سطوح پارامتری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس نحوه ارائه یک خم به صورت پارامتری را توضیح دادیم. در این مطلب قصد داریم تا یک قدم فراتر گذاشته و نحوه بیان سطوح پارامتری را توضیح دهیم. بدین منظور پیشنهاد می‌شود در ابتدا مطالب توابع چند متغیره، تابع برداری، ضرب خارجی، معادله صفحه و رویه های درجه دوم را مطالعه فرمایید.

مقدمه

در مطلب توابع برداری بیان شد که به منظور بیان کردن پارامتری یک خم در ابتدا مقداری از t را در بازه $$\large \left [ { a , b } \right ]$$ انتخاب کرده، سپس با قرار دادن آن در تابع برداری زیر، شکل پارامتری یک خم بدست خواهد آمد.

$$\Large \overrightarrow r \left ( t \right ) = x \left ( t \right) \overrightarrow i + y \left ( t \right ) \overrightarrow j + z \left ( t \right ) \overrightarrow k$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی 2 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

در حقیقت بردار فوق نقاط روی خم را نشان می‌دهد. برای نمونه در شکل زیر بردار‌های توصیف کننده یک منحنی نشان داده شده است.

معادله سطوح پارامتری

دقیقا در حالت صفحه نیز همین اتفاق رخ می‌دهد. در این حالت دو مقدار u و v از ناحیه دوبعدی D انتخاب شده و با قرار دادن آن در تابعی برداری به صورت زیر، معادله پارامتری صفحه بدست خواهد آمد.

$$\Large \overrightarrow r \left ( { u , v } \right ) = x \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow i + y \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow j + z \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow k$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

در حقیقت با قرار دادن u,v در رابطه فوق، بردار r، نقاط روی صفحه S را نشان خواهد داد. سوالات مربوط به معادله پارامتری صفحه به طور کلی به دو صورت هستند. در برخی از موارد رابطه‌ دکارتی صفحه داده شده و هدف محاسبه شکل پارامتری صفحه است. در مواردی عکس، شکل پارامتری صفحه معلوم بوده و رابطه دکارتی آن باید بدست آید. در ادامه و در قالب مثال‌هایی مفهوم معادله پارامتری صفحه توضیح داده شده است.

مثال ۱

شکل پارامتری صفحه زیر را بدست آورید.

$$\Large \overrightarrow r \left ( { u , v } \right ) = u \, \overrightarrow i + u \cos v \, \overrightarrow j + u \sin v \, \overrightarrow k$$

در ابتدا مولفه‌ها را به صورت زیر برابر با x و y و z قرار دهید.

$$\Large x = u \hspace {0.5in} y = u \cos v \hspace {0.5in} z = u \sin v$$

اگر توان دوم y و z را با هم جمع کنیم، متغیر‌های u و v حذف شده و معادله به صورت زیر قابل بیان است.

$$\Large { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = { u ^ 2 } { \cos ^ 2 } v + { u ^ 2 } { \sin ^ 2 } v = { u ^ 2 } \left ( { { { \cos } ^ 2 } v + { { \sin } ^ 2 } v } \right ) = { u ^ 2 } = { x ^ 2 }$$

با توجه به مطلب رویه های درجه دوم می‌توان دریافت که رابطه دکارتی فوق نشان دهنده مخروطی در راستای x است. در ادامه شکل مخروط مذکور نشان داده شده.

معمولا در محاسبات نیاز داریم تا شکل دکارتی یک معادله را به صورت پارامتری بیان کنیم.

مثال ۲

شکل پارامتری سطوح زیر را بدست آورید.

1. سهمی گون بیضویِ $$\large x = 5 { y ^ 2 } + 2 { z ^ 2 } - 1 0$$
2. کره $$\large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 3 0$$
3. استوانه $$\large { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 25$$

۱. همان‌طور که می‌بینید در رابطه $$\large x = 5 { y ^ 2 } + 2 { z ^ 2 } - 1 0$$ متغیر x بر حسب دو متغیر y و z بیان شده‌. بنابراین معادله صفحه را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\Large x = 5 { y ^ 2 } + 2 { z ^ 2 } - 10 \hspace {0.25in} y = y \hspace {0.25in} \, z = z$$

در حقیقت دو متغیر دلخواه y,z به عنوان متغیر‌های ورودی در نظر گرفته شده‌اند و صفحه بر اساس آن‌ها بیان شده است. نهایتا شکل پارامتری صفحه برابر است با:

$$\Large \overrightarrow r \left ( { y , z } \right ) = \left ( { 5 { y ^ 2 } + 2 { z ^ 2 } - 1 0 } \right ) \overrightarrow i + y \, \overrightarrow j + z \, \overrightarrow k$$

۲. معادله $$\large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 3 0$$ را می‌توان با استفاده از مفهوم مختصات کروی به صورت پارامتری بیان کرد. در حقیقت معادله کره‌ای به شعاع a را می‌توان در مختصات کروی به صورت زیر ارائه داد.

$$\Large \rho = a$$

بنابراین معادله کره در این مسئله را می‌توان به صورت $$\large \rho = \sqrt { 30 }$$ نوشت. از طرفی برای تبدیل کردن مختصات کارتزین به کروی، از روابط زیر استفاده می‌شود.

$$\Large x = \rho \sin \varphi \cos \theta \ \ , \hspace {0.25in} y = \rho \sin \varphi \sin \theta \hspace {0.25in} , \ z = \rho \cos \varphi$$

بنابراین شکل برداری صفحه را نیز می‌توان به صورت زیر بیان کرد. در حقیقت در این حالت ورودی‌ها دو متغیر $$\large \theta , \varphi$$ هستند.

$$\Large \overrightarrow r \left( {\theta ,\varphi } \right) = \sqrt {30} \sin \varphi \cos \theta \,\overrightarrow i + \sqrt {30} \sin \varphi \sin \theta \,\overrightarrow j + \sqrt {30} \cos \varphi \,\overrightarrow k$$

تنها کاری که باقیمانده محدود کردن ورودی‌ها به نحوی است که شکل کره را توصیف کنند. با توجه به مطلب دستگاه مختصات کروی، زوایای $$\large \theta , \varphi$$ در بازه‌ زیر قرار می‌گیرند.

$$\Large 0 \le \varphi \le \pi \ , \ 0 \le \theta \le 2\pi$$

۳. در این حالت نیز می‌توان از مختصات استوانه‌ای استفاده کرد. معادله استوانه‌ای به شعاع a را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\Large r = a$$

بنابراین معادله این استوانه نیز به صورت $$\large r = 5$$ قابل بیان است. از طرفی تبدیلات کارتزین به مختصات استوانه‌ای به صورت زیر است.

$$\Large x = x \ \ \ , \hspace{0.5in} y = r \sin \theta \ \ \ , \hspace {0.5in} z = r \cos \theta$$

بنابراین نهایتا معادله پارامتری استوانه را می‌توان به صورت زیر بیان کرد.

$$\Large \overrightarrow r \left( { x ,\theta } \right ) = x \, \overrightarrow i + 5 \sin \theta \,\overrightarrow j + 5 \cos \theta \, \overrightarrow k$$

باید توجه داشته باشید که θ در بازه $$\large 0 \le \theta \le 2\pi$$ قرار گرفته است. در ادامه شکل استوانه مذکور نشان داده شده.

با توجه به مثال فوق احتمالا متوجه شده‌اید که توابع چند متغیره را می‌توان به سادگی به صورت پارامتری بیان کرد. در حقیقت توابعی به شکل زیر را می‌توان به صورت پارامتری بیان کرد:

$$\Large \begin {align*} z &= f \left( {x,y} \right) \hspace{0.25in}\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\overrightarrow r\left( {x,y} \right) = x \, \overrightarrow i + y\,\overrightarrow j + f\left( {x,y} \right)\overrightarrow k\\ x & = f\left( {y,z} \right)\hspace{0.25in}\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in} \, \, \overrightarrow r \left ( { y , z } \right ) = f\left ( { y , z } \right)\,\overrightarrow i + y\,\overrightarrow j + z\,\overrightarrow k\\ y & = f\left ( { x , z } \right ) \hspace {0.25in} \, \, \Rightarrow \hspace {0.25in} \, \, \overrightarrow r \left ( { x , z } \right ) = x \, \overrightarrow i + f \left ( { x , z } \right ) \, \overrightarrow j + z\,\overrightarrow k \end {align*}$$

احتمالا تاکنون با مفهوم سطوح پارامتری آشنا شده‌اید. از این رو در این قسمت می‌خواهیم دو مورد از کاربرد‌ این توابع را توضیح دهیم. در ابتدا تصور کنید تابعی پارامتری به صورت زیر در اختیار داریم.

$$\Large \overrightarrow r \left ( { u , v } \right ) = x \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow i + y \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow j + z \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow k$$

از این تابع در دو راستای u و v، مطابق با رابطه زیر مشتق‌ِ جهتی می‌گیریم.

$$\Large \begin {align*} { { \overrightarrow r } _ u } \left( {u,v} \right) & = \frac{{\partial x}}{{\partial u}}\left( {u,v} \right)\overrightarrow i + \frac{{\partial y}}{{\partial u}}\left( {u,v} \right)\overrightarrow j + \frac{{\partial z}}{{\partial u}}\left( {u,v} \right ) \overrightarrow k \\ { {\overrightarrow r} _ v } \left( {u,v} \right) & = \frac{{\partial x}}{{\partial v}}\left( {u,v} \right)\overrightarrow i + \frac { { \partial y } }{ { \partial v } } \left( { u , v } \right ) \overrightarrow j + \frac{{\partial z}}{{\partial v}}\left( {u,v} \right)\overrightarrow k\end{align*}$$

حال اگر نقطه $$\large v = {v_0}$$ به صورت ثابت در نظر گرفته شود، $$\large {\overrightarrow r_u}\left( {u,{v_0}} \right)$$ به منحنی $$\large \overrightarrow r\left( {u,{v_0}} \right)$$ مماس است. به همین صورت اگر نقطه $$\large u = {u_0}$$ به صورت ثابت در نظر گرفته شود، $$\large {\overrightarrow r_v}\left( {u _ 0,{v}} \right)$$ نیز به منحنی $$\large \overrightarrow r\left( {u_0,{v}} \right)$$ مماس خواهد بود.

رابطه فوق بیان می‌کند که بردار $$\large { \overrightarrow r _ u } \times { \overrightarrow r _ v } \ne \overrightarrow 0$$ نشان دهنده بردار عمود به صفحه S است. از این مفهوم می‌توان در بدست آوردن بردار‌های عمود به صفحه نیز استفاده کرد.

مثال ۳

معادله صفحه مماس به سطح زیر را در نقطه $$\large \left( {2,2,3} \right)$$ بدست آورید.

$$\Large \overrightarrow r \left ( { u , v } \right ) = u \, \overrightarrow i + 2 { v ^ 2 } \, \overrightarrow j + \left ( { { u ^2 } + v} \right)\overrightarrow k$$

همان‌طور که در مطلب معادله صفحه نیز توضیح داده شده، برای نوشتن معادله به بردار عمود به آن صفحه نیاز داریم. از طرفی بردار عمود به یک صفحه برابر با حاصل‌ضرب خارجی دو بردار $$\large { \overrightarrow r _ u } \times {\overrightarrow r_v}$$ است. این دو بردار برابرند با:

$$\large { \overrightarrow r _ u } \left ( { u , v } \right ) = \,\overrightarrow i + 2 u \, \overrightarrow k \hspace {0.5in}{ \overrightarrow r _ v } \left ( { u , v } \right ) = 4 v \, \overrightarrow j + \overrightarrow k$$

حاصل ضرب خارجی آن‌ها نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \Large \overrightarrow n = { \overrightarrow r _ u } \times { \overrightarrow r _ v } = \left| { \begin {array} {*{20}{ c } } { \overrightarrow i } & { \overrightarrow j } & { \overrightarrow k } \\1&0&{2u}\\0&{4v}&1\end {array} } \right|\, \, \, = - 8 u v\,\overrightarrow i - \overrightarrow j + 4v\,\overrightarrow k $$

حال مقادیر u و v باید به نحوی انتخاب شوند که نقطه $$\large \left( {2,2,3} \right)$$ را نشان دهند. بنابراین این مقادیر به صورت زیر بدست می‌آیند.

$$\Large \begin {align*} 2 & = u & \Rightarrow \hspace {0.25in}u & = 2\\ 2 & = 2 { v ^2 } & \Rightarrow \hspace {0.25in} v & = \pm 1\\ 3 & = { u ^ 2 } + v & & \end{align*}$$

همان‌طور که در بالا نشان داده شده، دو مقدار برای v و یک مقدار برای u بدست آمده. به منظور تشخیص مقدار درستِ v کافی است تا مقدار u را در رابطه سوم قرار داده سپس مقدار صحیح v بدست خواهد آمد.

$$\Large 3 = 4 + v \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} v = - 1$$

با بدست آمدن مقادیر u و v، بردار عمود به صفحه نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\Large \overrightarrow n = 1 6 \, \overrightarrow i - \overrightarrow j - 4 \, \overrightarrow k$$

نهایتا صفحه مماس به تابع برداری در نقطه مذکور، به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\Large \begin {align*} 16\left ( { x - 2 } \right ) - \left ( { y - 2 } \right ) - 4 \left ( { z - 3 } \right ) & = 0\\ 16 x - y - 4 z & = 1 8 \end {align*}$$

اگر با نحوه بدست آوردن معادله صفحه آشنایی ندارید پیشنهاد می‌کنیم این لینک را مطالعه فرمایید.
در بالا با استفاده از مفهومِ سطوح پارامتری، نحوه بدست آوردن معادله صفحه مماس به یک سطح را توضیح دادیم. حال می‌خواهیم کاربرد دومِ سطوح پارامتری را توضیح دهیم. در ابتدا سطحی پارامتری را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$\Large \overrightarrow r \left ( { u , v } \right ) = x \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow i + y \left ( { u , v } \right ) \overrightarrow j + z \left ( { u ,v } \right ) \overrightarrow k$$

با توجه به این‌که بردار عمود به صفحه با استفاده از رابطه $$\Large { \overrightarrow r _ u } \times { \overrightarrow r _ v }$$ بدست می‌آید؛ بنابراین اندازه مساحت، با استفاده از رابطه زیر بدست می‌آید.

$$\Large A = \iint \limits _ { D } { { \left\| { \, { { \overrightarrow r } _ u } \times { { \overrightarrow r } _ v } } \right\|\, d A } }\,$$

مثال ۴

مساحت بخشی از کر‌ه‌ای به شعاع ۴ را بیابید که در استوانه‌ی $$\Large { x ^ 2 } + { y ^2 } = 12$$ قرار گرفته است.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ + حل مثال در فرادرس

کلیک کنید

به منظور حل چنین سوالاتی در اولین قدم باید تصویری از سطح بیان شده را در ذهنتان داشته باشید. در ادامه تداخل استوانه و کره نشان داده شده است. بنابراین در این سوال هدف یافتن مساحت قطب شمال و جنوب در کره زیر است!

در قسمت قبل نحوه بدست آوردن شکل پارامتری یک کره را توضیح دادیم. شکل پارامتری کره مطرح شده در این سوال به صورت زیر است.

$$\Large \overrightarrow r \left ( { \theta , \varphi } \right) = 4\sin \varphi \cos \theta \,\overrightarrow i + 4\sin \varphi \sin \theta \,\overrightarrow j + 4\cos \varphi \,\overrightarrow k$$

حال نیاز داریم تا سطح D را توصیف کنیم. با توجه به این‌که کل کره در اطراف محور z در نظر گرفته شده، بنابراین بازه θ نیز به صورت زیر در نظر گرفته می‌شود.

$$\Large 0 \le \theta \le 2 \pi$$

در مرحله بعد بازه زاویه φ باید تعیین شود. بدین منظور در ابتدا معادله کره را در مختصات کارتزین به صورت زیر بیان می‌کنیم.

$$\Large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } = 16$$

محلی از استوانه که کره را قطع می‌کند، به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\Large \begin {align*} { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^2} & = 16\\ 12 + { z ^ 2} & = 16 \\ { z ^ 2 } & = 4 \hspace {0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in} z = \pm \, 2 \end {align*}$$

بنابراین هدف محاسبه مساحتِ بخشی از صفحه است که در بالای سطح z=2 قرار گرفته. از طرفی می‌دانیم که شعاع کره نیز برابر با $$\large \rho = 4$$ است. بنابراین با برابر قرار دادن رابطه مربوط به کره و صفحه، بازه φ به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\Large \begin {align*} z & = \rho \cos \varphi \\ 2 & = 4 \cos \varphi \\ \cos \varphi & = \frac { 1 } { 2 } \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} \varphi = \frac {\pi } { 3 } \end {align*}$$

بنابراین بازه φ به منظور توصیف ناحیه مذکور به صورت زیر است.

$$\Large 0 \le \varphi \le \frac{\pi }{3}$$

نهایتا باید ضرب خارجی $$\large { \overrightarrow r _ \theta } \times { \overrightarrow r _ \varphi }$$ را بدست آوریم. این دو بردار به صورت زیر هستند.

$$\Large \begin {align*} { { \overrightarrow r } _ \theta } \left ( { \theta , \varphi } \right ) & = - 4 \sin \varphi \sin \theta \, \overrightarrow i + 4 \sin \varphi \cos \theta \,\overrightarrow j \\ { { \overrightarrow r } _ \varphi } \left ( { \theta , \varphi } \right ) & = 4 \cos \varphi \cos \theta \, \overrightarrow i + 4 \cos \varphi \sin \theta \, \overrightarrow j - 4 \sin \varphi \, \overrightarrow k \end {align*}$$

بنابراین حاصل ضرب خارجی آن‌ها را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

$$ \large \begin{align*}{{\overrightarrow r}_\theta } \times {{\overrightarrow r}_\varphi } & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow i}&{\overrightarrow j}&{\overrightarrow k}\\{ - 4\sin \varphi \sin \theta }&{4\sin \varphi \cos \theta }&0\\{4\cos \varphi \cos \theta }&{4\cos \varphi \sin \theta }&{ - 4\sin \varphi }\end{array}} \right|\\ & = - 16{\sin ^2}\varphi \cos \theta \,\overrightarrow i - 16\sin \varphi \cos \varphi {\sin ^2}\theta \,\overrightarrow k - 16{\sin ^2}\varphi \sin \theta \,\overrightarrow j - 16\sin \varphi \cos \varphi {\cos ^2}\theta \,\overrightarrow k\\ & = - 16{\sin ^2}\varphi \cos \theta \,\overrightarrow i - 16{\sin ^2}\varphi \sin \theta \,\overrightarrow j - 16\sin \varphi \cos \varphi \left( {{{\sin }^2}\theta \, + {{\cos }^2}\theta } \right)\overrightarrow k\\ & = - 16{\sin ^2}\varphi \cos<br /> \theta \,\overrightarrow i - 16{\sin ^2}\varphi \sin \theta \,\overrightarrow j - 16\sin \varphi \cos \varphi \,\overrightarrow k\end{align*} $$

اندازه بردار فوق برابر است با:

$$\large \begin{align*}\left\| {{{\overrightarrow r}_\theta } \times {{\overrightarrow r}_\varphi }} \right\| &= \sqrt {256{{\sin }^4}\varphi {{\cos }^2}\theta + 256{{\sin }^4}\varphi {{\sin }^2}\theta + 256{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi } \\ & = \sqrt {256{{\sin }^4}\varphi \left( {{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right) + 256{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi } \\ & = \sqrt {256{{\sin }^2}\varphi \left( {{{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\varphi } \right)} \\ & = 16\sqrt {{{\sin }^2}\varphi } \\ & = 16\left| {\sin \varphi } \right|\\ & = 16\sin \varphi \end{align*}$$

توجه داشته باشید که در عبارت فوق، به دلیل مثبت بودن مقدار سینوس، آن را از قدر مطلق خارج کرده‌ایم. نهایتا با انتگرال‌گیری از رابطه فوق در بازه‌های بدست آمده، مقدار مساحت برابر می‌شود با:

$$\Large \begin {align*} A & = \iint \limits _ { D } { { 1 6 \sin \varphi \, d A } }\,\\ & = \int _ { { \, 0} } ^ { { \, 2 \pi } } { { \int _ { { \, 0 } } ^ { { \,\frac{\pi }{3}}}{{16\sin \varphi \,d\varphi }}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\left. { - 16 \cos \varphi } \right|_0^{{\pi }/{3}\;}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{8\,d\theta }}\\ & = 16\pi \end{align*}$$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• تابع برداری — به زبان ساده
• توابع چند متغیره — به زبان ساده

^^