + {a\sin \psi \,{{\cos }^2}\varphi \left( {b + a\cos \psi } \right)} \right] \cdot \mathbf{k} }<br />
\\ & = {a\cos\varphi \cos \psi \left( {b + a\cos \psi } \right) \cdot \mathbf{i} }<br />
\\ & + {a\sin\varphi \cos \psi \left( {b + a\cos \psi } \right) \cdot \mathbf{j} }<br />
\\ & + {a\sin\psi \left( {b + a\cos \psi } \right) \cdot \mathbf{k}. }<br />
\\ \end {align*} $$
اندازه بردار فوق نیز برابر است با:
∣ ∂ r ∂ φ × ∂ r ∂ ψ ∣ = [ a 2 cos 2 φ cos 2 ψ ( b + a cos ψ ) 2 + a 2 sin 2 φ cos 2 ψ ( b + a cos ψ ) 2 + a 2 sin 2 ψ ( b + a cos ψ ) 2 ] 1 2 = a [ cos 2 ψ ( b + a cos ψ ) 2 + sin 2 ψ ( b + a cos ψ ) 2 ] 1 2 = a ( b + a cos ψ ) \large \begin {align*} {\left| { \frac { { \partial \mathbf{r}}}{{\partial \varphi }} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial \psi }}} \right| }
& = { \left[ {{a^2}{\cos^2}\varphi \,{ { \cos } ^ 2 } \psi { { \left ( { b + a \cos \psi } \right ) } ^ 2 } } \right. }
\\ & + {{a^2}{\sin^2}\varphi \,{\cos ^2}\psi {\left( {b + a\cos \psi } \right)^2} }
\\ & + {{\left. {{a^2}{{\sin }^2}\psi {{\left( {b + a\cos \psi } \right)}^2}} \right]^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} }
\\ & = {a{\left[ {{{\cos }^2}\psi { { \left ( { b + a\cos \psi } \right ) } ^ 2 } + {{\sin }^2}\psi {{\left( {b + a\cos \psi } \right)}^2}} \right]^{\large\frac { 1 } { 2 } \normalsize}} }
\\ & = {a\left( {b + a\cos \psi } \right) }
\\ \end {align*} ∂ φ ∂ r × ∂ ψ ∂ r = [ a 2 cos 2 φ cos 2 ψ ( b + a cos ψ ) 2 + a 2 sin 2 φ cos 2 ψ ( b + a cos ψ ) 2 + a 2 sin 2 ψ ( b + a cos ψ ) 2 ] 2 1 = a [ cos 2 ψ ( b + a cos ψ ) 2 + sin 2 ψ ( b + a cos ψ ) 2 ] 2 1 = a ( b + a cos ψ )
در آخرین گام نیز مساحت رویه به صورت زیر بدست خواهد آمد.
A = ∬ S d S = ∬ D ( φ , ψ ) a ( b + a cos ψ ) d φ d ψ = a ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 2 π ( b + a cos ψ ) d ψ = 2 π a ∫ 0 2 π ( b + a cos ψ ) d ψ = 2 π a [ ( b ψ + a sin ψ ) ∣ 0 2 π ] = 2 π a ⋅ 2 π b = 4 π 2 a b \large \begin {align*} {A = \iint\limits_S {dS} }
& = {\iint\limits_{D\left( {\varphi ,\psi } \right)} {a\left( {b + a\cos \psi } \right)d\varphi d\psi } }
\\ & = {a\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{2\pi } {\left( {b + a\cos \psi } \right)d\psi } }
\\ & = {2\pi a\int\limits_0^{2\pi } {\left( {b + a\cos \psi } \right)d\psi } }
\\ & = {2\pi a\left[ {\left. {\left( {b\psi + a\sin \psi } \right)} \right|_0^{2\pi }} \right] }
\\ & = {2\pi a \cdot 2\pi b }
\\ & = {4{\pi ^2}ab } \end {align*} A = S ∬ d S = D ( φ , ψ ) ∬ a ( b + a cos ψ ) d φ d ψ = a 0 ∫ 2 π d φ 0 ∫ 2 π ( b + a cos ψ ) d ψ = 2 πa 0 ∫ 2 π ( b + a cos ψ ) d ψ = 2 πa [ ( b ψ + a sin ψ ) ∣ 0 2 π ] = 2 πa ⋅ 2 πb = 4 π 2 ab
مثال ۴
حجم محصور در بیضی‌گون x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 0 \large \begin {align*} {\large\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\normalsize} + {\large\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\normalsize} + \frac { z ^ 2 } { c ^ 2 } =0 \end {align*} a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 0
شکل این بیضی گون به صورت زیر است.
رابطه محاسبه حجم محصور درون رویه به صورت زیر معرفی شد.
V = 1 3 ∣ ∬ S x d y d z + y d x d z + z d x d y ∣ \large \begin {align*} {V \text{ = }}\kern0pt{ \frac{1}{3}\Big| {\iint\limits_S { x d y d z + y d x d z + z d x d y} } \Big|} \end {align*} V = 3 1 S ∬ x d y d z + y d x d z + z d x d y
با توجه به مطلب سطوح پارامتری ، شکل برداری بیضی‌گون را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.
r ( u , v ) = a cos u sin v ⋅ i + b sin u sin v ⋅ j + c cos v ⋅ k , where 0 ≤ u ≤ 2 π , 0 ≤ v ≤ π \large \begin {align*} {\mathbf{r}\left ( { u , v } \right) }
= {a\cos u\sin v \cdot \mathbf{i} } + { b \sin u \sin v \cdot \mathbf{j} }+{ c\cos v \cdot \mathbf{k},\;\;}\kern-0.3pt{\text{where} \;\;}\kern-0.3pt
{0 \le u \le 2\pi ,\;\;}\kern-0.3pt
{0 \le v \le \pi } \end {align*} r ( u , v ) = a cos u sin v ⋅ i + b sin u sin v ⋅ j + c cos v ⋅ k , where 0 ≤ u ≤ 2 π , 0 ≤ v ≤ π
توجه داشته باشید که کمیت‌های u , v \large u , v u , v ψ , θ \large \begin {align*} \psi , \theta \end {align*} ψ , θ F = ( x , y , z ) \large \begin {align*} F = ( x , y , z ) \end {align*} F = ( x , y , z )
P = x = a cos u sin v , Q = y = b sin u sin v , R = z = c cos v \large {P = x = a\cos u\sin v,\;\;\;}\kern-0.3pt
{Q = y = b\sin u\sin v,\;\;\;}\kern-0.3pt
{R = z = c\cos v } P = x = a cos u sin v , Q = y = b sin u sin v , R = z = c cos v
حال با استفاده از فرمول محاسبه حجم داریم:
$$ \large { \iint \limits _ S { P d y d z + Q d z d x } + { R d x d y } }<br />
= {\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br />
P & Q & R\\<br />
{ \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac{{\partial z}}{{\partial u } }}\\<br />
{\frac { { \partial x}}{{\partial v}}}&{\frac{{\partial y}}{{\partial v}}}&{\frac{{\partial z}}{{\partial v}}}<br />
\end{array}} \right|d u d v }}<br />
\\ $$
در نتیجه انتگرال سطحی تابع روی S \large S S
$$ \large \begin {align*} { \iint \limits _ S { x d y d z + y d z d x + z d x d y } }<br />
& = { \iint \limits _ { D \left( { u , v } \right ) } { \left| { \begin {array} {*{20} { c } }<br />
{a\cos u\sin v } & { b \sin u\sin v } & { c \cos v}\\<br />
{ – a\sin u\sin v } & { b \cos u \sin v } & 0 \\<br />
{a\cos u \cos v}&{b\sin u\cos v}&{ – c\sin v}<br />
\end{array}} \right|dudv} }<br />
\\ & = {\int\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\left[ {a\cos u\sin v\left( { – bc\cos u\,{{\sin }^2}v} \right)} \right.} }<br />
\\ & – {b\sin u\sin v\left( {ac\sin u\,{{\sin }^2}v} \right) }<br />
\\ & + {\left. {c\cos v\left( { – ab\,{{\sin }^2}u\sin v\cos v – ab\,{{\cos }^2}u\sin v\cos v} \right)} \right]dudv }<br />
\\ & = { – abc\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\left[ {{{\sin }^3}v\left( {{{\cos }^2}u + {{\sin }^2}u} \right) + \sin v\,{{\cos }^2}v} \right]dudv} }<br />
\\ & = { – abc\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\sin v\left( {{{\sin }^2}v + {{\cos }^2}v} \right)dudv} }<br />
\\ & = { – abc\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\sin v dudv} }<br />
\\ & = { – abc\int\limits_0^{2\pi } {du} \int\limits_0^\pi {\sin v dv} }<br />
\\ & = { – abc \cdot 2\pi \cdot \left. {\left( { – \cos v} \right)} \right|_0^\pi }<br />
\\ & = {2\pi abc \cdot \left( {\cos \pi – \cos 0} \right) }<br />
\\ & = { – 4\pi abc.}<br />
\\ \end {align*} $$
بنابراین نهایتا حجم محصور در سطح برابر است با:
V = ∣ 1 3 ( – 4 π a b c ) ∣ = 4 π a b c 3 \large \begin {align*} {V = \left| {\frac { 1 } { 3 } \left( { – 4\pi abc} \right)} \right| }={ \frac{{4\pi a b c } } { 3 } } \end {align*} V = 3 1 ( –4 πab c ) = 3 4 πab c
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
^^
فرادرس
